L´
ogica matem´
atica, UNAL-Med 2017-1
Lecci´
on 3: Lenguajes de primer orden
11
S´ımbolos, t´
erminos y f´
ormulas
1.1
Los s´ımbolos de un lenguaje de primer orden
Vamos a definir un lenguaje que permite expresar formalmente gran parte del lenguaje habitual de las matem´aticas. De esta manera proposiciones como:
“3 es menor que 5.” “7 es un n´umero primo.”
“No hay tres n´umeros enteros positivosx, y, z tales quex3+y3=z3.” “Por cada pareja distinta de puntos del plano pasa una ´unica recta.”
puedan expresarse mediante f´ormulas del lenguaje. Vamos a comenzar hablando de algunas nociones matem´aticas muy generales que ser´an candidatas a ser interpretadas dentro del lenguaje.
Definici´on 1 Sea X un conjunto. Una relaci´on n-aria en X es un subconjunto de la potencia cartesianaXn.
Ejemplos:
1. SeaP ⊂Nel conjunto de los n´umeros primos. EntoncesP es una relaci´on 1-aria enN. Una
relaci´on 1-aria se denomina tambi´en unapropiedad. 2. SeaR<⊂N×Nel subconjunto definido,
R<={(m, n)∈N2: n < m},
entoncesR< es una relaci´onbinariaenN.
3. SeaR+⊂N3 el conjunto definido:
R+={(m, n, p)∈N3: p=m+n},
entoncesR+ es una relaci´onternariaenN.
Adelantando un poquito la construcci´on del lenguaje formal, diremos que para expresar que una n-tupla (a1, . . . , an) est´a en la relaci´onn-ariaR, escribiremosR(a1, . . . , an). Un caso especial el de
las relaciones binarias, para las cuales generalmente es habitual utilizar un s´ımbolo un s´ımbolo que se usa en lenguaje informal como conectivo. Es decir, no escribimos “R<(3,5)” sino “3<5”.
Definici´on 2 SeaX un conjunto. Una funci´on u operaci´onn-ariaF enX es una una funci´on
F:Xn→X.
Una funci´onn-ariaF est´a mutuamente determinada con una relaci´on (n+ 1)-aria asociada, la
gr´aficadeF:
RF ={(a1, . . . , an, b)∈Xn+1: b=F(a1, . . . , an)}.
Los autores partidarios del lenguaje de la teor´ıa de conjuntos toman de hecho la gr´afica como la definici´on de la funci´on. Significa lo mismo escribirF(a1, . . . , an) =b queRF(a1, . . . , an, b).
Tambi´en es costumbre denotar las operaciones binarias mediante conectivos. Por ejemplo, con-sideremos la suma enN,
F+: N2→N, (n, m)7→m+n,
es habitual escribir “m+n” y no “F+(m, n)”. N´otese tambi´en que la gr´afica deF+ es la relaci´on ternariaR+, de manera que:
“m+n=r” “F+(m, n) =r” “R+(m, n, r)”
son tres maneras informales de expresar lo mismo. En el lenguaje formal, necesitaremos s´olamente una f´ormula, no tres. Tambi´en, a parte de los s´ımbolos l´ogicos que ya conocemos, vamos a introducir dos s´ımbolos nuevos, los cuantificadores l´ogicos, universal “∀” y existencial “∃”.
Definici´on 3 Un alfabeto Ade un lenguaje de primer orden est´a formado por las siguientes ocho clases de s´ımbolos:
(0) Par´entesis (y comas2 ).
(i) El s´ımbolo de operador l´ogico¬y los conectivos l´ogicos,¬,∨,∧,→,↔,|. (ii) Variablesx1, x2, x3, . . .
(iii) El s´ımbolo igual “=”.
(iv) Cuantificadores l´ogicos ∀y ∃.
(v) Un conjunto Cnde s´ımbolos de constantes.
(vi) Un conjuntoFde s´ımbolos funcionales, descompuesto de forma explicita comoF=F0t F1t . . ., es decir, para cada s´ımbolo funcionalF se conoce cual es su n-aridad.
(vii) Un conjuntoRde los s´ımbolos relacionales, descompuesto de forma expl´ıcitaR=R1tR2t. . .,
es decir, para cada s´ımbolo relacional R se conoce cual es sun-aridad.
Los s´ımbolos que est´an en los grupos (i) a (iv) se llaman s´ımbolos l´ogicos, son los mismos para todos los lenguajes de primer orden. Los grupos (v) a (vii) constituyen los llamados s´ımbolos no l´ogicos, y van a depender del contexto matem´atico que estemos formalizando, es decir, diferentes lenguajes de primer orden van a tener diferentes s´ımbolos no l´ogicos.
Ejemplos: Damos ejemplos de alfabetos de lenguajes de primer orden, describiendo los s´ımbolos no l´ogicos que hacen parte de cada uno de ellos.
2Las comas no son indispensables para definir formalmente el lenguaje. Sin embargo son ´utiles para que el lenguaje
formal se parezca un poco m´as al lenguaje habitual de las matem´aticas. Existen dos metodolog´ıas diferentes: 1. Aceptar las comas y la notaci´onF(τ1, . . . , τn) como parte del lenguaje forma. 2. Considerar en el lenguaje formal
1. El alfabeto del lenguaje de los conjuntos. Solamente hay un s´ımbolo no l´ogico, el s´ımbolo “∈” de pertenencia, que es un s´ımbolo relacional binario. Este lenguaje, que es el m´as sencillo que podemos definir, es sin embargo de una gran capacidad expresiva. La gran mayor´ıa de las afirmaciones de las matem´aticas modernas pueden expresarse en el lenguaje de los conjuntos, aunque mediante f´ormulas muy complejas.
2. El alfabeto del lenguaje pobre de los n´umeros. Se consideran s´ımbolos funcionales binarios “+,·” que representan la suma y la multiplicaci´on.
3. El alfabeto del lenguaje de la aritm´etica de Peano. Se consideran los s´ımbolos del lenguaje pobre de los n´umeros, adem´as, un s´ımbolo constante “0” que representa al cero, un s´ımbolo funcional unitario “s” que representa la funci´on sucesor, otro s´ımbolo funcional binario, “↑” que representan la exponenciaci´on.
3. El alfabeto del lenguaje de la teor´ıa de n´umeros. Se consideran los s´ımbolos de la aritm´etica de peano, y adem´as el s´ımbolo relacional binario “<”, que se interpreta como menor que.
4. El alfabeto del lenguaje de los grupos. Se considera un s´ımbolo constante “e00 y un s´ımbolo funcional binario◦para la composici´on.
5. El alfabeto del lenguaje de R y las funciones elementales. Se considera constantes Cn{0,1}, s´ımbolos funcionalesF={+,−,·, /,↑,abs,sin,cos,tan,exp}y s´ımbolos relacionales
R={<}. F´ormulas de este lenguaje permiten expresar proposiciones usuales del c´alculo, por ejemplo:
∀h(0< h→ ∃k(0< k∧ ∀z(|z|< k→ |(sin(z)/z)−1|< h))) es (como veremos) una f´ormula de este lenguaje que significa:
lim
x→0 sin(x)
x = 1
6. El lenguaje de primer orden del c´alculo. Una manera de expresar algunos enunciados del c´alculo diferencial mediante f´ormulas de primer orden es a˜nadir al alfabeto anterior algunos s´ımbolos funcionalesf, g, . . .que representan funciones gen´ericas. Por ejemplo:
∀h(0≤h→ ∃k(0< k∧ ∀x(|x−a|< k→ |f(x)−f(a)|< h))
se interpretar´a como “f es continua ena”.
7. Notemos que el alfabeto que usar´ıamos para el lenguaje que nos permita hablar de la teor´ıa de el orden, es el mismo que el que estamos usando para la teor´ıa de conjuntos. Desde el punto de vista formal no hay ninguna diferencia entre usar un s´ımbolo∈o un s´ımbolo<. En cualquier caso se trata de un alfabeto con un ´unico s´ımbolo no l´ogico relacional binario.
1.2
T´
erminos y f´
ormulas
denominan t´erminos. Los t´erminos van a ser algo as´ı como los sustantivos de nuestro lenguaje. Una vez hayamos definido los t´erminos, podremos definir las f´ormulas.
Definimos el conjunto de los t´erminos T ⊂ S+(A) de forma inductiva. Consideraremos los s´ımbolos de constantes y de variables como los bloques de la estructura, y para cada s´ımbolo funcionaln-arioF consideraremos un operadorn-ario ˜F enS+(A),
˜
F: S+(A)×. . . S+(A)→S+(A), (τ1, . . . , τn)7→F˜(τ1, . . . , τn) = “F(τ1, . . . , τn)”.
Mucha atenci´on, “F(τ1, . . . , τn)” no se refiere a que se aplique la funci´on F a nada, F es un
s´ımbolo no una funci´on, se refiere a la cadena de s´ımbolos que se obtiene concatenando de izquierda a derecha: el s´ımboloF, un par´entesis izquierdo, el t´erminoτ1, una coma, etc.
Definici´on 4 Decimos queτ ∈S+(A) es un t´ermino si se verifica alguna de las siguientes: (a) τ es un s´ımbolo de constante o de variable (bloques).
(b) τes de la formaF(τ1, . . . , τn)dondeF es un s´ımbolo funcionaln-ario yτ1,. . .,τnson t´erminos.
Siguiendo la costumbre, los s´ımbolos funcionales binarios suelen representarse en las f´ormulas mediante conectivos. Es decir, no escribimos +(τ1, τ2) sinoτ1+τ2. De nuevo esta convenci´on puede verse como una parte del lenguaje formal o como una regla para transcribir el lenguaje formal en la pr´actica. Esta distinci´on es irrelevante para las cuestiones que vamos a estudiar en este curso.
Los siguientes resultados se prueban por inducci´on sobre los t´erminos, y por ser resultados tan similares a otros ya estudiados, su comprensi´on queda a cargo del lector, que puede decidir si desea o no examinar los detalles.
Lema 5 Un segmento inicial de un t´ermino nunca es un t´ermino.
Teorema 6 (Lectura ´unica de T) Para todo t´erminoτ se satisface exactamente una de las sigu-ientes afirmaciones:
(a) τ es un s´ımbolo de constante. (a’) τ es un s´ımbolo de variable.
(b) Existe un ´unico s´ımbolo funcional y ´unicos t´erminos τ1,. . .,τn tales queτ es F(τ1, . . . , τn).
Ahora que hemos definido los t´erminos, podemos pasar a definir las f´ormulas de nuestro lenguaje formalL. Si los t´erminos son los “sustantivos” de nuestro lenguaje, las f´ormulas ser´an las oraciones. Los verbos son, el signo “=” que representa al verbosery los s´ımbolos relacionales, que representan los otros verbos posibles del contexto. Dado que el objetivo de un lenguaje de primer orden es decribir, estos verbos son atributivos y no predicativos. Las f´ormulas at´omicas que vamos a introducir, son las oraciones simples.
Definici´on 7 Una f´ormula at´omica ϕ ∈ S+(A) es una secuencia de s´ımbolos de A tal que se
verifica una de las siguientes afirmaciones:
(a) ϕes “τ1=τ2” dondeτ1 yτ2 son t´erminos.
Las f´ormulas del lenguajeL se definen inductivamente, utilizando las f´ormulas at´omicas como bloques, los operadores y conectivos que conocemos del c´alculo sentencial, y otras dos familias de reglas nuevas (casosgyh).
Definici´on 8 El conjuntoLde las f´ormulas se define como una estructura inductiva enS+(A)de
la siguiente manera. Una secuencia de s´ımbolosϕes una f´ormula si verifica una de las afirmaciones siguientes:
(i) ϕes una f´ormula at´omica.
(ii) Hay f´ormulasψ yχ y un s´ımbolo de variable xtal que: (a) ϕes(¬ψ)
(b) ϕes(ψ∧χ)
(c) ϕes(ψ∨χ)
(d) ϕes(ψ→χ)
(e) ϕes(ψ↔χ)
(f ) ϕes(ψ|χ)
(g) ϕes(∀xψ)
(h) ϕes(∃xψ)
De nuevo el lenguaje Las´ı definido satisface la propiedad de la lectura ´unica. La prueba sigue los mismos lineamientos que la lectura ´unica del c´alculo de proposiciones, si bien con el a˜nadido de los cuantificadores. No la incluimos por tanto en estas notas.
Teorema 9 (Lectura ´unica de L) Para toda f´ormula de L se satisface una y solo una de las siguientes afirmaciones:
(a) ϕes at´omica.
(b) ϕes de la forma (¬ψ)para una ´unicaψ.
(c) ϕes de la forma (ψ@χ)ara ´unicas f´ormulasψ,χ y un ´unico conectivo l´ogico@. (d) Hay una ´unica formulaψ y una ´unica variableξ tal queϕes de la forma∀xψ. (e) Hay una ´unica formulaψ y una ´unica variableξ tal queϕes de la forma∃xψ.
1.3
Modelos,
M
-t´
erminos y
M
-f´
ormulas
Los modelos permiten darle un significado preciso, o interpretaci´on, a las f´ormulas deL.
Definici´on 10 Unmodelo MdeL oL-estructura consiste de:
(i) Un conjuntoM llamado el universodeM.
(ii) Para cada s´ımbolo relacional n-ario R ∈ R, una relaci´on n-aria RM ⊂ MN que recibe el
(iii) Para cada s´ımbolo funcionaln-arioF ∈ F una funci´onn-ariaFM:Mn→M que llamamos
la interpretaci´on de F en M.
(iv) Para cada s´ımbolo de constantec∈ Cnun elementocM∈M que llamamos lainterpretaci´on de c en M.
Nota: para evitar ambiguedades siempre supondremos que los s´ımbolos deL no son al mismo tiemo elemento deM.
Ejemplos: Los n´umeros naturalesNcon las operaciones aritm´eticas b´asicas nos provee de un
modelo del lenguaje de la aritm´etica y de los n´umeros. Un grupoGes un modelo del lenguaje de los grupos, etc.
Una posibilidad muy interesante, una vez que se dispone de un modeloM, es utilizar las f´ormulas para expresar proposiciones acerca de elementos del universoM. Para ello se defineLM, ellenguaje
extendido porM, que tiene exactamente las m´ısmas reglas queLpero a cuyo alfabeto a˜nadimos un nuevo s´ımbolo de constante por cada elemento deM. Estos nuevos s´ımbolos de constante, por abuso, los denotaremos de la misma manera que los elementos deM que simbolizan.
Definici´on 11 UnM-t´ermino es un t´ermino del lenguaje extendido por M, y una M-f´ormula es una f´ormula del lenguaje extendido porM. UnM-t´ermino se dicecerrado si no aparece en ´el ninguna variable.
Definici´on 12 Sea τ un M-t´ermino cerrado. La interpretaci´on τM es un elemento del universo
M que se define por inducci´on sobre losM-t´erminos: (a) Siτ =ces un s´ımbolo constante, entonces τM=cM. (b) Siτ =aes un elemento deM, entonces τM =a.
(c) Siτ =F(τ1, . . . , τm) entoncesτ =FM(τ1M, . . . , τM).
Una noci´on importante en pensamiento matem´atico es la dedar valores a una variable. Esta noci´on la vamos a formalizar para los t´erminos y las f´ormulas.
Definici´on 13 Seanµ,τ dos M-t´erminos y seax una variable. El M-t´ermino µ(x/τ)es el que se obtiene al reemplazar enµ todas las ocurrencias de la variablexpor el t´ermino τ.
Para poder reemplazar M-t´erminos dentro de las M-f´ormulas tenemos que prestar atenci´on a los cuantificadores. Vamos a distinguir las ocurrencias de las variables dentro de las M-f´ormulas entre libre y acotadas. Las ocurrencias libres est´an disponibles para ser reemplazadas, no as´ı las acotadas.
Definici´on 14 Una ocurrencia de la variablexen laM-f´ormulaϕse dice acotadasi en el ´arbol de sintaxis deϕ aparece∃x o∀xsobre dicha ocurrencia de la variable x. Una ocurrencia de xes
libreen caso contrario.
Definici´on 15 SeanϕunMf´ormulas,τ un M-t´ermino yxuna variable. LaM-f´ormulaϕ(x/τ)
es el que se obtiene al reemplazar en µtodas las ocurrencias libres de la variable xpor el t´ermino
Definici´on 16 Seaτ unM-t´ermino. Denotamos porvar(τ)al conjunto de las variables que apare-cen enτ. SeaϕunaM-f´ormula, denotamos porvar(ϕ)al conjunto de las variables que aparecen en
ϕ, por bound(ϕ) al conjunto de las variables que aparecen de forma acotada yfree(ϕ)el conjunto de las variables que aparecen de forma libre.
Atenci´on: Es posibles que bound(ϕ)∩free(ϕ) sea un conjunto no vac´ıo, puesto que una misma variable podr´a aparecer en una f´ormula varias veces, algunas de forma libre y otras de forma acotada.
Definici´on 17 UnaM-f´ormula escerrada(o una sentencia) si no ocurren en ella variables libres.
Al realizar las substituciones de variables por t´erminos dentro de f´ormulas, puede darse una dificultad adicional. Es posible que el t´ermino nuevo contenga variables que queden bajo el influjo de cuantificadores de la f´ormula. Por ejemplo, si en la f´ormula∃u(x+u) = 0 cambiamos la variable xpor el t´erminox·uobtenemos∃u(x·u+u) = 0. Hemos introducido una nueva variableubajo el influyo del cuantificador∃uque ya estaba presente en la f´ormula. Para evitar este caso introducimos la siguiente condici´on.
Definici´on 18 Decimos que x puede reemplazarse por τ en la M-f´ormula ϕ si al hacer la substituci´on, ninguna variable deτ queda acotada por un cuantificador enϕ. De forma inductiva:
(i) Siϕ es at´omica, entonces xpuede remplazarse porτ enϕ.
(ii) Siϕ es¬ψentonces xpuede remplazarse porτ enϕsi y solo si puede remplazarse en ψ. (iii) Siϕesψ@χcon@un conectivo l´ogico, es entoncesxpuede remplazarse porτ enϕsi y solo
si puede remplazarse enψ y enχ.
(iv) Si ϕes de la forma ∀yψ o∃yψ cony una variable entonces xpuede substituirse porτ si en
ψ y solo si se da una de las condiciones siguientes: (a) La variabley no aparece enτ.
(b) La variablexno aparece libremente en ϕ.
Notaci´on: A partir de ahora adoptamos una convenci´on de notaci´on para tuplas y para t´erminos. Cuando no induzca a confusi´on simplificaremos la escritura de una tupla de variables (x1, . . . , xn) escribiendo simplemente ¯x. Identica notaci´on seguieremos para los t´erminos, de manera
que (τ1, . . . , τn) se escribir´a ¯τ.
Tambi´en es posible hacer unreemplazo m´ultipleen t´erminosµ(x1/τ1, . . . xn/τn) que
denota-mos simplificadamenteµ(¯x/¯τ) y los mismo para las f´ormulas ϕ(¯x/¯τ). Sin embargo hay que tener una precauci´on, el reemplazo se considera simult´aneo, no secuencial. Por ejemplo, si ¯x= (x1, x2) y ¯
τ= (τ1, τ2) puede ser:
µ(¯x/¯τ)6= (µ(x1/τ1))(x2/τ2)6= (µ(x2τ2))(x1/τ1),
por ejemplo siµesF(x1, x2) =G(x1),τ1 esF(x1, x2) yτ2 esG(x2) entonces podemos comprobar facilmente:
µ(¯x/¯τ) esF(F(x1, x2), G(x1)) =G(F(x1, x2)), por otro lado,
(µ(x1/τ1))(x2/τ2) esF(F(x1, G(x1)), G(x1) =G(F(X1, G(x1))).
Lema 19 Sean x, y1, . . . , yn variables distintas y µ, τ M-t´erminos. Consideremos n, m1, . . . , mn
elementos del universoM. Entonces:
(µ(x/τ))(¯y/m, x/n) = (µ(¯¯ y/m))(x/τ¯ (¯y/m, x/n))¯
Es adecuado ponerse algunos ejemplos, si es posible dibujando el ´arbol de sintaxis, para com-prender lo razonable y natural del enunciado. No osbtante, tambi´en es posiblde dar una prueba rigurosa.
Prueba. Por inducci´on sobre el t´erminoµdel enunciado. Siµes un bloque, entonces se tiene una de las dos:
(a) µ es un s´ımbolo constante o un elemento del universo, entonces claramente la igualdad del enunciado se verifica.
(b) Siµes una variable, entonces pueden pasar tres situaciones. Si µes una variable que no es laxni aparece en la tupla ¯y entonces no se realiza ninguna substituci´on y el lema se verifica. Si µes la variablexentonces la igualdad se verifica y se obtieneτ(¯y/m, x/n). Finalmente si¯ µes alguna de lasyi obtenemosmicon ambos reemplazamientos.
El paso inductivo es consecuencia de la misma definici´on inductiva de reemplazamiento.
El mismo resultado aplica a las f´ormulas, pero debe considerarse si el reemplazamiento es ad-misible o no.
Lema 20 Seanx, y1, . . . , yn variables distintas τ un M-t´ermino yϕ unaM-f´ormula. Si xpuede
reemplazarse por τ en ϕ, entonces para cualesquiera n, m1, . . . , mn elementos del universo M se
tiene
(ϕ(x/τ))(¯y/m, x/n) = (ϕ(¯¯ y/m))(x/τ(¯¯ y/m, x/n))¯
Dos propiedades del remplazamiento son las siguientes. La primera es que nos permite dejar atr´as el uso de M-t´erminos y M-f´ormulas. Para cualquier M-t´ermino τ existen, una tupla de variables ¯y una tupla de elementos ¯m de M y un t´ermino τ0 tal que τ = τ0(¯y/m). Lo mismo¯ ocurre para lasM-f´ormulas. Otra propiedad importante es que el remplazamiento conmuta con la interpretaci´on. Tengamos en cuenta que la interpretaci´on de unM-t´ermino cerrado es un elemento deM y por tanto, a su vez un M-t´ermino. Entonces, si ¯τ = (τ1, . . . , τn) es una tupla de t´erminos
cerrados y µes unM-t´ermino tal que ¯x= (x1, . . . , xn) son todas las variables que aparecen enµ
entonces,
µ(¯x/¯τ)M=µ(¯x/¯τM)M
Ejercicios:
1. ¿En la descripci´on deLcomo una estructura inductiva, cuantos operadores 1-arios diferentes se utilizan?
2. D´e una f´ormula ϕ en el lenguaje de la teor´ıa pobre de los n´umeros en la que aparezca la variablexy que pueda leerse como “xes una potencia de 2”.
3. D´e un ejemplo de un lenguaje de primer orden capaz de describir proposiciones en el contexto de:
(a) Anillos. (b) Cuerpos. (d) Grafos.
(e) Puntos y rectas del plano.
4. D´e definiciones inductivas para los reemplazos µ(x/τ) en M-t´erminos y ϕ(x/τ) en M -f´ormulas.
5. D´e definiciones inductivas para las funciones var, free y bound.
6. Identifique todas las variables libres en las siguientes f´ormulas, y para cada ocurrencia de una variable acotada, identifique el cuantificador que la acota:
(a) ∀x(∃yP(x, y, z, w)∧ ∀z∃xR(y, x, z, w)) (b) ∃x∀y(∀zQ(x, z, w, s)∧ ∀xR(x, z, w, t))
7. Sixyyson variables distintas, σyτ sonM-t´erminos cerrados, yµes cualquierM-t´ermino, muestre que:
µ(x/σ)(yτ) =µ(x/σ, y/tau).
2
Satisfacibilidad y validez
Definici´on 21 SeaϕunaM-fo´rmula, y seafree(ϕ) ={x1, . . . , xn}. Se define elcierre universal
de ϕcomo la f´ormula∀x1. . .∀xnϕ.
Nota: la definici´on anterior presupone un ordenamiento de las variables, sin embargo dicho ordenamiento es artificial, pues como veremos m´as adelante, el orden en el que elijamos escribir los conmutadores da lugar a f´ormulas que ser´an l´ogicamente equivalentes. Con este hecho en mente simplificamos la notaci´on de la escritura de los cuantificadores. Si ¯x= (x1, . . . , xn) escribimos∀x¯
como notaci´on simplificada para∀x1. . .∀xn y∃x¯para∃x1. . .∃xn.
Definici´on 22 Una f´ormula de L se dice prima si es at´omica, de la forma ∀xϕ o de la forma
∃xϕ. Denotemos porP al conjunto de las f´ormulas primas deL.
Un lenguaje de primer orden L puede considerarse entonces como un lenguaje de orden cero, donde los s´ımbolos de proposici´on elemental son reemplazados por las f´ormulas primas. Es decir
L=C(P,{f¬, f∧, f∨, f→, f↔, f|}). Esta otra descripci´on deLc´omo estructura inductiva, no puede
Definici´on 23 Unaasignaci´on de verdad sentencial es una aplicaci´on
s:P → {V, F}.
Una asignaci´on de verdad sentencial extiende inductivamente (de la manera que ya definimos para el c´alculo de proposiciones) a una funci´on de verdad,
¯
s:L → {V, F}.
Definici´on 24 Una f´ormula ϕ se dice una tautolog´ıa si para cualquir asignaci´on sentencial de verdads,s(ϕ) =¯ V.
En el lenguaje del c´alculo de proposiciones, la noci´on de ser tautolog´ıa y de satisfacilibidad eran la misma. Las interpretaciones del lenguaje del c´alculo de predicado eran las asignaciones de verdad. En los lenguajes de primer orden tenemos una noci´on diferente de interpretaci´on, que son los modelos. Eso nos va a llevar a una noci´on mas estricta de satisfacibilidad, que denotaremos por
M |=ϕ,
y que puede leerse como“ϕ es v´alida en M”o “M satisface ϕ.” Cuandoϕ no sea v´alida en
MescribiremosM 6|=ϕ.
Definici´on 25 SeanM un modelo de yϕ unaM-f´ormula cerrada. Entonces: (i) cuando ϕes de la formaτ1=τ2,M |=ϕsiτ1M=τ2M.
(ii) cuando ϕes de la formaR(τ1, . . . , τn),M |=ϕsi(τ1M, . . . , τnM)∈RM.
(iii) cuandoϕ es de la forma ∀xψ, M |=ϕ si para todos los elementom ∈M se verifica M |= ψ(x/m).
(iv) cuando ϕes de la forma∃xψ,M |=ϕsi hay un elemento m∈M tal queM |=ψ(x/m). (v) cuando ϕes de la forma¬ψ,M |=ϕsi no ocurre M |=ψ.
(vi) cuando ϕes de la formaψ∨χ,M |=ϕsiM |=ψoM |=χ. (vii) cuando ϕes de la formaψ∧χ,M |=ϕsiM |=ψy M |=χ.
(viii) cuandoϕes de la formaψ→χ,M |=ϕsi no ocurre queM |=ψy noM |=χ.
(ix) cuando ϕes de la forma ψ↔χ,M |=ϕsi simult´aneamente M |=ψ yM |=χ o bien no se da M |=ψ niM |=χ.
(x) cuando ϕes de la formaψ|χ,M |=ϕsi no ocurre simult´aneamente M |=ψ yM |=χ. Siϕno es cerrada, consideremos ∀xϕ su cierre universal. EntoncesM |=ϕsiM |=∀xϕ.¯
Por ejemplo, la f´ormula,
(a) De la definici´on de la satisfacci´on de la negaci´on, siϕes una f´ormulacerrada, es equivalente decirM 6|=ϕoM |=¬ϕ.
(b) Es equivalente decir M |= ϕ, que decir que para cualquier tupla ¯m de elementos de M y cualquier tupla de variables ¯xde la misma longitud que ¯m,M |=ϕ(¯x/m).¯
(c) Si consideramos dos tuplas ¯τy ¯µdeM-t´erminos cerrados que tienen la misma interpretaci´on ¯
τM= ¯µM entonces entonces,
M |=ϕ(¯x/¯τ) syss M |=ϕ(¯x/¯µ).
Definici´on 26 Sea Γ es un conjunto de M-f´ormulas (lo que incluye el caso de las f´ormulas). Escribimos M |= Γ is todas las f´ormulasϕ∈Γ son v´alidas en M. Leemos “M modela Γ” o“ M es un modelo de Γ” o “En M se verifica Γ”. Escribimos M 6|= Γpara decir que no es cierto queM |= Γ.
Definici´on 27 (f´ormula v´alida) Una f´ormulaϕ se dice v´alida si para todo modelo M se tiene queM |=ϕ. Escribimos entonces:
|=ϕ.
Las f´ormulas v´alidas son sem´anticamente ciertas es decir, son ciertas en cualquier inter-pretaci´on posible del lenguajeL. Notemos que no disponemos todav´ıa de la noci´on deM-f´ormula v´alida, puesto que la definici´on deM-f´ormula exige la escogencia de un modelo.
Ejemplos de f´ormulas v´alidas
(a) Las tautolog´ıas.
(b) (∀x(ϕ→ψ))→(∀xϕ→ ∀xψ).
(c) Supongamos que x6∈free(ϕ) entoncesϕ→ ∀xϕ. (d) Propiedades de la igualdad:
(i) x=x
(ii) x=y→y=x
(iii) (x=y∧y=z)→x=z
(iv) Para cualquier s´ımbolo relacionaln-arioR, yn-tuplas de variables3 x¯y ¯y, ¯
x= ¯y→(R(¯x)↔R(¯y)).
(v) Para cualquier s´ımbolo funcionaln-arioF, yn-tuplas de variables ¯xy ¯y, ¯
x= ¯y→F(¯x) =F(¯y).
La validez de todas estas f´ormulas debe comprobase una a una a partir de la definici´on de satisfacibilidad. Existe una familia de f´ormulas v´alida cuya validez vamos a probar con detalle:
Lema 28 (principio de particularizaci´on) Asumamos que la variablexpuede reemplazarse por el t´erminoτ en la f´ormulaϕ. Entonces,
(∀xϕ)→ϕ(x/τ)
es v´alida.
Prueba. Realizemos primero la prueba en el caso particular en el cual la f´ormula (∀xϕ)→ϕ(x/τ) es cerrada. De hecho vamos a probar un enunciado un poco m´as fuerte al del lema, pero que nos servir´a para luego probar el caso general. Una vez fijamos un modeloM, permitamos queτ sea un M-t´ermino. Se tiene que free(ϕ)⊆ {x} y que τ es cerrado. Seab la interpretaci´on deτ enM. SiM 6|=∀xϕentonces, por la definici´on de|= tenemos queM |= (∀xϕ)→ϕ(x/τ). Si por el contrario tenemos queM |=∀xϕ, entonces por la definici´on de|= tenemos queM |=ϕ(x/b), pero esto es lo mismo queM |=ϕ(x/τ) puesbes unM-t´ermino que tiene la misma interpretaci´on queτ (en el partado anterior, “acerca de la satisfabilidad” punto (d) ).
Mostremos ahora el caso general. Para simplificar nuestra exposici´on, denotemos por ψ a la f´ormula (∀xϕ) → ϕ(x/τ). Consideremos variablesy1, . . . , yn tales que free(ψ) ⊆ {x, y1, . . . , ym}.
Por el apartado (b) de “acerca de la satisfabilidad” es equvalente comprobarM |=ψque comprobar que para cualesquieraa, b1, . . . , bn elementos de M se tieneM |=ψ(x/a,y/¯ ¯b). Ahora, la f´ormula
ψ(x/a,y/¯ ¯b) es por definici´on del remplazamiento:
(∀xϕ(¯y/¯b))→(ϕ(x/τ)(x/a,y/¯ ¯b)).
Aplicando el lema 20 del remplazamiento a la f´ormula ϕ(x/τ)(x/a,y/¯ ¯b) obtenemos que tambi´en puede escribirse como:
(∀xϕ(¯y/¯b))→(ϕ(¯y/¯b)(x/τ(x/a,y/¯ ¯b))). Llamemosτ0 alM-t´erminoτ(x/a,y/¯ ¯b). Entonces la f´ormula anterior es:
(∀xϕ(¯y/¯b))→(ϕ(¯y/¯b)(x/τ0)) que es v´alida por el primer punto, pues es cerrada.
Ejercicios:
8. DeM 6|=ϕ¿Se sigue que M |=¬ϕ?
9. En cada uno de los contextos siguientes, encontrar un lenguaje de primer orden adecuado, y una f´ormula, tal que los modelos que satisfacen dicha f´ormula sean:
(a) Conjuntos finitos con exactamentenelementos (dadon).
(b) Conjuntos ordenados, con un orden denso sin extremos (como los n´umeros racionales). (c) Cuerpos.
3
Consecuencia y equivalencia sem´
antica
3.1
Consecuencia sem´
antica
Definici´on 29 (Consecuencia sem´antica) Seaϕuna f´ormula. (a) Sea Γun conjunto de f´ormulas cerradas. Escribimos:
Γ|=ϕ
siϕse satisface en todo modelo deΓ. Es decir, siempre queM |= Γse tiene tambi´enM |=ϕ. Decimos queϕes consecuencia sem´antica de Γ.
(b) Seaψuna f´ormula. Escribimosψ|=ϕsi|=ψ→ϕ. Decimos queϕes consecuencia sem´antica deψ.
Puede mostrarse con facilidad, aplicando la definici´on de satisfacibilidad y de f´ormula v´alida, que si ψ es cerrada es equivalente decir ψ |= ϕ o {ψ} |= ϕ. No obstante, el segundo apartado de la definici´on es necesario, pues nos permite dar la noci´on de consecuencia sem´antica cuando la hip´otesis no es una f´ormula cerrada.
La siguiente definici´on es provisional, m´as adelante ser´a substituida por la noci´on de consistencia, que es de naturaleza sint´actica. El teorema de completitud de G¨odel puede interpretarse como la equivalencia de las dos definiciones, pero ojo, hay que observar que la definici´on de consistencia sem´antica aplica ´unicamente a los conjuntos de f´ormulas cerradas, mientras que la de consistencia (sint´actica) aplicar´a a conjuntos generales de f´ormulas.
Definici´on 30 Consistencia sem´antica Un conjuntoΓde f´ormulas cerradas se dicesem´anticamente consistentesi tiene alg´un modelo, es decir, hay unMtal que,
M |= Γ.
En caso contrario se dice sem´anticamente inconsistente.
Afirmaci´on 31 SeaΓun conjunto de f´ormulas cerradas yϕuna f´ormula cerrada. Las afirmaciones siguientes son equivalentes:
(a) Γ|=ϕ.
(b) Γ∪ {¬ϕ} es sem´anticamente inconsistente. (c) Noy hay ning´un modeloMdeΓ tal queM 6|=ϕ.
Lema 32 (Sem´antica del modus ponens) Se satisface:
(a) Seanϕ, ψ M-f´ormulas. SiM |=ϕ→ψ yM |=ϕentonces tambi´enM |=ψ.
(b) Sea Γ un c´onjunto de f´ormulas cerradas,ϕ una f´ormula cerrada yψ una f´ormula. Entonces
Prueba. El apartado (a) es consecuencia directa de la definici´on inductiva de satisfacci´on. El apartado (b) se demuestra a partir del apartado (a) aplicado a cada modelo de Γ∪ {ϕ}.
Como consecuecia de este resultado tenemos algunas reglas de inferencia sem´anticas. Asumamos ϕ1|=ψ1yϕ2|=ψ2. Entonces se tiene:
ϕ1∧ϕ2 |= ψ1∧ψ2 ϕ1∨ϕ2 |= ψ1∨ψ2
¬ψ1 |= ¬ϕ1
∀xϕ1 |= ∀xψ1
∃xϕ1 |= ∃xψ1
3.2
Equivalencia elemental y reducci´
on
Definici´on 33 Decimos que las f´ormulas ϕy ψ son elementalmente equivalentessi ϕ|=ψ y
ϕ|=ψ. Escribimos ϕ=k=ψ
Es sencillo comprobar que la equivalencia elemental es una relaci´on de equivalencia dentro del conjunto de todas las f´ormulas. Dos f´ormulas elementalmente equivalentes se interpretan igual (comoV oF) en todos los modelos, y por tanto, podemos decir que tienen el mismo significado.
Es interesante, antes de introducir las reglas sint´acticas de inferencia, ver si podemos simplificar la sint´axis del lenguaje de alguna manera, pero sin reducir su capacidad expresiva.
Definici´on 34 Consideremos L un lenguaje de primer orden yJ un subconjunto del conjunto de s´ımbolos l´ogicos de L. Denotamos porLJ al lenguaje constituido por las f´ormulas deL en las que
s´olo aparecen los s´ımbolos l´ogicos que est´an enJ.
Al igual que en el c´alculo de proposiciones, estamos interesados en conocer los sublenguajes de
Lque tengan la misma capacidad expresiva pero menos s´ımbolos. Esto puede ayudar a simplificar muchas de las pruebas por inducci´on sobre las f´ormulas, ya que el n´umero de operadores del sistema es menor. Tambi´en producir´a alguna econom´ıa en la lista de exiomas de la l´ogica.
Lema 35 Seanϕ, ψ f´ormulas, xvariable. Siϕ1=k=ψ1 yϕ2=k=ψ2 entonces:
ϕ1∧ϕ2 =k= ψ1∧ψ2 ϕ1∨ϕ2 =k= ψ1∨ψ2 ϕ1→ϕ2 =k= ψ1→ψ2 ϕ1↔ϕ2 =k= ψ1↔ψ2 ϕ1|ϕ2 =k= ψ1|ψ2
¬ϕ1 =k= ¬ψ1
∀xϕ1 =k= ∀xψ1
∃xϕ1 =k= ∃xψ1
Prueba. Aplicamos directamente la definici´on de satisfaccibilidad en cada modelo y en cada caso.
Definici´on 36 La traducci´on de f´ormulas es una aplicaci´ontra :L → L{∧,¬,∀} que a cada f´ormula
ϕle asigna su traducci´on tra(χ) = ˜χque definida por inducci´on de la siguiente manera: (a) Siχ es at´omica entoncesχ˜=χ.
(b) Siχ= (¬ψ)entonces χ˜= (¬ψ)˜ . (c) Siχ= (ϕ∧ψ)entonces χ˜= ( ˜ϕ∧ψ)˜ .
(d) Siχ= (ϕ∨ψ)entonces χ˜=¬((¬ϕ)˜ ∧(¬ψ))˜ . (e) Siχ= (ϕ→ψ)entonces χ˜=¬( ˜ϕ∧(¬ψ))˜ .
(e) Siχ= (ϕ→ψ)entonces χ˜= (¬( ˜ϕ∧(¬ψ)))˜ ∧(¬((¬ϕ)˜ ∧ψ))˜ . (f ) Siχ= (ϕ|ψ)entonces χ˜=¬( ˜ϕ∧ψ)˜ .
(g) Siχ=∀xϕ entoncesχ˜=∀xϕ˜. (h) Siχ=∃xϕ entoncesχ˜= (¬∀x(¬ϕ)).
Teorema 37 Para cada f´ormulaϕdeL se tiene:
ϕ=k= ˜ϕ.
Prueba. Seg´un el lema 35 es posible reemplazar las subformulas de χ por otras que sean elementalmente equivalentes, y al final de este proceso se obtiene otra f´ormula elementalmente equivalente. Si adem´as tenemos en cuenta las siguiente equivalencias sem´anticas:
ϕ∨ψ =k= ¬(¬ϕ∧ ¬ψ) ϕ→ψ =k= ¬(ϕ∧ ¬ψ)
ϕ↔ψ =k= (¬(ϕ∧ ¬ψ))∧(¬(¬ϕ∧ψ)) ϕ|ψ =k= ¬(ϕ∧ψ)
∃xϕ =k= ¬∀x¬ψ
Que se comprueban con a partir de la definici´on de satisfabilidad, la prueba se termina con facilidad por inducci´on sobre las f´ormulas. Los detalles se dejan al lector.
Es posible tomar otros lenguajes reducidos diferentes, por ejemplo,L{|,∀}, oL{|,∃}, que verifican
resultados an´alogos al teorema 37. Elegimos trabajar enL{∧,¬,∀} por razones pr´acticas. Dado que
las posibles interpretaciones de las f´ormulas no van a cambiar, a partir de ahora consideramos que ellenguaje formal en el que trabajamoses realmente L{∧,¬,∀}. Los otros conectivos y
cuan-tificadores se considerar´an simplementeabreviaturas y pasaran a formar parte del metalenguaje empleado para representar las f´ormulas del lenguaje.
Ejercicios:
10. Seanx1, . . . , xnvariables, y seanϕyψf´ormulas cuyas variables libres est´an entre lasx1, . . . , xn.
Muestre queϕ=k=ψsi y solo si para cada modelo My cada n-tupla ¯ade elementos deM se verifica,
11. Encuentre dos f´ormulasϕyψ donde la variablexocurre libremente y tales que∀xϕ|=∀xψ peroϕ6|=ψ.
12. Muestre que los ejemplos de f´ormulas v´alidas dados en el texto son efectivamente f´ormulas v´alidas.
13. ¿Cuales de estas f´ormulas son v´alidas? Justifique. (a) ∀u(P(u)→R(u))→(∀uP(u)→ ∀uR(u)). (b) (∀uP(u)→ ∀uR(u))→ ∀u(P(u)→R(u)). (c) ∀u(ϕ→ψ)→(∀uϕ→ ∀uψ).
