Sesión 10 (2018-1)

(1)

Se˜

nales y Sistemas 1

Sesi´

on 10

Jan Bacca R. Ana Mar´ıa Reyes.

(2)

Agenda

1 _{La transformada de Laplace}

2 La transformada z

3 Propiedades de la ROC

4 La transformada inversa de Laplace

(3)

(4)

La transformada de Laplace

La transformada de Laplace se define como

X(s)₄

Z +∞

−∞

x(t)e−stdt

Denotaremos la relaci´on de transformaci´on entrex(t) y X(s) como

(5)

La transformada de Laplace

La transformada de Laplace se define como

X(s)₄

Z +∞

−∞

x(t)e−stdt

Denotaremos la relaci´on de transformaci´on entrex(t) y X(s) como

(6)

La transformada de Laplace

Cuandos =jω,

X(jω) =

Z +∞

−∞

x(t)e−jωtdt

que corresponde a la transformada de Fourier dex(t); esto es,

X(s)_|s=jω=F{x(t)}

La transformada de Laplace tambi´en conlleva una relaci´on directa con

la transformada de Fourier cuando la variable complejas no es

puramente imaginaria. Consideremos s =σ+jω, de manera que

X(σ+jω) = Z +∞

−∞

x(t)e−(σ+jω)tdt

expresada de otra forma,

X(σ+jω) =

Z +∞

−∞

x(t)e−σt

(7)

La transformada de Laplace

Cuandos =jω,

X(jω) =

Z +∞

−∞

x(t)e−jωtdt

X(s)_|s=jω=F{x(t)}

X(σ+jω) = Z +∞

−∞

x(t)e−(σ+jω)tdt

X(σ+jω) =

Z +∞

−∞

x(t)e−σt

(8)

La transformada de Laplace

Cuandos =jω,

X(jω) =

Z +∞

−∞

x(t)e−jωtdt

X(s)_|s=jω=F{x(t)}

X(σ+jω) = Z +∞

−∞

x(t)e−(σ+jω)tdt

X(σ+jω) =

Z +∞

−∞

x(t)e−σt

(9)

La transformada de Laplace

Cuandos =jω,

X(jω) =

Z +∞

−∞

x(t)e−jωtdt

X(s)_|s=jω=F{x(t)}

X(σ+jω) = Z +∞

−∞

x(t)e−(σ+jω)tdt

X(σ+jω) =

Z +∞

(10)

Ejemplo 1

Considere la se˜nal x(t) =e−atu(t). Sabemos que la transformada de FourierX(jω) converge paraa>0 y est´a dada por

X(jω) =

Z +∞

−∞

e−atu(t)e−jωtdt =

Z ∞

0

e−ate−jωtdt = 1

jω+a a>0

La transformada de Laplace es

X(s) =

Z ∞

−∞

e−atu(t)e−stdt =

Z ∞

0

e−(s+a)tdt

o, con s =σ+jω,

X(σ+jω) =

Z ∞

0

(11)

Ejemplo 1

X(jω) =

Z +∞

−∞

Z ∞

0

jω+a a>0

X(s) =

Z ∞

−∞

Z ∞

0

e−(s+a)tdt

o, con s =σ+jω,

X(σ+jω) =

Z ∞

0

(12)

Ejemplo 1

X(jω) =

Z +∞

−∞

Z ∞

0

jω+a a>0

X(s) =

Z ∞

−∞

Z ∞

0

e−(s+a)tdt

o, con s =σ+jω,

X(σ+jω) =

Z ∞

0

(13)

Ejemplo 1

por lo tanto

X(σ+jω) = 1

(σ+a) +jω σ+a>0

o, de manera equivalente puesto ques =σ+jω yσ=_Re_{s_},

X(s) = 1

s+a,Re{s}>−a

Esto es,

e−atu(t)_↔L 1

s+a, Re{s}>−a

(14)

Ejemplo 1

por lo tanto

X(σ+jω) = 1

(σ+a) +jω σ+a>0

X(s) = 1

s+a,Re{s}>−a

Esto es,

e−atu(t)_↔L 1

s+a, Re{s}>−a

(15)

Ejemplo 1

por lo tanto

X(σ+jω) = 1

(σ+a) +jω σ+a>0

X(s) = 1

s+a,Re{s}>−a

Esto es,

e−atu(t)_↔L 1

s+a, Re{s}>−a

(16)

Ejemplo 2

Cosideremos como un segundo ejemplo la se˜nal

x(t) =₋e−atu(₋t)

Entonces

X(s) =₋

Z ∞

∞

e−ate−stu(₋t)dt

=₋

Z 0

−∞

e−(s+a)tdt

o

X(s) = 1

s +a

Para convergencia en este ejemplo, necesitamos que Re{s+a}<0, o _Re_{s_}<₋a; esto es,

−e−atu(−t)↔L 1

(17)

Ejemplo 2

x(t) =₋e−atu(₋t) Entonces

X(s) =₋

Z ∞

∞

=₋

Z 0

−∞

e−(s+a)tdt

o

X(s) = 1

s +a

(18)

Ejemplo 2

X(s) =₋

Z ∞

∞

=₋

Z 0

−∞

e−(s+a)tdt

o

X(s) = 1

s+a

(19)

Ejemplo 2

X(s) =₋

Z ∞

∞

=₋

Z 0

−∞

e−(s+a)tdt

o

X(s) = 1

s+a

Para convergencia en este ejemplo, necesitamos que _Re_{s+a_}<0, o _Re_{s_}<₋a; esto es,

(20)

Ejemplo

Regi´on de convergencia

−a

Im

Re −a

Im

Re

Ejemplo 1

at _↔L 1 _R _{ _} ₋

Ejemplo 2

(21)

Ejercicio

x(t) =e−tu(t)−e−2tu(t)

−3 −2 −1 0 1 2 3

0 0.1 0.2 0.3

¿Cu´al de las siguientes es la transformada de Laplace de x(t)?

1 X(s) = 1

(s + 1)(s+ 2);Re >−1

2 _X₍_s_{) =} 1

(s + 1)(s+ 2);Re >−2

3 X(s) = s

(s + 1)(s+ 2);Re >−1

4 _X₍_s_{) =} s

(s + 1)(s+ 2);Re >−2

(22)

Ejercicio

X(s) =

Z ∞

0

(e−t₋e−2t)e−stdt

Z ∞

0

e−te−stdt−

Z ∞

0

e−2te−stdt

1

s+ 1− 1

s+ 2 =

(s+ 2)₋(s+ 1)

(s+ 2)(s+ 1) =

1 (s+ 2)(s+ 1)

Esta ecuaci´on converge siRe(s+ 1)>0 y Re(s+ 2)>0

1

(s+ 2)(s+ 1); Re(s)>−1 −1

Im

Re

(23)

Ejercicio

X(s) =

Z ∞

0

Z ∞

0

e−te−stdt−

Z ∞

0

e−2te−stdt

1

s+ 1− 1

s+ 2 =

(s+ 2)₋(s+ 1)

(s+ 2)(s+ 1) =

1 (s+ 2)(s+ 1)

1

(s+ 2)(s+ 1); Re(s)>−1 −1

Im

Re

(24)

Ejercicio

X(s) =

Z ∞

0

Z ∞

0

e−te−stdt−

Z ∞

0

e−2te−stdt

1

s+ 1− 1

s+ 2 =

(s + 2)₋(s+ 1)

(s + 2)(s+ 1) =

1 (s+ 2)(s+ 1)

1

(s+ 2)(s+ 1); Re(s)>−1 −1

Im

Re

(25)

Ejercicio

X(s) =

Z ∞

0

Z ∞

0

e−te−stdt−

Z ∞

0

e−2te−stdt

1

s+ 1− 1

s+ 2 =

(s + 2)₋(s+ 1)

(s + 2)(s+ 1) =

1 (s+ 2)(s+ 1)

Esta ecuaci´on converge si_Re(s+ 1)>0 y _Re(s+ 2)>0

1

(s+ 2)(s+ 1); Re(s)>−1 −1

Im

Re

(26)

Ejercicio

X(s) =

Z ∞

0

Z ∞

0

e−te−stdt−

Z ∞

0

e−2te−stdt

1

s+ 1− 1

s+ 2 =

(s + 2)₋(s+ 1)

(s + 2)(s+ 1) =

1 (s+ 2)(s+ 1)

Esta ecuaci´on converge si_Re(s+ 1)>0 y _Re(s+ 2)>0

1

(s+ 2)(s+ 1); Re(s)>−1 −1

Im

Re

(27)

Ejercicio

x(t) =e−tu(t)−e−2tu(t)

−3 −2 −1 0 1 2 3

0 0.1 0.2 0.3

¿Cu´al de las siguientes es la transformada de Laplace de x(t)? 1

1 X(s) = 1

(s + 1)(s+ 2) ;Re >−1

2 _X₍_s_{) =} 1

(s + 1)(s+ 2);Re >−2

3 X(s) = s

(s + 1)(s+ 2);Re >−1

4 _X₍_s_{) =} s

(s + 1)(s+ 2);Re >−2

(28)

(29)

La transformada z

La transformadaz de una se˜nal discreta general x[n] se define como

X(z)₄ +∞ X

n=−∞

x[n]z−n

La relaci´on entrex[n] y su transformadaz se indica como

(30)

La transformada z

La transformadaz de una se˜nal discreta general x[n] se define como

X(z)₄ +∞ X

n=−∞

x[n]z−n

La relaci´on entrex[n] y su transformadaz se indica como

(31)

Relaciones entre la transformada

z

y la transformada de

Fourier de tiempo discreto

Expresemos la variable complejaz en forma polar como

z =rejω

En t´erminos der yω, la transformadaz pasa a ser

X(rejω) =

+∞ X

n=−∞

x[n](rejω)−n

o, de manera equivalente,

X(rejω) =

+∞ X

n=−∞

(32)

Relaciones entre la transformada

z

y la transformada de

Fourier de tiempo discreto

z =rejω

X(rejω) =

+∞ X

n=−∞

x[n](rejω)−n

X(rejω) =

+∞ X

n=−∞

(33)

Relaciones entre la transformada

z

y la transformada de

Fourier de tiempo discreto

z =rejω

X(rejω) =

+∞ X

n=−∞

x[n](rejω)−n

X(rejω) =

+∞ X

n=−∞

(34)

Relaciones entre la transformada

z

y la transformada de

Fourier de tiempo discreto

Vemos que es la transformada de Fourier de la secuenciax[n]

multiplicada por una exponencial real r−n; esto es,

X(rejω) =_F{x[n]r−n_}

donder es mayor o menor que la unidad. Podemos observar que, para

r = 1 o, de forma equivalente,_|z_|= 1, la transformada z se reduce a la transformada de Fourier; es decir

(35)

Relaciones entre la transformada

z

y la transformada de

Fourier de tiempo discreto

Vemos que es la transformada de Fourier de la secuenciax[n]

multiplicada por una exponencial real r−n; esto es,

donder es mayor o menor que la unidad. Podemos observar que, para

r = 1 o, de forma equivalente,_|z_|= 1, la transformada z se reduce a la transformada de Fourier; es decir

(36)

El plano

z

complejo

I

m

R

e

ω

1

(37)

Ejemplo

Considere la se˜nal x[n] =an_u_[_n_{]. Aplicando la transformada} _z

X(z) =

+∞ X

n=−∞

anu[n]z−n=

∞ X

n=0

(az−1)n

Para la convergencia de X(z) requerimos que P∞

n=0|az

−1_|n_<_∞_{. En}

consecuencia la regi´on de convergencia es el rango de valoresz para

el cual |az−1|<1 o de manera equivalente,|z|>|a|. Entonces,

X(z) =

∞ X

n=0

(az−1)n= 1

1₋az−1 =

z

z₋a, |z|>|a|

Por ejemplo, paraa= 1,

X(z) = 1

(38)

Ejemplo

X(z) =

+∞ X

n=−∞

anu[n]z−n=

∞ X

n=0

(az−1)n

Para la convergencia de X(z) requerimos queP∞

n=0|az−1|n<∞. En

X(z) =

∞ X

n=0

(az−1)n= 1

1₋az−1 =

z

z₋a, |z|>|a|

X(z) = 1

(39)

Ejemplo

X(z) =

+∞ X

n=−∞

anu[n]z−n=

∞ X

n=0

(az−1)n

Para la convergencia de X(z) requerimos queP∞

n=0|az−1|n<∞. En

X(z) =

∞ X

n=0

(az−1)n= 1

1₋az−1 =

z

z₋a, |z|>|a|

X(z) = 1

(40)

Ejemplo

Para _|a_|>1, la ROC no incluye el c´ırculo unitario.

I

m

(41)

Ejercicio

x[n] = 7

1 3

n

u[n]₋6

1 2

n

u[n]

−10 −5 0 5 10

−1 −0.5 0 0.5 1

¿Cu´al de las siguientes es la transformada z dex[n]?

1 X(z) = 7 1−1 3z

−1

− 6

1−1 2z

−1

;|z|>1

2

2 X(z) = 7 1−1 3z

−1

− 6

1−1 2z

−1

;|z|<1

3

3 X(z) = 7 1−1 3z

−1

− 6

1−1 2z

−1

;|z|>1

3

4 _X₍_z_{) =} 7 1−1 3z

−1

− 6

1−1 2z

−1

;|z|<1

(42)

Ejercicio

x[n] = 7

1 3

n

u[n]₋6

1 2

n

u[n]

X(z) =

+∞ X

n=−∞ 7 1 3 n

u[n]₋6

1 2

n

u[n]

z−n

= 7 ∞ X n=0 1 3z −1 n −6 ∞ X n=0 1 2z −1 n = 7

1₋1

3z

−1 −

6

1₋1

2z

−1

=

z(z− 3

2)

(z ₋1

(43)

Ejercicio

x[n] = 7

1 3

n

u[n]₋6

1 2

n

u[n]

X(z) =

+∞ X

n=−∞ 7 1 3 n

u[n]₋6

1 2

n

u[n]

z−n

= 7 ∞ X n=0 1 3z −1 n −6 ∞ X n=0 1 2z −1 n = 7

1₋1

3z

−1 −

6

1₋1

2z

−1

=

z(z− 3

2)

(z ₋1

(44)

Ejercicio

x[n] = 7

1 3

n

u[n]₋6

1 2

n

u[n]

X(z) =

+∞ X

n=−∞ 7 1 3 n

u[n]₋6

1 2

n

u[n]

z−n

= 7 ∞ X n=0 1 3z −1 n −6 ∞ X n=0 1 2z −1 n = 7

1₋1

3z

−1

− 6

1₋1

2z

−1

=

z(z− 3

2)

(z ₋1

(45)

Ejercicio

x[n] = 7

1 3

n

u[n]₋6

1 2

n

u[n]

X(z) =

+∞ X

n=−∞ 7 1 3 n

u[n]₋6

1 2

n

u[n]

z−n

= 7 ∞ X n=0 1 3z −1 n −6 ∞ X n=0 1 2z −1 n = 7

1₋1

3z

−1

− 6

1₋1

2z

−1

=

z(z− 3

2)

(z ₋1

(46)

Ejercicio

1 3

n

u[n]_↔Z 1

1₋1

3z

−1

, _|z_|> 1

3

1 2

n

u[n]_↔Z 1

1₋1

2z

−1

, _|z_|> 1

2

y en consecuencia,

X(z) = 7

1−1

3z

−1

− 6

1−1

2z

−1

|z|> 1

(47)

Ejercicio

1 3

n

u[n]_↔Z 1

1₋1

3z

−1

, _|z_|> 1

3

1 2

n

u[n]_↔Z 1

1₋1

2z

−1

, _|z_|> 1

2

y en consecuencia,

X(z) = 7

1−1

3z

−1

− 6

1−1

2z

−1

|z|> 1

(48)

Ejercicio

X(z) = 7 1−1 3z

−1

− 6

1−1 2z

−1

|z|> 1

2

Im

Re

1 2

Im

Re

1 3

Im

Re

(49)

Ejercicio

x[n] = 7

1 3

n

u[n]₋6

1 2

n

u[n]

−10 −5 0 5 10

−1 −0.5 0 0.5 1

¿Cu´al de las siguientes es la transformada z dex[n]? 1

1 X(z) = 7 1−1 3z

−1

− 6

1−1 2z

−1 ;|z|>1

2

2 X(z) = 7 1−1 3z

−1

− 6

1−1 2z

−1

;|z|<1

3

3 X(z) = 7 1−1 3z

−1

− 6

1−1 2z

−1

;|z|>1

3

4 _X₍_z_{) =} 7 1−1 3z

−1

− 6

1−1 2z

−1

;|z|<1

(50)

(51)

Propiedades de la ROC

Laplace

1 Si x(t) abre hacia la derecha y la l´ınea Re{s} =σ₀ est´a en la ROC,

entonces todos los valores des para los que Re_{s_}> σ0 tambi´en

estar´an en la ROC .

2 Una se˜nal que abre hacia la derecha es aquella que es cero∀t<T

conT fijo.

Z

1 Si x[n] abre hacia la derecha y el c´ırculo |z|=r₀ est´a en la ROC,

entonces todos los valores finitos dez para los que|z|>r0 tambi´en

2 _{Una se˜}_{nal que abre hacia la derecha es aquella que es cero}∀_n<_N

(52)

Propiedades de la ROC

Laplace

2 _{Una se˜}_{nal que abre hacia la derecha es aquella que es cero}∀_t<_T

conT fijo.

Z

(53)

Propiedades de la ROC

Laplace

conT fijo.

Z

(54)

Propiedades de la ROC

Laplace

conT fijo.

Z

(55)

Propiedades de la ROC

Laplace

1 Si x(t) se abre hacia la izquierda y la l´ınea Re{s}=σ₀ est´a en la

ROC, entonces todos los valores des para los que Re{s}< σ0

tambi´en estar´an en la ROC .

2 _{Las ROC de este tipo se llaman semiplanos izquierdos.}

Z

1 Si x[n] se abre hacia la izquierda y el c´ırculo |z|=r₀ est´a en la ROC,

entonces todos los valores dez para los que|z|<r0 tambi´en estar´an

en la ROC .

2 _{Las ROC de este tipo ser´}_{an el interior de c´ırculos centrados en el}

(56)

Propiedades de la ROC

Laplace

Z

en la ROC .

(57)

Propiedades de la ROC

Laplace

Z

en la ROC .

(58)

Propiedades de la ROC

Laplace

Z

en la ROC .

(59)

Propiedades de la ROC

Laplace

1 Six(t) est´a definida para todo el eje real y la l´ınea Re{s}=σ₀ est´a en

la ROC, entonces la ROC ser´a un segmento vertical del plano que

contiene a la l´ınea Re_{s_}=σ0.

1 Para analizar una se˜nal de este tipo se puede tomar un valor arbitrario T y a partir de ah´ı dividir la se˜nal en dos, una que abre hacia la izquierdaxI(t) y otra que abre hacia la derechaxD(t).

2 Para que la transformada dex(t) converja para un valor des se

requiere que las transformadas dexI(t) yxD(t) converjan para ese valor des.

3 Por las propiedades anteriores, la ROC dex_I(t) es un semiplano

izquierdo y la dexD(t) es un semiplano derecho.

4 La ROC parax(t) será la intersección de estos dos semiplanos. 5 Si la intersección es vac´ıa, la ROC será vac´ıa y la transformada de

Laplace no existir´a.

(60)

Propiedades de la ROC

Laplace

(61)

Propiedades de la ROC

Laplace

(62)

Propiedades de la ROC

Laplace

(63)

Propiedades de la ROC

Laplace

4 La ROC parax(t) ser´a la intersecci´on de estos dos semiplanos.

5 Si la intersecci´on es vac´ıa, la ROC ser´a vac´ıa y la transformada de

(64)

Propiedades de la ROC

Laplace

(65)

Propiedades de la ROC

Laplace

(66)

Propiedades de la ROC

Z

1 Si x[n] est´a definida para todo el eje entero y el c´ırculo|z|=r₀

(67)

Propiedades de la ROC

Para transformadas de Laplace racionales:

1 Su ROC estar´a limitada por sus polos o se extender´a hasta infinito y

no contiene polos.

2 Si la señal abre hacia la derecha, la ROC será la región del plano a la

derecha del polo que est´e m´as a la derecha.

3 _{Si la se˜}_{nal abre hacia la izquierda, la ROC ser´}_{a la regi´}_{on del plano a la}

(68)

Propiedades de la ROC

no contiene polos.

(69)

Propiedades de la ROC

no contiene polos.

(70)

Propiedades de la ROC

Para transformadas Z racionales:

1 Su ROC estar´a limitada por sus polos o se extender´a hasta infinito.

2 Si la señal abre hacia la derecha, la ROC será la región del plano al

exterior del polo m´as alejado del origen. Si el sistema es causal, la ROC incluye a infinito.

3 Si la señal abre hacia la izquierda, la ROC será la región del plano al

(71)

Propiedades de la ROC

(72)

Propiedades de la ROC

(73)

(74)

(75)

La transformada inversa de Laplace

Cuandos se expresa como s =σ+jω, la transformada de Laplace de

una se˜nal x(t) est´a dada por

X(σ+jω) =F{x(t)e−σt}=

Z +∞

−∞

x(t)e−σte−jωtdω

Podemos invertir esta relaci´on usando la transformada inversa de

Fourier,

x(t)e−σt =_F−1_{X(σ+jω)_}= 1 2π

Z +∞

−∞

X(σ+jω)ejωtdω

Multiplicando ambos lados poreσt, obtenemos

x(t) = 1 2π

Z +∞

−∞

(76)

La transformada inversa de Laplace

Z +∞

−∞

Fourier,

x(t)e−σt=_F−1_{X(σ+jω)_}= 1 2π

Z +∞

−∞

X(σ+jω)ejωtdω

x(t) = 1 2π

Z +∞

−∞

(77)

La transformada inversa de Laplace

Z +∞

−∞

Fourier,

x(t)e−σt=_F−1_{X(σ+jω)_}= 1 2π

Z +∞

−∞

X(σ+jω)ejωtdω

x(t) = 1 2π

Z +∞

−∞

(78)

La transformada inversa de Laplace

Fourier,

x(t)e−σt=F−1_{_X₍_σ₊_j_ω₎_}₌ 1

2π

Z +∞

−∞

X(σ+jω)ejωtdω

x(t) = 1 2π

Z +∞

−∞

X(σ+jω)e(σ+jω)tdω

El resultado es la ecuaci´on b´asica de la transformada inversa de Laplace:

x(t) = 1 2πj

Z σ+jω

σ−jω

(79)

Ejemplo

−1

Im

Re −2

Sea

X(s) = 1

(s+ 1)(s+ 2), Re{s}<−2

primero realizamos la transformaci´on en fracciones parciales

X(s) = 1

(s+ 1)(s+ 2) =

A s+ 1+

B s+ 2 La expansi´on en fracciones parciales deX(s) es

X(s) = 1

s+ 1− 1

(80)

Ejemplo

−1

Im

Re −2

Sea

X(s) = 1

(s+ 1)(s+ 2), Re{s}<−2 primero realizamos la transformaci´on en fracciones parciales

X(s) = 1

(s+ 1)(s+ 2) =

A s+ 1+

B s+ 2

La expansi´on en fracciones parciales deX(s) es

X(s) = 1

s+ 1− 1

(81)

Ejemplo

−1

Im

Re −2

Sea

X(s) = 1

(s+ 1)(s+ 2), Re{s}<−2 primero realizamos la transformaci´on en fracciones parciales

X(s) = 1

(s+ 1)(s+ 2) =

A s+ 1+

B s+ 2 La expansi´on en fracciones parciales deX(s) es

X(s) = 1

s+ 1− 1

(82)

Ejemplo

−1

Im

Re −2

Esto corresponde as =₋1 que es_Re_{s_}<₋1 y as =₋2 que es

Re_{s_}<₋2

Entonces,

−e−tu(₋t)_↔L 1

s+ 1, Re{s}<−1

−e−2tu(₋t)_↔L 1

(83)

Ejemplo

−1

Im

Re −2

Esto corresponde as =₋1 que es_Re_{s_}<₋1 y as =₋2 que es

Re_{s_}<₋2 Entonces,

−e−tu(₋t)_↔L 1

s+ 1, Re{s}<−1

−e−2tu(₋t)_↔L 1

(84)

Ejemplo

Entonces,

−e−tu(₋t)_↔L 1

s+ 1, Re{s}<−1

−e−2tu(−t)↔L 1

s + 2, Re{s}<−2

con la expresi´on obtenida,

X(s) = 1

s+ 1− 1

s+ 2 de modo que

x(t) =

−e−t+e−2t

u(t)_↔L 1

(85)

Ejemplo

Entonces,

−e−tu(₋t)_↔L 1

s+ 1, Re{s}<−1

−e−2tu(−t)↔L 1

s + 2, Re{s}<−2 con la expresi´on obtenida,

X(s) = 1

s+ 1− 1

s+ 2

de modo que

x(t) =

−e−t+e−2t

u(t)_↔L 1

(86)

Ejemplo

Entonces,

−e−tu(₋t)_↔L 1

s+ 1, Re{s}<−1

−e−2tu(−t)↔L 1

s + 2, Re{s}<−2 con la expresi´on obtenida,

X(s) = 1

s+ 1− 1

s+ 2 de modo que

x(t) =

−e−t+e−2t

u(t)_↔L 1

(87)

(88)

(89)

La transformada

z

inversa

Inicialmente consideramos la transformadaz como la transformada de

Fourier de una secuencia exponencialmente ponderada,

para cualquier valor de r tal quez =rejω est´e dentro de la ROC. Aplicando la transformada inversa de Fourier a ambos lados,

x[n]r−n=_F−1_{X(rejω)_} o

x[n] =rn_F−1

X(rejω)

Usando la expresi´on de la transformada inversa de Fourier

x[n] =rn 1

2π

Z

2π

(90)

La transformada

z

inversa

x[n]r−n=_F−1_{X(rejω)_}

o

x[n] =rn_F−1

X(rejω)

x[n] =rn 1

2π

Z

2π

(91)

La transformada

z

inversa

x[n] =rn_F−1

X(rejω)

x[n] =rn 1

2π

Z

2π

(92)

La transformada

z

inversa

x[n] =rn_F−1

X(rejω)

x[n] =rn 1

2π

Z

2π

(93)

La transformada

z

inversa

x[n] =rn 1

2π

Z

2π

X(rejω)ejωndω

Moviendo el factor exponencial dentro de la integral y combin´andolo

con el t´ermino ejωn, tenemos

x[n] = 1 2π

Z

2π

X(rejω)(rejω)ndω

Podemos recuperarx[n] a partir de su transformadaz evaluada a lo

largo de un contorno z =rejω _{en la ROC, con} _r _{fija y una}_ω _variante

sobre un intervalo de 2π.

x[n] = 1 2πj

I

(94)

La transformada

z

inversa

x[n] =rn 1

2π

Z

2π

X(rejω)ejωndω

Moviendo el factor exponencial dentro de la integral y combin´andolo

con el t´ermino ejωn, tenemos

x[n] = 1 2π

Z

2π

X(rejω)(rejω)ndω

Podemos recuperarx[n] a partir de su transformadaz evaluada a lo

largo de un contorno z =rejω _{en la ROC, con} _r _{fija y una}_ω _variante

sobre un intervalo de 2π.

x[n] = 1 2πj

I

(95)

Ejemplo

Considere la transformada z

X(z) =

3−5

6z

−1

1−1

4z−1

1− 1

3z−1

, |z|>

1 3

Por expansi´on en fracciones parciales

X(z) = 1

1−1

4z

−1

+ 2

1−1

3z

−1

De este modo,

x[n] =x1[n] +x2[n]

donde

x1[n] Z

↔ 1

1₋1

4z

−1

, |z_|> 1

4

x2[n] Z

↔ 2

1₋1

3z

−1

, _|z_|> 1

(96)

Ejemplo

X(z) =

3−5

6z

−1

1−1

4z−1

1− 1

3z−1

, |z|>

1 3

X(z) = 1

1−1

4z

−1

+ 2

1−1

3z

−1

De este modo,

x[n] =x1[n] +x2[n]

donde

x1[n] Z

↔ 1

1₋1

4z

−1

, |z_|> 1

4

x2[n] Z

↔ 2

1₋1

3z

−1

, _|z_|> 1

(97)

Ejemplo

X(z) =

3−5

6z

−1

1−1

4z−1

1− 1

3z−1

, |z|>

1 3

X(z) = 1

1−1

4z

−1

+ 2

1−1

3z

−1

De este modo,

x[n] =x1[n] +x2[n]

donde

x1[n] Z

↔ 1

1₋1

4z

−1

, |z_|> 1

4

x2[n] Z

↔ 2

1₋1

3z

−1

, _|z_|> 1

(98)

Ejemplo

X(z) =

3−5

6z

−1

1−1

4z−1

1− 1

3z−1

, |z|>

1 3

X(z) = 1

1−1

4z

−1

+ 2

1−1

3z

−1

De este modo,

x[n] =x1[n] +x2[n]

donde

x1[n] Z

↔ 1

1₋1

4z

−1

, |z_|> 1

4

x2[n] Z

(99)

Ejemplo

donde

x1[n] Z

↔ 1

1₋1

4z

−1

, _|z_|> 1

4

x2[n] Z

↔ 2

1₋1

3z

−1

, |z_|> 1

3

Podemos identificar por inspecci´on que

x1[n] =

1 4

n

u[n]

y

x2[n] = 2

1 3

n

(100)

Ejemplo

donde

x1[n] Z

↔ 1

1₋1

4z

−1

, _|z_|> 1

4

x2[n] Z

↔ 2

1₋1

3z

−1

, |z_|> 1

3

x1[n] =

1 4

n

u[n]

y

x2[n] = 2

1 3

n

(101)

Ejemplo

donde

x1[n] Z

↔ 1

1₋1

4z

−1

, _|z_|> 1

4

x2[n] Z

↔ 2

1₋1

3z

−1

, |z_|> 1

3

x1[n] =

1 4

n

u[n]

y

x2[n] = 2

1 3

n

(102)

Ejemplo

donde

x1[n] Z

↔ 1

1₋1

4z

−1

, _|z_|> 1

4

x2[n] Z

↔ 2

1₋1

3z

−1

, |z_|> 1

3

x1[n] =

1 4

n

u[n]

y

x2[n] = 2

1 3

n

(103)

Ejemplo

y as´ı

x[n] =

1 4

u[n] + 2

1 3

(104)

Resumen de sesi´

on

1 _{La transformada de Laplace}

2 La transformada z

3 Propiedades de la ROC

4 La transformada inversa de Laplace

(105)

Siguiente sesi´

on

Propiedades de la transformada de Laplace

Propiedades de la transformada z

An´alisis y caraterizaci´on de LTIs usando la transformada de Laplace

An´alisis y caraterizaci´on de LTIs usando la transformada z Transformada unilateral de Laplace