ARITMETICA AÑO4 p q p v q
V V V F F V
V V V
F F F
Lógica proposicional
1. Lógica proposicional
Es una parte de la lógica que estudia las proposiciones y la relación existente entre ellas, así como la función que tienen los conectivos lógicos.
2. Proposición lógica
Es aquella expresión u oración coherente que puede calificarse o bien como verdadero (V) o bien como falso (F) y sin ambigüedad. Las proposiciones lógicas generalmente se denotan con letras minúsculas, tales
4. Conectivos lógicos
Son elementos que sirven de enlace entre las proposiciones, para formar otra, denominada a veces proposición molecular.
Ej
e m p l o s :
a) Lima es la capital del Perú y Barcelona es la capital de España
p q
CONECTIVO LÓGICO
como: p, q, r, s, ..., etc.
Ej
e m p l o : Valor veritativo
b) 4 es un número impar o 15 es un número primo
p q
CONECTIVO LÓGICO p : 5 + 4 = 8 (F)
q : Todo hombre es mortal. (V) r : El Libertador Simón Bolívar nació en Lima. (F) s : 14 es un número primo. (F)
Nota: Las preguntas, mandatos, exclamaciones,
deseos, etc. NO son proposiciones lógicas ya que no se pueden calificar como verdaderas (V) o falsas (F).
Ejem plo:
Los conectivos lógicos empleados son:
4.1 Disyunción (se simboliza: “", se lee: "o")
Dos proposiciones se pueden enlazar por medio de la palabra "o", para formar una nueva proposición llamada dis yunc ión de ambas. La disyunción de las proposiciones "p o q" se denota: p q.
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3. Negación de una proposición
Consiste en cambiar el valor de verdad que tiene una Ej e m p l o :
p v q es falsa (F) únicamente cuando "p" y "q" son ambas falsas, en los demás casos es verdadera.
proposición. Si la proposición es "p", su negación se denota por "~p" y se lee: "no p" o "es falso que p". Las diferentes posibilidades las podemos esquematizar en una tabla, denominada Tabla de
verdad.
p ~p
p: 4 es menor que 7. (V)
q: 4 es igual a 7. (F)
La disyunción de ambas será:
“4 es menor que 7” o “4 es igual a 7”
simbólicamente: p v q
V F F V
Ej e m p l o :
p: 6 es un número par. (V)
~p: 6 no es un número par. (F)
Su valor de verdad (según la tabla): V F = V
4.2 Conjunción (se simboliza: "", se lee: "y")
p q
V V V F
F V F F
p q p q
V V V
V F
F V FF
F F V
p q V V
V F F V F F
p q p q
V V V
V F F
F V
F F VV
p q es verdadera
(V ) ú n i c a m e n t e cuando "p" y "q" son ambas verdaderas.
4.4 Bicondicional (simbolizada por: "", se lee: "si y
sólo si")
Es aquel conectivo que al enlazar "p" con "q" se denota "p q" y se lee: "p si y sólo si q".
Ej e m p l o :
p: 4 es menor que 7. (V)
q: 4 es igual a 7. (F)
La conjunción de ambas será:
“4 es menor que 7” y “4 es igual a 7”
simbólicamente: p q Su valor de verdad: V F =
F [Según la tabla]
N
o t a : Las palabras “sin embargo”, “pero”,
“además”, “también”, “incluso”, “no obstante”, “aunque”, “así mismo”, “tanto... como”, etc, equivalen al conectivo lógico “y”.
4.3 Condicional (se simboliza por: "", se lee: "si
...entonces...")
Muchas proposiciones, especialmente
matemáticas, son de la forma "si p entonces q". Tales proposiciones se denominan c o n di c io n a l e s y se les denota por: p q.
p q es verdadera
(V ) ú n i c a m e n t e cuando “p” y “q” tienen el mismo valor de verdad.
Ej e m p l o :
p: 4 es menor que 7. (V)
q: 4 es igual a 7. (F)
La bicondicional de ambas será:
“4 es menor que 7” si y sólo si “4 es igual a 7”
simbólicamente: p q
Su valor de verdad: V F = F [Según la tabla]
Nota: las palabras “cuando y sólo cuando”,
“entonces y sólo entonces”, etc, equivalen al conectivo lógico “si y sólo si”.
4.5 (Se simboliza: " ", se lee: “o ... o ...”)
A la proposición "p" se le denomina "antecedente" y a "q" "consecuente".
p q es falsa (F)
únicamente cuando “p” es verdadera y “q” es falsa, en los demás casos es verdadera.
Ej e m p l o :
p: Marco juega (V) q: Marco estudia (F)
p q es verdadera (V ) ú n i c a m e n t e cuando “p” y “q” t i e n e n d i f e r e n t e valor de verdad.
Ej e m p l o :
p: 4 es menor que 7. (V)
q: 4 es igual a 7. (F)
La disyunción exclusiva de ambos será: o bien Marco juega o bien estudia
simbólicamente: p q
La condicional de ambas será: Su valor de verdad: V F = V
Si: “4 es menor que 7” entonces “4 es igual a 7” [Según la tabla] simbólicamente: p
q
5. Proposiciones compuestas
Su valor de verdad: V F = F[Según la tabla]
Nota: Las palabras “por consiguiente”, “de modo
que”, “por lo tanto”, “en consecuencia”, “luego”, “dado que”, equivalen al conectivo condicional.
Utilizando conectivos lógicos se puede combinar cualquier número finito de proposiciones; para obtener otras, denominados proposiciones compuestas.
Ej
e m p l o s :
i. (p q) ( p s)
p q (p q)p
V V V F F V F F
V V V F F F V V F F V V
6. Tautología, Contradicción y
Contingencia
6.1 Tautología
Es toda proposición cuyo valor de verdad es siempre verdadero (V), para cualquier combinación de los valores de verdad de sus componentes, se le denota por "V".
Ej e m p l o :
La proposición: "p (p q)" es una t a u tologí a , tal como se puede comprobar en su tabla de verdad.
7. Implicación lógica
Se denomina así a toda condicional "p q" que sea una tautología y en tal caso la condicional se denota por "p q".
7.1 Equivalencia
lógica
Se denomina así a toda bicondicional "p q" que
sea una tautología y en tal caso la bicondicional se denota por "p q".
p q p V V V V F V F V F F F F
(p v q) V V V F
8. Álgebra de proposiciones
Son equivalencias lógicas que nos permiten simplificar un problema y expresarlo en forma más sencilla. Las demostraciones se hacen construyendo la tabla de verdad en cada caso.
Entonces: "p (p q)" = V
6.2 Contradicción
Es toda proposición cuyo valor de verdad es siempre falso (F), para cualquier combinación de los valores de verdad de sus componentes. Se le denota por “F”.
Ej e m p l o :
La proposición: "(p q) ~q" es una c o n t r a d i c c i ó n , tal como se puede comprobar en su tabla de verdad.
p q (p q)q
V V V F F V F F
V F F F F F F F F V F V Entonces: "(p q) ~q" = F
6.3 Contingencia
Es toda proposición lógica cuyo valor de verdad tiene al menos un verdadero (V) y un falso (F).
Ej e m p l o :
La proposición "(p q) ~p" es una c o n ti n g e nc ia tal como se puede comprobar en su tabla de verdad.
Principales leyes:
8.1 Ley de Idempotencia
p p p p p p
8.2 Ley Conmutativa
p q q p p q q p
8.3 Ley Asociativa
(p q) r p (q r) (p q) r p (q r)
8.4 Ley Distributiva
p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r)
8.5 Ley de la Doble Negación
~ (~p) p
8.6 Leyes de Identidad
p V V; p F p p V p; p F F
8.7 Leyes del Complemento
p ~p V p ~p F
8.8 Ley del Condicional
8.9 Ley del Bicondicional
p q (p q) (q p) p q (p q) (~p ~q)
8.10 Ley de Absorción
p (p q) p p (p q) p p (~p q) p q p (~p q) p q
8.11 Leyes de Morgan
~(p q) ~p ~q ~(p q) ~p ~q
Ejercicios
1. ¿Cuál de los siguientes enunciados no es una proposición lógica?
a) Todo hombre es inmortal. b) Cali es la capital de Colombia. c) Perú clasificará al mundial 2006 de fútbol. d) Muchas felicidades.
e) Viva el Perú.
f) 7 es un número primo.
2. Los valores de verdad de las siguientes
proposiciones: I. (2 + 5 = 7) (3 - 1 = 4) II. (3 + 5 = 8) (4 + 2 = 7)
III. (4 - 0 = 0) (6 - 4 1) IV. (5 + 4 9) (2 + 5 = 8)
Son respectivamente:
Rpta.: ...
3. Mediante una tabla de verdad comprobar las siguientes equivalencias lógicas:
a) p q (p q) ( p q)
b) (p q) p q c) p q p q
4. Si los valores veritativos de "p", "q" y "r" son V, F y V respectivamente, hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a) p r b) q q
c) q (r p) d) r (p q)
5. Si los valores veritativos de "m", "t" y "s", son F, V y V respectivamente, hallar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:
a) m t b) m s
c) (t s) m d) (s m) (t m)
6. Construir la tabla de verdad de las siguientes fórmulas, indicando si se trata de una tautología, contradicción o contingencia:
a) (r q) r b) (p q) p
c) (r q) ( p r) d) (p m) ( p m)
Problemas para la clase
Bloque I
1. De las siguientes expresiones, ¿cuáles son proposiciones lógicas:
I. Colombia es un país
sudamericano. II. 13 es un número primo.
III. Me siento bien. IV. ¿Cómo
llegaste?
a) Sólo II b) I y II c) Sólo III d) Sólo I e) I y III
2. Dadas las premisas:
p : Luis es doctor. q : Carlos es abogado. r : Pedro es ingeniero.
Cuál será la expresión simbólica del enunciado:
“Si Carlos es abogado y no es cierto que Luis es doctor, entonces Luis no es doctor o Pedro es ingeniero”.
a) (q ~ p) (~ p r) b) (q ~ p) (p r) c) (q ~ p) (~ p r) d) (q ~ p) (p r) e) N.A.
3. Dadas las proposiciones
compuestas: I. (3 . 0 = 3) (4 + 0
= 4)
II. (1 < -1) (5 2 < 2,5) III. (20 = 2) (4 + 5 9) IV. (8 . 0 = 0) (7 . 1 = 7)
Hallar sus valores de verdad.
a) VFFF b) VFVV c) VVFF
d) FFFV e) VFFV
4. Dadas las proposiciones lógicas:
Hallar los valores de verdad de:
I. ( ~ p q) (r p) II. ~ (p q) (q ~ r)
a) VV b) VF c) FF
d) FV e) Faltan Datos
5. Si la proposición compuesta: (~p r) q
es falsa, hallar los valores de verdad de “p”, “q” y “r” respectivamente.
a) FFV b) FFF c) VVF
d) VVV e) FVF
6. Si la siguiente proposición:
(~p r) (p s) es falsa, hallar el valor de verdad de:
I. (p ~q) r II. (q ~r) (s p)
a) Tautología b) Contingencia c) Contradicción d) Equipotencia e) Equivalencia
Bloque II
1. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas?
I. (3 + 7 10) (4 . 0 = 4) II. (12 + 5 < 15) (5 > -10) III. (7 . 1 = 7) (12 9 + 3)
a) I y II b) II y III c) Sólo I d) Sólo II e) Sólo III
2. Construir la tabla de verdad de la siguiente proposición compuesta:
(~p q) (p q) y dar el resultado.
a) FFVV b) FVVV c) FVVF
d) VVVF e) VVFF
7. Si la siguiente proposición: (~q p) (~p r) es verdadera, hallar el valor de:
~q)
el número de valores verdaderos en el resultado es:
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
I. (q ~r) p II. (~p ~q) (p r)
4. Sabiendo que:
(r q) ~p
a) VV b) VF c) FV
d) FF e) Faltan datos
8. Construir la tabla de verdad de: (~p q) (p ~q) e indicar de qué se trata.
es falsa, hallar los valores de verdad de:
I. (p r) (~q t) II. ~(~p q) (r q)
a) VV b) VF c) FV
d) FF e) Faltan datos
a) tautología b) contradicción
c) contingencia d) composición 5. Si la negación de: ~p (~q r) e) equipotencia
9. Construir la tabla de verdad de: (p ~q) (~p q)
luego indicar cuál de las proposiciones siguientes es verdadera.
I. Es una contingencia. II. Es una
contradicción.
III. Hay tres valores de verdad.
a) Sólo I b) Sólo II c) I y II d) I y III e) Sólo III
10.La siguiente proposición compuesta: ~(q p) (p ~q) es una:
es verdadera, hallar las proposiciones verdaderas.
I. p q, es verdadero. II. ~q r, es falsa.
III. “q” puede ser
verdadero.
a) Sólo I b) Sólo II c) I y II
d) I y III e) II y III
6. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son lógicamente equivalentes?
a) VV b) VF c) FV 3. Al construir la tabla de verdad de:
d) FF e) F.D. (p ~q) (p
a) I y II b) I y III c) II y III
7. La siguiente proposición compuesta:
~(p ~q) (p q) e) I. (r II. (p ~r)~p) q es una:
a) tautología b) contingencia c) contradicción d) equivalencia e) faltan datos
8. Si: “p” = todos los hombres son inmortales; y la proposición:
[(q ~p) (s ~q)](r ~p) es falsa. Hallar:
I. (p ~q) (r q) II. ~(q ~p) ~(p ~r)
a) VV b) VF c) FV d) VV e) Faltan datos
9. Sabiendo que la proposición “p” es verdadera, ¿en cuál de los siguientes casos es suficiente dicha información para determinar el valor de las proposiciones?
I. p ~q II. (~q p) ~r III. (~p q) r
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III
d) I y II e) II y III
10.Si la proposición compuesta: (p q) (~q ~r) es falsa. Hallar el valor de verdad de:
I. ~(p ~q) (~r q) II. (~p r) ~(q p)
a) VV b) VF c) FV d) FF e) Faltan datos
Bloque III
1. Dadas las proposiciones:
p : Luis es abogado. q : Carlos es biólogo.
r : Juan es
administrador.
¿Cuál es la expresión simbólica de los siguientes enunciados?
I. Si Juan es administrador y Luis no es abogado entonces Carlos no es biólogo.
II. Luis es abogado pero Juan no es administrador.
a) I. (r ~p) q b) I. (r ~p) ~q
II. p r II. p ~ r
c) I. r (~p q) d) I. (r ~p) ~q
2. De las siguientes proposiciones
compuestas: I. Si: 5 + 3 = 7 entonces 8
< 7.
II. 9 es mayor que 5 ó 4 es menor que 3. III. 25 = 5, sin embargo -42 =
16. IV. 3 < 4 si y sólo si 13 + 6 < 5 + 6.
Indicar los valores de verdad
respectivamente. a) V V V V b) V V V F
c) F V F V d) F V V V e) V V F F
3. Sabiendo que: (~r q) p es falso, hallar los valores de verdad de:
I. (~q p) (~r q) II. (p ~q) (~p r)
a) FF b) FV c) VF
d) VV e) Faltan datos
4. Sabiendo que:
(p q) ~r; es falsa. (s p) r; es verdadera.
¿Cuáles de las afirmaciones son
verdaderas? I. ~(p s) es verdadera. II. s q es falsa.
III. ~s es verdadera.
a) I y II b) I y III c) II y III d) Todos e) Sólo una de ellas
5. La proposición: (p q) (r s) es verdadera, teniendo “r” y “s” valores de verdad opuestos. Hallar los valores de verdad de:
I. (~p ~q) (r s)
II. [ ~(p q) (r s)] (~p q)
a) VV b) VF c) FV
d) FF e) Faltan datos
6. Simplificar:
[(~p q) r] (~q r)
a) ~q b) ~q r c) q r
d) q ~r e) q p
I. (~ p ~q) ~q II. (~r q) [(~q r) s] III. (p q) [(p q) ~q]
a) VFV b) VVF c) FVF d) FFV e) FFF
8. Si la proposición:
(p ~q) (p r)
es falsa. ¿Cuál de las siguientes proposiciones son verdaderas?
I. p q es falsa. II. r q es verdadera. III. ~q p es verdadera.
a) I y II b) I y III c) II y III
d) Todas e) Ninguna
9. La siguiente proposición:
~(p ~q) (q ~p) es una:
a) tautología b) contradicción c) contingencia d) equipotencia e) inducción
10.Se define el conectivo “#” por: p # q = ~p q Hallar el equivalente
de:
(p # ~q) # (q # ~p)
a) ~p q b) p ~q c) ~q p d) p q e) tautología
a) [(r ~p) q] (q ~r) b) [(r ~p) q] (q ~r) c) [(r ~p) ~q] (q ~r) d) [(r ~p) q] (q ~r) e) [(r ~p) q] (q ~r)
2. Si la proposición compuesta: (p ~q) ~t
es falsa, hallar los valores de verdad de “p”, “q” y “t” respectivamente.
a) VFF b) VVF c) FVF d) VFV e) FFV
3. Al construir la tabla de verdad de: (p ~q) (~p ~q)
el número de valores verdaderos en el resultado es:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 0
4. Si “p” es una proposición falsa, ¿a cuáles de las siguientes proposiciones compuestas se puede hallar su valor?
I. (p ~q) r II. ~p (q ~r) III. (p q) ~r
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III
d) I y II e) I y III
5. Dado el conector lógico “*”, cuya tabla es:
Autoevaluación
1. Si tenemos las proposiciones:
p: Luis estudia inglés
q: Luis trabaja por las tardes r: Luis es profesor de Física
simbolizar:
“Luis es profesor de Física y no estudia inglés, por lo tanto trabaja por las tardes; sin embargo trabajar por las tardes es condición suficiente y necesaria para no ser profesor de Física”.
p q p * q
V V V V F V F V F F F V construir la tabla de verdad de:
[p * (q * ~p)] * q e indicar de que se trata.
a) tautología b) contradicción
c) contingencia d) equivalencia
