Espacios Vectoriales Básicos

(1)

Araceli Guzm´an y Guillermo Garro Facultad de Ciencias

UNAM

(2)

1. Los espacios vectorialesR2 yR3. 2. Subespacios deR2. Rectas por el origen.

3. Subespacios deR3. Planos y rectas por el origen. 4. Espacios y subespacios vectoriales

5. Independencia Lineal. Conjunto generador.

6. Base y dimensi´on.

7. Producto escalar y producto vectorial.

8. Triple producto escalar.

Duraci´on:

20 horas.

Fecha del examen

(3)

Referencias:

1. Preston, G. C., & Lovaglia, A. R. (1971). Modern analytic geometry. New York: HarperCollins Publishers.

2. Ram´ırez-Galarza, Ana I. (2013).Geometr´ıa anal´ıtica: una introducci´on a la geometr´ıa.M´exico: Las Prensas de Ciencias, UNAM.

3. Bracho, Javier (2009). Introducción anal´ıtica a las geometr´ıas. México: Fondo de Cultura Económica.

4. Borceux, Francis. (2014).Geometric Trilogy II: An Algebraic Approach to Geometry. Berlin: Springer.

(4)

(5)

Definici´on

Unespacio vectoriales un conjunto no vac´ıoV, cuyos elementos son llamadosvectores, en el cual est´an definidas dos operaciones:

(a) suma(de vectores): u+v, para todouyvelementos enV,

(b) producto por un escalar:tu, para todot∈_Ryu∈V, tales que se cumplen la propiedades:

Propiedades de la suma:

(i) Cerradura de la suma:

∀u,v∈V, u+v∈V.

(ii) La suma es conmutativa:

∀u,v∈V, u+v=v+u.

(iii) La suma es asociativa:

∀u,v,w∈V, (u+v)+w=u+(v+w).

(iv) Existe un ´uniconeutropara la suma:

∃!0∈V (∀u∈V)(u+0=u).

(v) Todo elemento deV tiene un ´unico

inversorelativo a la suma enV:

∀u∈V(∃ −u∈V)(u+ (−u) =0).

Para todouyvenV, definimos

u−v:=u+ (−v).

En particular,

(6)

(a) suma(de vectores): u+v, para todouyvelementos enV,

(b) producto por un escalar:tu, para todot∈Ryu∈V, tales que se cumplen la propiedades:

Propiedades del producto por un escalar:

(vi) Cerradura del producto por un escalar:

∀t∈_Ry∀u, tu∈V.

(vii) El producto por escalares puede asociarse de cualquier forma: ∀s, t∈_Ry∀u∈U,

s(tu) = (st)u=t(su).

(viii) El1∈Res neutro para el producto

por un escalar

∀u∈U, 1u=u.

(ix) El producto por un escalar se distribuye bajo la suma de vectores:

∀t∈Ry∀u,v∈V, t(u+v) =tu+tv.

(x) El proucto por un escalar distribuye la suma de escalares:

(7)

Espacios Vectoriales B´

asicos

4. Espacios y subespacios vectoriales

Observaci´on

Las propiedades de unicidad en (iv) y (v) de hecho pueden probarse asumiendo el resto de las propiedades:

En particular,

00=0+00=00+0=0

Ahora, seau∈V y supongamos queu0 yu00son vectores deV tales que

u+u0=0=u+u00. tenemos entonces,

u0=0+u0= (u+u00) +u0= (u00+u) +u0=u00+ (u+u0) =u00+0=u00.

Pregunta:

(8)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Observaci´on

En efecto, supongamos que0y00son vectores deV tales que para todou∈V,

0+u=u y 00+u=u.

tenemos entonces,

u0=0+u0= (u+u00) +u0= (u00+u) +u0=u00+ (u+u0) =u00+0=u00.

Pregunta:

(9)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Observaci´on

0+u=u y 00+u=u. En particular,

00=0+00=00+0=0

tenemos entonces,

u0=0+u0= (u+u00) +u0= (u00+u) +u0=u00+ (u+u0) =u00+0=u00.

Pregunta:

(10)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Observaci´on

00=0+00=00+0=0

u+u0=0=u+u00.

(11)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Observaci´on

00=0+00=00+0=0

(12)

00=0+00=00+0=0

u0=0+u0= (u+u00) +u0= (u00+u) +u0=u00+ (u+u0) =u00+0=u00.

Pregunta:

(13)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Observaci´on

En general, se define espacio vectorial sobre uncampoescalarF. Esto es, el conjunto

de escalares es un conjuntoFcon estructura de campo (cuerpo).

propiedad arquimidiana), que carecen de importancia desde un punto de vista algebraico. Por ejemplo, el conjunto de los n´umeros racionalesQ, con la operaciones usuales de

suma y producto, es un campo (cuerpo), porque todas las propiedades algebraicas de estas operaciones que se cumplen enR, se cumple enQ: conmutatividad, asociatividad, distributividad, existencia y unicidad del nulo aditivo, existencia y unicidad del elemento identidad, existencia y unicidad de inversos multiplicativos para elmentos no nulos. Pero el conjuntoZde los n´umeros enteros, con las operaciones de suma y producto usuales,

no es un campo (¿por qu´e?).

Los números complejosCtambién son un campo. Y hay muchos ejemplos más.

De modo que, si un conjuntoV cumple las propiedades (i)-(x), pero con la diferencia de que el conjunto de escalares no es necesariamenteR, sino un campoF, decimos queV

es un espacio vectorialsobreF. SiF=R, decimos que se trata de un espacio vectorial

real. SiF=C, decimos que es un espacio vectorialcomplejo.

(14)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Observaci´on

No queremos entrar en detalles, solo diremos que un campo es, desde un punto de vista algebraico, como el conjunto de los n´umeros reales R (algo parecido) con las

operaciones de suma y producto, salvo las propiedades de orden y continuidad (l´ease, propiedad arquimidiana), que carecen de importancia desde un punto de vista algebraico.

(15)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Observaci´on

operaciones de suma y producto, salvo las propiedades de orden y continuidad (l´ease, propiedad arquimidiana), que carecen de importancia desde un punto de vista algebraico. Por ejemplo, el conjunto de los n´umeros racionalesQ, con la operaciones usuales de

suma y producto, es un campo (cuerpo), porque todas las propiedades algebraicas de estas operaciones que se cumplen enR, se cumple enQ:

el conjuntoZde los n´umeros enteros, con las operaciones de suma y producto usuales,

(16)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Observaci´on

(17)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Observaci´on

(18)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Observaci´on

(19)

Observaci´on

(20)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Ejemplo

El conjuntoRcon las operaciones de suma y producto usuales es un espacio vectorial.

Ejemplo

En general, para todox= (x1, ..., xn)yy= (y1, ..., yn)enRn, yt∈R, definimos x+y= (x1+y1, ..., xn+yn) y tx= (tx1, ..., txn).

EntoncesRnes un espacio vectorial con estas operaciones.

Ejemplo

SeaV ={x}, conxcualquier cosa, y definimos

x+x=x y para todot∈_R, tx=x.

(21)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Ejemplo

Los conjuntosR2 yR3 con las operaciones que hemos definido antes, son espacios vectoriales. Las rectas por el origen en R2 y R3 son ejemplos tambi´en de espacios

vectoriales. Los planos por el origen enR3 son espacios vectoriales.

x+y= (x1+y1, ..., xn+yn) y tx= (tx1, ..., txn).

Ejemplo

(22)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Ejemplo

(23)

Ejemplo

(24)

Ejemplo

Sean≥0, y seaPnes espacio de todos los polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual an, en una variable real. Es decir,Pn, es un conjunto de funciones de la forma

pn(x) =anxn+an−1xn−1+· · ·+a1x+a0, ∀x∈R,

dondea0,...,anson n´umeros reales. Sipnyqnest´an enP0, definimos la sumapn+qn como el polinomio

(pn+qn)(x) :=pn(x) +qn(x), ∀x∈R, y sit∈R, definimos entoncestpncomo el polinomio

(tpn)(x) =tpn(x), ∀x∈R.

(25)

Ejemplo

En general, seaC(R)el conjunto de todas las funcionesf :R→Rcontinuas.

En-toncesC(R)es un espacio vectorial con las operaciones usuales de suma y producto de funciones.

Ejemplo

Seana < benR, y seaC0([a, b])el conjunto de todas las funciones reales continuasf sobre todo[a, b]y diferenciables en(a, b). EntoncesC0([a, b]) es un espacio vectorial con las operaciones usuales de suma y producto de funciones.

Ejemplo

Seana < benR, y seaL1([a, b])el conjunto de todas las funciones reales integrables

(26)

Teorema

SeaV un espacio vectorial.

1. Para todot∈_R,

t0=0.

2. Para todov∈V,

0v=0.

3. Para todov∈V,

−1u=−u

Demostraci´on.

(27)

Teorema

SeaV un espacio vectorial. Para todov∈V yt∈R,

tv=0 ⇔ t= 0 ´o v=0.

Demostraci´on.

(28)

Definici´on

SeaV un espacio vectorial. Decimos que U 6=∅ es unsubespacio vectorial(o para abreviar, solosubespacio) deV si

(a) U⊂V.

(b) Ues un espacio vectorial bajo las mismas operaciones de suma de vectores y producto por un escalar definidas enV.

(29)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Teorema

SeaV un espacio vectorial y seaU⊂V un subespacio deV. Entonces el neutro relativo a la suma enUcoincide con el neutro para la suma enV. Los inversos aditivos enUde elementos deU, coinciden con los inversos aditivos enV.

Demostraci´on.

Sea0U∈Uel neutro para la suma enU. Seau∈Ucualquiera.

0U= 0u=0.

Ahora, seau∈Uy seau0_∈_U_{el inverso aditivo (en}_{U) de}_u_{. Esto es,}

u+u0=0.

(30)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Teorema

Demostraci´on.

Sea0U∈Uel neutro para la suma enU. Seau∈Ucualquiera. Como las operaciones enUson las mismas que enV, yU⊂V, se sigue en particular que

(31)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Teorema

Demostraci´on.

0U= 0u=0.

(32)

Teorema

Demostraci´on.

0U= 0u=0.

u+u0=0.

(33)

Teorema

SeaV un espacio vectorial. Un subconjuntoU6=∅deV es un subespacio deV, si y s´olo si, para todos, t∈Ry para todou,v∈U,

su+tv∈U.

Demostraci´on.

(34)

Teorema

SiU1 yU2 son subespacios de un espacio vectorialV, entoncesU1∩U2 es un

subespacio deV.

Demostraci´on.

(35)

(36)

Teorema

Si V es un espacio vectorial, y v1,...,vn son elementos de V y t1,...,tn son n´umeros reales, entonces

t1v1+· · ·+tnvn∈V.

Demostraci´on.

(37)

Definici´on

SeaV un espacio vectorial. Unacombinaci´on lineal de vectores deV, es cualquier suma finita de la forma

t1v1+· · ·+tnvn,

dondev1, ...,vn∈V yt1, ..., tn∈R.

Observaci´on

(38)

Espacios Vectoriales B´

asicos

5. Independencia lineal. Conjunto generador

Definici´on

SeaV un espacio vectorial, y seanv1,...,vnvectores deV. Decimos quev1,...,vnson

linealmente independientes(lo que abreviamos como l.i.) si para todot1, ..., tn∈R,

t1v1+t2v2+· · ·+tnvn=0 ⇔ t1=t2=· · ·=tn= 0.

Si un conjunto de vectoresv1,...,vn no es l.i, entonces decimos que ellinealmente

dependiente, lo que abreviamos l.d.

Observaci´on

(39)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Definici´on

t1v1+t2v2+· · ·+tnvn=0 ⇔ t1=t2=· · ·=tn= 0.

Observaci´on

(40)

t1v1+t2v2+· · ·+tnvn=0 ⇔ t1=t2=· · ·=tn= 0.

Observaci´on

Un conjunto de vectoresv1,...,vndeV es l.i., si y s´olo si, para todot1, ..., tn∈R, t1v1+t2v2+· · ·+tnvn=0 ⇒ t1=t2=· · ·=tn= 0.

Observaci´on

(41)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Observaci´on

Un conjunto de vectoresv1,...,vn de V es l.d., si y s´olo si, existe una colecci´on de escalarest1, ..., tn, no todos cero, tales que

t1v1+t2v2+· · ·+tnvn=0.

t1v1+t2v2+· · ·+tj−1vj−1+tj+1vj+1+· · ·+tnvn=vj.

(42)

Observaci´on

Un conjunto de vectoresv1,...,vn de V es l.d., si y s´olo si, existe una colecci´on de escalarest1, ..., tn, no todos cero, tales que

t1v1+t2v2+· · ·+tnvn=0.

Observaci´on

Un conjunto de vectoresv1,...,vnde V es l.d., si y sólo si, para algúnj, existe una colección de escalarest1, ..., , tj−1, tj+1, ..., tntales que

t1v1+t2v2+· · ·+tj−1vj−1+tj+1vj+1+· · ·+tnvn=vj.

(43)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Ejemplo

SeaPnel espacio de todos lo polinomios de variable real, con coeficientes reales, de grado menor o igual an. Consideremos los polinomios

µ0(x) = 1, µ1(x) =x, µ2(x) =x2_, _{· · ·} _µ

n(x) =xn, ∀x∈R.

Entoncesµ1,...,µnson l.i.

Esto es,

a0+a1x+· · ·+anxn= 0, ∀x∈R. En particular, six= 0, se sigue que

(44)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Ejemplo

µ0(x) = 1, µ1(x) =x, µ2(x) =x2_, _{· · ·} _µ

n(x) =xn, ∀x∈R.

En efecto, seana0,...,ann´umeros reales tales que

a0µ0(x) +a1µ1(x) +· · ·+anµn(x) = 0, ∀x∈R.

Esto es,

(45)

Ejemplo

µ0(x) = 1, µ1(x) =x, µ2(x) =x2_, _{· · ·} _µ

n(x) =xn, ∀x∈R.

En efecto, seana0,...,ann´umeros reales tales que

a0µ0(x) +a1µ1(x) +· · ·+anµn(x) = 0, ∀x∈R.

Esto es,

a0+a1x+· · ·+anxn= 0, ∀x∈R.

En particular, six= 0, se sigue que

(46)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Ejemplo

(Continuaci´on) De modo que

x(a1+a2x+· · ·+anxn−1) =a1x+a2x2+· · ·+anxn= 0, ∀x∈R.

Continuando de esta manera, concluimos que

(47)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Ejemplo

x(a1+a2x+· · ·+anxn−1) =a1x+a2x2+· · ·+anxn= 0, ∀x∈R. Por tanto,

a1+a2x+· · ·+anxn−1= 0, ∀x∈R

(48)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Ejemplo

a1+a2x+· · ·+anxn−1= 0, ∀x∈R

(49)

Ejemplo

a1+a2x+· · ·+anxn−1= 0, ∀x∈R

a1= 0.

(50)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Definici´on

SeaV un espacio vectorial, y seaU={u1, ...,un}una colecci´on finita de de vectores enV. Elespacio generadoporU, denotado como gen(U), es el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores deU. Esto es

gen(U) :={v∈V :∃t1, ..., tn∈Rtal quev=t1u1+· · ·+tnun}

:={t1u1+· · ·+tnun:t1, ..., tn∈R}.

gen({u,v}) =P0

u,v.

Ejemplo

Consideremos el conjunto de monomiosMn={µ0, ..., µn}, entonces

(51)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Definici´on

:={t1u1+· · ·+tnun:t1, ..., tn∈R}.

Ejemplo

Sives un vector no nulo deR2, entonces gen({v}) =Lv

gen({u,v}) =P0

u,v.

Ejemplo

(52)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Definici´on

:={t1u1+· · ·+tnun:t1, ..., tn∈R}.

Ejemplo

Siuyvson vectores no nulos enR3linealmente independientes, entonces gen({u,v}) =P0

(53)

Definici´on

:={t1u1+· · ·+tnun:t1, ..., tn∈R}.

Ejemplo

Siuyvson vectores no nulos enR3linealmente independientes, entonces gen({u,v}) =P0

u,v.

Ejemplo

(54)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Teorema

SeaV un espacio vectorial, y seaU={u1, ...,un}una colecci´on finita de de vectores enV. Entonces

gen(U) ={v∈V :∃t1, ..., tn∈Rtal quev=t1u1+· · ·+tnun}. es un subespacio deV.

Entonces

sv+s0v0=s(t1u1+· · ·+tnun) +s0(t01u1+· · ·+t

0

nun)

= (st1u1+· · ·+stnun) + (s0t01u1+· · ·+s

0

t0nun)

(55)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Teorema

Demostraci´on.

Seansys0 n´umeros reales, y seanvyv0vectores de gen(U), es decir, para algunas constantest1, ..., tnyt01, ..., t0n,

v=t1u1+· · ·+tnun y v0=t01u1+· · ·+t0nun.

= (st1u1+· · ·+stnun) + (s0t01u1+· · ·+s

0

t0nun)

(56)

Demostraci´on.

Seansys0 n´umeros reales, y seanvyv0vectores de gen(U), es decir, para algunas constantest1, ..., tnyt01, ..., t0n,

v=t1u1+· · ·+tnun y v0=t01u1+· · ·+t0nun. Entonces

sv+s0v0=s(t1u1+· · ·+tnun) +s0(t01u1+· · ·+t

0

nun)

= (st1u1+· · ·+stnun) + (s0t01u1+· · ·+s

0

t0nun)

(57)

Vamos a terminar esta secci´on con la prueba de un teorema bastante importante, pero para ello primero enunciamos y probamos un peque˜no resultado sobre ciertos sistemas de ecuaciones.

Lema

Si 1 ≤ n < m, y sj,i ∈ R,j = 1, ..., m e i = 1, ..., n, entonces el sistema

homog´eneo denecuaciones conminc´ognitas

          

t1s1,1+t2s2,1+· · ·+tmsm,1 = 0

t1s1,2+t2s2,2+· · ·+tmsm,2 = 0

. . . . . . . . . t1s1,n+t2s2,n+· · ·+tmsm,n = 0,

(1)

(58)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Prueba del Lema.

(59)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Prueba del Lema.

Inducci´on sobrem≥2.

Primero, sim= 2.

(60)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Prueba del Lema.

Primero, sim= 2. Una ecuación homogénea con dos incógnitas es de la forma

(61)

Prueba del Lema.

Primero, sim= 2. Una ecuación homogénea con dos incógnitas es de la forma

ax+by= 0.

(62)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Prueba del Lema.

(Continuaci´on)

Sim= 3, entonces una ecuación homogénea con tres incógnitas es de la forma

ax+by+cz= 0.

La cual tiene una infinidad de soluciones: todo el espacioR3 sia=b=c= 0, o bien

todos los puntos de un plano por el origen enR3si alguna de las constantesa,byces

distinta de cero.

(63)

Prueba del Lema.

(Continuaci´on)

Sim= 3, entonces una ecuación homogénea con tres incógnitas es de la forma

ax+by+cz= 0.

La cual tiene una infinidad de soluciones: todo el espacioR3 sia=b=c= 0, o bien

todos los puntos de un plano por el origen enR3si alguna de las constantesa,byces

distinta de cero.

Y por otra parte, un sistema de dos ecuaciones con tres inc´ognitas es de la forma

a1x+b1y+c1z= 0

a2x+b2y+c2z= 0,

(64)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Prueba del Lema.

(65)

Prueba del Lema.

(Continuaci´on)Supongamos v´alido el resultado param−1. Vamos a probarlo param. Sean < m, y consideremos un sistema como (1).

(66)

Prueba del Lema.

(Continuaci´on)

Supongamos pues que al menos uno de los coeficientessi,j no es cero. Digamos s1,16= 0. Definimos, para2≤j≤me2≤i≤n.

s0j,i=sj,i− sj,1s1,i

s1,1 ,

Por hipótesis de inducción, el sistema homogéneo de n−1 ecuaciones con m−1

inc´ognitas             

t2s0₂_,₂+t3s₃0_,₂+· · ·+tms0_m,₂ = 0 t2s02,3+t3s30,2+· · ·+tms0m,2 = 0

. . . . . . . . . t2s02,n+t3s30,n+· · ·+tms0m,n = 0,

(2)

(67)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Prueba del Lema.

(Continuaci´on)

Hacemos

t1=−t2

s2,1

s1,1

− · · · −tmsm,1 s1,1

.

y para todo2≤i≤n,

t1s1,i+t2s2,i+· · ·+tmsm,i=

−t2

s2,1

s1,1

− · · · −tm sm,1

s1,1

s1,i+t2s2,i+· · ·+tmsm,i

=t2

s2,i− s2,1s1,i

s1,1

+· · ·+tm

sm,i− sm,1s1,i

s1,1

=t2s02,i+t3s03,i+· · ·+tms0m,i

= 0.

(68)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Prueba del Lema.

(Continuaci´on)

Hacemos

t1=−t2

s2,1

s1,1

− · · · −tmsm,1 s1,1

.

De modo que

t1s1,1+t2s2,1+· · ·+tmsm,1= 0,

=t2s02,i+t3s03,i+· · ·+tms0m,i

= 0.

(69)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Prueba del Lema.

(Continuaci´on)

Hacemos

t1=−t2

s2,1

s1,1

− · · · −tmsm,1 s1,1

.

De modo que

t1s1,1+t2s2,1+· · ·+tmsm,1= 0,

−t2

s2,1

s1,1

− · · · −tm sm,1

s1,1

=t2

s2,i− s2,1s1,i

s1,1

+· · ·+tm

sm,i− sm,1s1,i

s1,1

=t2s02,i+t3s03,i+· · ·+tms0m,i

(70)

(Continuaci´on)

Hacemos

t1=−t2

s2,1

s1,1

− · · · −tmsm,1 s1,1

.

De modo que

t1s1,1+t2s2,1+· · ·+tmsm,1= 0,

−t2

s2,1

s1,1

− · · · −tm sm,1

s1,1

=t2

s2,i− s2,1s1,i

s1,1

+· · ·+tm

sm,i− sm,1s1,i

s1,1

=t2s02,i+t3s03,i+· · ·+tms0m,i

= 0.

(71)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Teorema

SeaU={u1, ...,un}un conjunto denvectores de un espacio vectorialV. Si W={w1, ...,wm}es un subconjunto demvectores l.i. del subespacio gen(U), entoncesm≤n.

Pues bien, comoW ⊂gen(U), existen constantessj,i,1≤j≤m,1≤i≤n, tales que

w1=s1,1v1+· · ·+s1,nvn

. . . . . . . . .

(72)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Teorema

Demostraci´on.

Equivalentemente, vamos a probar que si n < m, entonces cualquier subconjunto

w1, ...,wmdemvectores de gen(U), es l.d.

(73)

Teorema

Demostraci´on.

Equivalentemente, vamos a probar que si n < m, entonces cualquier subconjunto

w1, ...,wmdemvectores de gen(U), es l.d.

Pues bien, comoW ⊂gen(U), existen constantessj,i,1≤j≤m,1≤i≤n, tales que

w1=s1,1v1+· · ·+s1,nvn

. . . . . . . . .

(74)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Demostraci´on.

(Continuación)Por el lema anterior, existe(t1, ..., tm)solución no trivial del sistema de necuaciones conmincógnitas

t1s1,1+· · ·+tmsm,1= 0

. . .

. . . t1s1,n+· · ·+tmsm,n= 0.

(75)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Demostraci´on.

t1s1,1+· · ·+tmsm,1= 0

. . . . . . . . . t1s1,n+· · ·+tmsm,n= 0.

De manera que

0= (t1s1,1+· · ·+tmsm,1)u1+· · ·+ (t1s1,n+· · ·+tmsm,n)un

=t1(s1,1u1+· · ·+s1,nun) +· · ·+tm(sm,1u1+· · ·+sm,nun)

(76)

Demostraci´on.

t1s1,1+· · ·+tmsm,1= 0

. . . . . . . . . t1s1,n+· · ·+tmsm,n= 0.

De manera que

0= (t1s1,1+· · ·+tmsm,1)u1+· · ·+ (t1s1,n+· · ·+tmsm,n)un

=t1(s1,1u1+· · ·+s1,nun) +· · ·+tm(sm,1u1+· · ·+sm,nun)

=t1w1+· · ·+tmwm.

(77)

(78)

Definici´on

SeaV un espacio vectorial y seaB={β1, ..., βn} ⊂V. Decimos queBes unabase (vectorial) deV si

(a) Bes un conjunto de vectores l.i., y

(79)

Espacios Vectoriales B´

asicos

6. Base y dimensi´on

Ejemplo

EnR, siβ6= 0, entoncesB={β}es una base deR.

es una base paraR . En particular, (1,0),(0,1) es llamadabase can´onica.

Ejemplo

Sib1,b2 yb3 son n´umeros reales no nulos, yβ1 = (b1,0,0),β2 = (0, b2,0)yβ3 = (0,0, b3), entoncesB={β1, β2, β3}es una base deR3. En particular,

{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}

es llamadabase can´onica.

Ejemplo

(80)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Ejemplo

Sib16= 06=b2son n´umeros reales, yβ1= (b1,0)yβ2= (0, b2), entoncesB={β1, β2}

es una base paraR2. En particular,{(1,0),(0,1)}es llamadabase can´onica.

Ejemplo

(81)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Ejemplo

{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}

(82)

Ejemplo

{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}

Ejemplo

(83)

Teorema

Cualesquiera dos bases de un espacio vectorial V, tienen el mismo tama˜no (esto es, tienen la misma cardinalidad).

Demostraci´on.

SeanB={β1, ..., βn}yB0={β01, ..., βm0 }bases deV.

Note entonces queB0es un conjunto de vectores l.i. de gen(B) =V, por lo que m≤n.

(84)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Definici´on

(85)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Definici´on

Ladimensiónde un espacio vectorialV es la cardinalidad de cualquiera de sus bases. Definimos la dimensión de{0}como0. Usamos la notación dim(V)para denotar la dimensión deV.

Ejemplo

(86)

Definici´on

Ladimensiónde un espacio vectorialV es la cardinalidad de cualquiera de sus bases. Definimos la dimensión de{0}como0. Usamos la notación dim(V)para denotar la dimensión deV.

Ejemplo

La dimensi´on del espacioPnesn.

Ejemplo

(87)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Ejemplo

Seau∈R3no nulo. Es claro entonces queues una base deLu={tu∈R3:t∈R}.

De modo que la dimensi´on deLu.

es, ninguno de ellos es m´ultiplo escalar del otro), tales que

P={su+tv∈_R3_: _s_y_t_en R}.

(88)

Ejemplo

Seau∈R3no nulo. Es claro entonces queues una base deLu={tu∈R3:t∈R}.

De modo que la dimensi´on deLu.

Ejemplo

Recordemos ahora que siP ⊂_R3_{, entonces existen vectores}_u_y_v_{no nulos y l.i. (esto}

es, ninguno de ellos es m´ultiplo escalar del otro), tales que

P={su+tv∈_R3_: _s_y_t_en R}.

(89)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Teorema

SeaV es un espacio vectorial tal que dim(V) =n. SiUes un subespacio deV, entonces dim(U)≤n.

(90)

Teorema

SeaV es un espacio vectorial tal que dim(V) =n. SiUes un subespacio deV, entonces dim(U)≤n.

Demostraci´on.

(91)

Corolario

Los ´unicos subespacios deR2 son{(0,0)},R2mismo, y rectas por el origen.

Corolario

Los ´unicos subespacios deR3son{(0,0,0)},R3mismo, y rectas y planos por el

(92)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Observaci´on

Los conceptos de base y dimensión son más profundos de lo que podemos deducir de lo que acabamos de ver. En particular, existen espacios vectoriales de dimensión infinita. Ninguno de los ejemplos tratados aqu´ı tiene esa propiedad

Todo espacio vectorialV tiene una base.

(93)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Observaci´on

Un problema fundamental tiene que ver con la pregunta: ¿Dado un espacio vectorial V, es posible encontrar una base paraV? ¿C´omo?

Teorema

(94)

Espacios Vectoriales B´

asicos

Observaci´on

Se puede probar:

Teorema

(95)

Observaci´on

Se puede probar:

Teorema