Conjuntos finitos e infinitos

´ Algebra

Araceli Guzm´

an y Guillermo Garro

Facultad de Ciencias UNAM

Semestre 2018-1

Conjuntos Finitos

Elsegmento inicialde tama˜non, donden≥0, es el conjunto

1n={1, ..., n} sin >0,

y10=∅.

Decimos que un conjuntoAesfinitosi para alg´unn≥0existeϕ:1n→Abiyectiva.

Los segmentos iniciales son los conjuntos finitos m´as triviales.

Si escribimosai=ϕ(i), para todoi∈1n, entonces escribimos

A={a1, ..., an}.

Decimos quenes eltama˜noocardinalidaddeA. Usamos la notaci´on

|A|=n, o bien #(A) =n, o biencard(A) =n.

Cardinalidad

En general, decimos que dos conjuntosAyB tienen la mismacardinalidadsi existe una funci´on biyectivaψ:A→B. En este caso, escribimosA≡B, o bien|A|=|B|.

Observe que la cardinalidad define una relaci´on de equivalencia sobre laclasede todos los conjuntos.

1. Reflexividad: Para todo conjuntoA, la funci´on idenitidadIdA:A→Aes biyectiva.

2. Simetr´ıa: Siψ:A→Bes biyectiva, entoncesψ−1_{:B→Aes tambi´en biyectiva.}

3. Transitividad: Siψ:A→Byψ0_{:B→Cson funciones biyectivas, la composici´on}

ψ0◦ψ:A→Ces biyectiva.

Un hecho soprendente

Teorema

El intervalo(0,1)yRtienen la misma cardinalidad.

Demostraci´on.

La funci´onψ1:R→(0,1)tal queψ1(x) =exes una biyecci´on, as´ı que|R|=|(0,∞)|.

La funci´on ψ2 : (0,∞) → (0,1) tal que ψ2(x) = _xx₊₁ es una biyecci´on, as´ı que

|(0,∞)|=|(0,1)|.

Por transitividad,|R|=|(0,1)|.

Teorema

Una caracterizaci´

on importante

Teorema

Un conjuntoAes finito si y s´olo si, no existeB(Atal queB≡A.

Ejemplo

Nno es finito. En efecto, sea2N={2n:n∈N}el conjunto de todos los n´umeros naturales pares. Naturalmente, la funci´onψ:N→2Ntal queψ(n) = 2nes biyectiva, y2N ( N.

Zno es finito. En efecto, seaψ:Z→Ntal que

ψ(n) = (

2|n| sin <0, 2|n|+ 1 sin≥0.

El conjunto de n´

umeros primos es infinito

Teorema

El conjuntoPde todos los n´umeros primos es infinito.

Demostraci´on.

Supongamos quePes finito, digamos,P={p1, p2, ..., pn}.

SeaN=p1p2· · ·pn+ 1.

Dado quepi< N,i= 1, ..., n, se sigue queNno es primo.

No obstante, por el Teorema Fundamental de la Aritm´etica, hay alg´un primo pj que

divide aN. Sin p´erdida de generalidad, podemos decir quep1 N.

Observe entonces que

p1

N−p1p2· · ·pn.

Cojuntos numerables

Si para un conjuntoAse tiene queA≡N, diremos queAesnumerable.

Ejemplos

Nes numerable.

Zes numerable.

2Nes numerable.

El ´

arbol de Stern-Brocot

Teorema

El conjunto de los n´umeros racionalesQes numerable.

Algunos resultados esperados

Teorema

SiAes finito yB⊂A, entoncesBes finito y|B| ≤ |A|.

b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b

|A|=n

|B|=m

Algunos resultados esperados

Teorema

SiAyBson finitos yA∩B=∅, entoncesA∪Bes finito y

|A∪B|=|A|+|B|.

En general, siA1, ..., An son conjuntos finitos ajenos (dos a dos) entonces la

uni´onA1∪A2∪ · · · ∪Anes finita y

|A1∪A2∪ · · · ∪An|=|A1|+|A2|+· · ·+|An|.

|A|=n |B|=m

1_n 1_m b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b

Algunos resultados esperados

Corolario

SiAes finito yBes cualquier otro conjunto, entoncesA∩ByA\Bson finitos. En particular, siB⊂A, se tiene que

|A\B|=|A| − |B|.

Demostraci´on.

Supongamos queAes finito yB⊂A. Los conjuntosA\ByBson ajenos, y

(A\B)∪B=A.

Por el teorema anterior,

|A|=|A\B|+|B|.

Esto es

Algunos resultados esperados

Corolario

SiAyBson finitos, entoncesA∪Bes finito y

|A∪B|=|A|+|B| − |A∩B|.

Demostraci´on.

Tenemos

A∪B= (A\B)∪(B\A)∪(A∩B)

= (A\A∩B)∪(B\A∩B)∪(A∩B).

y ´esta es una uni´on ajena. En consecuencia,

|A∪B|=|A\A∩B|+|B\A∩B|+|A∩B|

=|A| − |A∩B|+|B| − |A∩B|+|A∩B|

Algunos resultados esperados

Teorema

SiAyBson finitos, entoncesA×Bes finito y

|A×B|=|A||B|.

En general, siA1, ..., Anson finitos, entoncesA1×A2× · · · ×Anes finito y

|A1×A2× · · · ×An|=|A1||A2| · · · |An|.

b b b b b b b

b

b

b

b

b b b b b b b

Algunos resultados esperados

Teorema

SiA⊂_Nes infinito entonces es numerable.

Demostraci´on.

La idea consiste en definirrecursivamente

a1= minA,

y luego, para todon∈N, sia1, ..., anest´an definidos, entonces definimos

an+1= min(A\{a1, ..., an}).

Algunos resultados esperados

Corolario

SiAes numerable yB⊂A, entoncesBes finito o numerable.

Demostraci´on.

ComoAes numerable, existeψ:A→Nbiyectiva. As´ı que el teorema se sigue de que ψ(B)⊂N, y de queBes finito si y s´olo sif(B)es finito.

Teorema

SiAyBson numerables, entonces A×B es numerable. M´as generalmente, siA1, A2, ..., An es una colecci´on finita de conjuntos numerables, entonces el

Algunos resultados esperados

Teorema

(0,1)es no numerable

Teorema

SiAes no numerable yA⊂B, entoncesBes no numerable.

Demostraci´on.

Es inmediato, ya que si Bes numerable, cualquier subconjunto de B es a lo sumo numerable.

Teorema