Analisis modal de la estructura ocular humana mediante el metodo de elementos finitos

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ANALISIS MODAL DE LA ESTRUCUTRA OCULAR HUMANA MEDIANTE EL METODO DE ELEMENTOS FINITOS

GIOVANNY ANDRES PIÑEROS

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES DEPARTAMENTO DE INGENIERIA CIVIL

FACULTAD DE INGENIERÍA BOGOTÁ

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ANALISIS MODAL DE LA ESTRUCUTRA OCULAR HUMANA MEDIANTE EL METODO DE ELEMENTOS FINITOS

GIOVANNY ANDRES PIÑEROS

Trabajo de tesis para optar por el título de Ingeniero Civil

Asesor:

PHD. FERNANDO RAMIREZ RODRIGUEZ

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERIA CIVIL

BOGOTÁ 2014

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Contenido

Lista de tablas ... 4

Lista de graficas ... 6

Lista de imágenes ... 7

Introducción ... 8

1. Objetivos ... 9

1.1 Objetivo General ... 9

1.2 Objetivos específicos ... 9

2. Marco Teórico ... 9

2.1 Esfuerzo y deformación ... 9

2.2 Trabajo virtual ... 11

2.3 Análisis Estático ... 12

2.4 Análisis Modal ... 12

2.5 Configuración in vivo e in vitro ... 13

3. Modelo computacional ... 15

3.1 Modelo in vivo ... 15

3.1.1 Geometría ... 15

3.1.2 Mallado ... 17

3.1.3 Condiciones de frontera ... 18

3.1.4 Restricciones ... 19

3.1.5 Física del entorno computacional ... 19

3.1.6 Simulaciones ... 19

3.2 Modelo in vivo ... 20

3.2.1 Geometría ... 20

3.2.2 Mallado ... 22

3.2.3 Condiciones de frontera y restricciones ... 23

3.2.4 Física del modelo computacional y simulaciones ... 23

4. Resultados ... 25

4.1 Modelo IN VITRO ... 25

4.1.1 Topología de los modos de vibración ... 25

4.1.2 Comparación de formas de vibración ... 26

4.1.3 Graficas de superficie ... 27

4.1.4 Frecuencias propias ... 29

(4)

4.2 Modelo IN VIVO ... 42

4.2.1 Topología de los modos de vibración ... 42

4.2.2 Graficas de superficie ... 42

4.2.3 Frecuencias propias ... 44

4.2.4 Modelo de interpolación ... 48

4.3 Comparación de resultados ... 58

5. Conclusiones ... 60

6. Recomendaciones ... 61

Lista de tablas

Tabla 1Parámetros dimensionales cornea ... 15

Tabla 2 Parámetros dimensionales esclera ... 16

Tabla 3 Parámetros mallado ... 17

Tabla 4 Valor de carga administrada al modelo ... 18

Tabla 5 Propiedades mecánicas ... 18

Tabla 6 Parámetros modelo de grupo de topologías de vibración ... 25

Tabla 7 Frecuencias naturales grupo de propiedades mecánicas 1 ... 30

(5)

Tabla 12 Grupo de módulos de Young ... 34

Tabla 13 Parámetros simulación de prueba modelo de interpolación ... 38

Tabla 14 Resultados simulación de prueba ... 38

Tabla 15 Presión intraocular a partir de modelo de interpolación lineal ... 39

Tabla 16 Resultados modelo de interpolación lineal ... 40

Tabla 17 Resultados modelo polinomico y comparación con modelo lineal ... 41

Tabla 23 Parámetros simulación de prueba modelo de interpolación lineal in vivo ... 51

Tabla 24 Resultados simulación ... 51

Tabla 25 Resultados modelo de interpolación corregido ... 57

(6)

Lista de graficas

Grafica 1 Grafica de superficie para modelo in vitro 1 ... 28

Grafica 4 Frecuencia vs Modulo (modo 1) ... 32

Grafica 7 Modelo lineal Cornea-Esclera ... 35

Grafica 8 Regresión lineal PIO vs Frecuencia módulo de esclera: 0.6 MPa ... 36

Grafica 12 Regresión lineal PIO vs Frecuencia módulo de esclera: 3 MPa ... 38

Grafica 13 Modelo de interpolación para presión ... 39

Grafica 14 Modelo de interpolación para modulo ... 40

Grafica 15 Modelo de interpolación polinomico para presión ... 41

Grafica 16 Modelo de interpolación polinomico para modulo elástico ... 41

Grafica 17 Grafica de superficie para modelo in vivo 1 ... 43

Grafica 20 Frecuencias vs Modulo (modo 1) ... 47

Grafica 27 Regresión lineal PIO vs Frecuencia módulo de esclera: 3 MPa ... 51

Grafica 28 Modelo de interpolación para presión ... 52

Grafica 29 Modelo de interpolación para modulo elástico ... 52

Grafica 30 modelo polinomico de interpolación para presión ... 53

Grafica 31 Regresión polinomica PIO vs Frecuencia módulo de esclera: 0.6 MPa ... 54

Grafica 35 Regresión polinomica PIO vs Frecuencia módulo de esclera: 3 MPa . 56 Grafica 36 Modelo de interpolación para presión corregido ... 56

Grafica 37 Modelo de interpolación para modulo corregido ... 57

Grafica 38 Comparación de modelos con resultados borda [11] ... 58

(7)

Lista de imágenes

Imagen 1 Estado tridimensional de esfuerzos [] ... 10

Imagen 2 Estado plano de esfuerzos y deformaciones [] ... 11

Imagen 3 Configuración in vitro e in vivo [] ... 13

Imagen 4 Configuración in vivo modificada ... 13

Imagen 5 Paso 2 construcción plano de revolución cornea. ... 15

Imagen 6 Paso 1 construcción plano de revolución cornea. ... 15

Imagen 7 Solido 3D cornea ... 16

Imagen 8Paso 1 plano de revolución esclera ... 16

Imagen 9 Paso 2 plano de revolución esclera ... 16

Imagen 10 CAD 3D esclera ... 17

Imagen 11 Geometría final ... 17

Imagen 12 Mallado configuración in vitro ... 18

Imagen 13 Posición restricción ... 19

Imagen 14 Esclera trasera plano 1 ... 20

Imagen 15 Esclera delantera (sección azul) plano 2 ... 20

Imagen 16 Ubicación segunda cuña ... 21

Imagen 17 Esclera trasera con apoyos in vivo ... 21

Imagen 18 Esclera delantera ensamble in vivo ... 22

Imagen 19 Geometría en configuración in vivo ... 22

Imagen 20 Mallado modelo in vivo ANSYS ... 23

Imagen 21 Topología de vibración para F1=11.57 (Hz) y F2=11.63 (Hz) ... 25

Imagen 22 Topología de vibración para F3 = 31.7 (Hz) ... 25

Imagen 23 Topología de vibración para F4=84.22 (Hz) ... 25

Imagen 27 Modo de vibración 7 ... 26

Imagen 28 Modo de vibración 8 ... 26

Imagen 29 Frecuencia 31.7 (Hz) ... 26

Imagen 30 Frecuencia 11.57 (Hz) ... 26

Imagen 31 Frecuencia 17 (Hz) Coquart [5] ... 26

Imagen 34 Frecuencia 286 (Hz) ... 27

(8)

Imagen 38 Topología de vibración para F6= 518.9 (Hz) y F7=523.3 (Hz) ... 42

Introducción

El glaucoma es una patología producida por el aumento de la presión intraocular (PIO) al interior de la estructura del ojo humano.

Por lo anterior, la medición de la PIO es un aspecto fundamental en el diagnóstico y tratamiento de esta enfermedad, actualmente el estándar internacional para la medición de la presión intraocular recae en el tonómetro de Goldman, este último trabaja con un error de precisión de 1 mmHg, la variación de dicho error sobre el resultado final de la medición puede llevar a concluir con un diagnostico no acorde a la realidad ya sea por sobre dimensionar o sub dimensionar el registro de PIO. Debido a ello se han propuesto el desarrollo de nuevas técnicas de medición, por varios autores entre ellos Coquart [5], Borda [11].

Coquart [5] propone un análisis dinámico en el cual se estudia la respuesta en frecuencia de la estructura objetivo, con el fin de relacionarla las frecuencias obtenidas con la presión intraocular.

El trabajo de Borda [11], establece un estudio similar al definido por Coquart [5], pero relacionando los efectos de la variación en las propiedades mecánicas del material, a la vez se plantea un modelo acústico para la predicción de las frecuencias naturales del ojo humano.

Es objeto del presente trabajo plantear un modelo computacional de la estructura completa del ojo humano, compuesta por la geometría de la córnea y esclera, para analizar los efectos de la presión intraocular en los modos de vibración de glóbulo ocular, a la vez que se realizan variaciones sobre las propiedades mecánicas del mismo.

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1. Objetivos

1.1Objetivo General

Desarrollar un modelo computacional haciendo uso del método de elementos finitos para analizar los modos de vibración de la estructura del ojo humano y su relación con la presión intraocular.

1.2Objetivos específicos

II. Desarrollar un método de correlación entre las frecuencias propias y la PIO. III. Obtener la respuesta en frecuencia del modelo computacional para varios

módulos de Young y presiones intraoculares.

2. Marco Teórico

A continuación se presentan de manera expresa las ecuaciones a resolver a lo largo de la reflexión propuesta.

2.1Esfuerzo y deformación

Para ilustrar la teoría detrás de la relación esfuerzo deformación nos podemos remitir a la siguiente imagen:

(10)

Imagen 1 Estado tridimensional de esfuerzos [9]

Tomando un punto en el cuerpo de la figura de coordenadas: 𝑥= [𝑥,𝑦,𝑧]

Es posible definir la componente de desplazamiento y carga, en las 3 direcciones del cuerpo:

𝑢 =[𝑢,𝑣,𝑤]

𝑓 =[𝑓_!,𝑓_!,𝑓_!]

A esto se le denomina campo de desplazamientos y carga, con base al estado de carga anterior es posible establecer el campo de esfuerzos y deformaciones, los cuales dependen del tensor de deformación y esfuerzo:

𝝐=

𝜖_! 𝛾_!" 𝛾_!"

𝜏_!" 𝜖_! 𝛾_!"

𝛾!" 𝛾!" 𝜖!

𝝈 =

𝜎_! 𝜏_!" 𝜏_!"

𝜏_!" 𝜎_! 𝜏_!"

𝜏_!" 𝜏_!" 𝜎_!

El tensor de deformación y esfuerzo es la representación matricial del estado tridimensional de esfuerzos y deformaciones que sufre la partícula mencionada al principio, para ilustrar esta idea se puede hacer uso de las siguientes imágenes:

(11)

Imagen 2 Estado plano de esfuerzos y deformaciones [9]

Con base al tensor de esfuerzos y deformaciones se puede aplicar la ley de Hooke para relacionar las dos variables de la siguiente manera:

𝜖 =𝐸∗𝜎

Lo anterior aplicado en forma matricial arroja el siguiente resultado:

𝝐= 𝐸

1+ 𝑣 (1−2𝑣)

1−𝑣 𝑣 𝑣 0 0 0

𝑣 1−𝑣 𝑣 0 0 0

𝑣 𝑣 1−𝑣 0 0 0

0 0 0 1−2𝑣

2 0 0

0 0 0 0 1−2𝑣

2 0

0 0 0 0 0 1−2𝑣

2

Como se puede observar la solución de estado general de esfuerzos depende de las propiedades del material, dado que el problema trabajado en este proyecto se encuentra orientado a la solución del problema sobre un modelo tridimensional la simplificación a dos dimensiones no aplica, es allí cuando el código e elementos finitos provee la solución a la matriz aquí expuesta.

2.2Trabajo virtual

El trabajo virtual se define de la siguiente manera:

“En la configuración geométrica (puntos que conforman el sólido) que satisface las condiciones actuales de equilibrio del cuerpo (fuerzas y cargas con los valores que tienen en un momento determinado) y las restricciones geométricas del problema, se pueden considerar pequeños desplazamientos de los puntos que conforman el cuerpo bajo estudio de tal forma que se respeten dichas condiciones y

(12)

restricciones, a estos desplazamientos se les conoce como desplazamientos virtuales” []

La ecuación general de trabajo virtual, según el trabajo propuesto por Borda [11], es la siguiente:

𝛿𝑊 = − 𝜎!"𝛿𝑒!"𝑑𝑉 !

+ 𝜌𝒇∙𝛿𝒖 𝑑𝑉 !

+ 𝒕∙𝛿𝒖 𝑑𝑆 !

[11]

2.3Análisis Estático

El análisis estático busca resolver el estado general de esfuerzos y deformaciones en un estado independiente del tiempo, según el desarrollo de Gustavo Borda [11], el análisis estático se puede entender desde la perspectiva del trabajo virtual con base al siguiente desarrollo matemático:

𝛿𝑊_! = − 𝒕∙𝛿𝒖 𝑑𝑆 !

[11]

𝛿𝑊! = 𝜎!"𝛿𝑒!"𝑑𝑉 !

[11]

𝛿𝑊 = − 𝜎_!"𝛿𝑒_!"𝑑𝑉

!

+ 𝒕∙𝛿𝒖 𝑑𝑆= 0

!

[11]

2.4Análisis Modal

Para un material elástico lineal, como es el caso del presente estudio, se espera que el sistema se vea regido por la ley de Hooke como se expuso en la sección 2.1, aplicando la ecuación generalizada del movimiento se puede obtener el siguiente sistema de ecuaciones matricial:

𝑀 𝑈 + 𝐶 𝑈}+ 𝐾 𝑈 ={𝐹}

Esto para un material isotrópico, donde [M] es a masa del sistema, [C] el amortiguamiento, y [K] la matriz de rigidez.

Los resultados de borda [11] muestran que el efecto del amortiguamiento es mínimo sobre la predicción de PIO según su modelo de interpolación, a la vez que para el análisis de modos de vibración suele ignorarse este término, al definir el amortiguamiento como cero se obtiene el siguiente sistema:

𝑀 𝑈 + 𝐾 𝑈 = 0

Lo anterior se convierte en un problema de valores propios: 𝑀 𝑈}𝜆+ 𝐾 𝑈 = 0

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Cada valor propio resuelto por el paquete de elementos finitos a utilizar representa una frecuencia de excitación de la estructura en la cual entra en resonancia natural.

2.5Configuración in vivo e in vitro

En el trabajo titulado “A Fluid-Structure Interaction Problem Inbiomechanics: Prestressed Vibrations Of The Eye By The Finite Element Method” [5] escrito por Lionel Coquart, se estudian los efectos de la presión intraocular en los modos de vibración del ojo humano, esto con el fin de presentar un modelo que relacione las dos variables de manera acertada.

A lo largo de la reflexión se exponen dos tipos de soporte, los cuales se van a aplicar en este proyecto.

Imagen 3 Configuración in vitro e in vivo [5]

La configuración in vitro, izquierda, define la restricción de movimiento del ojo humano como un punto de empotramiento en el extremo posterior.

Por otro lado la configuración in vivo establece un conjunto de pines ubicados a lo largo del eje central de la estructura tal y como se muestra en la imagen derecha. Sin embargo para este proyecto se realizara la siguiente modificación sobre la estructura in vivo:

Imagen 4 Configuración in vivo modificada

Las secciones resaltadas contaran con la restricción tipo pin en el modelo, esta modificación se realiza debido a que el ojo humano tiene la posibilidad de realizar

Superficie de soporte sin fricción 1

Superficie de soporte sin fricción 2

(14)

rotaciones alrededor del eje X y del eje Y. Con la superficie de soporte sin fricción dos se esperan acoplar este comportamiento al modelo computacional.

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Imagen 6 Paso 1 construcción

plano de revolución cornea. Imagen 5 Paso 2 construcción plano de revolución cornea.

3. Modelo computacional

3.1Modelo in vivo 3.1.1 Geometría

La geometría expuesta en esta reflexión trabaja con base a los lineamientos propuestos por Urbano [2], para una geometría de esclera hibrida.

La geometría objetivo se desarrolló en el programa de modelación 3D INVENTOR y luego fue importada al programa de elementos finitos COMSOL.

A continuación se presentan los planos de revolución y dimensiones sobre los cuales se generaron las geometrías de córnea y esclera.

3.1.1.1Cornea

Los parámetros dimensionales de la córnea se listan enseguida:

Tabla 1Parámetros dimensionales cornea

Espesor corneal central (mm) 0.52 Espesor corneal perimetral

(mm) 0.75

Radio corneal externo (mm) 6.66 Altura corneal (mm) 3.80 Radio corneal interno (mm) 5.72 K Separación de radios (mm) 0.42

Teniendo en cuenta los lineamientos expuesto por Urbano [2], se construyó la siguiente geometría:

Una vez definido el perfil corneal es posible obtener el siguiente solido por revolución:

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Imagen 8Paso 1 plano de revolución esclera

Imagen 9 Paso 2 plano de revolución esclera

Imagen 7 Solido 3D cornea

3.1.1.2Esclera Hibrida

La esclera hibrida se compone de dos figuras geométricas, un círculo y un elipsoide, a continuación sus parámetros:

Tabla 2 Parámetros dimensionales esclera

Radio circulo (mm) 12 Radio elipsoide Y (mm) 12 Radio elipsoide X (mm) 10.27 Espesor esclera (mm) 5

Tomando como referencia el plano de construcción para la córnea es posible construir la esclera, tal y como se ilustra en las siguientes imágenes:

Sobre el plano de

revolución de la esclera se definió un corte plano, el

cual se ubico en el extremo inferior derecho, dicha recta tiene 0.25 mm de largo y tiene como objetivo crear una superficie plana en la que se establecera la restricción de empotramiento.

(17)

Imagen 10 CAD 3D esclera

3.1.1.3 Ensamble

Dado que se requiere adaptar propiedades mecánicas independientes para la esclera y la córnea, es necesario ensamblar los dos CAD mostrados anteriormente, para así trabajar con entidades independientes.

Realizando la unión de los cuerpos en el entorno ensamble de INVENTOR esta tarea resulta sencilla y eficiente, dando como resultado la siguiente geometría:

Imagen 11 Geometría final

3.1.2 Mallado

Una vez importado el CAD al programa de elementos finitos COMSOL, se dispone a mallar la geometría, para este caso en particular se utilizó malla tetraédrica por su fácil adaptación a la formas curvas del cuerpo objetivo, por otra parte se refino la malla haciendo uso de la función SIZE de COMSOL, los parámetros de la malla son los siguientes:

Tabla 3 Parámetros mallado

Tamaño máximo de elemento (mm) 2.5 Tamaño mínimo de elemento (mm) 0.2 Tasa máxima de crecimiento 1.4 Número de elementos 29830

(18)

El resultado del proceso de mallado se ilustra a continuación:

Imagen 12 Mallado configuración in vitro

3.1.3 Condiciones de frontera

Sobre el modelo computacional se impusieron cargas de presión intraocular distribuidas al interior de la estructura, las cargas varían en los siguientes rangos:

Tabla 4 Valor de carga de PIO administrada al modelo

Numero de carga Presión (mmHg)

1 5

2 10

3 15

4 20

5 25

El valor de la carga se variaría cada vez para una simulación diferente.

Las paredes del modelo son tipo Brick, esto con el propósito de modelar una estructura sellada de pared delgada, el material de la córnea y esclera se adoptan como elástico lineal.

El modulo elástico de la córnea y la esclera fue variada para un total de 5 pasos, los valores de densidad y coeficiente de Poisson fueron obtenidos del trabajo propuesto por Coquart [5]:

Tabla 5 Propiedades mecánicas

Cornea Esclera Densidad (kg/m^3) 1400 1100

Poisson 0.49 0.49 Modulo 1 (MPa) 0.1 0.6 Modulo 2 (MPa) 0.2 1.2 Modulo 3 (MPa) 0.3 1.8

(19)

Modulo 4 (MPa) 0.4 2.4 Modulo 5 (MPa) 0.5 3

Con respecto al número de modulo se conocerá cada configuración como grupo de propiedades mecánicas, el módulo 1 corresponde al grupo 1 de propiedades mecánicas, así sucesivamente.

3.1.4 Restricciones

El modelo computacional en configuración in vitro es planteado con respecto a la restricción de empotramiento, la cual se ubica en la siguiente posición sobre la estructura:

Imagen 13 Posición restricción

Como se mencionó en la sección 2.5, esta restricción sigue los lineamientos propuestos por Coquart [5].

3.1.5 Física del entorno computacional

El programa COMSOL es configurado con base a la física de mecánica de solidos deformables, este módulo se conoce como Solid Mechanics, el estudio se denomina análisis de frecuencia pre estresado, el cual se divide en dos secciones. La primera sección resuelve el caso estático con el fin de evaluar las ecuaciones de trabajo virtual. La segunda sección realiza el análisis de frecuencias propias.

3.1.6 Simulaciones

Se realizaron 25 simulaciones, 5 para cada grupo de propiedades mecánicas variando en cada una el valor de la presión intraocular.

Tabla 6 Configuración de simulaciones

Simulación PIO (mmHg) Módulo Esclera (MPa) Modulo Cornea (MPa) 1 5 0.6 0.1 2 10 0.6 0.1 3 15 0.6 0.1 4 20 0.6 0.1

(20)

Imagen 14 Esclera trasera plano 1

Imagen 15 Esclera delantera (sección azul) plano 2

5 25 0.6 0.1 6 5 1.2 0.2 7 10 1.2 0.2 8 15 1.2 0.2 9 20 1.2 0.2

10 25 1.2 0.2

11 5 1.8 0.3

12 10 1.8 0.3

13 15 1.8 0.3

14 20 1.8 0.3

15 25 1.8 0.3

16 5 2.4 0.4

17 10 2.4 0.4

18 15 2.4 0.4

19 20 2.4 0.4

20 25 2.4 0.4

21 5 3 0.5

22 10 3 0.5

23 15 3 0.5

24 20 3 0.5

25 25 3 0.5

3.2Modelo in vivo 3.2.1 Geometría

El modelo in vivo propuesto en este trabajo difiere del expuesto por Coquart [5], ya que se aplica una segunda base para aplicar soportes sin fricción o tipo pin.

A continuación se muestran las modificaciones realizadas a la esclera para lograr esta configuración.

(21)

Imagen 16 Ubicación segunda cuña

• La esclera trasera, contiene una pequeña cuña de dimensiones 0.25 mm X 0.25 mm, ubicada en su parte superior como se observa en la imagen 14, al revolucionar esta estructura la esclera contara con una de las dos superficies requeridas para la adaptación del soporte tipo pin.

Para este caso se sigue el procedimiento propuesto por Coquart [5].

• Una vez obtenido el sólido, se genera un plano sobre la superficie, en este boceto se dibujara la segunda cuña. La anterior se ubica de manera tal que se encuentra perpendicular al eje vertical de la estructura:

La cuña es revolucionada para crear la segunda superficie de apoyo:

Imagen 17 Esclera trasera con apoyos in vivo

• Sobre el boceto presente en el plano 2 se obtiene el solido de la esclera delantera:

(22)

Imagen 18 Esclera delantera ensamble in vivo

• Con los tres componentes creados la geometría para la configuración in vivo es ensamblada:

Imagen 19 Geometría en configuración in vivo

3.2.2 Mallado

Dada la nueva naturaleza de la geometría objetivo, el software de mallado que contiene el programa de elementos finitos COMSOL encuentra problemas para resolver el dominio alrededor de los bordes rectos de la geometría, adicional a ello el solucionador estacionario presenta dificultades para converger a una solución frente al nuevo estado de restricciones.

Dados estos inconvenientes se optó por trabajar el modelo in vitro en el programa ANSYS, el cual carece de los anteriores.

El mallado trabajado en ANSYS conto con los mismos parámetros dimensionales que el mostrado para la configuración in vitro. El número de elementos fue de 29530.

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Imagen 20 Mallado modelo in vivo ANSYS

3.2.3 Condiciones de frontera y restricciones

Las condiciones de frontera aplicadas al modelo in vitro son idénticas a las que se trabajaron sobre el modelo in vivo.

La diferencia recae en la aplicación de soportes tipo pin en las nuevas superficies, la siguiente imagen ilustra la ubicación de las cargas y restricciones propuestas para el modelo:

Las superficies resaltadas en azul representan la ubicación de los soportes tipo PIN, al interior de la estructura se encuentran cargadas las paredes interiores de la córnea y esclera.

3.2.4 Física del modelo computacional y simulaciones

La física del modelo computacional propuesto para esta configuración es de la misma naturaleza a la que se expuso en la sección 3.1.5, el módulo de Solid Mechanics de COMSOL es reemplazado por el módulo de Static Structural de ANSYS a la vez que el estudio de frecuencias propias es denominado Modal Analysis en el paquete ANSYS.

(24)

(25)

Imagen 21 Topología de vibración para F1=11.57 (Hz) y F2=11.63 (Hz)

Imagen 22 Topología de vibración para F3 = 31.7 (Hz)

Imagen 23 Topología de vibración para F4=84.22 (Hz)

4. Resultados

4.1Modelo IN VITRO

4.1.1 Topología de los modos de vibración

Al obtener los resultados de las simulaciones computacionales sobre el modelo in vitro es posible extraer la topología de los modos de vibración, esto con el fin de evaluar si los resultados son comparables con los reportados en trabajos como los de Coquart [5], lo que en última instancia revela la veracidad del modelo computacional. A continuación se presentan las 10 topologías de vibración para cada armónico, el modelo expuesto tiene la siguiente configuración:

Tabla 7 Parámetros modelo de grupo de topologías de vibración

Módulo Esclera (MPa) 3 Modulo Cornea (MPa) 0.5

PIO (mmHg) 5

Al variar únicamente la presión intraocular de la configuración mostrada en la tabla , la topología de los armónicos no se ve afectada, sin embargo el cuerpo alcanza mayores deformaciones cada vez que la PIO es mayor.

Por otro lado si se varían las propiedades mecánicas las topologías si presentan cambios significativos en su forma y deformación, para fines prácticos en este trabajo se exponen únicamente las topologías que adquiere el cuerpo con las propiedades mecánicas propias de un ojo humano real.

Dado que los modos de

excitación observados en las imágenes 3, 4, 5 y 6 presentan frecuencias naturales similares, se encuentra que las topologías de son las mismas.

(26)

Imagen 28 Modo de vibración 8 _{Imagen 27 Modo de vibración 7}

Imagen 29 Frecuencia 31.7 (Hz)

Imagen 32 Frecuencia 34 (Hz) Coquart [5]

Imagen 30 Frecuencia

11.57 (Hz) Imagen 31 Frecuencia 17

(Hz) Coquart [5]

Sin embargo la variación numérica, por pequeña que sea, entre una frecuencia similar a otra hace que la forma que adquiere el modo de oscilación trabaje con respecto a un eje de simetría distinto.

Por ejemplo, la imagen 5 ilustra la forma que adquiere el modo de vibración correspondiente a las frecuencias 7 y 8, la variación entre las dos frecuencias es de 0.46 (Hz), esta diferencia hace que la representación para el modo 8 sea la misma en su forma, pero su eje de simetría es distinto. Para ilustrar esta idea remítase a la siguiente imagen:

Como se puede

observar la variación numérica entre las dos frecuencias naturales, genera que el eje de simetría rote, pero la topología es la misma.

4.1.2 Comparación de formas de vibración

Esta sección tiene como propósito comparar los resultados del estudio de Coquart [5] con los obtenidos en esta reflexión, para ello se compararon las siguientes imágenes:

(27)

Imagen 34 Frecuencia 286

(Hz) Imagen 33 Frecuencia 175

(Hz) Coquart [5]

Como se puede observar las formas de los modos de vibración obtenidos son similares con las obtenidos en el trabajo de Coquart, para las imágenes 14 y 13 se la diferencia entre frecuencias es de casi 100 Hz, esto se puede deber al hecho de que en los estudios realizados por Coquart [5] el tipo de elemento aplicado sobre la geometría objetivo era Shell, en el desarrollo de esta reflexión se trabajó con tipo Brick, para así poder representar un cuerpo de pared delgada.

Una vez verificadas las formas de vibración, se procede al análisis de datos que se mostrara en la siguiente sección.

4.1.3 Graficas de superficie

Con base al conjunto de resultados obtenidos es posible graficar el grupo de módulos elásticos en relación a la muestra de presiones intraoculares y estos relacionados con los resultados de frecuencia propia.

En resumen se obtiene una superficie cuyo eje Y contiene todos los valores de presión intraocular con los que se trabajó, el eje X representa todos los valores de modulo elástico asociado a la esclera y el eje Z abarca la escala de frecuencias obtenidas para todas las combinaciones posibles de X y Y. Los resultados son los siguientes:

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Grafica 1 Grafica de superficie para modelo in vitro 1

(29)

Grafica 3 Grafica de superficie para modelo in vitro 3

Fíjese que cada superficie representa un modo de vibración, dado que los modos de vibración 1-2, 5-6, 7-8 y 9-10 son casi idénticos es posible observar a simple vista 6 capas siendo las dos capas adicionales los modos de vibración 3 y 4.

Los resultados observados en la gráfica 2 muestran que la relación entre el aumento de presión intraocular y la frecuencia alcanzada es casi lineal, para casi todos los grupos de módulos, esto quiere decir que a mayor presión intraocular el ojo humano alcanza mayores frecuencias naturales.

En la gráfica 1 se aprecia el comportamiento del plano, para grupos de coordenadas (x, y, z) en donde el modulo es menor y la PIO es mayor la frecuencia correspondiente es baja, a medida que se aumenta la relación entre PIO y modulo, la frecuencia natural aumenta, lo que puede sugerir una relación lineal en casi todos los escenarios.

Por último, la relación presentada entre el plano (frecuencias, modulo) parece ser lineal esto para la imagen representada en sobre el eje de la PIO de 5 mmHg, pero a medida que se aumenta el valor de la presión la relación varia, lo que sugiere que el comportamiento de los parámetros modulo y frecuencia depende de la variación de PIO y no pareciera tener un comportamiento general para todo el espectro de combinaciones.

4.1.4 Frecuencias propias

La sección anterior represento gráficamente al grupo de frecuencias propias obtenido para todo el conjunto de variaciones propuesto, a continuación se muestran los resultados del análisis de frecuencias naturales de manera numérica, discriminado por las propiedades mecánicas asignadas a cada modelo de la simulación:

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Tabla 8 Frecuencias naturales grupo de propiedades mecánicas 1

Modulo de Young

Esclera (MPa) 0.6 Modulo de Young

Cornea (MPa) 0.1 PIO (mmHg) _(Hz)F1 _(Hz)F2 _(Hz)F3 _(Hz)F4 _(Hz)F5 _(Hz)F6 _(Hz)F7 _(Hz)F8 _(Hz)F9 _(Hz)F10

5 17.4 17.4 32.1 41.6 134.₇ 134.₉ 173.₉ 174.₀ 244.₄ 244.₅

10 31.0 31.0 47.1 59.0 146.₅ 146.₇ 212.₃ 212.₄ 276.₂ 276.₃

15 42.0 42.0 52.7 85.0 160.₉ 161.₁ 241.₇ 241.₇ 297.₆ 297.₇

20 42.0 42.0 52.7 85.0 160.₉ 161.₁ 241.₇ 241.₇ 297.₆ 297.₇

25 58.8 58.8 64.1 133. 4

194. 1

194. 3

288. 6

336. 6

336. 7

Modulo de Young

Cornea (MPa) 0.2 PIO (mmHg) F1 _(Hz) F2 _(Hz) F3 _(Hz) F4 _(Hz) _(Hz)F5 F6 _(Hz) F7 _(Hz) F8 _(Hz) F9 _(Hz) F10 _(Hz)

5 13.6 13.7 27.8 55.3 184.₂ 184.₅ 212.₅ 212.₇ 302.₅ 302.₆

10 24.6 24.7 45.4 58.8 190.₅ 190.₈ 245.₉ 246.₀ 345.₆ 345.₈

15 34.7 34.8 62.6 64.4 198.₂ 198.₆ 275.₁ 275.₃ 372.₁ 379.₉

20 43.8 43.9 66.6 83.4 207.₁ 207.₅ 300.₃ 300.₄ 390.₆ 396.₀

25 52.0 52.0 70.6 102.₁ 217.₀ 217.₃ 322.₂ 322.₃ 406.₄ 411.₂

Modulo de Young

Cornea (MPa) 0.3 PIO (mmHg) F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10

(31)

(Hz) (Hz) (Hz) (Hz) (Hz) (Hz) (Hz) (Hz) (Hz) (Hz) 5 12.2 12.2 28.1 66.3 223.₆ 224.₀ 246.₃ 246.₇ 349.₀ 349.₂

10 21.3 21.3 40.8 69.1 227.₉ 228.₃ 274.₂ 274.₅ 390.₆ 390.₈

15 30.2 30.2 55.6 72.1 233.

3 233.7 301.1 301.3 340.5 341.5 20 38.6 38.6 71.1 75.1 239.

4 239.8 325.6 325.8 446.4 458.2 25 46.4 46.4 78.3 86.7 246.₃ 246.₇ 347.₇ 347.₉ 464.₀ 472.₀

Modulo de Young

Cornea (MPa) 0.4 PIO (mmHg) F1

(Hz) F2 (Hz) F3 (Hz) F4 (Hz) F5 (Hz) F6 (Hz) F7 (Hz) F8 (Hz) F9 (Hz) F10 (Hz) 5 11.7 11.7 29.7 75.8 257.

1 257.6 276.8 277.2 390.6 390.9 10 19.3 19.3 39.3 78.2 260.₅ 261.₀ 300.₅ 300.₈ 427.₇ 428.₀

15 27.2 27.2 51.3 80.6 264.₆ 265.₁ 324.₆ 324.₉ 461.₆ 461.₈

20 34.8 34.9 64.2 83.2 269.₃ 269.₈ 347.₇ 347.₉ 488.₈ 489.₀

25 42.2 42.2 77.6 85.9 274.₆ 275.₁ 369.₂ 369.₄ 509.₆ 509.₈

Modulo de Young

Esclera (MPa) 3 Modulo de Young

5 11.6 11.6 31.7 84.2 286.₈ 287.₃ 304.₅ 304.₉ 428.₆ 428.₉

(32)

15 25.1 25.1 49.1 88.5 293.₀ 293.₅ 346.₈ 347.₁ 494.₁ 494.₄

20 32.1 32.2 60.2 90.7 296.₉ 297.₄ 368.₃ 368.₅ 522.₈ 523.₁

25 39.0 39.0 71.8 93.0 301.₁ 301.₇ 388.₈ 389.₀ 546.₅ 546.₇

Como se mencionó en la sección anterior las frecuencias naturales correspondientes a los modos 1-2, 5-6, 7-8 y 9-10 son similares, en los resultados de las tablas mostradas esta similitud es apreciable de forma numérica.

Como se observó en la sección 4.1.3 la relación entre la magnitud de frecuencia de oscilación y la presión intraocular tiende a tener un comportamiento lineal creciente, para casi todo el rango de posibilidades que abarca el conjunto de planos mostrados en las gráficas 1 ,2 y 3, esto se profundizara más adelante. El caso de la relación modulo frecuencia es diferente, si se realizan 3 cortes a los planos, y se grafican los modos de vibración 1, 5 y 10 se puede revelar que la variación de las propiedades mecánicas en genera que el comportamiento de la frecuencia natural en relación al módulo de Young no sea tan predecible.

Grafica 4 Frecuencia vs Modulo (modo 1)

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Fr

ec

ue

nc

ia

(Hz)

Modulo (MPa)

Modo de vibracion 1

10 mmHg

5 mmHg

15 mmHg

20 mmHg

(33)

Las gráficas anteriores muestran un comportamiento decreciente en la frecuencia natural alcanzada cada vez que el modulo es mayor en el modo de vibración 1, si el comportamiento fuera generalizado este se replicaría en los demás módulos, los resultados muestran que este no es el caso, para los modos 5 y 10 el aumento en el módulo sugiere un aumento en la frecuentica natural obtenida, y las gráficas de los modos 5 y 10 reportan diferencias significativas en la forma en que los valores distribuyen, en el modo 5 las frecuencias alcanzadas son casi las mismas para un mismo modulo independiente de la presión intraocular, este no es el caso para el modo de vibración 10.

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.00

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Fr

ec

ue

nc

ia

(Hz)

Modulo (MPa)

Modo de vibracion 5

10 mmHg

5 mmHg

15 mmHg

20 mmHg

25 mmHg

0.00 100.00 200.00 300.00 400.00 500.00 600.00

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Fr

ec

ue

nc

ia

(Hz)

Modulo (MPa)

Modo de vibracion 10

10 mmHG

5 mmHg

15 mmHg

20 mmHg

(34)

Fíjese que sin importar el caso el comportamiento homogéneo para cualquier gráfico, es que a mayor presión intraocular mayor es la frecuencia de resonancia alcanzada, lo cual confirma el análisis de la sección anterior.

Los resultados de esta sección demuestran que la relación entre presión intraocular y frecuencia natural presenta un comportamiento cuasi homogéneo para las combinaciones propuestas, por ende es necesario trabajar alrededor de estas dos variables para definir el modelo de interpolación para la predicción de PIO y módulo de Young.

4.1.5 Modelo de interpolación

4.1.5.1 Modelo lineal módulo de córnea-‐esclera

Previo al desarrollo del modelo de interpolación lineal, es necesario aclarar que debido a la composición de materiales presentes en la geometría objetivo se cuenta con 2 variables para el módulo de Young. Con el fin de eliminar la variable adicional se propone el siguiente modelo lineal que interrelaciona al módulo elástico de la córnea como función del módulo elástico de la esclera.

Dado el siguiente grupo de trabajo de módulos con los que se trabajó a lo largo del proyecto:

Tabla 13 Grupo de módulos de Young

Modulo (MPa) Cornea Esclera

0.1 0.6 0.2 1.2 0.3 1.8 0.4 2.4 0.5 3

(35)

Grafica 7 Modelo lineal Cornea-Esclera

De la gráfica anterior es evidente apreciar la relación perfectamente lineal que existe entre las dos variables, haciendo provecho de esto la regresión lineal propone la siguiente ecuación para predecir el modulo corneal a partir del módulo de Young de la esclera.

𝐶 𝐸 =0.1667∗𝐸+2∗10!!"

Con el uso de la ecuación anterior se define cualquier modulo corneal a partir de la variación del módulo de Young de la esclera, de esta forma el modelo de interpolación se simplifica.

4.1.5.2 Modelo de interpolación lineal

El modelo de interpolación lineal aquí mostrado es producto del trabajo de Borda [11], su implementación es la misma, la diferencia radica en que el trabajo de Gustavo Borda [11] abarca únicamente la geometría corneal, mientras que esta reflexión se ve enfocada a la geometría completa del ojo humano.

Con base a lo observado en los resultados de la sección anterior, se optó por trabajar alrededor de las frecuencias propias 1 y 3, debido a que constituyen los primeros modos de vibración, a los cuales se puede llegar más rápidamente y representa un espectro de predicción que cubre los primeros cuatro modos de vibración de la estructura.

Realizando una regresión lineal sobre cada uno de los grupos de frecuencias propias 1 y 3 relacionado con cada módulo se obtienen las siguientes ecuaciones y gráficos:

C = 0.1667E + 2E-‐16 R² = 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Mo

du

lo

C

or

ne

al

(MP

a)

Modulo Esclera (MPa)

Modelo lineal Cornea-‐Esclera

Modelo lineal

(36)

Grafica 8 Regresión lineal PIO vs Frecuencia módulo de esclera: 0.6 MPa

p = 0.5008x -‐ 4.1435 R² = 0.9382

p = 0.642x -‐ 16.945 R² = 0.895

0 5 10 15 20 25 30

0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0

PIO

(m

m

Hg

)

Frecuencia (Hz)

E (esclera) = 0.6 MPa

F1 (Hz)

F3 (Hz)

Lineal (F1 (Hz))

Lineal (F3 (Hz))

p = 0.5196x -‐ 2.5464 R² = 0.9965

p = 0.4214x -‐ 8.0021 R² = 0.8992

0 5 10 15 20 25 30

0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0

PIO

(m

m

Hg

)

Frecuencia (Hz)

E (esclera) = 1.2 MPa

F1 (Hz)

F3 (Hz)

Lineal (F1 (Hz))

(37)

p = 0.5831x -‐ 2.3339 R² = 0.999

p = 0.3785x -‐ 5.7402 R² = 0.9889

0 5 10 15 20 25 30

0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0 90.0

PIO

(m

m

Hg

)

Frecuencia (Hz)

E (esclera) = 1.8 MPa

F1 (Hz)

F3 (Hz)

Lineal (F1 (Hz))

Lineal (F3 (Hz))

p = 0.653x -‐ 2.6537 R² = 0.9999

p = 0.4127x -‐ 6.6324 R² = 0.9961

0 5 10 15 20 25 30

0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0 90.0

PIO

(m

m

Hg

)

Frecuencia (Hz)

E (esclera) = 2.4 MPa

F1 (Hz)

F3 (Hz)

Lineal (F1 (Hz))

(38)

Grafica 12 Regresión lineal PIO vs Frecuencia módulo de esclera: 3 MPa

Con base al grupo de ecuaciones obtenido del producto de la aplicación de la regresión lineal sobre el conjunto de datos es posible establecer un escenario para definir un modelo de interpolación.

Para este propósito se plantea la siguiente simulación sobre el modelo:

Tabla 14 Parámetros simulación de prueba modelo de interpolación

Modulo cornea (MPa) 0.133 Modulo esclera (MPa) 0.8 PIO (mmHg) 20.45

El objetivo del modelo de interpolación es encontrar los valores de PIO y módulo de Young con base a las frecuencias propias, en este caso se trabajara entorno a las frecuencias 1 y 3.

Los resultados de la simulación son los siguientes:

Tabla 15 Resultados simulación de prueba

F1(Hz) 49.25 F3 (Hz) 61.34

Los anteriores son los parámetros de entrada para las ecuaciones presentes en las regresiones lineales del grupo de datos mostrado en las gráficas 4 a 8.

Al evaluar las frecuencias propias se obtienen los siguientes resultados de presión intraocular:

p = 0.726x -‐ 3.2686 R² = 0.9998

p = 0.4908x -‐ 9.7261 R² = 0.9933

0 5 10 15 20 25 30

0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0

PIO

(m

m

Hg

)

Frecuencia (Hz)

E (esclera) = 3 MPa

F1 (Hz)

F3 (Hz)

Lineal (F1 (Hz))

(39)

Tabla 16 Presión intraocular a partir de modelo de interpolación lineal

Modulo p (f1) (mmHg) p (f2 (mmHg) Diferencia Diferencia Abs Promedio 0.6 20.5 22.4 -‐1.92 1.9 21.5 1.2 23.0 17.8 5.19 5.2 20.4 1.8 26.4 17.5 8.90 8.9 21.9 2.4 29.5 18.7 10.82 10.8 24.1 3 32.5 20.4 12.10 12.1 26.4

Tal y como se discute en el trabajo de borda [11], “Es de esperar que si la pareja de frecuencias f1 y f3 sirven para estimar la PIO y el modulo, entonces la diferencia absoluta entre las dos estimaciones será la más baja posible”, dicha diferencia corresponde a 0.

Al graficar la diferencia contra la presión promedio es posible determinar el valor de la presión intraocular calculada por el modelo de interpolación cuando la diferencia absoluta corresponde al cero total.

Grafica 13 Modelo de interpolación para presión

Al definir la diferencia como cero, el valor de la presión intraocular estimada por el modelo es de 20.785 mmHg.

De manera homologa se desarrolla un proceso similar para obtener el modulo a partir de las frecuencias propias de la estructura:

y = 0.298x + 20.785

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0

-‐5.00 Pr 0.00 5.00 10.00 15.00

es

io

n

pr

om

ed

io

(m

m

Hg

)

Diferencia de presion entre p(f1) y p(f3) (mmHg)

Presion interpolada (mmHg)

Modelo de interpolacion para presion

Lineal (Modelo de interpolacion para presion)

(40)

Grafica 14 Modelo de interpolación para modulo

Al definir la diferencia de presiones como cero se obtiene que el modulo interpolado corresponde a 0.6837 MPa.

La precisión del modelo se puede observar en la siguiente tabla:

Tabla 17 Resultados modelo de interpolación lineal

Simulación Interpolado Error Modulo cornea (MPa) 0.133 0.114 14.29% Modulo esclera (MPa) 0.8 0.6837 14.54% PIO (mmHg) 20.45 20.785 1.64%

Si bien el error reportado no supera el 20% para la estimación de los módulos de la córnea y esclera, sigue siendo un error considerable, cada vez que el modelo se encuentra sub estimando los valores obtenidos en un porcentaje cercano al 15%, por otro lado la estimación de la presión intraocular a partir del análisis de frecuencias propias resulto ser casi acertado, por lo que el modelo no muestra una discrepancia considerable al estimar este parámetro.

4.1.5.3 Modelo de interpolación con regresión polinomial

La precisión del modelo de interpolación lineal puede mejorar si se realiza un ajuste de carácter polinomico:

y = 0.159x + 0.6837

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-‐5.00 0.00 5.00 10.00 15.00

Mo

du

lo

d

e

yo

un

g

(MP

a)

Modulo interpolado (mmHg)

Serie1

(41)

Grafica 15 Modelo de interpolación polinomico para presión

A establecer el valor de la diferencia de presión como cero, se obtiene un valor de PIO de 20.379 mmHg.

Grafica 16 Modelo de interpolación polinomico para modulo elástico

Al definir el valor de la diferencia de presión como cero se obtiene que el modulo calculado es de 0.85 MPa, al comparar los valores encontrados con los establecidos en la simulación se encuentran los siguientes porcentajes de error:

Tabla 18 Resultados modelo polinomico y comparación con modelo lineal

Simulaci

ón Modelo Lineal Error polinomico Modelo Error Aumento precision Modulo cornea

(MPa) 0.133 0.114 14.29% 0.14 6.40% 55.20% y = 0.0769x2_{-‐ 0.4629x + 20.379}

R² = 0.97499

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0

-‐5.00 0.00 5.00 10.00 15.00

Pr

es

io

n

pr om ed io (m m Hg )

Diferencia (mmHg)

Presion interpolada (mmHg)

Modelo de interpolacion para presion

y = 0.0017x3_{-‐ 0.0144x}2_{+ 0.0957x + 0.8489} R² = 0.99994

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-‐5.00 0.00 5.00 10.00 15.00

Mo

du

lo

d

e

yo

un

g

(m

m

Hg

)

Modulo interpolado (mmHg)

Modelo de interpolacion para modulo de young

Polinómica (Modelo de interpolacion para modulo de young)

(42)

Imagen 37 Topología de vibración para F5=478.9 (Hz)

Imagen 38 Topología de vibración para F6= 518.9 (Hz) y F7=523.3 (Hz)

Imagen 39 Topología de

vibración para

F10=561.9 (Hz)

Modulo esclera

(MPa) 0.8 0.6837 14.54% 0.85 6.11% 57.95% PIO (mmHg) 20.45 20.785 1.64_% 20.38 0.35_% 78.81%

Los resultados expuestos muestran que claramente el ajuste polinomico aumenta la precisión del modelo.

4.2 Modelo IN VIVO

4.2.1 Topología de los modos de vibración

De manera análoga al ejercicio desarrollado para el modelo in vitro, se muestran las formas que adoptan los modos de vibración en configuración in vivo, (los resultados mostrados a continuación tienen en cuenta un módulo elástico para cornea de 0.5 MPa y 3 MPa para esclera, PIO de 5 mmHg).

Como se expuso en la sección 4.1.1, las variaciones entre frecuencias similares rota el eje de simetría, para el entorno computacional in vivo estas tienen el mismo efecto.

4.2.2 Graficas de superficie

A continuación se presentan las gráficas de superficie para los resultados obtenidos sobre el modelo in vivo:

(43)

Grafica 17 Grafica de superficie para modelo in vivo 1

(44)

Grafica 19 Grafica de superficie para modelo in vivo 3

En contraste para lo observado en el modelo in vitro, la relación de PIO y frecuencia, así como la relación de modulo y frecuencia, muestran, adrede, comportamientos lineales crecientes.

Es posible observar los diferentes modos de vibración y como no existe una diferencia menor entre el primer modo al décimo modo, esto debido a que el soporte definido para el modelo inVivo promueve el alcance de frecuencias más altas desde los primeros modos de vibración.

4.2.3 Frecuencias propias

A continuación se presentan los resultados numéricos obtenidos del análisis de frecuencias propias.

Modulo de Young

5 173.₅ 173.₅ 181.₀ 181.₀ 230.₈ 245.₉ 247.₉ 248.₀ 248.₃ 263.₁

10 180.₅ 180.₅ 203.₀ 203.₀ 239.₈ 252.₁ 254.₅ 272.₄ 272.₅ 301.₅

15 185.₆ 185.₇ 221.₃ 221.₃ 246.₄ 257.₈ 260.₂ 293.₇ 293.₈ 332.₂

Analisis modal de la estructura ocular humana mediante el metodo de elementos finitos

Contenido

Lista de tablas

Lista de graficas

Lista de imágenes

Introducción

1.

Objetivos

2.

Marco Teórico

3.

Modelo computacional

4.

Resultados

Modo de vibracion 1

Modo de vibracion 5

Modo de vibracion 10

Modelo lineal Cornea-­‐Esclera

E (esclera) = 0.6 MPa

E (esclera) = 1.2 MPa

E (esclera) = 1.8 MPa

E (esclera) = 2.4 MPa

E (esclera) = 3 MPa

Presion interpolada (mmHg)

Modulo interpolado (mmHg)

Presion interpolada (mmHg)

Modulo interpolado (mmHg)

4.2

Modelo IN VIVO

Modelo lineal Cornea-‐Esclera