Clase 2 del módulo de Geometría

Clase 2 del módulo de Geometría

1.1. Ecuación del círculo.

Vamos a considerar un círculo de centro (h,k) y radio _{​r​ :}

Fig. 1.1. Circunferencia de radio _​r_​ y centro en _​(h,k)_​.

El radio del círculo es la distancia del segmento de recta que va del centro del círculo con coordenadas _{​(h,k) a un punto cualquiera en el perímetro de la circunferencia con} coordenadas _{​(x,y). ​Para obtener su magnitud usamos el teorema de Pitágoras:}

(1)

x ) y )

( − h 2+ ( − k 2 = r2

Para construir cualquier circunferencia, es necesario determinar el radio y las coordenadas del centro.

Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo cuyos vértices son P1(-1,1), P2(3,5), P3(5,-3)

Fig. 1.2. Circunferencia circunscrita al triángulo con vértices (-1,1), (3,5), (5,-3).

Como dato curioso a este problema, cuando la policía intenta localizar la ubicación de un sospechoso, usan la triangulación de llamadas, o bien geolocalización de llamadas. Los teléfonos celulares se conectan a una red de antenas cada que se reciba una llamada o se realice una. Cada radiobase se comunica con los celulares de su zona de cobertura y les brinda el servicio. Cuando se realiza una llamada o se recibe una, se conocen los detalles de qué antena brindó el servicio. Conociendo la distancia del celular a por lo menos tres radiobases, se puede calcular el radio donde posiblemente se encuentre el sospechoso.

SOLUCIÓN:

El primer paso para resolver este problema es encontrar las mediatrices _{​L1 y ​L2​, para} después determinar las coordenadas del centro C. Calculamos el punto medio entre los puntos (-1,1) y (3,5) que es el punto por donde pasa L1 y (-1,1) con (5,-3) para L2:

y 1, ) P_m1 =

(

₎

(

)

Dado que L1 forma un ángulo de 90° con el segmento de (-1,1) a (3,5) y L2 con el segmento de (3,5) con (5,-3), por lo tanto las pendientes de estas mediatrices es la misma que las de estos segmentos pero con signo opuesto (dos rectas forman un ángulo de 90° si sus pendientes son inversamente proporcionales pero de signo opuesto): y − − m₁ = − 1−5 −1−3 = −4−4 = 1 m2 =− 3−5 − 5−(−3) ₌ 8 −2 = 4

La ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados es:

​

x + y = 4

y

x − 4 = 0

Resolvemos este sistema de ecuaciones de 2x2 para encontrar en punto donde ambas rectas se intersectan, por lo que la solución es el punto C(16/5, /5)4 como ya conocemos el centro, calcular el radio es tarea fácil con cualquiera de los tres puntos:

1/5) r =

√

Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia de radio _{​r​ y centro C está dada por:}

x 6/5) y /5) 42/25

Si desarrollamos la ecuación ordinaria del círculo, tenemos que:

x ) y ) hx ky

( − h 2+ ( − k 2 = x2_{− 2 + h}2_{+ y}2 _{− 2 + y}2 _{= r}2

hx ky

x2_{− 2 + h}2_{+ y}2_{− 2 + y}2_{− r}2 _{= 0}

De donde podemos expresar la ecuación de la siguiente manera:

(2)

x y

x2_{+ y}2_{+ D + E + F = 0}

Donde D = 2 − h, E = 2 F = h− k, y 2+ k2− r2 . A la ecuación (2) se le conoce como ecuación general de la circunferencia. El problema que tenemos ahora es si la ecuación (2) representa a toda una circunferencia. Para solucionar este problema, tenemos que pasar de la ecuación (2) a la (1). De (2) tenemos que:

x x) y y) −

( 2_{+ D + (} 2 _{+ E = F}

Sumando D2/4+ E2/4 en ambos lados, tenemos que:

x x /4) y y /4 F )/4 ( 2_{+ D + D}2 _{+ (} 2_{+ E + E}2 _{= (D}2_{+ E}2_{− 4} Factorizamos: (3) x /2) y /2) D F )/4 ( + D 2+ ( + E 2 = ( 2+ E2− 4

Comparando (1) y (3), vemos que depende del valor del segundo miembro de (3) el que (3) represente o no una circunferencia. Hay 3 posibles casos a considerar:

a) Si D2+ E2− 4 > 0 F entonces (3) representa una circunferencia con el centro en y radio igual a

(− /2, /2)

C D − E r = 1/2

√

b) Si D2+ E2− 4 = 0 F entonces (3) es una circunferencia de radio cero, o bien el punto con coordenadas (− /2,C D − E/2)

c) Si D2+ E2− 4F < 0 entonces (3) representa un círculo imaginario, es decir, no podemos representar este objeto en el plano geométrico.

Analizando la ecuación (2), vemos que D, E y F son tres constantes arbitrarias independientes. La ecuación de cualquier circunferencia en particular puede obtenerse

a partir de obtenerse los valores de tres constantes. Por lo tanto, analíticamente, la ecuación de una circunferencia se determina completamente por tres condiciones independientes.

EJEMPLO: Determinar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por los puntos A(-1,1) B(3,5), y C(5,-3)

SOLUCIÓN:

Este problema es idéntico al que hicimos para el triángulo circunscrito. Buscamos la ecuación de la circunferencia con la forma general:

x y

x2_{+ y}2_{+ D + E + F = 0}

Donde las constantes D, E y F, las debemos de determinar.

Dado que los tres puntos están sobre la circunferencia, sus coordenadas satisfacen la ecuación (2): − , ) 1 ( 1 1 + 1 − D + E + F = 0 3, ) 9( 5 + 2 + 3 + 5 + F = 0 5 D E 5,− ) 25 D E ( 3 + 9 + 5 − 3 + F = 0 Organizamos términos: D− E − F = 2 D3 + 5 + F = 3 E − 4 5D− 3 + F = 3 E − 4 Solucionando este sistema de ecuaciones obtenemos:

D=-32/5, E=-8/5, F=-34/5 Sustituyendo estos valores en la ecuación (2) tenemos que:

32/5)x 8/5)y 4/5 x2_{+ y}2_{− ( − ( − 3 = 0}

O bien:

x 2x y 4

El centro y el radio lo obtenemos regresando a la forma de la ecuación (3):

x 6/5) y /5) 42/25

( − 1 2+ ( − 4 2 = 4

Donde el centro es C(16/5, 4/ 5) y el radio es r = (1/5)√442

TANGENTE DE UNA CIRCUNFERENCIA (Pre-cálculo)

Sea la ecuación de una curva plana cualquiera C f(x,y)=0

Sean P₁(x , ) ₁ y₁ , y P₂(x , )₂ y₂ dos puntos de la curva plana C tales que el arco de curva que los une sea continuo.

Fig. 1.3. Líneas secantes que intersectan la curva plana C.

Entonces, a medida que P₂(x , )₂ y₂ se aproxima hacia P₁(x , ) ₁ y₁ se lleva a cabo un proceso límite, donde la pendiente de la recta tangente que pasa por P₁(x , ) ₁ y₁ está dada por:

m = lim

x →x_{2 1} x −x1 2 y −y_{1 2}

La determinación de este límite es un problema fundamental del cálculo diferencial. No obstante, dado que obtener este límite es problema fuera del curso, podemos determinar analíticamente las ecuaciones de tangentes a curvas planas. Consideramos la ecuación de la curva _{​f(x,y)=0​ y la ecuación de la recta:}

x y = m + b

Ahora, si nuestra curva es la función (x, )f y = ( − hx )2+ ( − ky )2− r2 _{= 0} para un círculo con centro _{​(h,k)​ y radio ​r​, sustituimos la recta anterior en esta función:}

x ) mx )

( − h 2+ ( + b − k 2− r2 _{= 0}

Desarrollamos términos:

hx x m(b )x b )

x2_{− 2 + h}2_{+ m}2 2 _{+ 2 − k + ( − k} 2_{− r}2 _{= 0}

Ordenamos términos semejantes:

m )x [m(b ) ]x b ) ]

( 2_{+ 1} 2_{+ 2 − k − h + [h}2 _{+ ( − k} 2 _{− r}2 _{= 0}

O bien:

x x

A 2_{+ B + C = 0}

Esta ecuación cuadrática se soluciona usando la fórmula general.

1.2. Ecuación de la parábola

Para definir la ecuación de una parábola hace falta un vértice, un eje de orientación y un foco (ver Fig. 1.2.1). El caso más sencillo es la parábola con vértice en el origen y eje que coincide con un eje coordenado.

Fig.1.2.1 Parábola con vértice en el origen y eje que coincide con el eje X.

Por definición de parábola, la ecuación de la directriz l es x = p − . Sea_{​P(x,y) un} punto cualquiera de la parábola. Entonces, sea PA el segmento del punto P al punto A de la directriz y FP el segmento del foco _{​F(p,0) al punto P. Por definición de parábola} se debe de cumplir que: _{​|PA| = |FP| . Estas distancias se calculan con el teorema de} Pitágoras de la siguiente manera:

P A| |x |

| = + p F P |

| =

√

Por lo tanto, como ambos segmentos son iguales, tenemos que: |x |

√

px y2 _{= 4}

Ahora calculamos raíz cuadrada en ambas partes:

(1) y = ± 2√px

Esta es la ecuación para una parábola con vértice en el origen, directriz en _{​x = -p y foco} en _{​x = p​. Vemos que la curva parte del origen y no vuelve a interceptar a los ejes} coordenados. Para valores de _{​y reales y diferentes de cero, ​p y ​x deben ser del mismo} signo. Si _{​p>0 deben excluirse todos los valores negativos de ​x​, y toda la curva se} encuentra a la derecha del eje _{​y​, de lo contrario la curva sería imaginaria. Si ​p<0 todos} los valores positivos de _{​x​ deben excluirse y la curva aparece a la izquierda del eje ​y​ .}

Haciendo el mismo procedimiento, pero para una parábola con vértice en el origen y eje que coincide con el eje Y, se llega al resultado.

(2) x = ± 2√py

Ya vimos el caso sencillo de una parábola con vértice en el origen, ahora necesitamos ver el caso cuando el vértice está en el punto _{​(h,k)​. Para ello, necesitamos} transformar el sistema de coordenadas a uno con su origen en el punto _{​O’(h,k)​, tal que} los nuevos ejes serán _{​X’​ y ​Y’​. Las ecuaciones de transformación son:}

x=x’+h , y=y’+k x’=x-h , y‘=y-k

Fig. 1.2.2 Parábola con vértice en el punto _​(h,k)​ y eje que coincide con el eje X.

Si la ecuación de la parábola en el nuevo sistema de coordenadas es: px

y′2 = 4 ′

Entonces, sustituyendo las nuevas coordenadas queda:

y ) p(x )

( − k 2 = 4 − h

Esta es la ecuación ordinaria de la parábola cuyo vértice está en el punto _{​(h,k)​. Como} vemos, esta parábola tiene su eje paralelo al eje X. Si el foco está ubicado en el punto (-p,0) entonces se trata de una parábola que apunta hacia la derecha (caso contrario al de la Fig. 1.2.2). Podemos repetir el mismo procedimiento para una parábola con su eje paralelo al eje Y, y la ecuación que la describe sería:

x ) p(y )

( − h 2 = 4 − k

EJEMPLO. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto (3,4) y cuyo foco es el punto (3,2). Hallar también la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto.

SOLUCIÓN.

Como el vértice V y el foco F de la parábola, están sobre su eje, y como cada uno de estos puntos tiene la misma abscisa de valor 3, entonces, el eje _{​a​ es paralelo al eje Y.}

Fig. 1.2.3. Parábola con vértice en (3,4) y foco en (3,2).

Dado que el eje _{​a​ es paralelo al eje Y, la ecuación de la parábola es de la forma:}

x ) p(y )

( − h 2 = 4 − k Como el vértice V es el punto (3,4), puede reescribirse:

x ) p(y )

( − 3 2 = 4 − 4

Ahora bien, p|| = |F V |= | − 2 = 2 4 | . Pero como el foco está por debajo de V, la parábola se abre hacia abajo y _{​p​ es negativo. Por lo tanto ​p=-2​, y la ecuación queda:}

x ) − (y )

( − 3 2 = 8 − 4

TANGENTE DE LA PARÁBOLA (Pre cálculo)

Como vimos anteriormente con la recta tangente que pasa por una curva plana, obtendremos la tangente en un punto dado de la parábola

(1) px

y2 _{= 4}

_​(2)

(x )

y = m − x₁ + y₁ Sustituimos el valor de _{​y​ de (2) en (1):}

m(x ) ] px

[ − x₁ + y₁ 2 = 4 Desarrollamos el binomio al cuadrado:

(x ) m(x )y px m2 _{− x} 1 2+ 2 − x1 1+ y12 = 4 x m x x x my x mx y px m2 2 _{− 2} 2 1 + m2 12+ 2 1 − 2 1 1+ y12− 4 = 0 (3) m )x 2my m x p)x m x mx y ) ( 2 2_{+ (} 1− 2 2 1− 4 + ( 2 12+ y12− 2 1 1 = 0

En este punto, tenemos una ecuación cuadrática de la forma xA 2_{+ B + C = 0} x . Para que se cumpla la tangencia, el discriminante B2 − 4ACde la fórmula general, de la ecuación (3), debe anularse:

2my m x p) m (m x mx y ) ( ₁− 2 2 1− 4 2− 4 2 2 12+ y12− 2 1 1 = 0 Reducimos términos: 4m y m x 6p m x y 6m px 6mpy ) m x m y m x y ( 2 12+ 4 4 12+ 1 2− 8 3 1 1+ 1 2 1 − 1 1 − 4 4 12− 4 2 12+ 8 3 1 1 = 0

Reducimos aún más términos semejantes:

6p 6m px 6mpy 1 2 _{+ 1} 2 1− 1 1 = 0 6p(p x y ) 1 + m2 1− m 1 = 0 x y m2 1− m 1+ p = 0

Esta es una ecuación cuadrática para _{​m donde su solución se obtiene con la fórmula} general:

_​

m =

√

Pero como P₁(x , )₁ y₁ está sobre la parábola de la ecuación (1).

(5) px

y₁2 _{= 4} 1

Si sustituimos (5) en (4), tenemos que la raíz cuadrada se anula, y nos queda:

m =

2x₁

Si sustituimos este valor de _{​m​ en la ecuación de la recta (2), tenemos que:}

(x

)

x

x

y =

− x

+ y

=

−

_{+ y}

=

+

(x

)

y =

+ x

De la ecuación (5) tenemos que: x2 ₁ = y₁2/(2p) y sustituyendo en la última ecuación que obtuvimos, tenemos que:

/(2p) y (x )

y₁2 _{= y}

1 + x1

Obtenemos la expresión para la tangente:

y p(x )

y₁ = 2 + x₁

1.3. Ecuación de la elipse.

A diferencia de la parábola, la elipse tiene dos focos. A la recta que pasa por los focos se le conoce como eje focal o semieje mayor. En el caso de la Fig. 2.2.3.1 se tiene una elipse con semieje mayor paralelo al eje X.

Fig. 1.3.1. Representación de la elipse en el plano cartesiano.

Uno de los científicos más famosos en estudiar la elipse fue Johanes Kepler. Observando los astros, encontró que éstos se movían en trayectorias elípticas con el Sol en uno de los focos. Por definición, la suma de las distancias de los focos a cualquier punto situado sobre la elipse, es constante, siempre va valer lo mismo, en términos matemáticos se escribe:

F P | F P | a | ′ + | = 2

Donde _{​a es una constante positiva mayor que ​c​. Dado que conocemos las} coordenadas de los focos, las distancias anteriormente mencionadas vienen dadas por:

, F P |

| ′ =

√

√

La condición de elipse con estas distancias expresadas de esta manera, queda:

√

√

a

√

√

Elevamos todo al cuadrado:

x ) a a x )

( + c 2+ y2 _{= 4} 2_{− 4}

√

Agrupamos términos semejantes:

cx a − a

4 − 4 2 _{= 4}

√

Dividimos todo entre 4

x −

c − a2 _{= a}

√

Volvemos a elevar todo al cuadrado (_​¡Casi lo logramos!_​):

x ca x (x ) y x ca x c y

c2 2 _{− 2} 2 _{+ a}4 _{= a}2 _{− c} 2_{+ a}2 2 _{= a}2 2_{− 2} 2 _{+ a}2 2_{+ a}2 2

Cancelamos términos semejantes, pasamos el xc2 2a la derecha y el _ca2 2a la izquierda y factorizamos:

(a ) a )x y

a2 2_{− c}2 _{= (} 2_{− c}2 2 _{+ a}2 2

Hacemos b2 = a2_{− c}2 y tenemos que:

x y b

b2 2 + a2 2 _{= a}2 2

Dividimos todo entre a2 2b y tenemos la ecuación de la elipse:

a x2

+

b 2

= 1

Por ser a − a y las intersecciones con el eje X, las coordenadas de los vértices V y V’ son _{​(a,0) ​y ​(-a,0)​, respectivamente, y la longitud del semieje mayor es} a2 , la constante que desde un principio dijimos que por definición de elipse, la suma de las distancias de un punto cualquiera situado sobre la elipse hacia los focos, es constante. Los extremos del semieje menor son _{​(0,b)​ y ​(0,-b)​, y la distancia del semieje menor es ​2b​.}

_​

±

y =

_√a

_{− x}

Por el término de la raíz, vemos que sólo se obtienen valores reales cuando la resta es positiva, o bien para

− a ≤ x ≤ a

De la misma manera, despejamos para x, y tenemos valores permitidos: − b ≤ y ≤ b

De estas desigualdades, se deduce que la elipse está limitada en un rectángulo de base 2b y altura 2a. Por lo tanto, se dice que la elipse es una curva cerrada.

Dado que la abscisa del Foco F es _{​c​, sustituyendo en (6) tenemos que:}

±

±

±

/a

y =

_√a

_{− c}

₌

a

b

_√

_b

_{= b}

Por tanto, la longitud del lado recto para el foco F es b /a2 2 , de igual manera para el foco F’ es la misma cantidad.

La _​excentricidad es un aspecto muy importante de la elipse. Se define la excentricidad como la razón /ac y se representa usualmente por la letra e . De la ecuación que habíamos hecho b2 = a2 _{− c}2, la distancia al foco es:

c =

√

Si dividimos todo entre tenemos:a

/a /a

e = c =

_√

Como c<a entonces la excentricidad de la elipse es menor que 1. Nótese que si e = 0 es porque a = b y entonces se habla de un círculo.

Ahora vamos a considerar la elipse con centro _{​(h,k)​. En este caso, necesitamos} hacer un cambio de coordenadas. Las ecuaciones de transformación son:

,

x = x′+ h y = y′+ k De donde:

,

x′= x − h y′= y − k

Si sustituimos estos valores de y en la ecuación de la elipse, tenemos que:x′ y′

a2

(x−h)2

₊

b2

(y−k)2

_{= 1}

Para una elipse con semieje mayor paralelo al eje Y, tenemos la expresión:

b2

(x−h)2

₊

a2

EJEMPLO. Los vértices de una elipse tienen por coordenadas (-3,7) y (-3,-1), y la

longitud de cada lado recto es 2. Hallar la ecuación de la elipse, las longitudes de sus semiejes mayor y menor, las coordenadas de sus focos y su excentricidad.

SOLUCIÓN.

Como los vértices V y V’ están sobre el eje focal, entonces la elipse está orientada paralela al eje Y. El centro de la elipse está en el punto medio entre V y V’, por lo tanto el centro está en (-3,3). La longitud del eje mayor VV’ es a2 = 8 a = 4 y . La longitud del lado recto es:

b /a 2 2 = 2

Como a = 4 se sigue que b2 2 = 8 por lo tanto b = 2 y la longitud del semieje menor es 4. Con estos datos, la ecuación de la elipse es:

(x+3)₄

2

+

= 1

También tenemos que c2 _{= a}2_{− b}2 _{= 1 − 4 = 1} 6 2, de donde _{c = √12 =} por

√

/a 2 )/4 /2