f i i=1 y j fij y j f j = ȳ j=1 indep.

(1)

APELLIDOS:

NOMBRE: GRUPO: 2

DEPARTAMENTO DE ESTAD´ISTICA E INVESTIGACI ´ON OPERATIVA 1o_{. INGENIER´}_{IA INFORM ´}_ATICA

Estad´ıstica Descriptiva. Curso 2007/2008

Examen Segunda Prueba Ev. Continua. Fecha: 2-6-2008

1. Dada una serie estad´ıstica bidimensional asociada a (X, Y): (a) Demostrarque la siguiente expresi´on:

¯ y= k X i=1 fi· y¯|X=_x_i

se verifica siY es independiente deX (utiliza en la demostraci´on la definici´on y propiedades de la independencia estad´ıstica de variables). (1 punto)

(b) Demostrarque la expresi´on anterior se verifica siempre. (1 punto) Soluci´on:

Apartado (a)Si son variables independientes se sabe que las frecuencias relativas condicionadas deY|X =xi son id´enticas entre s´ı e iguales a las frecuencias marginales deY, por lo que se tiene:

¯ y_|X=_x_i = p X j=1 yjfiji = ↑ indep. p X j=1 yjf·j = ¯y Luego la expresi´on:

k X i=1 fi· y¯|X=_x_i = k X i=1 fi· y¯= ¯y k X i=1 fi· | {z } =1 = ¯y

Apartado (b)Hecho en teor´ıa.

2. Para estudiar la jugabilidad de un juego de una conocida consola, se han recogido datos de las siguientes variables estad´ısticas: X =“n´umero de minutos seguidos jugando con el juego” e

Y =“n´umero de puntos alcanzado”, sobre un grupo de 8 personas de diferentes edades: (12, 67), (11, 65), (25, 106), (28, 114), (19, 89), (5, 47), (27, 112), (3, 40)

(a) Calcula la recta de m´ınimos cuadrados de Y sobre X y represéntala sobre el diagrama de dispersión de estos datos. ¿Existe relación lineal entre estas dos variables? Justifica tu respuesta. (1 punto)

(b) Realiza una predicción del número de minutos que necesitará jugar para alcanzar una pun-tuación de 100 puntos. ¿Es fiable dicha predicción? Justifica tu respuesta. (1 punto) Solución:

(2)

Num. Observaciones X 8 Num. Observaciones Y 8 Media X 16.25 Media Y 80 Varianza X 85.6875 Varianza Y 752.5 Desv. T´ıpica X 9.25675 Desv. T´ıpica Y 27.43173 Covarianza 253.875

Coef. Correlaci´on Lineal 0.99979

Coef. Correlaci´on Lineal al cuadrado 0.99958 Recta M´ınimos Cuadrados Y sobre X y = 2.96280 x + 31.85449

Varianza Residual de Y sobre X 0.31893

Recta M´ınimos Cuadrados X sobre Y x = 0.33738 y + -10.74003

Varianza Residual de X sobre Y 0.03632

* * * Apartado (a) y=bx+a, b= SXY S2 X , a= ¯y−bx,¯ r = SXY SX SY Recta M´ınimos Cuadrados Y sobre X y= 2.96280x+ 31.85449

Coef. Correlaci´on Lineal, r= 0.99979, r2 =R2 = 0.99958 Ya quer2

= 0.99958≥0.75, se puede considerar que s´ı existe relaci´on lineal fuerte y adem´as es de tipo directo (signo positivo der).

Estad´ıstica B´asica v.3.0h (18-2-2007) b b b b b b b b X Y 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 40 50 60 70 80 90 100 110 Apartado (b)

Para realizar la predicci´on del valor dexa partir de un valoryutilizaremos la recta de m´ınimos cuadrados deX sobre Y:

x=b0y+a0, b0 = SXY

S2

Y

, a0 = ¯x−b0y¯

Recta M´ınimos Cuadrados X sobre Y x= 0.33738y−10.74003 La predicci´on ser´ıa:

ˆ

x(y= 100) = 0.33738×100−10.74003 = 22.99797 Necesitar´ıa aproximadamente unos 23 minutos (22.99797).

Esta predicci´on es fiable ya que r2

=R2

(3)

3. Dada la siguiente tabla de frecuencias relativas conjuntas de las variables estad´ısticas (X, Y), para las que se recogieron n= 100 parejas de observaciones:

X/Y 1 3 5

2 0.20 0.10 0.02 3 0.10 0.30 0.05 4 0.08 0.05 0.10

(a) Calcula y representa gráficamente la curva de regresión de X sobre Y. (1 punto) (b) Determina la razón de correlación de X sobre Y e interprétala. (1 punto)

(c) ¿Son estas dos variables independientes? Razona la respuesta. (1 punto) Soluci´on:

Apartado (a)

Estad´ıstica B´asica v.3.0h (18-2-2007)

Tabla de frecuencias conjunta y marginales

X/Y 1 3 5 X

2 20 10 2 32

3 10 30 5 45

4 8 5 10 23

Y 38 45 17 100 Funci´on Todas las condicionadas deX|Y =yj:

X/Y 1 3 5 X 2 0.5263 0.2222 0.1176 0.32 3 0.2632 0.6667 0.2941 0.45 4 0.2105 0.1111 0.5882 0.23 T otal 1 1 1 1 ¯ x_|Y Y 2.68421 1 2.88889 3 3.47059 5 2.68 2.89 3.47 1 3 5 * * * Apartado (b) η2_X|Y = Pp j=1(¯x|yj−x¯) 2 f·j S2 X

(4)

Sabemos que:

¯

x= 2.91, S2

X = 0.5419

Y las frecuencias relativas marginales deY y las medias condicionadas son:

Y f·j 1 0.38 3 0.45 5 0.17 1 ¯ x|Y Y 2.68421 1 2.88889 3 3.47059 5 La raz´on de Correlaci´on de X sobre Y es: 0.13471

Se trata de un valor menor o igual que 0.75, por tanto podemos decir que no existe relaci´on entre las dos variables.

Apartado (c)

Las distribuciones de las frecuencias relativas condicionadas deX|Y =yj no son id´enticas entre s´ı, por lo queX e Y no son independientes.

Funci´on Todas las condicionadas deX|Y =yj:

X/Y 1 3 5 X

2 0.5263 0.2222 0.1176 0.32 3 0.2632 0.6667 0.2941 0.45 4 0.2105 0.1111 0.5882 0.23

T otal 1 1 1 1

4. Un joven empresario inform´atico quiere estudiar c´omo ha cambiado su empresa en cuanto a las ventas de discos duros. La siguiente tabla recoge los datos de las ventas (en euros) en el 2006 y en el 2007:

Tipos de discos duros 2006 2007

Precio Unidades vendidas Precio Unidades vendidas

Discos duros internos 3.5 95 220 85 150

Discos duros internos 2.5 115 100 110 125

Discos duros externos 3.5 140 50 120 150

Discos duros externos 2.5 180 25 160 80

(a) Calcula e interpreta el ´ındice de Laspeyres para el precio de los discos duros del 2007 respecto al 2006. (1 punto)

(b) Calcula e interpreta el ´ındice de Paasche para la cantidad de discos duros vendidos del 2007 respecto al 2006.(1 punto)

(c) Calcula e interpreta la media agregativa ponderada de los precios del 2007 respecto al 2006, usando los pesoswi que utiliza el ´ındice de Laspeyres. (1 punto)

Soluci´on:

2006 2007

Variables Precios Cantidades Precios Cantidades

1 95 220 85 150

2 115 100 110 125

3 140 50 120 150

(5)

Apartado (a) LP07_/06= 4 X i=1 pi,07×q_i,06 pi,06×q_i,06

Laspeyres Precios 0.9043, es decir una disminuci´on del 9.57%. Apartado (b) P₀₇Q_/₀₆= 4 X i=1 pi,07×q_i,07 pi,07×q_i,06

Paasche Cantidades1.4433, es decir un aumento del 44.33%.

Apartado (c)Los pesos wi =vi0 =p_i0q_i0 es decir, el valor de cada producto en el periodo base

(a˜no 2006) (wi=vi,2006 =v_i,06).

2006

Precios Cantidades Valor

95 220 20900 115 100 11500 140 50 7000 180 25 4500 ¯ I_AP = w1p1,07+w2p2,07+w3p3,07+w4p4,07 w1p1_,06+w2p2_,06+w3p3_,06+w4p4_,06 = = v1,06p1,07+v2,06p2,07+v3,06p3,07+v4,06p4,07 v1_,06p1_,06+v2_,06p2_,06+v3_,06p3_,06+v4_,06p4_,06 = = 20900×85 + 11500×110 + 7000×120 + 4500×160 20900×95 + 11500×115 + 7000×140 + 4500×180 = = 4601500 5098000 = 0.90261 Es decir ha habido una disminuci´on del 9.739%.