Integral Impropia

Integrales Impropias

Integrales Impropias

Ver ´onica Brice ˜no V.

noviembre 2013

En esta Presentaci ´on...

Estudiaremos:

Z b

a

f(x)dx

en los casos:

Intervalo no acotado

En esta Presentaci ´on...

Estudiaremos:

Z b

a

f(x)dx

en los casos:

Intervalo no acotado

Asintota enx =ay/ox =b

Integrales Impropias de Primera Especie

Definici ´on

Integrales sobre intervalos no acotados, de la siguiente forma:

1 _{Seaf : [a,+}∞_[→_{Rintegrable en cada intervalo[a,b]. Se define:}

Z +∞

a

f(x)dx = l´ım

b→∞ Z b

a

f(x)dx

2 _{Seaf :]}− ∞_,b]→_{Rintegrable en cada intervalo[a,b]. Se define:}

Z b −∞

f(x)dx = l´ım

a→−∞ Z b

a

f(x)dx

3 _{Seaf :R→Rintegrable en cada intervalo[a,b]. Se define:}

Z +∞

−∞

f(x)dx =

Z c −∞

f(x)dx+

Z +∞

c

Integrales Impropias de Primera Especie

Definici ´on

Integrales sobre intervalos no acotados, de la siguiente forma:

1 _{Seaf : [a,+}∞_[→_{Rintegrable en cada intervalo[a,b]. Se define:}

Z +∞

a

f(x)dx = l´ım

b→∞ Z b

a

f(x)dx

2 _{Seaf :]}− ∞_,b]→_{Rintegrable en cada intervalo[a,b]. Se define:}

Z b −∞

f(x)dx = l´ım

a→−∞ Z b

a

f(x)dx

3 _{Seaf :R→Rintegrable en cada intervalo[a,b]. Se define:}

Z +∞

−∞

f(x)dx =

Z c −∞

f(x)dx+

Z +∞

c

f(x)dx,∀c ∈_R

Integrales Impropias de Primera Especie

Definici ´on

Integrales sobre intervalos no acotados, de la siguiente forma:

1 _{Seaf : [a,+}∞_[→_{Rintegrable en cada intervalo[a,b]. Se define:}

Z +∞

a

f(x)dx = l´ım

b→∞ Z b

a

f(x)dx

2 _{Seaf :]}− ∞_,b]→_{Rintegrable en cada intervalo[a,b]. Se define:}

Z b −∞

f(x)dx = l´ım

a→−∞ Z b

a

f(x)dx

3 _{Seaf :R→Rintegrable en cada intervalo[a,b]. Se define:}

Z +∞

−∞

f(x)dx =

Z c −∞

f(x)dx+

Z +∞

c

Integrales Impropias de Primera Especie

Definici ´on

Integrales sobre intervalos no acotados, de la siguiente forma:

1 _{Seaf : [a,+}∞_[→_{Rintegrable en cada intervalo[a,b]. Se define:}

Z +∞

a

f(x)dx = l´ım

b→∞ Z b

a

f(x)dx

2 _{Seaf :]}− ∞_,b]→_{Rintegrable en cada intervalo[a,b]. Se define:}

Z b −∞

f(x)dx = l´ım

a→−∞ Z b

a

f(x)dx

3 _{Seaf :R→Rintegrable en cada intervalo[a,b]. Se define:}

Z +∞

−∞

f(x)dx =

Z c −∞

f(x)dx+

Z +∞

c

f(x)dx,∀c ∈_R

Convergencia

Definici ´on

En los casos (1) y (2), se dice que la INTEGRAL CONVERGE, si existe ese l´ımite.

En caso contrario se dice que DIVERGE.

En el caso (3), la integral converge siRc

−∞y R+∞

c convergen en forma

Ejemplos

Calcular:

R+∞

1 (1−x)e −x_dx

R+∞

0 e

−x_dx

R+∞ 0

dx x2₊₁

R+∞ −∞

arc tg(x) 1+x2 dx

R+∞ 0

dx

√

x(1+x) R+∞

1

x−1

x3_−3x2_+x+5dx

Ejemplos

Calcular:

R+∞

1 (1−x)e −x_dx

R+∞

0 e

−x_dx

R+∞ 0

dx x2₊₁

R+∞ −∞

arc tg(x) 1+x2 dx

R+∞ 0

dx

√

x(1+x) R+∞

1

x−1

Ejemplos

Calcular:

R+∞

1 (1−x)e −x_dx

R+∞

0 e

−x_dx

R+∞ 0

dx x2₊₁

R+∞ −∞

arc tg(x) 1+x2 dx

R+∞ 0

dx

√

x(1+x) R+∞

1

x−1

x3_−3x2_+x+5dx

Ejemplos

Calcular:

R+∞

1 (1−x)e −x_dx

R+∞

0 e

−x_dx

R+∞ 0

dx x2₊₁

R+∞ −∞

arc tg(x) 1+x2 dx

R+∞ 0

dx

√

x(1+x) R+∞

1

x−1

Ejemplos

Calcular:

R+∞

1 (1−x)e −x_dx

R+∞

0 e

−x_dx

R+∞ 0

dx x2₊₁

R+∞ −∞

arc tg(x) 1+x2 dx

R+∞ 0

dx

√

x(1+x)

R+∞ 1

x−1

x3_−3x2_+x+5dx

Ejemplos

Calcular:

R+∞

1 (1−x)e −x_dx

R+∞

0 e

−x_dx

R+∞ 0

dx x2₊₁

R+∞ −∞

arc tg(x) 1+x2 dx

R+∞ 0

dx

√

x(1+x) R+∞

1

x−1

Integrales p

Son de la forma:

Z +∞

1 dx xp

Proposici ´on

Z +∞

1 dx

xpconverge ssip>1

Demostrar!!!

Integrales p

Son de la forma:

Z +∞

1 dx xp

Proposici ´on

Z +∞

1 dx

xpconverge ssip>1

Integrales p

Son de la forma:

Z +∞

1 dx xp

Proposici ´on

Z +∞

1 dx

xpconverge ssip>1

Demostrar!!!

Integrales p

Son de la forma:

Z +∞

1 dx xp

Proposici ´on

Z +∞

1 dx

xpconverge ssip>1

Integrales p

Son de la forma:

Z +∞

1 dx xp

Proposici ´on

Z +∞

1 dx

xpconverge ssip>1

Demostrar!!!

Integrales p

Son de la forma:

Z +∞

1 dx xp

Proposici ´on

Z +∞

1 dx

xpconverge ssip>1

Demostraci ´on:

p 6=1

Z b 1

dx xp =

b1−p

1−p +

1

p−1

Cuandob−→ ∞

R+∞ 1

dx

xp = _p−1₁ solo sip>1

p =1

Z b 1

dx

xp =ln(b)

Sib−→ ∞entonces la integral diverge.

Por tanto:

R+∞ 1

dx

xp = _p−1₁ solo sip>1

Demostraci ´on:

p 6=1

Z b 1

dx xp =

b1−p

1−p +

1

p−1

Cuandob−→ ∞

R+∞ 1

dx

xp = _p−1₁ solo sip>1

p =1

Z b 1

dx

xp =ln(b)

Sib−→ ∞entonces la integral diverge.

Por tanto:

R+∞ 1

dx

Demostraci ´on:

p 6=1

Z b 1

dx xp =

b1−p

1−p +

1

p−1

Cuandob−→ ∞

R+∞ 1

dx

xp = _p−1₁ solo sip>1

p =1

Z b 1

dx

xp =ln(b)

Sib−→ ∞entonces la integral diverge.

Por tanto:

R+∞ 1

dx

xp = _p−1₁ solo sip>1

Demostraci ´on:

p 6=1

Z b 1

dx xp =

b1−p

1−p +

1

p−1

Cuandob−→ ∞

R+∞ 1

dx

xp = _p−1₁ solo sip>1

p =1

Z b 1

dx

xp =ln(b)

Sib −→ ∞entonces la integral diverge.

Por tanto:

R+∞ 1

dx

Demostraci ´on:

p 6=1

Z b 1

dx xp =

b1−p

1−p +

1

p−1

Cuandob−→ ∞

R+∞ 1

dx

xp = _p−1₁ solo sip>1

p =1

Z b 1

dx

xp =ln(b)

Sib −→ ∞entonces la integral diverge.

Por tanto:

R+∞ 1

dx

xp = _p−1₁ solo sip>1

Demostraci ´on:

p 6=1

Z b 1

dx xp =

b1−p

1−p +

1

p−1

Cuandob−→ ∞

R+∞ 1

dx

xp = _p−1₁ solo sip>1

p =1

Z b 1

dx

xp =ln(b)

Sib −→ ∞entonces la integral diverge.

Por tanto:

R+∞ 1

dx

Ejemplos

Estudiar:

R+∞ 1

dx x3

R+∞ 1

dx

√

x

R+∞

1 3

dx x3

R+∞ 1

x3₊₁

x4 dx

Ejemplos

Estudiar:

R+∞ 1

dx x3

R+∞ 1

dx

√

x

R+∞

1 3

dx x3

R+∞ 1

x3₊₁

Ejemplos

Estudiar:

R+∞ 1

dx x3

R+∞ 1

dx

√

x

R+∞

1 3

dx x3

R+∞ 1

x3₊₁

x4 dx

Ejemplos

Estudiar:

R+∞ 1

dx x3

R+∞ 1

dx

√

x

R+∞

1 3

dx x3

R+∞ 1

x3₊₁

Proposici ´on

Seanf,g : [a,∞[−→_Rfunciones continuas.

α∈R,α6=0. Entonces

R+∞

a αf(x)dx converge ssi

R+∞

a f(x)dx converge.

En este caso:R_a+∞αf(x)dx =αR_a+∞f(x)dx

SiR+∞

a f(x)dx y

R+∞

a g(x)dx convergen.

EntoncesR+∞

a (f(x) +g(x))dx converge.

Mas a ´un,

R+∞

a (f(x) +g(x))dx =

R+∞

a f(x)dx+

R+∞

a g(x)dx

Proposici ´on

Seanf,g : [a,∞[−→_Rfunciones continuas.

α∈R,α6=0. Entonces

R+∞

a αf(x)dx converge ssi

R+∞

a f(x)dx converge.

En este caso:R+∞

a αf(x)dx =α

R+∞

a f(x)dx

SiR+∞

a f(x)dx y

R+∞

a g(x)dx convergen.

EntoncesR+∞

a (f(x) +g(x))dx converge.

Mas a ´un,

R+∞

a (f(x) +g(x))dx =

R+∞

a f(x)dx+

R+∞

Proposici ´on

Seanf,g : [a,∞[−→_Rfunciones continuas.

α∈R,α6=0. Entonces

R+∞

a αf(x)dx converge ssi

R+∞

a f(x)dx converge.

En este caso:R+∞

a αf(x)dx =α

R+∞

a f(x)dx

SiR+∞

a f(x)dx y

R+∞

a g(x)dx convergen.

EntoncesR+∞

a (f(x) +g(x))dx converge.

Mas a ´un,

R+∞

a (f(x) +g(x))dx =

R+∞

a f(x)dx+

R+∞

a g(x)dx

Teoremas de Convergencia para Funciones Positivas

Lema: SiF : [a,+∞[−→_Res una funci ´on creciente entonces:

l´ımx−→+∞F(x)existe o l´ımx−→+∞F(x) =∞

El primer caso se da si y solo siF es acotada superiormente.

Teorema de Comparaci ´on: Seanf,g : [a,+∞[−→Rfunciones

continuas en[a,+∞[tales que: 0≤f(x)≤g(x),∀x ≥a.

Entonces:

1 R+∞

a g(x)dx converge⇒

R+∞

a f(x)dxconverge.

2 R+∞

a f(x)dx diverge⇒

R+∞

a g(x)dxdiverge.

Teorema Criterio del Cuociente: Seanf,g: [a,+∞[−→_R

funciones continuas en[a,+∞[y no negativas tales que:

l´ımx−→+∞_gf(₍x_x)₎ =L>0. Entonces: R+∞

a f(x)dx converge ssi

R+∞

Teoremas de Convergencia para Funciones Positivas

Lema: SiF : [a,+∞[−→_Res una funci ´on creciente entonces:

l´ımx−→+∞F(x)existe o l´ımx−→+∞F(x) =∞

El primer caso se da si y solo siF es acotada superiormente.

Teorema de Comparaci ´on: Seanf,g: [a,+∞[−→_Rfunciones

continuas en[a,+∞[tales que: 0≤f(x)≤g(x),∀x ≥a.

Entonces:

1 R+∞

a g(x)dx converge⇒

R+∞

a f(x)dxconverge.

2 R+∞

a f(x)dx diverge⇒

R+∞

a g(x)dxdiverge.

Teorema Criterio del Cuociente: Seanf,g: [a,+∞[−→_R

funciones continuas en[a,+∞[y no negativas tales que:

l´ımx−→+∞_gf(₍x_x)₎ =L>0. Entonces: R+∞

a f(x)dx converge ssi

R+∞

a g(x)dx converge.

Teoremas de Convergencia para Funciones Positivas

Lema: SiF : [a,+∞[−→_Res una funci ´on creciente entonces:

l´ımx−→+∞F(x)existe o l´ımx−→+∞F(x) =∞

El primer caso se da si y solo siF es acotada superiormente.

Teorema de Comparaci ´on: Seanf,g: [a,+∞[−→_Rfunciones

continuas en[a,+∞[tales que: 0≤f(x)≤g(x),∀x ≥a.

Entonces:

1 R+∞

a g(x)dx converge⇒

R+∞

a f(x)dxconverge.

2 R+∞

a f(x)dx diverge⇒

R+∞

a g(x)dxdiverge.

Teorema Criterio del Cuociente: Seanf,g: [a,+∞[−→_R

funciones continuas en[a,+∞[y no negativas tales que:

l´ımx−→+∞_gf(₍x_x)₎ =L>0. Entonces: R+∞

a f(x)dx converge ssi

R+∞

Teoremas de Convergencia para Funciones Positivas

Lema: SiF : [a,+∞[−→_Res una funci ´on creciente entonces:

l´ımx−→+∞F(x)existe o l´ımx−→+∞F(x) =∞

El primer caso se da si y solo siF es acotada superiormente.

Teorema de Comparaci ´on: Seanf,g: [a,+∞[−→_Rfunciones

continuas en[a,+∞[tales que: 0≤f(x)≤g(x),∀x ≥a.

Entonces:

1 R+∞

a g(x)dx converge⇒

R+∞

a f(x)dxconverge.

2 R+∞

a f(x)dx diverge⇒

R+∞

a g(x)dxdiverge.

Teorema Criterio del Cuociente: Seanf,g: [a,+∞[−→_R

funciones continuas en[a,+∞[y no negativas tales que:

l´ımx−→+∞_gf(₍x_x)₎ =L>0. Entonces: R+∞

a f(x)dx converge ssi

R+∞

a g(x)dx converge.

Teoremas de Convergencia para Funciones Positivas

Lema: SiF : [a,+∞[−→_Res una funci ´on creciente entonces:

l´ımx−→+∞F(x)existe o l´ımx−→+∞F(x) =∞

El primer caso se da si y solo siF es acotada superiormente.

Teorema de Comparaci ´on: Seanf,g: [a,+∞[−→_Rfunciones

continuas en[a,+∞[tales que: 0≤f(x)≤g(x),∀x ≥a.

Entonces:

1 R+∞

a g(x)dx converge⇒

R+∞

a f(x)dxconverge.

2 R+∞

a f(x)dx diverge⇒

R+∞

a g(x)dxdiverge.

Teorema Criterio del Cuociente: Seanf,g: [a,+∞[−→_R

funciones continuas en[a,+∞[y no negativas tales que:

l´ımx−→+∞_gf(₍x_x)₎ =L>0. Entonces: R+∞

a f(x)dx converge ssi

R+∞

Ejemplos

Son convergente o divergentes???

R+∞ 1

dx

(x4₊₂₎2

R+∞ 1

x3_+3x2₊₁

x6_+4x4_{+2 senx}dx

R+∞

0 e

−x2

dx

R+∞ 1

1+ex

1+ex_+e2xdx

R+∞

0 x

3_e−x_dx

R+∞ 2

dx x2_(1+ex₎

R+∞ 2

x+2 23

√

x5dx

Ejemplos

Son convergente o divergentes???

R+∞ 1

dx

(x4₊₂₎2

R+∞ 1

x3_+3x2₊₁

x6_+4x4_{+2 senx}dx

R+∞

0 e

−x2

dx

R+∞ 1

1+ex

1+ex_+e2xdx

R+∞

0 x

3_e−x_dx

R+∞ 2

dx x2_(1+ex₎

R+∞ 2

x+2 23

√

Ejemplos

Son convergente o divergentes???

R+∞ 1

dx

(x4₊₂₎2

R+∞ 1

x3_+3x2₊₁

x6_+4x4_{+2 senx}dx

R+∞

0 e

−x2

dx

R+∞ 1

1+ex

1+ex_+e2xdx

R+∞

0 x

3_e−x_dx

R+∞ 2

dx x2_(1+ex₎

R+∞ 2

x+2 23

√

x5dx

Ejemplos

Son convergente o divergentes???

R+∞ 1

dx

(x4₊₂₎2

R+∞ 1

x3_+3x2₊₁

x6_+4x4_{+2 senx}dx

R+∞

0 e

−x2

dx

R+∞ 1

1+ex

1+ex_+e2xdx

R+∞

0 x

3_e−x_dx

R+∞ 2

dx x2_(1+ex₎

R+∞ 2

x+2 23

√

Ejemplos

Son convergente o divergentes???

R+∞ 1

dx

(x4₊₂₎2

R+∞ 1

x3_+3x2₊₁

x6_+4x4_{+2 senx}dx

R+∞

0 e

−x2

dx

R+∞ 1

1+ex

1+ex_+e2xdx

R+∞

0 x

3_e−x_dx

R+∞ 2

dx x2_(1+ex₎

R+∞ 2

x+2 23

√

x5dx

Ejemplos

Son convergente o divergentes???

R+∞ 1

dx

(x4₊₂₎2

R+∞ 1

x3_+3x2₊₁

x6_+4x4_{+2 senx}dx

R+∞

0 e

−x2

dx

R+∞ 1

1+ex

1+ex_+e2xdx

R+∞

0 x

3_e−x_dx

R+∞ 2

dx x2_(1+ex₎

R+∞ 2

x+2 23

√

Ejemplos

Son convergente o divergentes???

R+∞ 1

dx

(x4₊₂₎2

R+∞ 1

x3_+3x2₊₁

x6_+4x4_{+2 senx}dx

R+∞

0 e

−x2

dx

R+∞ 1

1+ex

1+ex_+e2xdx

R+∞

0 x

3_e−x_dx

R+∞ 2

dx x2_(1+ex₎

R+∞ 2

x+2 23

√

x5dx

Otro Teorema de Convergencia

Teorema

Seanf,g,hfunciones continuas en[a,+∞[tales que

g(x)≤f(x)≤h(x),∀x ≥a. Entonces:

SiR+∞

a g(x)dx y

R+∞

a h(x)dx convergen entonces

R+∞

a f(x)dx

converge.

Observaci ´on:

Este criterio se aplica si las funciones no son positivas. Ejemplo:

Z +∞

1

senx

Otro Teorema de Convergencia

Teorema

Seanf,g,hfunciones continuas en[a,+∞[tales que

g(x)≤f(x)≤h(x),∀x ≥a. Entonces:

SiR+∞

a g(x)dx y

R+∞

a h(x)dx convergen entonces

R+∞

a f(x)dx

converge.

Observaci ´on:

Este criterio se aplica si las funciones no son positivas. Ejemplo:

Z +∞

1

senx

x3 dx

Ejercicio:

Para que valores deβ >0, es convergente la integral impropia.

Z +∞

1

x

Integrales Impropias de Segunda Especie

Integrales sobre funciones no acotadas, esto es funciones que tienen

una asintota enx =ay/ox =b.

Definici ´on

Seaf : [a,b[→_Runa funci ´on no acotada, diremos quef es integrable

en[a,b[, si:

1 _{∀x ∈[a,b[,f es integrable en[a,x]} 2 _∃l´ım

x→b−Rx

a f(x)dx

Integrales Impropias de Segunda Especie

Integrales sobre funciones no acotadas, esto es funciones que tienen

una asintota enx =ay/ox =b.

Definici ´on

Seaf : [a,b[→_Runa funci ´on no acotada, diremos quef es integrable

en[a,b[, si:

1 _{∀x ∈[a,b[,f es integrable en[a,x]}

2 _∃l´ım

x→b−Rx

Integrales Impropias de Segunda Especie

Integrales sobre funciones no acotadas, esto es funciones que tienen

una asintota enx =ay/ox =b.

Definici ´on

Seaf : [a,b[→_Runa funci ´on no acotada, diremos quef es integrable

en[a,b[, si:

1 _{∀x ∈[a,b[,f es integrable en[a,x]} 2 _∃l´ım

x→b−Rx

a f(x)dx

Convergencia

Se tiene...

1 _{Cuando∃l´ım}

x→b−Rx

a f(x)dx se dice que la INTEGRAL

CONVERGE.

En caso contrario se dice que DIVERGE.

2 _{Notaci ´on:}

Rb−

a f(x)dx =l´ımx→b−Rx

a f(x)dx

3 _{Analogamente, se define:}

Rb

a+f(x)dx =l´ımx→a+Rb

x f(x)dx

y

Rb−

a+ f(x)dx = Rc

a+f(x)dx+ Rb−

c f(x)dx , parac ∈]a,b[.

Convergencia

Se tiene...

1 _{Cuando∃l´ım}

x→b−Rx

a f(x)dx se dice que la INTEGRAL

CONVERGE.

En caso contrario se dice que DIVERGE.

2 _{Notaci ´on:}

Rb−

a f(x)dx =l´ımx→b−Rx

a f(x)dx

3 _{Analogamente, se define:}

Rb

a+f(x)dx =l´ımx→a+Rb

x f(x)dx

y

Rb−

a+ f(x)dx = Rc

a+f(x)dx+ Rb−

c f(x)dx , parac ∈]a,b[.

Esta ´ultima converge ssi las dos integrales de la derecha convergen por separado.

Convergencia

Se tiene...

1 _{Cuando∃l´ım}

x→b−Rx

a f(x)dx se dice que la INTEGRAL

CONVERGE.

En caso contrario se dice que DIVERGE.

2 _{Notaci ´on:}

Rb−

a f(x)dx =l´ımx→b−Rx

a f(x)dx

3 _{Analogamente, se define:}

Rb

a+f(x)dx =l´ımx→a+Rb

x f(x)dx

y

Rb−

a+ f(x)dx = Rc

a+f(x)dx+ Rb−

c f(x)dx , parac ∈]a,b[.

Convergencia

Se tiene...

1 _{Cuando∃l´ım}

x→b−Rx

a f(x)dx se dice que la INTEGRAL

CONVERGE.

En caso contrario se dice que DIVERGE.

2 _{Notaci ´on:}

Rb−

a f(x)dx =l´ımx→b−Rx

a f(x)dx

3 _{Analogamente, se define:}

Rb

a+f(x)dx =l´ımx→a+Rb

x f(x)dx

y

Rb−

a+ f(x)dx = Rc

a+f(x)dx+ Rb−

c f(x)dx , parac ∈]a,b[.

Esta ´ultima converge ssi las dos integrales de la derecha convergen por separado.

Notar que...

Proposici ´on

Z 1

0+ dx

Notar que...

Proposici ´on

Z 1

0+ dx

xp converge ssip<1

Notar que...

Proposici ´on

Z 1

0+ dx

Notar que...

Proposici ´on

Z 1

0+ dx

xp converge ssip<1

Demostraci ´on:

Z 1

a

dx xp =

1

1−p −

a1−p

1−p

Cuandoa−→0+

R1 0+

dx

xp = ₁₋1_p solo si 0<p<1

p =1

Z 1

a

dx

xp =−ln(a)

Sia−→0+_{entonces la integral diverge.}

Por tanto:

Z 1

0+ dx xp =

1

Demostraci ´on:

Z 1

a

dx xp =

1

1−p −

a1−p

1−p

Cuandoa−→0+

R1 0+

dx

xp = ₁₋1_p solo si 0<p<1

p =1

Z 1

a

dx

xp =−ln(a)

Sia−→0+_{entonces la integral diverge.}

Por tanto:

Z 1

0+ dx xp =

1

1−p ssi 0<p<1

Demostraci ´on:

Z 1

a

dx xp =

1

1−p −

a1−p

1−p

Cuandoa−→0+

R1 0+

dx

xp = ₁₋1_p solo si 0<p<1

p =1

Z 1

a

dx

xp =−ln(a)

Sia−→0+_{entonces la integral diverge.}

Por tanto:

Z 1

0+ dx xp =

1

Demostraci ´on:

Z 1

a

dx xp =

1

1−p −

a1−p

1−p

Cuandoa−→0+

R1 0+

dx

xp = ₁₋1_p solo si 0<p<1

p =1

Z 1

a

dx

xp =−ln(a)

Sia−→0+_{entonces la integral diverge.}

Por tanto:

Z 1

0+ dx xp =

1

1−p ssi 0<p<1

Demostraci ´on:

Z 1

a

dx xp =

1

1−p −

a1−p

1−p

Cuandoa−→0+

R1 0+

dx

xp = ₁₋1_p solo si 0<p<1

p =1

Z 1

a

dx

xp =−ln(a)

Sia−→0+_{entonces la integral diverge.}

Por tanto:

Z 1

0+ dx xp =

1

Demostraci ´on:

Z 1

a

dx xp =

1

1−p −

a1−p

1−p

Cuandoa−→0+

R1 0+

dx

xp = ₁₋1_p solo si 0<p<1

p =1

Z 1

a

dx

xp =−ln(a)

Sia−→0+_{entonces la integral diverge.}

Por tanto:

Z 1

0+ dx xp =

1

1−p ssi 0<p<1

Notar que...

Notar que...

Se utilizan criterios similares a los ya vistos...

Notar que...

Teoremas de Convergencia para Funciones Positivas

Lema: SiF : [a,b[−→_Res una funci ´on creciente entonces:

l´ım_x−→b−F(x)existe o l´ım_x−→b−F(x) =∞

El primer caso se da si y solo si F es acotada superiormente.

Teorema de Comparaci ´on: Seanf,g : [a,b[−→Rfunciones

continuas en[a,b[tales que: 0≤f(x)≤g(x),∀x ∈[a,b[. Entonces:

1 Rb −

a g(x)dxconverge⇒

Rb−

a f(x)dxconverge.

2 Rb −

a f(x)dxdiverge⇒

Rb−

a g(x)dxdiverge.

Teorema Criterio del Cuociente: Seanf,g: [a,b[−→_Rfunciones

continuas en[a,b[y no negativas tales que:

l´ımx−→b− f(x)

g(x) =L>0. Entonces:

Rb−

a f(x)dx converge ssi

Rb−

a g(x)dx converge.

Teoremas de Convergencia para Funciones Positivas

Lema: SiF : [a,b[−→_Res una funci ´on creciente entonces:

l´ım_x−→b−F(x)existe o l´ım_x−→b−F(x) =∞

El primer caso se da si y solo si F es acotada superiormente.

Teorema de Comparaci ´on: Seanf,g: [a,b[−→_Rfunciones

continuas en[a,b[tales que: 0≤f(x)≤g(x),∀x ∈[a,b[. Entonces:

1 Rb −

a g(x)dxconverge⇒

Rb−

a f(x)dxconverge.

2 Rb −

a f(x)dxdiverge⇒

Rb−

a g(x)dxdiverge.

Teorema Criterio del Cuociente: Seanf,g: [a,b[−→_Rfunciones

continuas en[a,b[y no negativas tales que:

l´ımx−→b− f(x)

g(x) =L>0. Entonces:

Rb−

a f(x)dx converge ssi

Rb−

Teoremas de Convergencia para Funciones Positivas

Lema: SiF : [a,b[−→_Res una funci ´on creciente entonces:

l´ım_x−→b−F(x)existe o l´ım_x−→b−F(x) =∞

El primer caso se da si y solo si F es acotada superiormente.

Teorema de Comparaci ´on: Seanf,g: [a,b[−→_Rfunciones

continuas en[a,b[tales que: 0≤f(x)≤g(x),∀x ∈[a,b[. Entonces:

1 Rb −

a g(x)dxconverge⇒

Rb−

a f(x)dxconverge.

2 Rb −

a f(x)dxdiverge⇒

Rb−

a g(x)dxdiverge.

Teorema Criterio del Cuociente: Seanf,g: [a,b[−→_Rfunciones

continuas en[a,b[y no negativas tales que:

l´ımx−→b− f(x)

g(x) =L>0. Entonces:

Rb−

a f(x)dx converge ssi

Rb−

a g(x)dx converge.

Teoremas de Convergencia para Funciones Positivas

Lema: SiF : [a,b[−→_Res una funci ´on creciente entonces:

l´ım_x−→b−F(x)existe o l´ım_x−→b−F(x) =∞

El primer caso se da si y solo si F es acotada superiormente.

Teorema de Comparaci ´on: Seanf,g: [a,b[−→_Rfunciones

continuas en[a,b[tales que: 0≤f(x)≤g(x),∀x ∈[a,b[. Entonces:

1 Rb −

a g(x)dxconverge⇒

Rb−

a f(x)dxconverge.

2 Rb −

a f(x)dxdiverge⇒

Rb−

a g(x)dxdiverge.

Teorema Criterio del Cuociente: Seanf,g: [a,b[−→_Rfunciones

continuas en[a,b[y no negativas tales que:

l´ımx−→b− f(x)

g(x) =L>0. Entonces:

Rb−

a f(x)dx converge ssi

Rb−

Teoremas de Convergencia para Funciones Positivas

Lema: SiF : [a,b[−→_Res una funci ´on creciente entonces:

l´ım_x−→b−F(x)existe o l´ım_x−→b−F(x) =∞

El primer caso se da si y solo si F es acotada superiormente.

Teorema de Comparaci ´on: Seanf,g: [a,b[−→_Rfunciones

continuas en[a,b[tales que: 0≤f(x)≤g(x),∀x ∈[a,b[. Entonces:

1 Rb −

a g(x)dxconverge⇒

Rb−

a f(x)dxconverge.

2 Rb −

a f(x)dxdiverge⇒

Rb−

a g(x)dxdiverge.

Teorema Criterio del Cuociente: Seanf,g: [a,b[−→_Rfunciones

continuas en[a,b[y no negativas tales que:

l´ımx−→b− f(x)

g(x) =L>0. Entonces:

Rb−

a f(x)dx converge ssi

Rb−

a g(x)dx converge.

Observaci ´on

Notar que...

Estos criterios son validos paraRb

a+y Rb−

a g(x)dx, esto es , para los

Observaci ´on

Notar que...

Estos criterios son validos paraRb

a+y Rb−

a g(x)dx, esto es , para los

otros tipos de integrales impropias de segunda especie.

Observaci ´on

Notar que...

Estos criterios son validos paraRb

a+y Rb−

a g(x)dx, esto es , para los

Observaci ´on

Notar que...

Estos criterios son validos paraRb

a+y Rb−

a g(x)dx, esto es , para los

otros tipos de integrales impropias de segunda especie.

Ejemplos

Son convergente o divergentes???

R1 0

dx

√

x+x4

R1/2 0

dx

(1−x)x2

R2 0

2

√

x+3x3dx

R1 0

sen1_x √

x dx

R1

0 ln(x)dx R1 0 dx 3 √ x R1 0 4 √

6−xdx

R2 1

dx

√

−(x−2)(x−1) Rπ

0

x

Ejemplos

Son convergente o divergentes???

R1 0

dx

√

x+x4

R1/2 0

dx

(1−x)x2

R2 0

2

√

x+3x3dx

R1 0

sen1_x √

x dx

R1

0 ln(x)dx R1 0 dx 3 √ x R1 0 4 √

6−xdx

R2 1

dx

√

−(x−2)(x−1) Rπ

0

x

senxdx

Ejemplos

Son convergente o divergentes???

R1 0

dx

√

x+x4

R1/2 0

dx

(1−x)x2

R2 0

2

√

x+3x3dx

R1 0

sen1_x √

x dx

R1

0 ln(x)dx R1 0 dx 3 √ x R1 0 4 √

6−xdx

R2 1

dx

√

−(x−2)(x−1) Rπ

0

x

Ejemplos

Son convergente o divergentes???

R1 0

dx

√

x+x4

R1/2 0

dx

(1−x)x2

R2 0

2

√

x+3x3dx

R1 0 sen1 x √ x dx R1

0 ln(x)dx R1 0 dx 3 √ x R1 0 4 √

6−xdx

R2 1

dx

√

−(x−2)(x−1) Rπ

0

x

senxdx

Ejemplos

Son convergente o divergentes???

R1 0

dx

√

x+x4

R1/2 0

dx

(1−x)x2

R2 0

2

√

x+3x3dx

R1 0 sen1 x √ x dx R1

0 ln(x)dx

R1 0 dx 3 √ x R1 0 4 √

6−xdx

R2 1

dx

√

−(x−2)(x−1) Rπ

0

x

Ejemplos

Son convergente o divergentes???

R1 0

dx

√

x+x4

R1/2 0

dx

(1−x)x2

R2 0

2

√

x+3x3dx

R1 0 sen1 x √ x dx R1

0 ln(x)dx R1 0 dx 3 √ x R1 0 4 √

6−xdx

R2 1

dx

√

−(x−2)(x−1) Rπ

0

x

senxdx

Ejemplos

Son convergente o divergentes???

R1 0

dx

√

x+x4

R1/2 0

dx

(1−x)x2

R2 0

2

√

x+3x3dx

R1 0 sen1 x √ x dx R1

0 ln(x)dx R1 0 dx 3 √ x R1 0 4 √

6−xdx

R2 1

dx

√

−(x−2)(x−1) Rπ

0

x

Ejemplos

Son convergente o divergentes???

R1 0

dx

√

x+x4

R1/2 0

dx

(1−x)x2

R2 0

2

√

x+3x3dx

R1 0 sen1 x √ x dx R1

0 ln(x)dx R1 0 dx 3 √ x R1 0 4 √

6−xdx

R2 1

dx

√

−(x−2)(x−1)

Rπ 0

x

senxdx

Ejemplos

Son convergente o divergentes???

R1 0

dx

√

x+x4

R1/2 0

dx

(1−x)x2

R2 0

2

√

x+3x3dx

R1 0 sen1 x √ x dx R1

0 ln(x)dx R1 0 dx 3 √ x R1 0 4 √

6−xdx

R2 1

dx

√

−(x−2)(x−1) Rπ

0

x

Ejercicio:

Para que valores deα∈R, es convergente la integral impropia.

Z 1

0

xα p

x5_(1−x)dx

Integrales Impropias de Tercera Especie o Mixtas

Combinan las integrales impropias de primera y segunda especie. Ejemplo:

Z ∞

0

1

√

x +x4dx

Observaci ´on

La convergencia de las integrales impropias de tercera especie depender ´a de la convergencia de las integrales impropias de primera y segunda especie, que de ella se desprende.

En el ejemplo:

Z 1

0+

1

√

x +x4dx y Z ∞

1

1

√

x+x4dx

Integrales Impropias de Tercera Especie o Mixtas

Combinan las integrales impropias de primera y segunda especie. Ejemplo:

Z ∞

0

1

√

x +x4dx

Observaci ´on

La convergencia de las integrales impropias de tercera especie depender ´a de la convergencia de las integrales impropias de primera y segunda especie, que de ella se desprende.

En el ejemplo:

Z 1

0+

1

√

x+x4dx y Z ∞

1

1

√

x+x4dx

se utilizan estos mismos criterios para los otros tipos de integrales impropias de segunda especie.

Integrales Impropias de Tercera Especie o Mixtas

Combinan las integrales impropias de primera y segunda especie. Ejemplo:

Z ∞

0

1

√

x +x4dx

Observaci ´on

La convergencia de las integrales impropias de tercera especie depender ´a de la convergencia de las integrales impropias de primera y segunda especie, que de ella se desprende.

En el ejemplo:

Z 1

0+

1

√

x+x4dx y Z ∞

1

1

√

x+x4dx

Integrales Impropias de Tercera Especie o Mixtas

Combinan las integrales impropias de primera y segunda especie. Ejemplo:

Z ∞

0

1

√

x +x4dx

Observaci ´on

La convergencia de las integrales impropias de tercera especie depender ´a de la convergencia de las integrales impropias de primera y segunda especie, que de ella se desprende.

En el ejemplo:

Z 1

0+

1

√

x+x4dx y Z ∞

1

1

√

x+x4dx

se utilizan estos mismos criterios para los otros tipos de integrales impropias de segunda especie.

Ejemplos

Son convergente o divergentes???

R+∞ 0

x+5

x3_+xdx

R+∞ 0

senx x4 dx

R+∞ 0

lnx x2dx

R+∞

0 e

Ejemplos

Son convergente o divergentes???

R+∞ 0

x+5

x3_+xdx

R+∞ 0

senx x4 dx

R+∞ 0

lnx x2dx

R+∞

0 e

−x_ln(1+ex_)dx

Ejemplos

Son convergente o divergentes???

R+∞ 0

x+5

x3_+xdx

R+∞ 0

senx x4 dx

R+∞ 0

lnx x2dx

R+∞

0 e

Ejemplos

Son convergente o divergentes???

R+∞ 0

x+5

x3_+xdx

R+∞ 0

senx x4 dx

R+∞ 0

lnx x2dx

R+∞

0 e

−x_ln(1+ex_)dx

Ejercicios Propuestos:

Para que valores deαyβson convergentes:

a)R+∞

1 xαeβ

x_dx

b)R+∞

0

dx xα_(1+xβ₎ c)R1

0 xα(1−x)βdx

Convergen o divergen???

1 R2 −1

dx x3

2 R1

0

dx √

x

3 R∞

0

1−cosx

x2 dx

4 R∞

0

x

Ejercicios Propuestos:

Para que valores deαyβson convergentes:

a)R+∞

1 xαeβ

x_dx

b)R+∞

0

dx xα_(1+xβ₎ c)R1

0 xα(1−x)βdx

Convergen o divergen???

1 R2 −1

dx x3

2 R1

0

dx √

x

3 R∞

0

1−cosx

x2 dx

4 R∞

0

x

(x2₊₄₎2dx

Ejercicios Propuestos:

Para que valores deαyβson convergentes:

a)R+∞

1 xαeβ

x_dx

b)R+∞

0

dx xα_(1+xβ₎ c)R1

0 xα(1−x)βdx

Convergen o divergen???

1 R2 −1

dx x3

2 R1

0

dx √

x

3 R∞

0

1−cosx

x2 dx

4 R∞

0

x

Ejercicios Propuestos:

Para que valores deαyβson convergentes:

a)R+∞

1 xαeβ

x_dx

b)R+∞

0

dx xα_(1+xβ₎ c)R1

0 xα(1−x)βdx

Convergen o divergen???

1 R2 −1

dx x3 2 R1

0

dx √

x

3 R∞

0

1−cosx

x2 dx

4 R∞

0

x

(x2₊₄₎2dx

Ejercicios Propuestos:

Para que valores deαyβson convergentes:

a)R+∞

1 xαeβ

x_dx

b)R+∞

0

dx xα_(1+xβ₎ c)R1

0 xα(1−x)βdx

Convergen o divergen???

1 R2 −1

dx x3 2 R1

0

dx √

x

3 R∞

0

1−cosx

x2 dx

4 R∞

0

x

Ejercicios Propuestos:

Para que valores deαyβson convergentes:

a)R+∞

1 xαeβ

x_dx

b)R+∞

0

dx xα_(1+xβ₎ c)R1

0 xα(1−x)βdx

Convergen o divergen???

1 R2 −1

dx x3 2 R1

0

dx √

x

3 R∞

0

1−cosx

x2 dx

4 R∞

0

x

(x2₊₄₎2dx

Ejercicios Propuestos:

Muestre que siα >1 entonces la integral impropia

Z ∞

0

1

√

x+xαdx es convergente.

Seaf[0,∞[−→Runa funci ´on continua.

Determine la validez de la siguiente afrmaci ´on (en caso de ser verdad, dar una argumentaci ´on; y en caso de ser falso, dar un contra-ejemplo).

Si la integral impropiaR∞

0 f(x)dx converge, entonce la integral

impropiaR∞

Ejercicios Propuestos:

Muestre que siα >1 entonces la integral impropia

Z ∞

0

1

√

x+xαdx es convergente.

Seaf[0,∞[−→Runa funci ´on continua.

Determine la validez de la siguiente afrmaci ´on (en caso de ser verdad, dar una argumentaci ´on; y en caso de ser falso, dar un contra-ejemplo).

Si la integral impropiaR₀∞f(x)dx converge, entonce la integral

impropiaR∞

0 (1+f(x))dxconverge.