Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Informática
Estadística Computacional Guía Nº2
10 de Abril de 2003
Profesor: Dr. Héctor Allende Olivares <[email protected]> Ayudantes: Carlos Becerra Castro <[email protected]>
Ricardo Ñanculef Alegría <[email protected]> Contenidos
• Análisis Combinatorio
• Teoría Básica de Probabilidades
1. Una urna contiene n bolas rojas y n bolas negras. Se retiran k bolas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que todas sean rojas, si se extraen una a una sin reposición? ¿Cómo cambia dicha probabilidad si se extraen una a una con reposición? ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ninguna bola roja en ambos casos? (Estudie la simetría del problema).
2. Dadas 5 vocales y 4 consonantes.¿Cuántas palabras distintas se pueden formar? ¿Cuántas palabras de 4 letras contendrán sólo vocales o sólo consonantes? ¿Cuántas palabras de 4 letras parten con 2
consonantes y terminan con 2 vocales? ¿Cuántas palabras de 2 vocales y 2 consonantes distintas se pueden formar teniendo en cuenta que en cada palabra no figuran dos consonantes seguidas?
3. 5 personas toman un ascensor en un edificio de 7 pisos. ¿De cuántas formas pueden bajarse del ascensor? (suponga que no suben más personas).
4. Sea S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
a. ¿Cuántos subconjuntos de 5 elementos es posible formar? b. ¿Cuántos subconjuntos de S tienen un número par de elementos?
c. ¿Cuántos subconjuntos de S tienen al 1 como elemento? ¿al 2? ¿al 3?... ¿al 10? ¿Suman estas cantidades el número de subconjuntos de S? ¿Porqué?
d. ¿Cuántos subconjuntos de S tienen al 3 como elemento,pero no al 4?
e. ¿Cuántos subconjuntos de S no tienen números consecutivos como elementos?
5. A una fiesta, asisten n damas y m caballeros. Al ser recibidos sus abrigos son entregados a un botones y al final de la fiesta éste debe devolverlos a cada uno de los asistentes.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que ningún caballero reciba su abrigo?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que ningún caballero y que todas las damas reciban su abrigo?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos un caballero y al menos una dama reciban su abrigo? (puede suponer sucesos independientes).
d. Si el número de caballeros y de damas se supone infinito. ¿Cuáles son las probabilidades a, b y c? 6. Se sabe que de un lote de m cajas de frutas
100
⋅
p
% presenta ejemplares en mal estado. Un control decalidad selecciona n cajas para evaluación. ¿Cuál es la probabilidad de que todas las cajas estén en mal estado? ¿Cuál es la probabilidad de exactamente k de las cajas presenten problemas? ¿Cuál es la probabilidad de que al más de k cajas sean rechazadas?
7. Dos puntos son seleccionados aleatoriamente desde una línea recta de longitud 1. ¿Cual es la probabilidad de que podamos construir un triángulo utilizando los tres segmentos de recta determinados? (recuerde la desigualdad triangular).
8. Considere un juego en que existe una probabilidad q de ganar 1 ficha y una probalidad (1−q) de perder una ficha. Si un jugador parte con 10 fichas y apuesta repetidamente hasta que lo pierde todo o logra acumular 20 fichas. ¿Cuál es la probabilidad de que lo pierda todo?
9. Dos amigas han quedado de acuerdo en ir de compras durante la tarde. Han quedado de acuerdo en reunirse a las 4PM, pero debido a su impuntualidad, se sabe que esto significa en realidad que llegaran entre las 3:30PM y las 4:30PM con igual probabilidad. Han hecho el acuerdo de esperarse 30 minutos antes de marcharse. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren?
10.En una habitación hay n personas. ¿Cuál es la probabilidad de que j personas estén de cumpleaños el mismo día que yo? ¿Cuál es la probabilidad de que j personas estén de cumpleaños el mismo día? ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente k días del año correspondan al cumpleaños de j personas cada uno? 11.En un experimento se lanzan tres dados de 6 caras. Sean los sucesos:
A: Por lo menos sale un as.
B: Por lo menos hay 2 resultados iguales. C: La suma de los resultados es par.
a.¿Qué significa AC . BC?. Calcule P(AC . BC)? b.¿Qué significa AC . C ?. Calcule P(AC . C).
c.Si la suma de los resultados es par. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos salga un as?.
12.Cual es la probabilidad de que una familia aleatoriamente elegida tenga ingresos por hogar de: a) entre 200 y 400 pesos, b) menos de 400, c) en uno de los extremos, ya sea de menos de 200 pesos o al menos de 1000 pesos.
Categoría Escala de Ingreso ($) Cantidad de familias
1 Menos de 200 60 2 200 − 400 100 3 400 − 600 160 4 600 − 1000 140 5 1000 y más 40 500
13.De 90 individuos que presentaron su solicitud para ocupar puestos de analista de sistemas en una empresa en el ultimo año, 40 contaban con experiencia laboral previa y 30 tenían titulo profesional. Sin embargo, 20 de los solicitantes tenían tanto experiencia laboral como titulo, de modo que han sido incluidos en ambos. a.Elaborar un diagrama de Venn para describir ambos eventos.
b.¿Cuál es la probabilidad de que un solicitante aleatoriamente elegido tenga ya sea experiencia laboral o titulo?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que un solicitante aleatoriamente tenga ya sea experiencia laboral o titulo pero no ambos?
14.En un tablero hay seis cuadrados marcados 1, 2, 3, 4, 5, 6. El ayudante de estadística invita a sus alumnos a colocar tanto dinero como deseen en cualquiera de estos cuadrados. Se arrojan entonces tres dados. Si el número que se ha elegido aparece en un solo dado, el jugador recupera el dinero de la apuesta más una cantidad igual. Si el número aparece en dos de los dados, el jugador recupera el dinero apostado más dos veces esa misma cantidad. Si el número aparece en tres dados, el jugador recupera el dinero más tres veces la misma cantidad.
Por supuesto que si el número no aparece en ninguno de los dados, el ayudante se queda con todo el dinero. El ayudante a declarado que el juego es favorable a los alumnos. ¿Está mintiendo? ¿Hásta que punto?
15.Una urna contiene w bolas blancas y b bolas negras (b>0, w>0). Las bolas son mezcladas y se retiran dos bolas, una después de la otra, sin reemplazo. Sean Wi and Bi los sucesos "la íesima bola es blanca" y "la iésima bola es negra" respectivamente (i=1,2). Probar (o refutar)
P(W2) = P(W1) = w/(w + b). (lo que claramente implica una identidad similar para B2 y B1.) P(Wi) = w/(w + b), si en vez de 2 seleccionamos i, con i <= w + b
16.En un taller mecánico se sabe que por término medio acuden: por la mañana 3 automóviles con problemas eléctricos, 8 con problemas mecánicos y 3 con problemas de chapa; y por la tarde 2 con problemas eléctricos, 3 con problemas mecánicos y 1 con problemas de chapa.
a. Calcule el porcentaje de los que acuden por la tarde.
b. Calcule el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.
c. Calcule la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.
17.Hugo, Paco y Luis comparten un solo teléfono. Hugo y Luis reciben el mismo número de llamadas, y Paco recibe la mitad de las llamadas de Hugo. Por motivos de trabajo ellos salen con la siguiente frecuencia: Hugo está afuera el 50% del tiempo, en cambio Paco y Luis el 25% cada uno. Calcule la probabilidad de que:
a.No esté ninguno para responder el teléfono. b.Esté la persona a la que se llama.
c.Haya tres llamadas seguidas para una persona.
d.Haya tres llamadas seguidas para tres personas distintas.
18.Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25% respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%. a.Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa.
b.Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B.
c.¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa?
19.
En un estudio sobre alcohólicos se informa que el 40% de los mismos tiene padre alcohólico y el 6% madre alcohólica. El 42% tiene al menos uno de los padres alcohólicos. ¿Cuál es la probabilidad de que elegido uno al azara.¿Tenga ambos padres alcohólicos?.
b.¿Tenga una madre alcohólica si lo es el padre?.
c.¿Tenga una madre alcohólica pero no un padre alcohólico?. d.¿Tenga una madre alcohólica si el padre no lo es?.
20.Supongamos que dos doctores A y B diagnostican a todos los pacientes que concurren a una clínica oftalmológica por miopía. (Todos los pacientes pasan por los dos doctores). Sean los eventos:
A+ = El doctor A hace un diagnóstico positivo. B+ = El doctor B hace un diagnóstico positivo.
Supóngase que el doctor A diagnostica positivamente al 10% de todos los pacientes y el doctor B al 17%, y que ambos doctores (A y B) diagnostican positivamente al 8%.
a. ¿Son A+ y B+ sucesos independientes?.
b. Hallar la probabilidad condicional de que el doctor B haga un diagnóstico positivo de miopía dado que el doctor A lo hizo.
c. Cuál es la probabilidad condicional de que el doctor B haga un diagnóstico positivo de miopía dado que el doctor A hizo un diagnóstico negativo?.
21.Cada urna ui, i = 1...., n tiene a esferas blancas y b esferas negras. Se pasa una esfera de la urna u1 a la urna u2 y luego se pasa a la urna u3 y as sucesivamente. Finalmente se saca una esfera de la urna un.
a) Si la primera esfera era blanca, ¿cuál es la probabilidad que la última esfera sea blanca? b) Si la primera esfera era negra, ¿cuál es la probabilidad que la última esfera sea blanca? c) ¿Qué pasa cuando n tiende a infinito?
22.Consideremos la siguiente situación. Se tienen tres urnas similares; por fuera son idénticas. Se sabe que
• en la urna 1 hay 3 bolas blancas y 19 azules,
• en la urna 2 hay 20 bolas blancas y 2 azules,
• en la urna 3 hay 11 bolas blancas y 11 azules.
Se va a sacar una bola de una de las urnas. Puede ser azul o blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que sea blanca?
23.Suponga que tiene una urna con 3 bolas que presumimos tienen igual probabilidad de ser blancas o negras. En base a esto la probabilidad de que las tres bolas sean blancas es 1/8. Supongamos que sacamos aleatoriamente una bola y observamos que es blanca. La ingresamos nuevamente en la urna y repetimos el experimento observándo nuevamente que la bola es blanca. Hacemos lo mismo por tercera vez y
nuevamente obtenemos una bola blanca. ¿Cuál es ahora la probabilidad de que las 3 bolas sean blancas? 24.Garganta de Lata llega todas las semanas una noche tarde a su casa entre las 11:00 PM y las 3:00 AM ya sea sobrio, algo bebido o ebrio. Su tiempo de llegada depende en forma probabilística de la condición en que viene y éstas son:
Tiempo de llegada
Condición 11:00 . 12:00 12:00 . 1:00 1:00 . 3:00
Sobrio 0,80 0,20 0,00
Algo bebido 0,15 0,50 0,35
La señora de Lata ha observado que su esposo llega sobrio tantas veces como llega ebrio, y que llega algo bebido aproximadamente el doble de las veces que lo hace sobrio.
a. Una noche la señora de Lata oye abrirse la puerta a las 12:34 AM. Encuentre la probabilidad que esa noche Garganta de Lata venga ebrio.
b. Encuentre la probabilidad de que un día en que llega tarde lo haga entre la 1:00 AM y las 3:00 AM. c. Encuentre la probabilidad que en el mes el Garganta de Lata haya llegado 3 veces sobrio.
25.Se cree que el mercado nacional para un nuevo tipo de caña para pescar es fuerte, mediano o débil, con probabilidades respectivas de: 0,45 − 0,35 y 0,20 . Las probabilidades en el mercado de prueba son:
Resultados del mercado de prueba
Mercado Nacional
Fuerte Mediano débil
Bueno 0,85 0,50 0,25
Malo 0,15 0,50 0,75
a. Dibujar un diagrama de árbol que resuma la situación.
b. Calcular las probabilidades de un resultado bueno y de un resultado malo del mercado de prueba. c. Suponga que el resultado de un estudio de mercado de prueba es bueno. Calcular las probabilidades revisadas de un mercado nacional fuerte, mediano y débil.
26.Pedro quiere enviar una carta a María. La probabilidad de que Pedro escriba la carta es la probabilidad de que el correo no la pierda es 0.9 y la probabilidad de que el cartero la entregue es 0.9. Si María no recibió la carta, ¿Cuál es la probabilidad condicional de que Pedro no la haya escrito?
27.La directora de un centro optico recopilo información sobre el material y tamaño de las muestras de anteojos durante las ultimas 100 ventas. Los reultados se muestran en la siguiente tabla:
Tamaño anteojos Material por Montura
Plastico (P) Metal (M) Mixto (Mx) TOTAL
Grande (G) 12 8 5 25
Mediano (Me) 23 31 1 55
Pequeño (Pq) 6 6 8 20
41 45 14 100
1. Calcular las probabilidades conjuntas 2. Calcular las probabilidades condicionales 3. Calcular las probabilidades marginales 4. Construir un arbol de probabilidad
28.Suponga que la máquina I produce el doble de artículos que la máquina II. Sin embargo, cerca del 4% de los artículos producidos por la Máquina I tiene defectos, mientras que sólo el 2% de los que produce la Máquina II están defectuosos. Supongamos que se combina la producción diaria de las dos Máquinas y se toma al azar una muestra de 20 artículos. ¿Cuál es la probabilidad de que esta muestra contenga al menos un artículo defectuoso?
29.Una persona tiene que efectuar una mantención diaria. El proceso tiene 24 horas de labor continuada. Debido a las pérdidas por no uso del sistema se saltan las mantenciones. Se sabe que el 5% de las veces el proceso ha tenido una falla en el primer período. Si ésta se produce hay un 25% que falle en el período siguiente, en caso contrario hay un 35% que falle.
a. ¿Cuál es la probabilidad que en tres períodos consecutivos el sistema falle dos veces? b. Si el sistema no falla en el tercer período. ¿Cuál es la probabilidad que no haya fallado antes?
30.En sus esfuerzos por contener la ola de importaciones, los fabricantes norteamericanos de automóviles han tomado medidas para mejorar la calidad y fiabilidad de sus coches. "Nuevos Automóviles", publicación comercial muy leída dentro del sector, describe el procedimiento utilizado en una fabrica de General Motors que producía baterías de coches Delco para detectar y eliminar productos defectuosos. En la fabrica se trabaja en 2 turnos, uno de mañana de 8 a 10−30 y otro por la tarde de 15,30 a 23,30, para producir las baterías.
El departamento de control de calidad realiza inspecciones periódicas de las baterías después de haberlas tenido inactivas durante seis meses como mínimo para determinar si mantienen la carga. El turno mañana produce el 65% de todas las baterías, el de la tarde el otro 35%. Estudios previos del departamento de Control de Calidad habían revelado que el 5% de las baterías producidas por el turno mañana eran defectuosos, mientras que las producidas a la tarde eran defectuosos un 8%.
Durante una inspección sobre el terreno, el director de la factoría eligió una batería al azar y la encontró defectuosa. Dado que era defectuosa, quiere conocer:
1. la probabilidad que la batería fuera producida por el turno mañana 2. la probabilidad de que la batería fuera producida por el turno tarde
31.Un cierto tipo de partícula nuclear, al chocar contra una barrera de absorción puede generar 0, 1 o 2 nuevas partículas del mismo tipo (las llamaremos sus descendientes), con
probabilidad ¼, ½ y ¼ respectivamente. La partícula original es absorbida por la barrera.
Este proceso continua de la misma forma y supongamos que las partículas individuales generadas actúan independientemente entre sí.. Dada una partícula inicial, sea X1 el número de sus descendientes, sea X2 el número de descendientes de sus descendientes y X3 el número de descendientes de los descendientes de sus descendientes.
a. Encuentre la probabilidad de que X2 > 0
b. Calcule la probabilidad condicional de que X1 = 1 dado que X3 = 2.
32.Uno de los problemas estudiado en genética clásica es el estudio de una cierta generación filial. Se hizo un experimento con cobayos negros de pelo corto y con cobayos blancos de pelo largo. Denominemos por N y n a los genes responsables del color Negro y Blanco respectivamente y C y c a los genes responsables del pelo corto y largo respectivamente. Además se sabe que el gene N domina a n y C domina a c, es decir, los cobayos con genotipo NN, nN y Nn son de color negro y nn es de color blanco, y CC, cC y Cc es de pelo corto y cc es de pelo largo. Asumiendo equiprobabilidad e independencia entre el cruzamiento de los genes y la posición del gen no importa (Nn = nN y Cc = cC). Si el primer cruzamiento es realizado entre un cobayo NnCC con un cobayo nncc y, luego,la primera generaci¶on es cruzada con un cobayo Nncc.
a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un cobayo negro en la primera generación? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el cobayo de la segunda generación sea de pelo largo si se sabe que sus padres son NnCc y Nncc?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que el cobayo nncc de la segunda generación tenga como padres 2 cobayos negros?
33.Suponga que el señor González que está en lo correcto el 75% de las veces declara que cierto evento X no ocurrirá. Por otro lado el señor Pérez, que está en lo cierto el 60% de las veces dice que X si ocurrirá. Dadas ambas predicciones, ¿Cuál es la probabilidad de que X ocurra realmente? ¿Está bien especificado el
