Manual de Formulas

Texto completo

(1)
(2)

GEOMETRÍA ANALÍTICA

Rama de la geometría en la que las líneas rectas, las curvas y las figuras geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas. En un espacio tridimensional, los puntos se pueden localizar de manera similar utilizando tres ejes, el tercero de los cuales, normalmente llamado Z, es perpendicular a los otros dos en el punto de intersección, también llamado origen.

Representación grafica de puntos

A cada par de números reales (x, y) le corresponde un punto definido del plano, y a cada punto del plano le corresponde un par único de coordenadas (x, y).

Representación gráfica de los puntos E(2,3) y F(1,4).

Distancia entre dos puntos

Distancia dirigida

d

x

2

x

1

x

1

x

2 2 1 1 2

y

y

y

y

d

Distancia no dirigida d

x2 x1

 

y2  y1

E(2,3) F(1,4)

(3)

Ejemplo

Calcular la distancia de A hacia B, de C hacia A y de B hacia C. Dado que las dos primeras distancias son dirigidas, emplearemos las formulas:

4

1

5

1 2

x

x

d

AB de otra forma

d

BA

x

1

x

2

1

5

4

3

4

1

1 2

y

y

d

CA de otra forma

d

AC

y

1

y

2

4

1

3

Dado que la ultima distancia es oblicua en relación a los ejes, emplearemos la formula:

2  1

 

 2  1

51

 

2  14

2  42 

 

3 2  169  25 5  x x y y dCB

21

 

21

15

 

2  41

2 

 

4 2 32  169  25 5  x x y y dBC C(1,4) A(1,1) B(5,1)

(4)

División de un segmento en una razón dada

Las coordenadas de un punto P que divide a un segmento cuyos extremos son P1(x1, y1) y P2(x2, y2), en la razón dada

2 1

pp

p

p

r

son:

r

rx

x

x

1

2 1

r

ry

y

y

1

2 1 , siendo r 0

Las coordenadas de un punto P que es el punto medio de un segmento cuyos extremos son P1(x1,y1) y P2(x2,y2), son:

2

2 1

x

x

x

2

2 1

y

y

y

Ejemplo

Encontrar las coordenadas del punto P1 que divide al segmento AB en la

razón 2 1

r , y las coordenadas del punto medio (P2) del segmento AB.

Las coordenadas del punto P1 son:

A(1,1)

B(5,5)

P( , )2

(5)

 

2

1

1

5

2

1

1

x

 

2

1

1

5

2

1

1

y

 

3

7

)

2

(

3

)

2

(

7

2

3

2

7

2

1

1

2

5

1

x

 

3

7

)

2

(

3

)

2

(

7

2

3

2

7

2

1

1

2

5

1

y

Por lo tanto el punto que divide al segmento dado en la razón 2 1

r ,

queda definido por:

3 7 , 3 7 1 P .

Las coordenadas del punto P2 son:

3

2

6

2

5

1

x

3

3

6

2

5

1

y

Por lo tanto el punto que divide al segmento dado en su punto medio, queda definido por: P2

 

3,3 .

Área de un polígono en función de las coordenadas de sus

vértices.

1 2 2 3 3 1 1 3 3 2 2 1

1 3 1 3 2 1 2 1

2

1

2

1

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

y

y

x

x

x

y

y

x

x

A

n n n n n n

(6)

Donde la alineación de los vértices se realiza en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj.

                                          18m . 2 36 36 2 1 9 45 2 1 4 2 5 10 6 10 8 25 15 2 1 4 2 1 4 1 2 1 1 5 2 5 3 2 5 2 4 2 5 5 3 5 2 1 1 1 2 2 2 1 4 5 3 2 1 2 2 5 5 1 2 4 1 2 2 1 2                                                A

Por lo que el área del polígono de la figura es de

18 m

2. A(-2,4)

F(2,5)

E(5,3)

B(-1,2) D(5,2)

(7)

Línea recta

Pendiente de una recta

sea P1(x1,y1) y P2(x2,y2), dos puntos diferentes cualesquiera de una recta, la

pendiente de dicha recta es:

2 1 2 1 1 2 1 2

x

x

y

y

x

x

y

y

m

, siendo x1 x2

Determinar la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(1,1) y B(5,5)

1

4

4

5

1

5

1

m

1

4

4

1

5

1

5

m

ángulo de inclinación

m

1

tan

Determinar el ángulo de inclinación de la recta que presenta una pendiente m=1 

45

1

tan

1

Este dato es obtenido de la calculadora o de una tabla de funciones trigonométricas.

A(1,1)

(8)

condiciones de paralelismo y perpendicularidad

dos rectas l1 y l2 son paralelas cuando

m

l1

m

l2

dos rectas l1 y l2 son perpendiculares cuando

m

l1

m

l2

1

de donde 2 1

1

l l

m

m

y 1 2

1

l l

m

m

Determinar, si se presentan, las condiciones de paralelismo y perpendicularidad para las rectas “l”, “j” y “k” de la figura anterior, conocidos los puntos C(0,4), D(3,5), K(0,-3) y F(5,-1).

Se observa que la pendiente de la recta “j” queda determinada por la pendiente entre los puntos C y D, para la recta “l” por los puntos D y F, y para la recta “k” por F y K resultando:

j l

(9)

 

3

1

3

2

1

2

5

2

1

3

2

6

3

5

5

1

3

1

0

3

4

5

l k j

m

m

m

De acuerdo a la figura anterior, las rectas que presentan paralelismo son: la ”j” y “k”. Dado que

y

1

3

3

1

k j

m

m

son iguales, nos permite concluir que las rectas lj y lk son paralelas.

De acuerdo a la figura anterior, las rectas que presentan perpendicularidad son: las “l” y ”j” y “l” y “k”.

Las rectas “l” y “j” son perpendiculares si y solo si:

1

3

3

3

1

3

donde

de

,

1

j l

m

m

. Por lo que podemos concluir que

“l” y “j” son perpendiculares entre si. Y se cumple que:

j l

m

m

1

, como 3 1 3 3 1 1 1 3 1 1  .

Las rectas “l” y “k” son perpendiculares si y solo si:

1

3

3

3

1

3

donde

de

,

1

k l

m

m

. Por lo que podemos concluir que

“l” y “k”son perpendiculares entre si. Y se cumple que:

k l

m

m

1

, como 3 1 3 3 1 1 1 3 1 1  .

(10)

Circunferencia

Lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto interior llamado centro. Ecuación de segundo grado con dos variables, la cual queda perfectamente definida si se conoce su centro y la longitud de su radio. Circunferencia de radio r y centro en el origen.

2 2 2

r

y

x

, llamada canónica

Circunferencia de radio r y centro fuera del origen en C(h,k).

2 2 2

)

(

)

(

x

h

y

k

r

, llamada ordinaria forma general de la ecuación de la circunferencia

0

2 2

F

Ey

Dx

y

x

, donde 2 2 2

2

2

r

k

h

F

k

E

h

D

La ecuación de la circunferencia también se puede definir en función a:

 tres puntos por donde pasa la curva.

 dos puntos y una recta.

 un punto y dos rectas.

 tres rectas.

Estas situaciones implican la solución de sistemas de ecuaciones simultaneas de primer grado con tres incógnitas.

 La longitud de la tangente es la distancia comprendida entre el punto de tangencia y el eje X, sobre la tangente.

 La longitud de la subtangente es la proyección de la tangente sobre el eje de las X.

 La longitud de la normal es la longitud comprendida entre el punto de tangencia y el eje de las X sobre la perpendicular a la tangente.

 La longitud de la subnormal es la proyección de la normal sobre el eje de las X.

(11)

Parábola

Se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.

Además del foco, F, y de la directriz, d, en una parábola destacan los siguientes elementos:

Eje, e. Vértice, V.

Distancia de F a V, p.

La parábola no tiene asíntotas. Su excentricidad es, siempre, 1. Es decir, todas las parábolas tienen excentricidad 1.

Si un rayo es paralelo al eje de la parábola, se refleja en ésta pasando por su foco. Y, viceversa, si pasa por su foco, se refleja en la parábola y se aleja paralelo al eje.

Esta propiedad se utiliza, por ejemplo, para fabricar los faros de forma parabólica de los automóviles (el punto luminoso está en el foco y, por tanto, el haz de rayos es paralelo al eje) y las antenas para captar emisiones (dirigidas hacia el lugar de donde proviene la emisión, concentra en el foco todos los rayos que recibe). Parábolas son también las trayectorias de cualquier cuerpo (bola, pelota, chorro de agua…) que cae atraído por la tierra.

Si se hace coincidir el eje X con el eje de la parábola y el eje Y pasa por su vértice, entonces la ecuación de la parábola es:

(12)

Si se hace coincidir el eje X con el eje de la parábola y el eje Y pasa por su vértice, entonces la ecuación de la parábola es:

b. y2 = - 4px, si abre a la izquierda.

Si se hace coincidir el eje Y con el eje de la parábola y el eje X pasa por su vértice, entonces la ecuación de la parábola es:

c. x2 = 4py, si abre hacia arriba.

Si se hace coincidir el eje Y con el eje de la parábola y el eje X pasa por su vértice, entonces la ecuación de la parábola es:

d. x2 = - 4py, si abre hacia abajo.

La cuerda focal perpendicular al eje de la parábola se denomina lado recto y vale 4p.

Las ecuaciones de la parábola con vértice fuera del origen en sus cuatro formas anteriores son:

1ª.- 2 2

)

(

4

)

(

y

k

p

x

h

2ª.- 2 2

)

(

4

)

(

y

k

p

x

h

3ª.-

(

x

h

)

2

4

p

(

y

k

)

2 4ª.- 2 2

)

(

4

)

(

x

h

p

y

k

forma general de la ecuación de la parábola

0

2 2

F

Ey

Dx

Cy

Ax

, donde

para A = 0 y C  0, D =-4p, E =-2k y F =k2+ 4ph. Eje paralelo al eje

X

para C = 0 y A  0, D =-2h, E =-4p y F =h2+ 4pk. Eje paralelo al eje

Y

El diámetro de la parábola es el lugar geométrico de los puntos medios de un sistema de cuerdas paralelas de una cónica cualquiera.

(13)

Sea m la pendiente de las cuerdas paralelas, la ecuación del diámetro determinado por los puntos medios de ellas es:

m p x m p y 2 2   para Y2 y X2 respectivamente.

Elipse

La elipse puede definirse como lugar geométrico del siguiente modo: dados dos puntos fijos, F y F’, llamados focos, y un número fijo k, , la elipse es el lugar geométrico de los puntos, P, del plano cuya suma de distancias a F y F’ es igual a k:

; d1 + d2 = k. Esta forma de definir una elipse permite dibujarla mediante el llamado “método del jardinero”: se colocan dos alfileres en la posición de los focos y se ata a ambos un hilo cuya longitud sea igual a k. Con un lápiz situado de modo que mantenga tenso el hilo, se recorre la elipse.

Además de los focos F y F´, en una elipse destacan los siguientes elementos:

Centro, O. Eje mayor, AA´. Eje menor, BB´. Distancia focal, OF.

Algunas distancias características de la elipse se suelen designar con las letras siguientes:

. El eje mayor mide 2a. . El eje menor mide 2b. . La distancia entre focos es 2c.

(14)

.

Por ser rectángulo el triángulo OBF, se cumple la siguiente relación: a2 = b2 + c2

La excentricidad de una elipse se obtiene así: e = c/a

Puesto que c < a se verifica que 0<e<1, es decir, la excentricidad de una elipse es un número comprendido entre 0 y 1.

Las órbitas de todos los planetas son elipses, uno de cuyos focos es el Sol. Las más excéntricas son la de Plutón, e=0,25 , y la Mercurio, e=0,21. Los restantes planetas tienen órbitas con excentricidades inferiores a 0,1 , es decir, casi circulares.

Si desde un punto P de la elipse se trazan los segmentos PF y PF’, la bisectriz exterior del ángulo que forman estos segmentos es tangente a la elipse.

Otra propiedad de la elipse, consecuencia de la anterior, es que un rayo que pasa por uno de los focos de la elipse, al reflejarse en ésta, pasa por el otro foco.

Si se sitúan los ejes ordenados del siguiente modo: el eje X coincidiendo con el eje mayor de la elipse y el eje Y coincidiendo con el eje menor, la ecuación de la elipse adopta la forma siguiente:

1

2 2 2 2

b

y

a

x

.

Si se sitúan los ejes ordenados del siguiente modo: el eje Y coincidiendo con el eje mayor de la elipse y el eje X coincidiendo con el eje menor, la ecuación de la elipse adopta la forma siguiente:

1

2 2 2 2

a

y

b

x

.

Estas mismas, pero para elipses de centro fuera del origen, se transforman en:

(15)

1 ) ( ) ( 2 2 2 2     b k y a h x y 1 ) ( ) ( 2 2 2 2     a k y b h x

forma general de la ecuación de la elipse de eje focal paralelo al eje X.

0

2 2

F

Ey

Dx

Cy

Ax

, donde

A=b2, C=a2, D=-2b2h, E=-2a2k, F= b2h2+ a2k2

-a2b2.

forma general de la ecuación de la elipse de eje focal paralelo al eje Y.

0 2 2      F Ey Dx Cy Ax , donde

A=a2, C=b2, D=-2a2h, E=-2b2k, F= a2h2+ b2k2

-a2b2.

Para ambas ecuaciones, A y C deben ser del mismo signo y diferentes entre sí.

hipérbola

Se puede definir como el lugar geométrico del siguiente modo: dados dos puntos fijos, F y F´, llamados focos, y un número positivo k, , la hipérbola es el lugar geométrico de los puntos, P, tales que la diferencia

de distancias a los focos es igual a k: ; |d1 – d2| = k.

La hipérbola tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras.

Además de los focos y de las asíntotas, r y r´, en la hipérbola destacan los siguientes elementos:

(16)

Centro, O. Vértices, A y A´.

Distancia entre los vértices, .

Distancia entre los focos, .

El triángulo de lados a, b, c es rectángulo. Por tanto, se cumple que

b2 = c2 – a2

La excentricidad de una hipérbola es e = c/a.

Puesto que c > a se verifica que e > 1. Es decir, la excentricidad de cualquier hipérbola es un número mayor que 1.

Una propiedad importante de la hipérbola es que si desde un punto de la curva se trazan los segmentos correspondientes a las distancias de este punto a los focos, la bisectriz del ángulo formado por ambos segmentos es tangente a la hipérbola.

Las órbitas de algunos cometas son hipérbolas. Estos cometas sólo se acercan una vez al Sol, que es uno de los focos de su trayectoria. Después se alejarán perdiéndose en los confines del Sistema Solar.

Existe un sistema de ayuda a la navegación, llamado loran, basado en las hipérbolas y sus propiedades, que permite a los barcos y aviones determinar su posición, sobre una carta marina.

(17)

Si situamos el eje X en la línea de los focos de una hipérbola y el eje Y en la mediatriz del segmento FF´, entonces la ecuación de la hipérbola adopta la expresión siguiente, llamada ecuación reducida de una hipérbola:

Las asíntotas tienen las ecuaciones

Si a = b, la hipérbola es equilátera. Su ecuación es: x2 – y2 = a2, y sus asíntotas son las rectas y = x, y = -x.

También son hipérbolas equiláteras las curvas de ecuaciones y = a/x. Sus asíntotas son los ejes coordenados.

La ecuación de la hipérbola de centro fuera del origen es:

1

)

(

)

(

2 2 2 2

b

k

y

a

h

x

,

 las coordenadas de los focos de una hipérbola de centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje X son: F(h + c, k) y F´ (h - c, k).

 Las coordenadas de los vértices de una hipérbola de centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje X son: V(h + a, k) y V´ (h - a, k).

 Las coordenadas del eje conjugado de una hipérbola de centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje X son: A(h , k + b) y V´ (h , k - b).

(18)

La ecuación de la hipérbola de centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje Y es:

1

)

(

)

(

2 2 2 2

b

h

x

a

k

y

 Las coordenadas de los focos de una hipérbola de centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje X son: F(h, k + c) y F´ (h, k - c).

 Las coordenadas de los vértices de una hipérbola de centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje X son: V(h, k + a) y V´ (h, k - a).

 Las coordenadas del eje conjugado de una hipérbola de centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje X son: A(h + b , k) y A´ (h - b , k).

Forma general de la ecuación de la hipérbola

De eje focal paralelo al eje X

0

2 2

F

Ey

Dx

Cy

Ax

, donde

A=b2, C=-a2, D=-2b2h, E=2a2k y F=b2h2-a2k2-a2k2.

De eje focal paralelo al eje Y

0

2 2

F

Ey

Dx

Cx

Ay

A=b2, C=-a2, D=2a2h, E=-2b2k y F=-a2h2+b2k2-a2b2.

Los coeficientes de A y C de ambas ecuaciones generales deben tener signo diferente.

Figure

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