TEMA 7: PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES.
1.- Relación de Proporcionalidad entre Magnitudes.
DEFINICIÓN (Magnitud)
Se llama MAGNITUD a cualquier CUALIDAD que se pueda medir con números, es decir, QUE SE PUEDA
CUANTIFICAR.
DEFINICIÓN (Magnitudes Directamente Proporcionales, MDP)
Dos MAGNITUDES son DIRECTAMENTE PROPORCIONALES, si al multiplicar (dividir) los valores de una de
ella por un número distinto de cero, los de la otra quedan multiplicados (divididos) por el mismo número.
NOTA:
Del tema de fracciones se puede deducir fácilmente que el numerador y el denominador de fraccionesequivalentes son magnitudes directamente proporcionales.
EJEMPLO:
Sean las magnitudes:
: "número de cajas de rotuladores que compro"
: "coste en euros de las cajas de rotuladores que compro"
Es evidente que son cuantificables, sus posibles valores se miden con números. Además son MDP porque
cuando multiplicamos o dividimos el número de cajas que compramos, el coste también se multiplica o
divide, respectivamente, por el mismo número. Veamos una tabla que relaciona los valores de las dos
magnitudes:
A 1 2 3 4 5 6
B 6 12 18 24 30 36
Es fácil comprobar que si paso en A de 2 a 4, lo hago multiplicando por 2, igual con los correspondiente de
B, de 12 a 24.
Como consecuencia de la definición, LAS FRACCIONES (
RAZONES
) que se forman con los valores de las dos magnitudes son FRACCIONES EQUIVALENTES.6 1=
12 2 =
18 3 =
24 4 =
30 5 =
36 6
Al valor de las razones (fracciones) se le llama CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD.
6 1=
12 2 =
18 3 =
24 4 =
30 5 =
36 6 = 6
En el ejemplo la constante de proporcionalidad de A sobre B es 6 y de B sobre A, sería
También como consecuencia de la definición, es inmediato demostrar cómo se comportan dos magnitude directamente proporcionales, A y B:
o Si los valores de A crecen, entonces los correspondientes de B, también crecen.
o Si los valores de A decrecen, entonces los correspondientes de B, también decrecen. !" ↗ ⟹ ↗
DEFINICIÓN (Magnitudes Inversamente Proporcionales, MIP)
Dos MAGNITUDES son INVERSAMENTE PROPORCIONALES, si al multiplicar (dividir) los valores de una de
ella por un número distinto de cero, los de la otra quedan divididos (multiplicados) por el mismo número.
EJEMPLO:
Sean las magnitudes:
: "número de ovejas que tengo granja"
: "número de días que dura la cierta cantidad de comida"
Es evidente que son cuantificables, sus posibles valores se miden con números. Además son MIP porque
cuando multiplicamos o dividimos el número de cajas que compramos, el coste también se divide o
multiplica, respectivamente, por el mismo número. Veamos una tabla que relaciona los valores de las dos
magnitudes:
A 1 2 3 4 5 6
B 30 15 10 7,5 6 5
Es fácil comprobar que si paso en A de 2 a 4, lo hago multiplicando por 2, sin embargo en los
correspondeintes valores de B, 15 y 7,5, es necesario dividir entre 2.
Como consecuencia de la definición, se puede observar que los PRODUCTOS formados por los valores correspondiente de las dos magnitudes son IGUALES.
1 · 30 = 2 · 15 = 3 · 10 = 4 · 7,5 = 5 · 6 = 6 · 5 = 30
También como consecuencia de la definición, es inmediato demostrar cómo se comportan dos MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES, A y B:
o Si los valores de A crecen, entonces los correspondientes de B decrecen.
o Si los valores de A decrecen, entonces los correspondientes de B crecen. !" ↗ ⟹ ↘
!" ↘ ⟹ ↗
NOTA:
Dada una MIP, A, si se toman sus valores inversos, 1- se forma una MDP2.- Problemas de Proporcionalidad Directa.
Vamos a plantear un problema como ejemplo que se resolverá con la aplicación de tres métodos: Tabla de
Proporcionalidad, Reducción a la Unidad y Regla de Tres.
EJEMPLO
: “Tres botes de mermelada pesan 600 g, ¿cuánto pesan cuatro botes?”En primer lugar, definimos las magnitudes que intervienen:
.: "Número de botes de mermelada 1: "1234 25 678943 :2 ;43 <4=23 :2 92792;8:8"
A continuación razonamos el tipo de proporcionalidad:
!" . ↗ 25=45>23 1 ↗
Entonces la relación de proporcionalidad es DIRECTA.
Construimos una tabla en la que introducimos los datos del problema, llamando ? al dato desconocido.
M 3 4
P 600 x
Como la proporcionalidad es directa, sabemos que las fracciones definidas por los datos son equivalentes:
3 600=
4 ?
Calculamos el valor desconocido, igualando los productos cruzados:
3 · ? = 600 · 4 3 · ? = 2400 ? = 2400 ∶ 3
? = 800
!ABCDEÓG: "DH8=74 <4=23 I2385 800 6"
SEGUNDO MÉTODO: REDUCCIÓN A LA UNIDAD:
Se trata de plantear la solución para la unidad en la magnitud conocida, y a partir de ese dato contestar a
la pregunta del enunciado. En nuestro ejemplo, hay preguntarse ¿cuánto pesa un solo bote?
3 <4=23 I2385 600 6 1 <4=2 I2387á 600: 3 = 200 6
Por tanto, 4 boten deben pesar 200 · 4 = 800 g
TERCER MÉTODO: REGLA DE TRES DIRECTA:
Describimos los datos en el esquema que sigue:
M P
3 600
4 x
Igualamos las fracciones que se forman con los datos y calculamos el valor desconocido:
3 4=
600 ? 3 · ? = 600 · 4
3 · ? = 2400 ? = 2400 ∶ 3
? = 800
3.- Problemas de Proporcionalidad Inversa.
Igual que en la pregunta anterior, vamos a plantear un problema como ejemplo que se resolverá con la aplicación
de tres métodos: Tabla de Proporcionalidad, Reducción a la Unidad y Regla de Tres.
EJEMPLO
: “Dos tractores labran una finca en seis horas, ¿cuánto tardarán tres tractores en hacer elmismo trabajo”
En primer lugar, definimos las magnitudes que intervienen:
L: "Número de tractores que trabajan"
M: "Gú9274 :2 ℎ4783 OH2 =87:85 25 ℎ8>27 2; =78<8P4"
A continuación razonamos el tipo de proporcionalidad:
!" L ↗ 25=45>23 M ↘
Entonces la relación de proporcionalidad es INVERSA.
PRIMER MÉTODO: TABLA DE PROPORCIONALIDAD:
Construimos una tabla en la que introducimos los datos del problema, llamando ? al dato desconocido.
T 2 3
H 6 X
Como la proporcionalidad es inversa, sabemos que las multiplicaciones definidas por los datos son iguales:
3 · ? = 2 · 6
Calculamos el valor desconocido:
3 · ? = 12 ? = 12 ∶ 3
? = 4
!ABCDEÓG: "L723 =78>=4723 =87:87á5 >H8=74 ℎ4783"
SEGUNDO MÉTODO: REDUCCIÓN A LA UNIDAD:
Se trata de plantear la solución para la unidad en la magnitud conocida, y a partir de ese dato contestar a la pregunta del enunciado. Teniendo en cuenta de dejar la magnitud por la que me pregunta al final de las frases:
2 =78>=4723 =87:85 6 ℎ4783 1 =78>=47 =87:87á 6 · 2 = 12 ℎ4783
Por tanto, 3 tractores deben tardar 12 ∶ 3 = 4 horas
TERCER MÉTODO: REGLA DE TRES INVERSA:
Describimos los datos en el esquema que sigue:
T H
2 6
3 x
Igualamos las fracciones que se forman con los datos, INVIRTIENDO UNA DE ELLAS y, a continuación, calculamos el valor desconocido:
2 3=
? 6 3 · ? = 2 · 6
3 · ? = 12 ? = 12 ∶ 3
? = 4
4.- Cálculo de Porcentajes.
DEFINICIÓN: (Porcentaje)
Se llaman PORCENTAJES o TANTOS POR CIENTO a las Fracciones con denominador 100.
5 % =
5
100
EJEMPLOS:
30% = 30 100=
3
10= 0,30
3% = 3
100= 0,03
130% =130 100= 1,30
NOTA
: Es muy fácil generalizar esta definición a los llamados: tantos por mil, tantos por diez mil, …PORCENTAJES NOTABLES:
S"2T I47 >"25=4: 10% = 10 100=
1
10 USé>"98 I87=2W
X2"5=2 I47 >"25=4: 20% = 20 100=
1
5 UYH"5=8 I87=2W
X2"5=">"5>4 I47 >"25=4: 25% = 25 100=
1
4 UDH87=8 I87=2W
D"5>H25=8 I47 >"25=4: 50% = 50 100=
1
2 UB8 9"=8:W
!2=25=8 Z >"5>4 I47 >"25=4: 75% = 75 100=
3
4 UL723 >H87=83 I87=23W
D"25 I47 >"25=4: 100% =100
100= 1 UB8 =4=8;":8:W
CÁLCULO DE PORCENTAJES:
Es evidente que como los porcentajes son fracciones se calculan igual (CAMBIANDO LA PREPOSICIÓN DE POR LA
MULTIPLICACIÓN). Es conveniente usar en muchas situaciones la expresión de cimal de la fracción.
CÁLCULO DIRECTO (Ejemplo):
30% :2 60 = 30 100· 60 =
30 · 60
100 =
1800 100 = 18 30% :2 60 = 0,30 · 60 = 18
CÁLCULO INVERSO (Ejemplo):
30% :2 ? = 18, 0,30 · ? = 18, ? = 18: 0,30 = 60
(En efecto: 30% :2 60 = 18W
Es conveniente asociar con naturalidad el porcentaje correspondiente con su expresión decimal:
Porcentaje 5% 15% 50% 80% 100% 245%
5.- Problemas de Porcentajes.
A partir de la definición de porcentaje podemos establecer la siguiente relación:
% =
1 [L\
LAL B
Podemos utilizar la relación anterior o los desarrollos que hemos visto en la pregunta anterior para el cálculo cuando afrontemos la resolución de un problema de porcentajes. Veamos con tres ejemplos los modelos de problemas que nos podemos encontrar:
MODELO 1: CÁLCULO DEL PORCENTAJE.
PROBLEMA 1: “En un rebaño hay 400 ovejas, de las que 80 son negras. ¿Qué porcentaje de ovejas negras
hay en el rebaño?”
CON LA FÓRMULA:
% =187=2 L4=8; =
80
400= 0,2 = 20%
CON EL CÁLCULO:
?% :2 400 = 80 ? · 400 = 80 ? = 80 ∶ 400 = 0,20 = 20%
SOLUCIÓN: “El porcentaje de ovejas negras es del 20%”
MODELO 2: CÁLCULO DE LA PARTE. (Cálculo directo)
PROBLEMA 2: “En un rebaño de 400 ovejas, el 20% son negras. ¿Cuántas ovejas negras hay en el rebaño?”
CON LA FÓRMULA:
% =187=2 L4=8; 0,20 = ?
400 ? = 0,20 · 400 = 80
CON EL CÁLCULO:
20% :2 400 = 0,20 · 400 = 80 SOLUCIÓN: “En el rebaño hay 80 ovejas negras”
MODELO 3: CÁLCULO DEL TOTAL. (Cálculo inverso)
PROBLEMA 3: “En un rebaño hay 80 ovejas negras, lo que supone el 20% del total. ¿Cuántas ovejas tiene el rebaño?”
CON LA FÓRMULA:
% =187=2 L4=8; 0,20 =80 ? ? = 80 ∶ 0,20 = 400
CON EL CÁLCULO:
20% :2 ? = 80 0,20 · ? = 80 ? = 80 ∶ 0,20 = 400
6.- Problemas de Aumentos y Disminuciones Porcentuales.
Veamos con algunos ejemplos cuatro modelos de problemas en los que interviene el aumento o la disminución de
una cantidad al aplicar cierta variación porcentual.
AUMENTOS:
•
DIRECTO:
Problema 1: “Un billete a Paris costaba el año pasado 460 €, desde entonces ha subido un 20%. ¿Cuál
es el precio actual del billete?”
D85=":8: OH2 8H925=8: 20% :2 460 = 0,20 · 460 = 92 € 172>"4 _"58;, :23IHé3 :2; 8H925=4: 460 + 92 = 552 €
SOLUCIÓN: “El precio actual del billete es de 552 €”
•
INVERSO:
Problema 2: “He pagado por un billete a París, 552 €. Respecto al año pasado ha subido un 20%. ¿Cuál
era el precio del billete hace un año?”
147>25=8P2 8 8I;">87 :23IHé3 :2; 8H925=4: 100% + 20% = 120% 172>"4 :2 ℎ8>2 H5 8ñ4, 85=23 :2; 8H925=4: ?
120% :2 ? = 552 1,2 · ? = 552 ? = 552 ∶ 1,2 = 460 €
SOLUCIÓN: “Hace un año el precio del billete era de 460 €”
DISMINUCIONES:
•
DIRECTO:
Problema 3: “Se ha aplicado una rebaja de un 15% a un televisor que costaba 900 €. ¿Cuánto cuesta
después de la rebaja?”
D85=":8: OH2 32 72<8P8: 15% :2 900 = 0,15 · 900 = 135 € Precio binal, después de la rebaja: 900 − 135 = 765 €
SOLUCIÓN: “Después de la rebaja el televisor cuesta 765 €”
•
INVERSO:
Problema 4: “He pagado por un televisor 765 € después de rebajar un 15% su precio original. ¿Cuánto
costaba antes de la rebaja?
147>25=8P2 8 8I;">87 :23IHé3 :2 ;8 72<8P8: 100% − 15% = 85% 172>"4 47"6"58;, 85=23 :2 ;8 72<8P8: ?
85% :2 ? = 765
0,85 · ? = 765 ? = 765 ∶ 0,85 = 900 €
