INTRODUCCION A LOS
DISEÑOS FACTORIALES
SEMANA 7
Diseños Factoriales
Referencia en el Texto: Capítulo 5
Principios generales de los experimentos factoriales
El factorial con dos factores con efectos fijos
La
ANOVA
para factoriales
Extensiones a más de dos factores
Factores
Cuantitativos y Cualitativos -
curvas y
superficies de respuesta
3
Diseños Factoriales
El objetivo de un diseño
factorial es estudiar el efecto de varios factores sobre una o varias respuestas, cuando se tiene el mismo interés en todos los factores
Los factores pueden ser cualitativos,
cuantitativos o mixtos
Es necesario elegir al menos dos niveles de prueba para cada factor.
En el diseño factorial completo se corren
aleatoriamente todas las posibles combinaciones
Definiciones Básicas
Definición del efecto de un factor: El cambio en la respuesta
promedio cuando el factor es cambiado de nivel bajo a alto.
40 52
20 30
21
2
2
30 52
20 40
11
2
2
52 20
30 40
1
2
2
A A B BA
y
y
B
y
y
AB
4 Efecto de la Interacción Baja Líneas paralelasEl caso de la Interacción
50 12
20 40
1
2
2
40 12
20 50
9
2
2
12 20
40 50
29
2
2
A A B BA
y
y
B
y
y
AB
5 Efecto de la Interacción AltaEfecto de A depende del nivel que se elige para el factor B
6
Un vendedor de plástico para empaques flexibles esta
ayudando a uno de sus clientes, el que reclama que el
plástico que este le vende, no sella bien.
La forma de medir este sello es por medio de la fuerza
requerida para separarlo, y las unidades con las que
esto se mide son: gramos entre centímetros cuadrados.
Problema
7
Diseños Factoriales (Ejemplo)
8
De acuerdo con su experiencia, el vendedor
considera que el cierre de este material
depende de las siguientes características:
Temperatura
Presión
Grueso del plástico
Tiempo de sellado.
Y ha definido las siguientes variables para
realizar un experimento.
9
Variable respuesta:
Y: fortaleza del sello (gr/cm
2)
Factor
Nivel alto (+1)
Nivel bajo (-1)
Temperatura (°C)
300
250
Presión (psi)
100
80
Grueso del material
Pulgadas)
0.03
0.02
Tiempo sellado (s)
0.2
0.1
Diseños Factoriales (Ejemplo)
Ho: efecto de temperatura = 0 H1: efecto de temperatura 0 …
A esto se le conoce por matriz de arreglo
10
Temperatura Presión Grosor Tiempo Fuerza
-1 -1 -1 -1 150 -1 -1 -1 1 158 -1 -1 1 -1 141 -1 -1 1 1 163 -1 1 -1 -1 160 -1 1 -1 1 164 -1 1 1 -1 147 -1 1 1 1 168 1 -1 -1 -1 153 1 -1 -1 1 159 1 -1 1 -1 149 1 -1 1 1 160 1 1 -1 -1 170 1 1 -1 1 163 1 1 1 -1 171 1 1 1 1 178
Se realiza el experimento en la planta del cliente y se obtuvo los
siguientes datos
Promedio temperatura baja: 156.38 Promedio temperatura alta: 162.8811
12 153 T em perat ur a alt a 159 149 160 170 163 171 178 162.88 Promedio 150 T em perat ur a baja 158 141 163 160 164 147 168 156.38 Promedio
Diseños Factoriales (Ejemplo)
Efecto de un factor: es el cambio observado en la variable de respuesta debido
a un cambio de nivel de tal factor.
El efecto de “Temperatura”= 162.88 – 156.38 = 6.5
Efecto principal: Es el efecto de un factor en promedio sobre los niveles de otros factores
13
14
Diseños Factoriales (Ejemplo)
Temperatura Presión Fuerza
1 -1 153
1 -1 159
1 -1 149
1 -1 160
15
Diseños Factoriales (Ejemplo)
Temperatura Presión Fuerza
-1 -1 150 -1 -1 158 -1 -1 141 -1 -1 163 153
16
Diseños Factoriales (Ejemplo)
Temperatura Presión Fuerza
-1 1 160 -1 1 164 -1 1 147 -1 1 168 159.75
17
Diseños Factoriales (Ejemplo)
Temperatura Presión Fuerza
1 1 170
1 1 163
1 1 171
1 1 178
Principios Básicos
Estudios de los efectos de dos o más factores
En cada ensayo o réplica se estudian
todas
las posibles combinaciones de los nivelesde los factores
Diseños
factoriales
Principios Básicos
Son ampliamente utilizados y de gran valor cuando
se sabe poco sobre los niveles óptimos de los
factores o no se sabe qué factores son importantes.
De gran valor en campos de estudio donde se sabe
que la interacción de los factores es importante.
19Ventajas y Desventajas
Ventaja de los diseños factoriales
Permite obtener más información que en un experimento de un solo
factor, se estudian efectos principales, efectos cruzados y de interacción
de los factores.
Desventaja de los diseños factoriales
Se requiere un mayor número de unidades experimentales que en
experimentos con un solo factor.
Se obtendrán resultados de combinaciones que pueden no ser de
interés para el investigador.
El análisis estadístico y la interpretación de resultados es más
Definición del experimento
factorial
Un experimento factorial queda definido por el
número de factores y niveles de cada factor.
Un experimento con 3 niveles del factor A, 4
del factor B y 2 del factor C, puede ser
denotado por:
3A4B2C
3X4X2
Tipos de interacciones
Efecto principal: Es el efecto de un factor en promedio
sobre los niveles de otros factores
Efecto simple: Es el efecto de un factor, en un nivel de
los demás factores
Efecto de Interacción: Está dado por la variación que
tiene un efecto simple de un factor al pasar de un nivel a
otro de otro factor
Efecto cruzado: Esta dado por las combinaciones
cruzadas de dos factores.
Veamos de que se trata…
Tipos de interacciones
Ejemplo: Datos de un experimento factorial 2x2
Niveles factor A
a1
a2
Niveles factor B
b1
b2
b1
b2
Medias
54
38
45
56
Tipos de interacciones
Niveles factor A
a1
a2
Niveles factor B
b1
b2
b1
b2
Medias
54
38
45
56
Tipos de interacciones
+
Tipos de interacciones
Tipos de interacciones
Cada línea corresponde a un efecto simple, y la
interacción puede notarse cuando las líneas tienen
pendientes diferentes.
Recuerde: Efecto de interacción sobre la variable de respuesta es el que se produce cuando el efecto de un factor depende del nivel en que se
encuentra el otro.
Tipos de interacciones
Ejemplos en los que NO hay
interacción
Modelo de Regresión y la Superficie de
Respuesta Asociada
0 1 1 2 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2The least squares fit is
ˆ
35.5
10.5
5.5
0.5
35.5
10.5
5.5
y
x
x
x x
y
x
x
x x
x
x
29El efecto de la Interacción en la Superficie de
Respuesta
1 2 1 2ˆ 35.5 10.5
5.5
8
y
x
x
x x
Suponer que se añadió un
término de interacción al
modelo:
Interacción
es en
realidad una forma de
curvatura
31
Un ingeniero está diseñando una batería que se usará en un
dispositivo que se someterá a temperaturas extremas. El único
parámetro de diseño es el material de la placa o ánodo de la batería.
El ingeniero no tendrá control sobre las temperaturas a las que
operará el dispositivo, pero las puede controlar en el laboratorio, para
efectos de experimentación.
Ejemplo 5-1 El Experimento de la Vida de
una Batería (pg. 175)
Ejemplo 5-1 El Experimento de la Vida de una
Batería (pg. 175)
A = Tipo Material; B = Temperatura
1.
Qué
efectos
tienen el tipo de material y la temperatura en la
vida útil?
2. Existe una escogencia de material que daría larga vida, a
pesar de la temperatura (
un producto robusto
) ?
El Experimento General de Dos Factores
a niveles de factor A; b niveles de factor B; n réplicas
Este es un
diseño completamente aleatorizado
El Experimento General de Dos Factores
Modelo estadístico (efectos):
1, 2,...,
(
)
1, 2,...,
1, 2,...,
ijk i j ij ijki
a
y
j
b
k
n
Otros modelos (modelo de medias, modelo de regresión) pueden ser útiles
Extensión de ANOVA a Factoriales (Caso de
Efectos Fijos) – pg. 178
35 2 2 2 ... .. ... . . ... 1 1 1 1 1 2 2 . .. . . ... . 1 1 1 1 1(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
a b n a b ijk i j i j k i j a b a b n ij i j ijk ij i j i j ky
y
bn
y
y
an
y
y
n
y
y
y
y
y
y
breakdown:
1
1
1 (
1)(
1)
(
1)
T A B AB ESS
SS
SS
SS
SS
df
abn
a
b
a
b
ab n
Tabla ANOVA – Caso Efectos Fijos
36
37
Fuentes de
Variación Suma de Cuadrados Grados de Libertad
Cuadrado
Medio F0 Valor P Tipos de
Materiales SSA 10683.72 a-1 2 5341.86 7.91 0.002
Temperatura SSB 39118.72 b-1 2 19559.36 28.97 0.0001
Interacción SAB 9613.78 (a-1)(b-1) 4 2403.445 3.56 0.0186
Error SSE 18230.75 ab(n-1) 27 675.212963
Total SST 77646.97 abn-1 35
Ejemplo 5-1 El Experimento de la Vida de
una Batería (pg. 175)
38
Ejemplo 5-1 El Experimento de la Vida de
una Batería (pg. 175) Resuelto con Minitab
Se debe definir la interacción de las variables en el modelo (A*B)
39
Ejemplo 5.1 Salida Minitab
Modelo lineal general: Vida de la batería vs. Tipo de Mate, Temperatura
Factor Tipo Niveles Valores Tipo de Material fijo 3 A1, A2, A3 Temperatura fijo 3 15, 70, 125
Análisis de varianza para Vida de a batería, utilizando SC ajustada para pruebas
Fuente GL SC sec. SC ajust. MC ajust. F P Tipo de Material 2 10683.7 10683.7 5341.9 7.91 0.002 Temperatura 2 39118.7 39118.7 19559.4 28.97 0.000 Tipo de Material*Temperatura 4 9613.8 9613.8 2403.4 3.56 0.019 Error 27 18230.8 18230.8 675.2 Total 35 77647.0 S = 25.9849 R-cuad. = 76.52% R-cuad.(ajustado) = 69.56% Observaciones inusuales de Vida de a batería
Vida de a Residuo
Obs batería Ajuste Ajuste SE Residuo estándar 3 74.000 134.750 12.992 -60.750 -2.70 R 4 180.000 134.750 12.992 45.250 2.01 R
R denota una observación con un residuo estandarizado grande.
Conclusione s?
40
Análisis Residual – Ejemplo 5-1
41 DESIGN-EXPERT Plot Life Res idual N o rm a l % p ro b a b il it yNormal plot of residuals
-60.75 -34.25 -7.75 18.75 45.25 1 5 10 20 30 50 70 80 90 95 99 DESIGN-EXPERT Plot Life Predicted R e s id u a ls Residuals vs. Predicted -60.75 -34.25 -7.75 18.75 45.25 49.50 76.06 102.62 129.19 155.75 Conclusiones?
42
DESIGN-EXPERT Plot Life
Run Num ber
R e s id u a ls Residuals vs. Run -60.75 -34.25 -7.75 18.75 45.25 1 6 11 16 21 26 31 36 DESIGN-EXPERT Plot Life Material R e s id u a ls Residuals vs. Material -60.75 -34.25 -7.75 18.75 45.25 1 2 3 DESIGN-EXPERT Plot Life Tem perature R e s id u a ls Residuals vs. Temperature -60.75 -34.25 -7.75 18.75 45.25 1 2 3
Análisis Residual – Ejemplo 5-1
43
Ejemplo 5.1 Salida Minitab
La temperatura posee una relación indirectamente
proporcional con respecto a la vida útil, cuando aumenta la temperatura la vida de la batería disminuye
El tipo de Material es un factor significativo en el diseño de las baterías
Cuál es la mejor combinación ?
Podríamos decir que el material A3 y la temperatura a 15?
44
Ejemplo 5.1 Salida Minitab
Analizando el efecto de la interacción, el cuál no se logra analizar en el gráfico de efectos principales se puede concluir para los datos evaluados que la
combinación que maximiza la vida de la batería es el tipo de material 2 a 15 grados centígrados
Hay que tomar en cuenta que si el lugar a donde se va a utilizar es mayor a 70 grados
centígrados el material adecuado es el 3
45
Factores Cuantitativos y Factores
Cualitativos
El procedimiento básico ANOVA trata cada factor como si
fueran
cualitativos
Algunas
veces
un
experimento
involucra
factores
cuantitativos
y
cualitativos
, como el Ejemplo 5.1
Esto puede ser tomado en cuenta en el análisis para producir
un
modelo de regresión
para los factores cuantitativos en
cada nivel (o combinación de niveles)
de los factores
cualitativos.
Estas curvas de respuesta y/o superficies de respuesta son
de considerable ayuda en las interpretaciones prácticas de
los resultados.
46
Factoriales con más de dos factores
Procedimiento básico es similar al caso de dos
factores; todos los abc
…kn combinaciones de
tratamientos son corridos en orden aleatorio
ANOVA es también similar:
Ejemplo completo de tres factores en Sección
5-4 del texto
T A B AB AC ABC AB K ESS
SS
SS
SS
SS
SS
SS
SS
Otras consideraciones para el diseño
factorial de dos factores
• Cuando se concluye que una interacción de dos factores tiene un efecto estadísticamente importante sobre la respuesta, su interpretación tiene
prioridad sobre los efectos principales, aunque estos también sean
significativos.
• La verificación de la adecuación del modelo: mediante el análisis residual ya conocido (supuestos de normalidad, varianza constante e
independencia de los residuos)
• En el caso de no asegurarse la normalidad y homogeneidad en los residuos, se pueden utilizar métodos de análisis alternativos: no
paramétricos; modelos lineales generalizados y de análisis de respuesta transformada. Estas situaciones exceden el alcance del curso, pero
pueden ser objeto de estudio individual posterior.
Diseño factorial general
Diseño factorial general
Los resultados del diseño factorial de dos factores pueden aplicarse
al caso general:
a niveles del factor A, b niveles del factor B, c niveles del factor C.
Dispuestos en un diseño general.
Habrá abc
…n observaciones totales si se hacen n réplicas del
experimento total.
Se necesitan al menos n≥2 para determinar una suma de
cuadrados debida al error si todas las interacciones están
incluidas en el modelo (si n=1 la varianza del error es no
estimable, es decir, no se puede separar el efecto de la
interacción del del error experimental)
Diseño factorial general
El Modelo del análisis de varianza de tres
factores es
y
ijkl i j k ij ik jk ijkijk
Dónde:
i
= 1,2,3,… , a.
j
= 1,2,3,… , b.
k
= 1,2,3,… , c.
l
= 1,2,3,… , n.
51Tabla del análisis de varianza del modelo de tres factores
con efectos fijos
Tabla de la página 195 del Montgomery, Tabla 5-12.
Práctica en grupos para la casa
A continuación se presenta los tiempos de supervivencia en horas de
animales asignados aleatoriamente a tres venenos (v1, v2, v3) y tres
antídotos (a1, a2, a3). El experimento fue parte de una investigación
para combatir los efectos de ciertos agentes tóxicos y fue un diseño
completamente al azar.
Práctica en grupos para la casa
a)
Efectúe el análisis de varianza y analice sus efectos
con respecto al enunciado.
b)
Realice el análisis gráfico de la interacción.
c)
Se cree que el antídoto a2 es más efectivo que el a1
para contrarrestar el veneno v1, verifíquelo.
Superficies de respuesta
Modelos de efectos aleatorios
55
Superficie de respuesta
Hasta el momento nos hemos enfocado en
experimentos que permiten:
Identifican unas pocas variables importantes de
un gran número de candidatos.
Asegurar cómo unas pocas variables impactan
una respuesta.
Pero, ¿cuáles son los niveles de estas variables que
generan una respuesta óptima?..
Responder esto es lo que se busca con las superficies de
respuesta.
Superficie de respuesta
Cuando varios de los factores de un experimento
factorial son cuantitativos, puede utilizarse una
superficie de respuesta para modelar la relación entre
“y” y los factores de diseño.
Las gráficas se obtienes por medio de ecuaciones
lineales o cuadráticas. La forma más fácil de obtener
estas ecuaciones es por medio de software
especializado.
Superficie de respuesta
Cuando al menos dos de los factores son
cuantitativos, resultan útiles para predecir la respuesta a niveles intermedios entre los factores
59
Se desea conocer el % de conversión de una sustancia
química
como
consecuencia
de
tres
factores
(temperatura, tiempo y % de catalizador.
Superficie de respuesta
(Ejemplo)
El
ingeniero
desea
conocer
a
profundidad el impacto de los factores
en la variable respuesta.
60
Superficie de respuesta
(Ejemplo)
Comentarios ?
Cómo se predice el comportamiento de la variable respuesta ?
61
Design-Expert® Software Factor Coding: Actual Conversión Design Points 97 51 X1 = A: Tiempo X2 = B: Temperatura Actual Factor C: Catalizador = 2.50 40.00 42.00 44.00 46.00 48.00 50.00 80.00 82.00 84.00 86.00 88.00 90.00 Conversión A: Tiempo B : T e m p e ra tu ra 78 80 80 82 84 86 88 6
Superficie de respuesta (Gráfico de
Contorno)
Nos ayuda a entender el impacto de los factores en la variable respuesta, la simbología de los colores representan el impacto en la variable respuesta Es la proyección de la superficie de respuesta
62
Design-Expert® Software Factor Coding: Actual Conversión Design Points 97 51 X1 = A: Tiempo X2 = B: Temperatura Actual Factor C: Catalizador = 3.00 40.00 42.00 44.00 46.00 48.00 50.00 80.00 82.00 84.00 86.00 88.00 90.00 Conversión A: Tiempo B : T e m p e ra tu ra 70 80 90
Superficie de respuesta (Gráfico de
Contorno)
Se puede observar en la gráfica de contorno como los colores más cálidos se alcanza más rápido, con los mismos niveles de tiempo y temperatura.
El % de Canalización es significativo e
interactúa con los demás factores
63
Superficie de respuesta (Gráfico de
Contorno)
64
Design-Expert® Software Factor Coding: Actual Conversión
Design points above predicted value
Design points below predicted value
97 51 X1 = A: Tiempo X2 = B: Temperatura Actual Factor C: Catalizador = 2.50 40.00 42.00 44.00 46.00 48.00 50.00 80.00 82.00 84.00 86.00 88.00 90.00 75 80 85 90 95 C o n v e rs ió n A: Tiempo B: Temperatura
Superficie de respuesta
65
Design-Expert® Software Factor Coding: Actual Conversion X1 = A: time X2 = B: temperature X3 = C: catalyst Cube Conversion A: time B : te m p e ra tu re C: catalyst A-: 40.00 A+: 50.00 B-: 80.00 B+: 90.00 C-: 2.00 C+: 3.00 75.6805 73.0885 87.2617 69.1696 50.7374 93.6454 70.8186 98.2265 6
66
¿Cómo se maneja el experimento factorial si la
programación de producción del ejemplo de la
selladora, no permite correr todas las muestras
en la misma máquina?
Formación de Bloques en un diseño
Factorial
Cuando no es factible o práctico hacer la
aleatorización completa de las corridas,
utilizamos bloques.
Formación de bloques en un
diseño factorial
Las máquinas de sellado se convierten en una
restricción sobre la aleatorización o un bloque.
El modelo de los efectos para este nuevo diseño
es:
y
ijkl i j k ij ik jk ijk m ijkmDonde:
δ
m: es el efecto del m-ésimo bloque.
Es importante que dentro de cada bloque el orden en que
se corren las combinaciones de los tratamientos está
totalmente aleatorizadas
Formación de bloques en un
diseño factorial
Se supone que la interacción entre los bloques y los
tratamientos es insignificante.
Si estas interacciones existen no pueden separarse del
error.
Tabla del análisis de varianza de un diseño factorial de
dos factores en bloques completos aleatorizados
Tabla de la página 208 del Montgomery, Tabla 5-18.
