05Eigenvalores

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(1)Valores y vectores propios. Dr. Guillermo Valencia-Palomo [email protected] Instituto Tecnológico de Hermosillo. División de estudios de posgrado e investigación.. Marzo, 2011..

(2) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Contenido 1. Introducción Conceptos preliminares. 2. Valores propios y vectores propios Definiciones y generalidades Ejercicios. 3. Diagonalización Transformación de similaridad Diagonalización de una matriz Forma de Jordan Ejercicios. 4. Solución de ecuaciones diferenciales Cálculo de la matriz eAt Ejercicio. 5. Aplicación en control Relación con los polos de la función de transferencia Transformación de sistemas lineales Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 2 / 51.

(3) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Introducción El problema de valores y vectores propios, también llamados valores y vectores característicos, eigen-valores y eigen-vectores, o autovalores y autovectores surge en diversos campos de aplicación del álgebra lineal y aparecen en contextos mucho más generales de los que consideraremos aquí. También se usan para estudiar areas tales como: Diagonalización de matrices. Ecuaciones diferenciales. Ecuaciones de estado. Sistemas dinámicos continuos y discretos. Estabilidad de sistemas lineales. Proporcionan información crítica en el diseño de ingeniería y se presentan, naturalmente, en otros campos como en la física y la química. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 3 / 51.

(4) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Conceptos preliminares Espacio vectorial Sea K un cuerpoa cuyos elementos llamaremos escalares y sea V un conjuntoa cuyos elementos llamaremos vectores. Sea + una operación en V llamada suma de vectores y sea · una operación de K×V en V denominada producto vector por escalar. V es un Espacio Vectorial sobre K si: V es un Grupo Abelianoa con la operación +. La operación satisface las siguientes propiedades: 1 2 3 4. a Véase. 1 · v = v, ∀v ∈ V donde 1 es el neutro multiplicativo en K. a · (v + w) = a · v + a · w, ∀a ∈ K, v, w ∈ V. (a + b) · v = a · v + b · v, ∀a, b ∈ K, v ∈ V. (ab) · v = a · (b · v), ∀a, b ∈ K, v ∈ V. sobre estructuras algebraicas.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 4 / 51.

(5) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Conceptos preliminares Espacio vectorial Sea K un cuerpoa cuyos elementos llamaremos escalares y sea V un conjuntoa cuyos elementos llamaremos vectores. Sea + una operación en V llamada suma de vectores y sea · una operación de K×V en V denominada producto vector por escalar. V es un Espacio Vectorial sobre K si: V es un Grupo Abelianoa con la operación +. La operación satisface las siguientes propiedades: 1 2 3 4. a Véase. 1 · v = v, ∀v ∈ V donde 1 es el neutro multiplicativo en K. a · (v + w) = a · v + a · w, ∀a ∈ K, v, w ∈ V. (a + b) · v = a · v + b · v, ∀a, b ∈ K, v ∈ V. (ab) · v = a · (b · v), ∀a, b ∈ K, v ∈ V. sobre estructuras algebraicas.. Observe que en un espacio vectorial no está definido el producto de vectores. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 4 / 51.

(6) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Conceptos preliminares Subespacio vectorial Un subconjunto W de un espacio vectorial V sobre el cuerpoa K se dice subespacio del espacio vectorial V si W es en sí mismo un espacio vectorial sobre K. a Véase. 1 Por. sobre estructuras algebraicas.. definición de la estructura algebraica llamada Grupo. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 5 / 51.

(7) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Conceptos preliminares Subespacio vectorial Un subconjunto W de un espacio vectorial V sobre el cuerpoa K se dice subespacio del espacio vectorial V si W es en sí mismo un espacio vectorial sobre K. a Véase. sobre estructuras algebraicas.. Generadores de subespacios vectoriales Dado un vector no nulo v ∈ V siempre se genera un subespacio de V la siguiente manera: W = {k v|k ∈ K}. Al subespacio anterior se le llama subespacio de V generado por v y se denota W = span{v}.. 1 Por. definición de la estructura algebraica llamada Grupo. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 5 / 51.

(8) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Conceptos preliminares Subespacio vectorial Un subconjunto W de un espacio vectorial V sobre el cuerpoa K se dice subespacio del espacio vectorial V si W es en sí mismo un espacio vectorial sobre K. a Véase. sobre estructuras algebraicas.. Generadores de subespacios vectoriales Dado un vector no nulo v ∈ V siempre se genera un subespacio de V la siguiente manera: W = {k v|k ∈ K}. Al subespacio anterior se le llama subespacio de V generado por v y se denota W = span{v}. Así, por ejemplo, de forma generalizada, en R3 el subespacio W generado por v1 , v2 sería el plano que contiene al origen1 y a ambos vectores, es decir, es el conjunto de vectores de la forma k1 v1 + k2 v2 donde k1 , k2 ∈ K. El subespacio se define como W = span{v1 , v2 }. 1 Por. definición de la estructura algebraica llamada Grupo.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 5 / 51.

(9) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Conceptos preliminares Independencia lineal El conjunto de vectores {v1 , v2 , . . . , vn } ∈ V se dice linealmente independiente si la combinación lineal k1 v1 + k2 v2 + . . . + kn vn (ki ∈ K, i ∈ {1, . . . , n}) es el vector cero solamente en el caso trivial, es decir, solo cuando k1 = k2 = . . . = kn = 0. De lo contrario el conjunto se dice linealmente dependiente, o simplemente dependiente.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 6 / 51.

(10) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Conceptos preliminares Independencia lineal El conjunto de vectores {v1 , v2 , . . . , vn } ∈ V se dice linealmente independiente si la combinación lineal k1 v1 + k2 v2 + . . . + kn vn (ki ∈ K, i ∈ {1, . . . , n}) es el vector cero solamente en el caso trivial, es decir, solo cuando k1 = k2 = . . . = kn = 0. De lo contrario el conjunto se dice linealmente dependiente, o simplemente dependiente. Base de un espacio vectorial El conjunto finito de vectores {v1 , v2 , . . . , vn } ⊂ V se dice que es una base de V si los vectores son linealmente independientes y, utilizándolos, existen combinaciones lineales únicas que pueden generar todo el espacio vectorial V = span{v1 , v2 , . . . , vn }.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 6 / 51.

(11) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Conceptos preliminares Dimensión o rango de un espacio vectorial Se denomina dimensión de un espacio vectorial V al numero máximo de vectores linealmente independientes que puede tener un conjunto Dim V = maxn {v1 , v2 , . . . , vn }, con {v1 , v2 , . . . , vn } linealmente independientes. Es el número de vectores de una base cualquiera de V.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 7 / 51.

(12) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Conceptos preliminares Dimensión o rango de un espacio vectorial Se denomina dimensión de un espacio vectorial V al numero máximo de vectores linealmente independientes que puede tener un conjunto Dim V = maxn {v1 , v2 , . . . , vn }, con {v1 , v2 , . . . , vn } linealmente independientes. Es el número de vectores de una base cualquiera de V. Subespacios asociados con matrices Dada una matriz A ∈ Rm×n , existen 4 subespacios asociados a ella:. El Espacio Fila de A (RAT ). Subespacio de R1×n generado por las filas de A. El Espacio Columna de A (RA ). Subespacio de Rm×1 generado por las filas de A. El Núcleo, Kernel o Espacio Nulo de A (Nu A). Subespacio de Rn×1 generado por el vector v ∈ Rn×1 tales que Av = 0. El Espacio Nulo Izquierdo de A (Nu AT ). Subespacio de Rm×1 generado por el vector v ∈ Rm×1 tales que xT A = 0. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 7 / 51.

(13) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Valores propios y vectores propios Definición Sea A ∈ Rn×n una matriz cuadrada, se dice que el vector no nulo v ∈ Cn es un vector propio de A correspondiente a λ ∈ C llamado valor propio si se cumple que Av = λv.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 8 / 51.

(14) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Valores propios y vectores propios Definición Sea A ∈ Rn×n una matriz cuadrada, se dice que el vector no nulo v ∈ Cn es un vector propio de A correspondiente a λ ∈ C llamado valor propio si se cumple que Av = λv. Observación: Para un vector v en general el producto Av es otro vector con dirección completamente diferente a v, sin embargo, la definición de vector propio pide que Av vaya en la misma dirección de v: Av. v2. v v v1 Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 8 / 51.

(15) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Valores propios y vectores propios En otras palabras, de existir dichos vectores propios, serán aquellos vectores v a los que A no les cambia de dirección al premultiplicarlos.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 9 / 51.

(16) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Valores propios y vectores propios En otras palabras, de existir dichos vectores propios, serán aquellos vectores v a los que A no les cambia de dirección al premultiplicarlos. De la definición, para que v sea un vector propio de A correspondiente al valor propio λ se requiere que Av = λv;. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 9 / 51.

(17) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Valores propios y vectores propios En otras palabras, de existir dichos vectores propios, serán aquellos vectores v a los que A no les cambia de dirección al premultiplicarlos. De la definición, para que v sea un vector propio de A correspondiente al valor propio λ se requiere que Av = λv; Es decir, λ y v deben satisfacer la ecuación: (A − λI)v = 0; Esto es, v pertenece al espacio nulo de (A − λI).. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 9 / 51.

(18) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Valores propios y vectores propios De esta manera el problema de encontrar los valores y vectores propios de A se convierte en el problema de encontrar el espacio nulo de la matriz cuadrada (A − λI).. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 10 / 51.

(19) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Valores propios y vectores propios De esta manera el problema de encontrar los valores y vectores propios de A se convierte en el problema de encontrar el espacio nulo de la matriz cuadrada (A − λI). Como el espacio nulo de una matriz es un subespacio de Rn al espacio nulo de (A − λI) se le llama el subespacio propio de A y está formado por puros vectores propios de A.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 10 / 51.

(20) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Valores propios y vectores propios De esta manera el problema de encontrar los valores y vectores propios de A se convierte en el problema de encontrar el espacio nulo de la matriz cuadrada (A − λI). Como el espacio nulo de una matriz es un subespacio de Rn al espacio nulo de (A − λI) se le llama el subespacio propio de A y está formado por puros vectores propios de A. Si la dimensión del espacio nulo de (A − λI) es cero, el único vector que contiene dicho espacio es el vector cero, el cual por definición no es un vector propio.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 10 / 51.

(21) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Valores propios y vectores propios De esta manera el problema de encontrar los valores y vectores propios de A se convierte en el problema de encontrar el espacio nulo de la matriz cuadrada (A − λI). Como el espacio nulo de una matriz es un subespacio de Rn al espacio nulo de (A − λI) se le llama el subespacio propio de A y está formado por puros vectores propios de A. Si la dimensión del espacio nulo de (A − λI) es cero, el único vector que contiene dicho espacio es el vector cero, el cual por definición no es un vector propio. Por lo tanto, para que exista algún vector propio de A se requiere que la dimensión del espacio nulo de (A − λI) sea diferente de cero, es decir, que la ecuación (A − λI)v = 0 tenga una solución no nula, o bien, det(A − λI) = 0. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 10 / 51.

(22) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Valores propios y vectores propios Polinomio y ecuación característica de una matriz El determinante del primer miembro es un polinomio en términos de λ, el cual tiene el nombre de polinomio característico de A, p(λ) = det(A − λI); Así mismo, llamamos a det(A − λI) = 0, ecuación característica de A, la cual, su solución nos da los valores propios de la matriz A.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 11 / 51.

(23) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Valores propios y vectores propios Polinomio y ecuación característica de una matriz El determinante del primer miembro es un polinomio en términos de λ, el cual tiene el nombre de polinomio característico de A, p(λ) = det(A − λI); Así mismo, llamamos a det(A − λI) = 0, ecuación característica de A, la cual, su solución nos da los valores propios de la matriz A. Dada una matriz A ∈ Rn×n de rango n, su polinomio característico es de grado n, la ecuación característica deberá tener n soluciones para λ, es decir, habrá n valores propios. Obsérvese que los valores propios pueden ser reales o complejos. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 11 / 51.

(24) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Valores propios y vectores propios Algunas propiedades importantes de los valores propios son: Si A ∈ Rn×n tiene valores propios λ1 + λ2 + . . . + λm , su polinomio característico p(λ) puede factorizarse como p(λ) = (−1)m (λ − λ1 )ma1 (λ − λ2 )ma2 . . . (λ − λm )mam , donde mai , i ∈ {1, . . . , m} es multiplicidad algebraica del valor Pla m propio λi . Y se cumple que i=0 mai = n.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 12 / 51.

(25) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Valores propios y vectores propios Algunas propiedades importantes de los valores propios son: Si A ∈ Rn×n tiene valores propios λ1 + λ2 + . . . + λm , su polinomio característico p(λ) puede factorizarse como p(λ) = (−1)m (λ − λ1 )ma1 (λ − λ2 )ma2 . . . (λ − λm )mam , donde mai , i ∈ {1, . . . , m} es multiplicidad algebraica del valor Pla m propio λi . Y se cumple que i=0 mai = n.. Los valores propios de una matriz triangular (superior o inferior) son los valores de su diagonal.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 12 / 51.

(26) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Valores propios y vectores propios Algunas propiedades importantes de los valores propios son: Si A ∈ Rn×n tiene valores propios λ1 + λ2 + . . . + λm , su polinomio característico p(λ) puede factorizarse como p(λ) = (−1)m (λ − λ1 )ma1 (λ − λ2 )ma2 . . . (λ − λm )mam , donde mai , i ∈ {1, . . . , m} es multiplicidad algebraica del valor Pla m propio λi . Y se cumple que i=0 mai = n.. Los valores propios de una matriz triangular (superior o inferior) son los valores de su diagonal.. Los valores propios de una matriz diagonal son los valores de su diagonal.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 12 / 51.

(27) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Valores propios y vectores propios Algunas propiedades importantes de los valores propios son: Si A ∈ Rn×n tiene valores propios λ1 + λ2 + . . . + λm , su polinomio característico p(λ) puede factorizarse como p(λ) = (−1)m (λ − λ1 )ma1 (λ − λ2 )ma2 . . . (λ − λm )mam , donde mai , i ∈ {1, . . . , m} es multiplicidad algebraica del valor Pla m propio λi . Y se cumple que i=0 mai = n.. Los valores propios de una matriz triangular (superior o inferior) son los valores de su diagonal.. Los valores propios de una matriz diagonal son los valores de su diagonal. La suma de los n valores propios de la matriz A es igual a su traza: tr(A) = λ1 + λ1 + . . . + λn . Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 12 / 51.

(28) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Valores propios y vectores propios El producto de los n valores propios de la matriz A es igual a su determinante: det(A) = λ1 λ1 . . . λn . Una consecuencia inmediata de esta propiedad es que det(A) = 0 si y solo si algún valor propio de A es cero.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 13 / 51.

(29) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Valores propios y vectores propios El producto de los n valores propios de la matriz A es igual a su determinante: det(A) = λ1 λ1 . . . λn . Una consecuencia inmediata de esta propiedad es que det(A) = 0 si y solo si algún valor propio de A es cero. Si λ ∈ C es una valor propio de A ∈ Rn×n , entonces el subespacio definido por Sλ = {v ∈ Cn : Av = λv} = Nu(A − λI); es el espacio propio de A correspondiente al valor propio λ.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 13 / 51.

(30) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Valores propios y vectores propios El producto de los n valores propios de la matriz A es igual a su determinante: det(A) = λ1 λ1 . . . λn . Una consecuencia inmediata de esta propiedad es que det(A) = 0 si y solo si algún valor propio de A es cero. Si λ ∈ C es una valor propio de A ∈ Rn×n , entonces el subespacio definido por Sλ = {v ∈ Cn : Av = λv} = Nu(A − λI); es el espacio propio de A correspondiente al valor propio λ. La multiplicidad geométrica mg de un valor propio λ de una matriz A es la dimension del espacio propio correspondiente a λ mg = dim {Sλ } .. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 13 / 51.

(31) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Valores propios y vectores propios. Sea A una matriz cuadrada de rango n, y sean λ1 , . . . , λn valores propios distintos de A con vectores propios correspondientes v1 , . . . , vn . Entonces v1 , . . . , vn son linealmente independientes.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 14 / 51.

(32) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Valores propios y vectores propios. Sea A una matriz cuadrada de rango n, y sean λ1 , . . . , λn valores propios distintos de A con vectores propios correspondientes v1 , . . . , vn . Entonces v1 , . . . , vn son linealmente independientes. A ∈ Rn×n tiene n vectores propios linealmente independientes si y solo si la multiplicidad geométrica de cada valor propio es igual a su multiplicidad algebraica.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 14 / 51.

(33) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Valores propios y vectores propios. Sea A una matriz cuadrada de rango n, y sean λ1 , . . . , λn valores propios distintos de A con vectores propios correspondientes v1 , . . . , vn . Entonces v1 , . . . , vn son linealmente independientes. A ∈ Rn×n tiene n vectores propios linealmente independientes si y solo si la multiplicidad geométrica de cada valor propio es igual a su multiplicidad algebraica. Importante No todas las matrices cuentan con n vectores propios linealmente independientes.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 14 / 51.

(34) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios Ejercicio 1 Sean A=. . 1 6 5 2. . ;. v1 =. . 6 −5. . ;. v2 =. . 3 −2. . ;. ¿Son v1 y v2 vectores propios de A?. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 15 / 51.

(35) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios Ejercicio 1 Sean A=. . 1 6 5 2. . ;. v1 =. . 6 −5. . ;. v2 =. . 3 −2. . ;. ¿Son v1 y v2 vectores propios de A? Solución Av1 =. . 1 5. Av2 =. . 1 5. . . . −24 6 = −4 = −4v1 ; 20 −5 6 3 −9 3 = 6= λ . 2 −2 11 −2 6 2. 6 −5. =. Entonces v1 es un vector propio de A correspondiente a uno de sus valores propios λ1 = −4; pero v2 no es un vector propio de A porque Av2 no es un múltiplo de v2 . Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 15 / 51.

(36) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios Ejercicio 2 Calcule la ecuación característica, los valores propios y los vectores propios de 4 −5 A= . 2 −3. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 16 / 51.

(37) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios Ejercicio 2 Calcule la ecuación característica, los valores propios y los vectores propios de 4 −5 A= . 2 −3 Solución La ecuación característica es,. det. . det(A − λI) = 0; 4−λ −5 = 0; 2 −3 − λ. λ2 − λ − 2 = 0. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 16 / 51.

(38) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios Los valores propios corresponden a la solución de la ecuación característica,. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 17 / 51.

(39) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios Los valores propios corresponden a la solución de la ecuación característica, λ2 − λ − 2 = 0;. (λ + 1)(λ − 2) = 0.. De donde obtenemos dos valores propios λ1 = −1 y λ2 = 2.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 17 / 51.

(40) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios Los valores propios corresponden a la solución de la ecuación característica, λ2 − λ − 2 = 0;. (λ + 1)(λ − 2) = 0.. De donde obtenemos dos valores propios λ1 = −1 y λ2 = 2. Finalmente, los vectores propios se pueden obtener como sigue: Para λ1 = −1 el sistema (A − λ1 I)v1 = 0 queda 0 5 −5 v11 = , 0 v12 2 −2 donde los vectores propios tienen la forma v1 = k. . 1 1. T. .. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 17 / 51.

(41) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios Para λ2 = 2 el sistema (A − λ2 I)v2 = 0 queda 2 −5 0 v21 = 2 −5 v22 0 Donde los vectores propios tienen la forma v2 = k. . 5 2. T. .. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 18 / 51.

(42) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios Para λ2 = 2 el sistema (A − λ2 I)v2 = 0 queda 2 −5 0 v21 = 2 −5 v22 0 Donde los vectores propios tienen la forma v2 = k. . 5 2. T. .. Observación Como los vectores propios correspondientes a un valor propio dado no son únicos, se acostumbra obtener los vectores propios unitarios.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 18 / 51.

(43) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios Para λ2 = 2 el sistema (A − λ2 I)v2 = 0 queda 2 −5 0 v21 = 2 −5 v22 0 Donde los vectores propios tienen la forma v2 = k. . 5 2. T. .. Observación Como los vectores propios correspondientes a un valor propio dado no son únicos, se acostumbra obtener los vectores propios unitarios. Para el ejemplo anterior el vector propio unitario correspondiente al 1 1 valor propio λ1 = −1, es v1 = √2 , mientras que para el valor 1 5 propio λ2 = 2, es v2 = √129 . 2 Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 18 / 51.

(44) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios Ejercicio 3 Calcule la ecuación característica, los valores propios y los vectores propios de   1 −1 −1 A =  −1 −1 0  . 1 0 −1. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 19 / 51.

(45) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios Ejercicio 3 Calcule la ecuación característica, los valores propios y los vectores propios de   1 −1 −1 A =  −1 −1 0  . 1 0 −1 Solución La ecuación característica es,. . det . 1−λ −1 1. −1 −1 − λ 0. det(A − λI) = 0;  −1  = 0; 0 −1 − λ. λ3 + λ2 − λ − 1 = 0.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 19 / 51.

(46) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios Los valores propios corresponden a la solución de la ecuación característica,. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 20 / 51.

(47) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios Los valores propios corresponden a la solución de la ecuación característica, λ3 + λ2 − λ − 1 = 0;. (λ − 1)(λ + 1)2 = 0.. De donde obtenemos dos valores propios λ1 = 1 y λ23 = −1.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 20 / 51.

(48) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios Los valores propios corresponden a la solución de la ecuación característica, λ3 + λ2 − λ − 1 = 0;. (λ − 1)(λ + 1)2 = 0.. De donde obtenemos dos valores propios λ1 = 1 y λ23 = −1. Note que que el valor propio λ23 = −1 tiene multiplicidad 2.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 20 / 51.

(49) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios Los valores propios corresponden a la solución de la ecuación característica, λ3 + λ2 − λ − 1 = 0;. (λ − 1)(λ + 1)2 = 0.. De donde obtenemos dos valores propios λ1 = 1 y λ23 = −1. Note que que el valor propio λ23 = −1 tiene multiplicidad 2. Finalmente, los vectores propios se pueden obtener como sigue: Para λ1 = 1 el sistema (A − λ1 I)v1   0 −1 −1  −1 −2 0   1 0 −2 Donde v1 =. √1 6. . 2 −1 1. T. = 0 queda    0 v11 v12  =  0  , v13 0. es un vector propio de A. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 20 / 51.

(50) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios Para λ23 = −1 el sistema (A − λ23 I)v23 = 0 queda      2 −1 −1 0 v231  −1 0 0   v232  =  0  v233 1 0 0 0. (1). Donde se pueden obtener dos vectores que satisfacen la nulidad     0 0 1  1 v2 = √ −1  ; v3 = √  1  . 2 2 −1 1 Sin embargo, v2 = −k v3 , ∀k ∈ R+ .. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 21 / 51.

(51) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios Para λ23 = −1 el sistema (A − λ23 I)v23 = 0 queda      2 −1 −1 0 v231  −1 0 0   v232  =  0  v233 1 0 0 0. (1). Donde se pueden obtener dos vectores que satisfacen la nulidad     0 0 1  1 v2 = √ −1  ; v3 = √  1  . 2 2 −1 1 Sin embargo, v2 = −k v3 , ∀k ∈ R+ . Note que en este caso, el espacio propio de λ23 es unidimensional y por ello es imposible encontrar dos vectores v2 y v3 que sean linealmente independientes. Esto es, la multiplicidad algebraica es mayor a la multiplicidad geométrica de λ23 . Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 21 / 51.

(52) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Diagonalización Transformación de similaridad Dada una matriz cuadrada A ∈ Rn×n , y una matriz invertible P ∈ Rn×n , a la operación P−1 AP se le llama transformación de similaridad y a la matriz B = P−1 AP se le llama matriz similar a la matriz A, siendo la matriz P la base de la transformación.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 22 / 51.

(53) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Diagonalización Transformación de similaridad Dada una matriz cuadrada A ∈ Rn×n , y una matriz invertible P ∈ Rn×n , a la operación P−1 AP se le llama transformación de similaridad y a la matriz B = P−1 AP se le llama matriz similar a la matriz A, siendo la matriz P la base de la transformación. La relación de similaridad entre dos matrices se dice que es una relación de equivalencia y cumple con las siguientes propiedades: 1. Propiedad reflexiva: Una matriz A es similar a sí misma.. 2. Propiedad simétrica: si A es similar a B entonces B es similar a A. Propiedad transitiva: Si A es similar a B y B es similar a C, entonces A es similar a C.. 3. Otros ejemplos de relaciones de equivalencia son: La igualdad numérica, la semejanza de triángulos, el paralelismo entre líneas rectas, etc. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 22 / 51.

(54) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Diagonalización Otras propiedades: Las siguientes características de una matriz A no se alteran bajo una transformación de similaridad: El determinante. La traza. Los valores y vectores propios.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 23 / 51.

(55) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Diagonalización Otras propiedades: Las siguientes características de una matriz A no se alteran bajo una transformación de similaridad: El determinante. La traza. Los valores y vectores propios. La semejanza no es lo mismo que la equivalencia por filas La semejanza de una matriz A no es lo mismo que la equivalencia por filas. Si A es equivalente a B, entonces B = EA para alguna matriz invertible E. Las operaciones por fila de una matriz normalmente alteran sus valores propios.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 23 / 51.

(56) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Diagonalización Diagonalización Dada una matriz cuadrada A ∈ Rn×n con n vectores propios linealmente independientes, es posible encontrar una matriz diagonal D similar a A mediante la transformación de similaridad D = P−1 AP, donde la matriz P es formada con los vectores propios de la matriz A. Además, los elementos en la diagonal de D serán justamente los valores propios de A.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 24 / 51.

(57) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Diagonalización Diagonalización Dada una matriz cuadrada A ∈ Rn×n con n vectores propios linealmente independientes, es posible encontrar una matriz diagonal D similar a A mediante la transformación de similaridad D = P−1 AP, donde la matriz P es formada con los vectores propios de la matriz A. Además, los elementos en la diagonal de D serán justamente los valores propios de A. Observaciones: No todas las matrices cuadradas de dimensión n cuentan con n vectores propios linealmente independientes, por lo tanto no todas las matrices son diagonalizables.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 24 / 51.

(58) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Diagonalización Diagonalización Dada una matriz cuadrada A ∈ Rn×n con n vectores propios linealmente independientes, es posible encontrar una matriz diagonal D similar a A mediante la transformación de similaridad D = P−1 AP, donde la matriz P es formada con los vectores propios de la matriz A. Además, los elementos en la diagonal de D serán justamente los valores propios de A. Observaciones: No todas las matrices cuadradas de dimensión n cuentan con n vectores propios linealmente independientes, por lo tanto no todas las matrices son diagonalizables. La matriz de diagonalización P no es única. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 24 / 51.

(59) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Diagonalización La condición de independencia lineal de los n vectores propios de A se satisface cuando todos los valores propios de A son diferentes, es decir todos los valores propios son de multiplicidad uno (el inverso no siempre es cierto).. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 25 / 51.

(60) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Diagonalización La condición de independencia lineal de los n vectores propios de A se satisface cuando todos los valores propios de A son diferentes, es decir todos los valores propios son de multiplicidad uno (el inverso no siempre es cierto). Si una matriz tiene sus n valores propios distintos tiene n vectores propios linealmente independientes y por lo tanto tiene forma diagonal.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 25 / 51.

(61) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Diagonalización La condición de independencia lineal de los n vectores propios de A se satisface cuando todos los valores propios de A son diferentes, es decir todos los valores propios son de multiplicidad uno (el inverso no siempre es cierto). Si una matriz tiene sus n valores propios distintos tiene n vectores propios linealmente independientes y por lo tanto tiene forma diagonal. Si se tiene una matriz de n × n, entonces se tienen n vectores propios linealmente independientes si y solo si la multiplicidad geométrica de cada valor propio es igual a su multiplicidad algebraica.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 25 / 51.

(62) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Diagonalización. Los valores propios de Ak , A ∈ Rn×n , k ∈ N+ son λk1 , λk2 . . . , λkn y cada vector propio de A sigue siendo un vector propio de Ak . La matriz de transformación lineal P que diagonaliza a A, también diagonaliza a Ak .. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 26 / 51.

(63) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Diagonalización. Los valores propios de Ak , A ∈ Rn×n , k ∈ N+ son λk1 , λk2 . . . , λkn y cada vector propio de A sigue siendo un vector propio de Ak . La matriz de transformación lineal P que diagonaliza a A, también diagonaliza a Ak . Si la matriz A tiene valores propios reales y vectores propios ortogonales es posible hallar una transformación lineal S = P−1 AP = PT AP; También llamada descomposición espectral de A.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 26 / 51.

(64) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Forma de Jordan Forma canónica de Jordan A una matriz A ∈ Rn×n que no tiene una matriz similar diagonal, siempre es posible hallarle una transformación lineal J = P−1 AP, donde J es una matriz diagonal por bloques llamada forma de Jordan.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 27 / 51.

(65) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Forma de Jordan Forma canónica de Jordan A una matriz A ∈ Rn×n que no tiene una matriz similar diagonal, siempre es posible hallarle una transformación lineal J = P−1 AP, donde J es una matriz diagonal por bloques llamada forma de Jordan. Puede ocurrir que la dimensión del espacio nulo (multiplicidad geométrica) mgm = dim{Nu(A − λm I)} sea menor que la multiplicidad algebraica mam correspondiente al valor propio m.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 27 / 51.

(66) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Forma de Jordan Forma canónica de Jordan A una matriz A ∈ Rn×n que no tiene una matriz similar diagonal, siempre es posible hallarle una transformación lineal J = P−1 AP, donde J es una matriz diagonal por bloques llamada forma de Jordan. Puede ocurrir que la dimensión del espacio nulo (multiplicidad geométrica) mgm = dim{Nu(A − λm I)} sea menor que la multiplicidad algebraica mam correspondiente al valor propio m. En este caso sabemos que al menos hay un vector propio (dim{Nu(A − λm I)} ≥ 1) porque de hecho determinamos λm como raíz del determinante de A; A − λm I es singular y por lo tanto hay al menos un vector propio vm que satisface (A − λm I)vm = 0. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 27 / 51.

(67) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Forma canónica de Jordan En este caso, para formar una base al subespacio asociado al valor propio λm se recurrirá a los vectores generalizados.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 28 / 51.

(68) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Forma canónica de Jordan En este caso, para formar una base al subespacio asociado al valor propio λm se recurrirá a los vectores generalizados. Vectores generalizados Conocido el vector propio vm es posible generar vectores w, llamados vectores generalizados, de la siguiente manera w0 = vm ;. (A − λm I)wj = wj−1 ;. j = 1, . . . , mam .. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 28 / 51.

(69) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Forma canónica de Jordan En este caso, para formar una base al subespacio asociado al valor propio λm se recurrirá a los vectores generalizados. Vectores generalizados Conocido el vector propio vm es posible generar vectores w, llamados vectores generalizados, de la siguiente manera w0 = vm ;. (A − λm I)wj = wj−1 ;. j = 1, . . . , mam .. De esta forma, encontramos recursivamente los vectores que hacen falta para encontrar una matriz de transformación P. Se puede verificar que si se forma la matriz P con los vectores propios de los valores propios y se completan con los vectores generalizados: J = P−1 AP, donde J es una matriz diagonal por bloques semejante a A. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 28 / 51.

(70) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios de diagonalización Ejercicio 4 Obtenga la forma diagonal, si es posible, de la matriz 4 −5 A= , 2 −3 en caso de no ser posible obtenga su forma de Jordan.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 29 / 51.

(71) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios de diagonalización Ejercicio 4 Obtenga la forma diagonal, si es posible, de la matriz 4 −5 A= , 2 −3 en caso de no ser posible obtenga su forma de Jordan. Solución: La ecuación característica es,. det. . det(A − λI) = 0; 4−λ −5 = 0; 2 −3 − λ. λ2 − λ − 2 = 0;. (λ + 1)(λ − 2) = 0.. Cuyos valores propios corresponden a λ1 = −1 y λ2 = 2.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 29 / 51.

(72) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios de diagonalización Posteriormente se calculan los vectores propios,. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 30 / 51.

(73) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios de diagonalización Posteriormente se calculan los vectores propios, Para λ1 = −1, el sistema (A − λ1 I)v1 = 0 tiene un vector propio T v1 = 1 1 .. Para λ2 = 2, el sistema (A − λ2 I)v2 = 0 tiene un vector propio T v2 = 5 2 .. Utilizando los vectores propios obtenidos construimos la matriz de transformación P = v1 v2 se verifica que:. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 30 / 51.

(74) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios de diagonalización Posteriormente se calculan los vectores propios, Para λ1 = −1, el sistema (A − λ1 I)v1 = 0 tiene un vector propio T v1 = 1 1 .. Para λ2 = 2, el sistema (A − λ2 I)v2 = 0 tiene un vector propio T v2 = 5 2 .. Utilizando los vectores propios obtenidos construimos la matriz de transformación P = v1 v2 se verifica que: −1. . D = P AP = −1 0 = . 0 2. 1 5 1 2. −1 . 4 −5 2 −3. . 1 5 1 2. . ;. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 30 / 51.

(75) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios de diagonalización Ejercicio 5 Obtenga la forma diagonal, si es posible, de la matriz   1 3 3 A =  −3 −5 −3  , 3 3 1 en caso de no ser posible obtenga su forma de Jordan.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 31 / 51.

(76) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios de diagonalización Ejercicio 5 Obtenga la forma diagonal, si es posible, de la matriz   1 3 3 A =  −3 −5 −3  , 3 3 1 en caso de no ser posible obtenga su forma de Jordan. Solución: La ecuación característica es, det(A − λI) = 0;  1−λ 3 3 −5 − λ −3  = 0; det  −3 3 3 1−λ . λ3 − 3λ2 + 4 = 0. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 31 / 51.

(77) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios de diagonalización Cuyos valores propios corresponden a λ1 = 1 y λ23 = −2 con multiplicidad dos.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 32 / 51.

(78) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios de diagonalización Cuyos valores propios corresponden a λ1 = 1 y λ23 = −2 con multiplicidad dos. Calculando los vectores propios, Para λ1 = 1, el sistema (A − λ1 I)v1 = 0 tiene un vector propio T v1 = 1 −1 1 .. Para λ23 = −2, el sistema (A − λ23 I)v23 = 0 tiene dos vectores T T propios v2 = −1 1 0 y v3 = −1 0 1 . El espacio propio de λ23 es bidimensional.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 32 / 51.

(79) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios de diagonalización Cuyos valores propios corresponden a λ1 = 1 y λ23 = −2 con multiplicidad dos. Calculando los vectores propios, Para λ1 = 1, el sistema (A − λ1 I)v1 = 0 tiene un vector propio T v1 = 1 −1 1 .. Para λ23 = −2, el sistema (A − λ23 I)v23 = 0 tiene dos vectores T T propios v2 = −1 1 0 y v3 = −1 0 1 . El espacio propio de λ23 es bidimensional. Note que en este caso los tres vectores propios son linealmente independientes y por lo tanto la matriz A es diagonalizable. Por lo que si P = v1 v2 v3 , se verifica que:. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 32 / 51.

(80) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios de diagonalización Cuyos valores propios corresponden a λ1 = 1 y λ23 = −2 con multiplicidad dos. Calculando los vectores propios, Para λ1 = 1, el sistema (A − λ1 I)v1 = 0 tiene un vector propio T v1 = 1 −1 1 .. Para λ23 = −2, el sistema (A − λ23 I)v23 = 0 tiene dos vectores T T propios v2 = −1 1 0 y v3 = −1 0 1 . El espacio propio de λ23 es bidimensional. Note que en este caso los tres vectores propios son linealmente independientes y por lo tanto la matriz A es diagonalizable. Por lo que si P = v1 v2 v3 , se verifica que:   1 0 0 D = P−1 AP =  0 −2 0  . 0 0 −2 Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 32 / 51.

(81) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios de diagonalización Ejercicio 6 Obtener la forma diagonal, si es posible, de la matriz   2 1 0 A =  1 2 1 . 0 −1 2 en caso de no ser posible obtenga su forma de Jordan.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 33 / 51.

(82) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios de diagonalización Ejercicio 6 Obtener la forma diagonal, si es posible, de la matriz   2 1 0 A =  1 2 1 . 0 −1 2 en caso de no ser posible obtenga su forma de Jordan. Solución: La ecuación característica es, det(A − λI) = 0;. λ3 − 6λ2 + 12λ − 8 = 0; (λ − 2)3 = 0.. Cuyos valores propios corresponden a λ123 = 2 con multiplicidad tres. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 33 / 51.

(83) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios de diagonalización Calculando los vectores propios asociados: Para λ123 = 2, el sistema (A − λ123 I)v1 = 0 tiene un vector propio T v1 = 1 0 −1 .. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 34 / 51.

(84) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios de diagonalización Calculando los vectores propios asociados: Para λ123 = 2, el sistema (A − λ123 I)v1 = 0 tiene un vector propio T v1 = 1 0 −1 .. No hay otros vectores propios, la multiplicidad geométrica λ123 es mgλ123 = 1, y cada vector propio de A es múltiplo de v1 . Por lo tanto es imposible construir una base en R3 usando vectores propios de A. Por ello, la matriz A no es diagonalizable.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 34 / 51.

(85) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios de diagonalización Calculando los vectores propios asociados: Para λ123 = 2, el sistema (A − λ123 I)v1 = 0 tiene un vector propio T v1 = 1 0 −1 .. No hay otros vectores propios, la multiplicidad geométrica λ123 es mgλ123 = 1, y cada vector propio de A es múltiplo de v1 . Por lo tanto es imposible construir una base en R3 usando vectores propios de A. Por ello, la matriz A no es diagonalizable. Para construir la base P que transforme A a su forma de Jordan es necesario calcular los maλ123 − mgλ123 = 2 vectores generalizados faltantes; resolviendo para w1 , w2 : (A − λ123 I)w1 = v1 ;. (A − λ123 I)w2 = w1 . Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 34 / 51.

(86) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios de diagonalización De esta forma los vectores generalizados asociados a λ123 = 2 serían: Para (A − λ123 I)w1 = v1 , se tiene un vector propio generalizado T w1 = 0 1 0 .. Para (A − λ123 I)w2 = w1 , se tiene un vector propio generalizado T w2 = 12 0 12 .. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 35 / 51.

(87) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios de diagonalización De esta forma los vectores generalizados asociados a λ123 = 2 serían: Para (A − λ123 I)w1 = v1 , se tiene un vector propio generalizado T w1 = 0 1 0 .. Para (A − λ123 I)w2 = w1 , se tiene un vector propio generalizado T w2 = 12 0 12 .. Note que ahora se tienen tres vectores linealmente independientes y por lo tanto se puede construir la base P = v1 w1 w2 y se verifica que. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 35 / 51.

(88) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios de diagonalización De esta forma los vectores generalizados asociados a λ123 = 2 serían: Para (A − λ123 I)w1 = v1 , se tiene un vector propio generalizado T w1 = 0 1 0 .. Para (A − λ123 I)w2 = w1 , se tiene un vector propio generalizado T w2 = 12 0 12 .. Note que ahora se tienen tres vectores linealmente independientes y por lo tanto se puede construir la base P = v1 w1 w2 y se verifica que   2 1 0 J = P−1 AP =  0 2 1  , 0 0 2 donde la matriz J está formada por un bloque de Jordan de 3 × 3. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 35 / 51.

(89) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios de diagonalización Ejercicio 7 Obtener la forma diagonal, si es posible, de la matriz  5  1 −2 0 2 A =  12 −2 − 21  , 1 0 − 32 −2 en caso de no ser posible encuentre su forma de Jordan.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 36 / 51.

(90) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios de diagonalización Ejercicio 7 Obtener la forma diagonal, si es posible, de la matriz  5  1 −2 0 2 A =  12 −2 − 21  , 1 0 − 32 −2 en caso de no ser posible encuentre su forma de Jordan. Solución: La ecuación característica es, det(A − λI) = 0;. λ3 + 6λ2 + 12λ + 8 = 0; (λ + 2)3 = 0.. Cuyos valores propios corresponden a λ123 = −2 con multiplicidad tres. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 36 / 51.

(91) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios de diagonalización Calculando los vectores propios asociados: Para λ123 = −2, el sistema (A − λ123 I)v1 = 0 tiene un vector pro T pio v1 = 1 0 1 , también en posible calcular un segundo T que es linealmente indepenvector propio v2 = 0 1 0 diente de v1 .. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 37 / 51.

(92) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios de diagonalización Calculando los vectores propios asociados: Para λ123 = −2, el sistema (A − λ123 I)v1 = 0 tiene un vector pro T pio v1 = 1 0 1 , también en posible calcular un segundo T que es linealmente indepenvector propio v2 = 0 1 0 diente de v1 . No hay otros vectores propios, la multiplicidad geométrica λ123 es mgλ123 = 2, y cada vector propio de A es múltiplo de v1 y v2 . Por lo tanto es imposible construir una base en R3 usando vectores propios de A. Por ello, la matriz A no es diagonalizable.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 37 / 51.

(93) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios de diagonalización Calculando los vectores propios asociados: Para λ123 = −2, el sistema (A − λ123 I)v1 = 0 tiene un vector pro T pio v1 = 1 0 1 , también en posible calcular un segundo T que es linealmente indepenvector propio v2 = 0 1 0 diente de v1 . No hay otros vectores propios, la multiplicidad geométrica λ123 es mgλ123 = 2, y cada vector propio de A es múltiplo de v1 y v2 . Por lo tanto es imposible construir una base en R3 usando vectores propios de A. Por ello, la matriz A no es diagonalizable. Para construir la base P que transforme A a su forma de Jordan es necesario calcular los maλ123 − mgλ123 = 1 vectores generalizados faltantes.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 37 / 51.

(94) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios de diagonalización Este vector propio generalizado no necesariamente es proyección de v1 o v2 sino que es la combinación lineal de ambos αv1 + βv2 = T α β α para poder generar el subespacio de dimensión igual a su multiplicidad geométrica.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 38 / 51.

(95) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios de diagonalización Este vector propio generalizado no necesariamente es proyección de v1 o v2 sino que es la combinación lineal de ambos αv1 + βv2 = T α β α para poder generar el subespacio de dimensión igual a su multiplicidad geométrica. De esta forma, . (A − λ123 I)w1 = . − 12. 1 2 − 12.    1 0 α 2 0 − 21  w1 =  β  ; 1 α 0 2. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 38 / 51.

(96) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios de diagonalización Este vector propio generalizado no necesariamente es proyección de v1 o v2 sino que es la combinación lineal de ambos αv1 + βv2 = T α β α para poder generar el subespacio de dimensión igual a su multiplicidad geométrica. De esta forma, . (A − λ123 I)w1 = . − 12. 1 2 − 12.    1 0 α 2 0 − 21  w1 =  β  ; 1 α 0 2. Y este conjunto de ecuaciones tendrán una solución posible, siempre que α = −β. Por lo tanto, el vector propio sobre el cual el vector propio generalizado se proyecta es   1 v12 =  −1  . 1 Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios. 38 / 51.

(97) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios de diagonalización De esta forma el vector generalizado asociados a λ123 = −2 sería: Para (A − λ123 I)w1 = v12 , se tiene un vector propio generalizado T w1 = 1 0 3 .. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 39 / 51.

(98) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios de diagonalización De esta forma el vector generalizado asociados a λ123 = −2 sería: Para (A − λ123 I)w1 = v12 , se tiene un vector propio generalizado T w1 = 1 0 3 .. Note que ahora se tienen tres vectores linealmente independientes y por lo tanto se puede construir la base P = v1 v12 w1 y se verifica que. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 39 / 51.

(99) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios de diagonalización De esta forma el vector generalizado asociados a λ123 = −2 sería: Para (A − λ123 I)w1 = v12 , se tiene un vector propio generalizado T w1 = 1 0 3 .. Note que ahora se tienen tres vectores linealmente independientes y por lo tanto se puede construir la base P = v1 v12 w1 y se verifica que   −2 0 0 J = P−1 AP =  0 −2 1  , 0 0 −2 donde la matriz J es diagonal por bloques; tiene en la diagonal una matriz diagonal de 1 × 1 y un bloque de Jordan de 2 × 2 .. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 39 / 51.

(100) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Ejercicios de diagonalización De esta forma el vector generalizado asociados a λ123 = −2 sería: Para (A − λ123 I)w1 = v12 , se tiene un vector propio generalizado T w1 = 1 0 3 .. Note que ahora se tienen tres vectores linealmente independientes y por lo tanto se puede construir la base P = v1 v12 w1 y se verifica que   −2 0 0 J = P−1 AP =  0 −2 1  , 0 0 −2 donde la matriz J es diagonal por bloques; tiene en la diagonal una matriz diagonal de 1 × 1 y un bloque de Jordan de 2 × 2 .. Note que de igual forma se pudo tomar P = v2 cumple que J = P−1 AP, con J en forma de Jordan.. v12. w1. . y se. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 39 / 51.

(101) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Aplicación a ecuaciones diferenciales Consideremos el sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes dado por, ẋ(t) = x(t);. x(0) = x0 ;. con .   x(t) =   . x1 (t) x2 (t) .. . xn (t). a11  a21  A= .  .. an1. .   ; . a12 a22 .. . an2. .   ẋ(t) =  . . . . a1n . . . a2n .. .. . . . . . ann. ẋ1 (t) ẋ2 (t) .. . ẋn (t) . .   ; .   . . Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 40 / 51.

(102) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Aplicación a ecuaciones diferenciales La solución al sistema de ecuaciones anterior se calcula de manera análoga al caso escalar como x(t) = eAt x0 ; Sin embargo, el cálculo de eAt que en el caso A escalar es trivial, se complica si A es una matriz.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 41 / 51.

(103) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Aplicación a ecuaciones diferenciales La solución al sistema de ecuaciones anterior se calcula de manera análoga al caso escalar como x(t) = eAt x0 ; Sin embargo, el cálculo de eAt que en el caso A escalar es trivial, se complica si A es una matriz. Si A es diagonal, el cálculo es directo, digamos:    a t a11 0 . . . 0 e 11 0 a22 t  0 a22 . . . 0   0 e    At A= . .. ..  ; e =  .. .. ..  ..   . . . . . 0 0 . . . ann 0 0. ... ... .. .. 0 0 .. .. . . . eann t. .   . . Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 41 / 51.

(104) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Aplicación a ecuaciones diferenciales Pero si A no es diagonal, se tiene que recurrir al cálculo exponencial de la serie, 1 1 eAt = I + At + A2 t 2 + A3 t 3 + . . . ; 2! 3!. 2 Una. matriz satisface su propia ecuación característica. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 42 / 51.

(105) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Aplicación a ecuaciones diferenciales Pero si A no es diagonal, se tiene que recurrir al cálculo exponencial de la serie, 1 1 eAt = I + At + A2 t 2 + A3 t 3 + . . . ; 2! 3! Que en el caso matricial se convierte en una suma finita pues por el Teorema de Cayley-Hamilton2 An se puede expresar como una combinación lineal de las potencias anteriores de A, con lo cual, eAt = α0 (t)I + α1 (t)A + α0 (t)A2 + . . . + αn−1 (t)An−1 .. 2 Una. matriz satisface su propia ecuación característica. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 42 / 51.

(106) Introducción. Valores propios y vectores propios. Diagonalización. Solución de ecuaciones diferenciales. Aplicación en control. Aplicación a ecuaciones diferenciales Pero si A no es diagonal, se tiene que recurrir al cálculo exponencial de la serie, 1 1 eAt = I + At + A2 t 2 + A3 t 3 + . . . ; 2! 3! Que en el caso matricial se convierte en una suma finita pues por el Teorema de Cayley-Hamilton2 An se puede expresar como una combinación lineal de las potencias anteriores de A, con lo cual, eAt = α0 (t)I + α1 (t)A + α0 (t)A2 + . . . + αn−1 (t)An−1 . Como (P−1 AP)k = P−1 Ak P, para cualquier entero k de la sumatoria finita obtenemos 2 P−1 eAt P =α0 (t)I + α1 (t)P−1 AP + α0 (t) P−1 AP + . . . n−1 + αn−1 (t) P−1 AP ; eP. −1. 2 Una. APt. =eDt = α0 (t)I + α1 (t)D + α0 (t)D2 + . . . + αn−1 (t)Dn−1 .. matriz satisface su propia ecuación característica. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Valores y vectores propios 42 / 51.