1.- En cada uno de los gráficos de x en función de t de la
figura indicar:
a) si el módulo de la velocidad (velocidad escalar) en t2
es mayor, menor o igual que en t1 .
b) si el vector velocidad en t2 es mayor, menor o igual
que en t1.
2.- Indicar si la aceleración es positiva, negativa o cero en
cada una de las gráficas x=x(t) de la figura.
3.- Una partícula se mueve sobre una línea recta con una
aceleración a=2v. Si cuando t=0, X = 80 v = 160
m sg
m y ,
determinar la velocidad en función del tiempo, velocidad
en función de X, la posición en función del tiempo y el
tiempo necesario para que la partícula se desplace desde
X=0 hasta X=8.
4.- Si la aceleración de un móvil es función de x, siendo
a x( )=2 (m/sx 2) . a) Si la velocidad en x=1 m es cero,
¿cuál es la velocidad en x=3 m?, b) ¿cuánto tarda en desplazarse desde x=1 m hasta x=3 m ?.
5.- Una partícula se mueve sobre un plano horizontal siendo la aceleración que y actúa sobre ella a= − +
(
b cv)
,donde b y c son constantes y v es la velocidad de la partícula en cada instante. Sabiendo que en el instante inicial
la posición y velocidad son x=0 y v=vo , calcular: a) El tiempo transcurrido hasta que la partícula se
detiene , y b) espacio recorrido antes de detenerse.
6.- La aceleración de una partícula que cae bajo la influencia conjunta de la aceleración de la gravedad y de una
fuerza resistiva como la resistencia del aire o un líquido (es el caso de las gotas de lluvia o de una bolita que se
hunde en un líquido) viene dada por a= −g bv, en donde g es la aceleración de la gravedad, b una constante que
depende del medio y de la masa y forma de la partícula. Si en el instante inicial la velocidad de cero, a) estudiar
cualitativamente cómo varía la velocidad y la aceleración con el tiempo, b) la velocidad tiende a un valor
constante denominada velocidad límite ¿cuál es su valor?, c) como comprobación hallar la función v=v(t) y el
valor que alcanzaría para t→ ∞.
Problema 1
tangencial. c) Aceleración normal. d) Tipo de movimiento. e) Ecuación de la trayectoria.
1)
) cos
r (t) = (t + 5) i + 2t j + 2 k
r (t) = 5 2 t i + 5sen2 t j + 2 k
→ → → →
→ → → →
2 π π
8.- El vector posición de un cuerpo que se mueve en una trayectoria plana es:
r (t) = (2 t + 1) i + (2sen t - 2) j
→ → →
cosπ π
a) Encontrar la ecuación de su trayectoria. b) Demostrar que se trata de un movimiento circular uniforme. c)
Encontrar la frecuencia y período de su movimiento.
9.- Las coordenadas de una partícula que se mueve en el plano XY son x =8sen2t e y=4cos2t donde x e y se
miden en metros y t en segundos. Determinar :
a) Ecuación de la trayectoria y representarla.
b) ¿En qué sentido recorre la trayectoria.
c) Velocidad de la partícula a los 7π/8 segundos.
d) Aceleración tangencial, normal y total en dicho
instante.
10.- Un móvil describe una trayectoria dada por las
ecuaciones: x = pt; y =1 2p t
2
. Determinar: a) Vector de
posición. b) Velocidad y aceleración del móvil. c)
Componentes intrínsecas de la aceleración. d) Radio de
curvatura. e) Ecuación de la trayectoria.
11.- La velocidad de una partícula en cierto instante es:→v = 2 i - 3 j + 4 k→ → → y su aceleración →a = 3 i− →−2 k→ .
Determinar el radio de curvatura de la trayectoria en ese instante.
12.- Una partícula lleva la velocidad de 6 m/s en un instante dado y su aceleración es de 8 m/s2. Si sus vectores
representativos forman un ángulo de 600. Calcular: a) Componentes tangencial y normal de la aceleración, b)
Radio de curvatura en ese instante.
13.- Un punto inicialmente en el origen de coordenadas, está sometido a una aceleración a = 2 i + 2 j
→
− → →. Siendo
la velocidad inicial V = 4 io
→ →
. Determinar: a) La trayectoria del punto. b) Valor de la velocidad mínima. c)
Instante en que su velocidad es mínima. d) Posición para la velocidad mínima.
14.- El vector aceleración de una partícula referido a un punto O viene dado por:→a = 2(18 t + 1) i + 9 j2 → →
(S.I.). En
el origen de los tiempos (t=0) la velocidad es nula y el vector de posición de este punto es:r = 4 j + 6 kO
→ → →
.
Calcular el vector velocidad y el vector de posición en cualquier instante. Aplicar cuando t=2 s.
15.- La boquilla de una manguera arroja un chorro de agua en una dirección que forma un ángulo de 37o con la
horizontal, a una velocidad de 30 m/s. Determinar el radio de curvatura del chorro: a) al salir de la boquilla b) en
su punto más alto.
16.- Un punto se mueve siguiendo una trayectoria circular según la ley s(t) = t + 2 t3 2
(S.I.). Si la aceleración del
punto es 16 2 m
sg2 para t=2 s. Determinar el radio de la trayectoria.
17.- Un piloto de fórmula 1 recorre una vuelta a una velocidad de 180 km/h, la siguiente vuelta la recorre con
velocidad de 200 km/h. Calcular la velocidad media en las dos vueltas.
18.- Por la garganta de una pequeña polea fija pasa un hilo
inextensible cuyos extremos M y P están inicialmente a la
misma distancia h de la polea. Al punto P se le obliga a
realizar un movimiento rectilíneo horizontal con velocidad
constante V y en consecuencia el punto M asciende
verticalmente. Calcular la velocidad y aceleración del punto
M en función de h, V, y el camino recorrido x por P.
19.- Una partícula se mueve con velocidad constante en una
circunferencia de 3 m de radio, efectuando una revolución
en 20 s. a partir del origen O. a) Determinar:
r (t), v (t), a (t)
→ → →
. b) Particularizar para t=5 s, t=10 s, y
t=20 s.
20.- Un hombre viaja sobre una plataforma que avanza a
velocidad constante de 10 m/s, y desea lanzar una pelota a
través de un aro fijo situado a 10 m por encima de sus
manos, de modo que la pelota se mueva horizontalmente en
el instante de atravesar el aro. El hombre lanza la pelota con
Problema 19
lanzamiento. 2)Tiempo que tarda en llegar al aro. 3) Distancia horizontal que debe lanzar la pelota antes del aro.
21.- Un proyectil es lanzado con una velocidad vO= i - 3 j + 2 ko
→ → → →
(S.I.) desde un punto de coordenadas (2,1,1).
Si está sometido a la aceleración de la gravedad y a una aceleración debida al viento en el sentido positivo de OX
de valor 2 m s-2 . Calcular las ecuaciones del movimiento.
22.- Se lanza una piedra desde el techo de un edificio formando un ángulo de 300 con la horizontal y con una
velocidad inicial de 20 m s-1. Si la altura del edificio es de 45 m. calcular: a) ¿Cuánto tiempo estará la piedra en el aire antes de chocar con el suelo.? b)¿En dónde choca la piedra.? c)¿Cuál es la velocidad de la piedra en el
instante de chocar contra el suelo ?.
23.- Una pelota resbala por un tejado que forma un ángulo de 300 con la horizontal y, al llegar a su extremo, queda en libertad con una velocidad de 10 m s-1. La altura del edificio es 60 m y la anchura de la calle a la que vierte el tejado es 30 m. Calcular: a) Ecuaciones de movimiento de la pelota al quedar en libertad. b) Ecuación de la
trayectoria. c) ¿Llegará directamente al suelo o chocará antes con la pared opuesta.? d) Posición en que se
encuentra cuando su velocidad forma un ángulo de 450 con la horizontal.
24.- Un cañón dispara balas con una velocidad de 100 m s-1. Si 50 m por delante hay un obstáculo de 120 m de
altura, ¿con qué ángulo habrá de disparar para alcanzar un objetivo que está a 200 m ?.
25.- Un avión de bombardeo, en vuelo horizontal, a la
velocidad de 360 km/h y a una altura sobre un objetivo de
1000 m, deja caer una bomba. a)¿A qué distancia del
objetivo inmóvil, contada horizontalmente, debe proceder
al lanzamiento ?. b) Si el objetivo es un camión que marcha
en carretera horizontal a 72 km/h en la misma recta que el
bombardero, ¿a qué distancia del objetivo, contada
horizontalmente, se debe proceder al lanzamiento si el
objetivo se acerca?. Ídem si se aleja.
26.- Un hombre permanece de pie en una ladera lisa que
forma un ángulo α con la horizontal. Lanza una piedra con velocidad inicial Vo bajo un ángulo β. a) Demostrar, que si se desprecia la resistencia del aire, la piedra llega al suelo a una distancia s, en la parte inferior de la
pendiente tal que : s =2 V sen( + )
g
2 0
2
β α β
α cos
cos . b) Demostrar, además, que para valores dados de V0 y α, el valor
máximo de s se obtiene con β=π α
4 -2 1 y viene dado por : smax cos
2
27.- En un terreno se lanza una pelota verticalmente hacia arriba, con una velocidad inicial de 10 m/s. El viento
produce una fuerza horizontal constante sobre la pelota que es igual a la quinta parte del peso de esta. Se pide: a)
La distancia L, entre el impacto y el punto de lanzamiento. b)Velocidad de la pelota en el punto más alto de la
trayectoria. c) Altura máxima que alcanzará la pelota. d) Velocidad de la pelota en el momento del impacto. e)
Ángulo que forma la pelota con la horizontal en el momento del impacto. (Tómese g≈ 10 m s-2 ).
28.- Dos lugares A y B, al mismo lado de la orilla de un río perfectamente recto, está separados 4 km. Un hombre va
de A a B y de regreso a A en un bote de remos que se desplaza a 4 km/h con respecto al río. Otro hombre camina
a lo largo de la orilla de A hacia B y vuelve a A con una velocidad de 4 km/h. Si la velocidad de las aguas del río
es de 2 km/h, calcular el tiempo de retraso de uno a otro hombre.
29.- Desde un barco que se dirige hacia el Sur a 30 km/h, el viento parece soplar del Este. Después que el barco
cambia su rumbo y se dirige hacia el Oeste a la misma velocidad, el viento parece soplar del Noreste. Determinar
la velocidad del viento en módulo, dirección y sentido, suponiendo que ha permanecido constante.
30.- La posición de una partícula P en un sistema de coordenadas O viene dada por:
r (t) = (6 t - 4t) i - 3 t j + 3 k2 3
→ → → →
a) Determinar la velocidad relativa constante del sistema O, con respecto a O si la posición de P se mide
por: r (t) = (6 t + 3t) i - 3 t j + 3 k→' 2 → 3→ →
. Se pide:
b) Probar que la aceleración es la misma en los dos sistemas.
31.- Desde el interior de un tren que viaja 108 km/h un niño lanza un objeto por una ventana, con una velocidad de
36 km/h, horizontalmente y perpendicular a la marcha del tren, cuando pasa frente a un poste indicador. ¿A qué
distancia del poste contada a lo largo de la vía, y a qué distancia de ésta chocará el cuerpo con el suelo.? La altura
inicial sobre el suelo es de 2,45 m.
32.- Un coche marcha por una carretera a 25 m/s en dirección Norte-Sur. En el momento de pasar un cruce
perpendicular, un pasajero tira un paquete de cigarrillos con una elevación de 30o en un plano perpendicular al
movimiento del coche y hacia su izquierda. El módulo de la velocidad inicial del paquete relativa al coche es de
10 m/s y se lanza desde una altura de 1.2 m por encima de la carretera. Se sabe, además, que el viento sopla con
una velocidad de 5 m/s desde el Este. ¿En qué posición contando a partir del punto de lanzamiento caerá ?.¿Con
qué velocidad llegará al suelo ?.
y la anchura de tal río es de 100 m.
a) Suponiendo la posición de la proa perpendicular a las orillas, calcular el tiempo que tarda la barca en cruzar el
río y la distancia a que es arrastrada, aguas abajo por la corriente .
b) ¿En qué dirección debe colocarse la proa para alcanzar el punto de la orilla opuesta situado frente al de
partida.?
c) Velocidad respecto a la tierra de la barca.
d) En cada uno de los casos anteriores, hallar el tiempo que tarda en atravesar el río.
34.- Una persona anda de un lado a otro de una plataforma que se mueve lentamente, tardando 3 segundos en
cruzarla. La anchura de la plataforma es de 3 m, y se mueve a lo largo de una carretera recta con una velocidad
de 2 m s-1. Se pide:
a) Identificar el movimiento relativo, de arrastre y absoluto.
b) Calcular la trayectoria de la persona respecto al suelo.
c) Distancia que recorrerá respecto al suelo en el tiempo que tarda en atravesar la plataforma.
d) Velocidad de la persona respecto a tierra.
35.- Una lancha a motor que se desplazaba río arriba se encontró con unas balsas que flotaban aguas abajo.
Transcurrida una hora desde este encuentro, el motor de la lancha se paró. La reparación duró media hora, tiempo
durante el cual la lancha siguió la corriente del río. Reparado el motor, la lancha comenzó a bajar río abajo,
moviéndose con la misma velocidad que llevaba antes (respecto al agua), alcanzando las balsas a una distancia de
7,5 km del punto donde tuvo lugar el primer encuentro. Calcular la velocidad de la corriente del río supuesta
constante.
36.- Un ascensor sube con una aceleración de 3 ms-2 constante. Tres segundos después de haber partido del reposo,
un pasajero deja caer una moneda desde una altura de 1 m sobre el suelo del ascensor. Calcular el tiempo
transcurrido hasta que la moneda alcance el suelo. Resolver el problema, primero respecto de un observador
situado en el ascensor y después respecto de uno situado en tierra.
37.- Una persona conduce un coche, a la velocidad de 80 km/h, a través de una tormenta, y observa que las gotas de
lluvia dejan trazas, en las ventanillas laterales, que forman un ángulo de 800 con la vertical. Cuando detiene el coche advierte que la lluvia cae realmente vertical. Calcular, la velocidad relativa de la lluvia respecto del coche,
38.- Se deja caer una piedra desde un globo que asciende con una velocidad constante de 3 m/s, llegando al suelo a
los 3 s. Calcular: a)altura a que se encontraba el globo cuando se soltó la piedra. b)distancia globo-piedra a los 2
