C u r s o : Matemática
Material N° 16
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 13
UNIDAD: GEOMETRÍA
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Y TEOREMAS
DEFINICIONES
CIRCUNFERENCIA: Dado un punto O y una distancia r, se llama circunferencia de centro O y radio r al conjunto de todos los puntos del plano que están a la distancia r del punto O.
r 0: Centro r: Radio O C(O,r) = (O,r)
RADIO: Trazo cuyos extremos son el centro de la
circunferencia y un punto de ésta ( OA ).
CUERDA: Trazo cuyos extremos son dos puntos de una
circunferencia ( DE ).
D cuerda
diámetro
B O
secante E
radio
arco C A
DIÁMETRO: Cuerda que contiene al centro de la P
circunferencia ( BC ).
SECANTE: Recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia (PQ)
Q
T M
tangente
TANGENTE: Recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto (TM). T punto de tangencia.
ARCO: Es una parte de la circunferencia determinada por dos puntos distintos de
ella (CE)
ÁNGULO DEL CENTRO: Es todo ángulo interior cuyo vértice es el centro D
de la circunferencia y sus lados son radios de la O
misma (4'EOD). E
H
ÁNGULO INSCRITO: Es todo ángulo cuyo vértice es un punto de la
circunferencia y parte de sus rayos son cuerdas
de ésta (4'FHG). G
F
EJEMPLO
1. ¿Cuál de las siguientes opciones es falsa?
A) El diámetro de una circunferencia es el doble de su radio
B) La mayor cuerda de una circunferencia es el diámetro
C) En circunferencias congruentes los radios son congruentes
D) Al cortarse dos cuerdas en el centro de la circunferencia forman ángulos del centro
2. En la circunferencia de centro O (fig. 1), AC es diámetro. Entonces, el valor de αes
A) 10º
B) 20º
C) 40º
D) 80º
E) 140º
C O
a
A 20º fig. 1
B
3. En la circunferencia de centro O y diámetro BC de la figura 2, ¿cuánto mide el 4'BCA?
A) 22º
B) 34º
C) 36º
D) 44º
E) 68º
C
fig. 2 O
68º
A B
4. En la circunferencia de centro O de la figura 3, 4'BOA = 70º y 4'COB = 40º. ¿Cuánto mide el
ángulo ABC?
A) 140º
B) 125º
C) 120º
D) 110º
E) 95º
O
fig. 3
A C
MEDIDA ANGULAR DE UN ARCO
En toda circunferencia la medida angular de un arco es igual a la medida del ángulo del centro que subtiende dicho arco.
D DE = 4'EOD = α α O
E TEOREMA
Todo ángulo inscrito en una circunferencia tiene como medida la mitad del ángulo del centro que subtiende el mismo arco.
C
β= 1 α β
2
0
α
D
β E
0 0 β
α α
A B A B
A B
O: centro de la circunferencia
EJEMPLOS
1. En la circunferencia de centro O (fig. 1), se cumple que
Entonces, la medida del 4'x es
B,--A ≅ D,--C y A---ED + C,--B = 3 B,--A .
A) 45º
B) 60º
C) 72º
D) 84º
E) 90º
C B
x O D
A fig. 1
E
2. AC y BE son diámetros de la circunferencia de centro O (fig. 2). Si 4'BOA = 24'COB,
entonces el 4'CDB mide
A) 30º
B) 35º
C) 45º
D) 600º
E) 120º
D
E C
fig. 2 O
TEOREMA
Todos los ángulos inscritos en una circunferencia que subtienden un mismo arco tienen igual medida.
β α
α= β
B A
TEOREMA
Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
C
4'BCA = 90º
A O B O: centro de la circunferencia
TEOREMA
En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios. C
D γ
δ α+ γ = 180º
β+ δ= 180º
α β
A B
TEOREMA
La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia.
QP tangente en P ⇒QP ⊥OP O r Q
P
EJEMPLOS
1. En la figura 1, 4'TPQ = 140º y 4'QRP = 15º. ¿Cuánto mide el 4'PQT?
A) 15º
B) 20º
C) 25º
D) 30º
E) 35º
T R
fig. 1
2. AC es diámetro de la circunferencia de centro O (fig. 2). ¿Cuánto mide el ángulo BCA?
A) 15º
B) 25º
C) 35º
D) 55º
E) 70º
O
A 55º
B
C
fig. 2
3. En la figura 3, PT es tangente a la circunferencia de centro O, en T. ¿Cuánto mide el 4'OPT?
A) 10º
B) 20º
C) 30º
D) 40º
E) 50º
T
40º
O
P
fig. 3
4. En la circunferencia de centro O de la figura 4, PA y PB son tangentes en A y B,
respectivamente. ¿Cuánto mide el ángulo BCA?
A) 25º
B) 50º
C) 65º
D) 100º
E) 130º
B
C O 50º
A
P
fig. 4
5. En la figura 5, el cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia. Si β= 145° y α = β– δ,
entonces γ=
A) 35°
B) 45°
C) 55°
D) 60°
E) 70°
D
δ
fig. 5
A α
γ
β C
EJERCICIOS
1. AC y BD son diámetros de la circunferencia de centro O (fig. 1). Si el ángulo DOC mide
80º, ¿cuánto mide el ángulo ABO?
A) 20º
B) 30º
C) 40º
D) 45º
E) 50º
D C
O fig. 1
A B
2. En la circunferencia de centro O y diámetro DB de la figura 2, ¿cuánto mide el ángulo COA?
A) 70º
B) 100º
C) 120º
D) 140º
E) 160º
C
30º
D O
40º
B fig. 2
A
3. O y O’ son los centros de las circunferencias de la figura 3. Si 4'DAC = 40º, ¿cuánto mide el
ángulo ACD?
A) 10º
B) 20º
C) 25º
D) 40º
E) 50º
D
A
O O’
B
C
fig. 3
4. O es centro de la circunferencia de la figura 4, y QROP es cuadrado. ¿Cuánto mide el ángulo
RSP?
A) 22,5º
B) 30º
C) 45º
D) 60º
E) 90º
S
P O
fig. 4
5. En la circunferencia de centro O de la figura 5, ¿cuánto mide el ángulo OPR?
A) 35º
B) 40º
C) 45º
D) 50º
E) 70º
R
70º
O
T Q
fig. 5 P
6. En la circunferencia de centro O de la figura 6, CA , AB y CB son secantes. Si α = 80º y
β= 50º, 4'x =
A) 65º
B) 75º
C) 90º
D) 100º
E) 130º
C
O x
α A β
B
fig. 6
7. En la figura 7, O es el centro de la circunferencia. Si 4'ORQ = 36º y 4'ROP = 54º, ¿cuánto
mide el 4'RTP?
A) 63º
B) 72º
C) 108º
D) 117º
E) 144º
fig. 7
O Q
T
P
R
8. En la circunferencia de centro O de la figura 8, 4'BAC + 4'BDC = 80º. Entonces, el 4'BOC
mide
A) falta información
B) 80º
C) 60º
D) 40º
E) 20º
B C
A D
O
9. En la figura 9, 4'BCA = 40º y 4'CDB = 30º. ¿Cuánto mide el 4'ABC?
A) 60º
B) 90º
C) 100º
D) 120º
E) 110º
C
30º
D
40º
A B
fig. 8
10. En la figura 10, MQ es diámetro y 4'TNQ = 16º. ¿Cuánto mide el 4'MQT?
A) 74º
B) 64º
C) 45º
D) 32º
E) 16º
T Q
fig. 10 M
N
11. En la figura 11, O es el centro de la circunferencia. Si BE // CD y 4'COA = 110º, entonces
¿cuánto mide α?
A) 55º
B) 110º
C) 125º
D) 135º
E) 140º
12. En la figura 12, CB // DA . Si
E D
fig. 11
α O
A
B C
C,--D = 80º, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) siempre verdadera(s)?
I) 4'BCA = 40º C B
II) 4'BEA = 80º
III) D,--A = 100º E fig. 12
A) Sólo I
B) Sólo II D A
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
A
13. O es centro de la circunferencia de la figura 13, 4'QOP = 4'ROQ = 4'SOR y 4'RSO = 72º.
¿Cuánto mide el ángulo PTQ?
A) 54º
B) 36º
C) 35º
D) 27º
E) 18º
T
O
fig. 13
P S
Q R
14. B,--C es un cuarto de circunferencia con centro en A (fig. 14). Si BD = AB , entonces el 4'CAD
mide
A) 15º
B) 30º
C) 45º
D) 60º
E) 75º
C
D
fig. 14
A B
15. En la figura 15, la circunferencia tiene centro en O. El valor del ángulo x es
A) 12,25º
B) 12,5º
C) 25º
D) 37,5º
E) 50º
C
a O 50º
x a D fig. 15
B
16. En la circunferencia de centro O (fig. 16), 4'ABO = 24'BOA. ¿Cuánto mide el ángulo OAB?
A) 36º
B) 45º
C) 60º
D) 72º
E) 90º
fig. 16 O
17. En la figura 17, ¿cuánto mide el ángulo inscrito β?
A) 28º
B) 40º
C) 55º
D) 80º
E) 110º 2k + 10º
k + 30º
β
fig. 17
k
18. En la circunferencia de centro O de la figura 18, ¿cuánto mide β?
A) 40º
B) 70º
C) 80º
D) 100º
E) 140º
Q 140º
R P
β
O
fig. 18
19. En la circunferencia de centro O, 4'BCD = 125º (fig. 19). Entonces, el 4'DAB mide
A) 55º
B) 60º
C) 45º
D) 65º
E) no se puede determinar
C D
A O B
fig. 19
20. En la circunferencia de centro O, AB es diámetro y 4'BCD = 130º (fig. 20). Entonces, la
medida del ángulo x es
A) faltan datos para determinarlo
B) 40º
C) 55º
D) 65º
E) 70º
D
C
A x B
O
21. En la circunferencia de centro O (fig. 21), 4'BOA = 24'ABD. ¿Cuánto mide el ángulo BCA?
A) 22,5º
B) 30º
C) 40º
D) 45º
E) 90º
O D C
A B fig. 21
22. Si en la circunferencia de centro O de la figura 22, el ángulo inscrito BCA mide 80º, ¿cuánto
mide el ángulo ABO?
A) 10º
B) 20º
C) 25º
D) 50º
E) 70º
C
O fig. 22
•
A B
23. En la figura 23, DE es tangente a la circunferencia de centro O, en D. ¿Cuál es el valor del
4'x?
A) 36º
B) 26º
C) 18º
D) 12º
E) Falta información
O
A x •
D
E
126º
fig. 23
24. En el cuadrilátero ABCD inscrito en la circunferencia de la figura 24, α– γ = 120º. Si β = α,
2 ¿cuánto mide el ángulo x?
A) 30º
B) 75º
C) 105º
D) 150º
E) 155º
A
α
fig. 24
B β
x
γ D
x
25. En la circunferencia de centro O de la figura 25, AB es diámetro y
C,--A = 3m + 10 y el 4'ADC = 3m – 10, entonces 4'x + 4'y =
C,--A ≅ B,--D . Si
A) 170º
B) 160º
C) 150º
D) 140º
E) 120º
C D
y
x
A O B
fig. 25
26. En la circunferencia de centro O de la figura 26, se puede conocer el valor de α si:
(1) 4'BOA = 2α A
(2) 4'ABO = α B α
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
• fig. 26
O
27. En la circunferencia de centro O de la figura 27, AD y BC son diámetros. Se puede conocer
el valor de x si:
(1) CA = 110º
(2) 4'BCA + 4'BDA = 70º
C D
fig. 27
A) (1) por sí sola O
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) A B
E) Se requiere información adicional
28. AB es diámetro de la circunferencia de centro O (fig. 28). La medida del 4'CBA se puede
determinar si:
(1) AB = 2 AC
(2) 4'BOC = 24'COA
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
B
fig. 28 O
29. En la figura 29, el cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia. Se puede saber la
medida del 4'CDA si:
(1) 4'BCD = 80º
(2) 4'DAB = 100º
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
C
D O B
fig. 29
A
30. En la circunferencia de centro O de la figura 30, A y B son puntos de tangencia. Se puede
determinar la medida del 4'BOA si:
(1) 4'PBO = 4'OAP B
(2) 4'BOA = 34'APB
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
O • P
Ejemplos
Págs. 1 2 3 4 5
1 E
2 C A B
3 C A
4 C
5 C A C E
RESPUESTAS
CLAVES PÁG. 6
1. E 6. D 11. C 16. D 21. D 26. A
2. D 7. A 12. C 17. C 22. A 27. D 3. C 8. B 13. E 18. C 23. C 28. D
4. C 9. E 14. B 19. A 24. C 29. E
