Algebra Lineal XX: Determinantes.
Jos´
e Mar´ıa Rico Mart´ınez
Departamento de Ingenier´ıa Mec´
anica
Facultad de Ingenier´ıa Mec´
anica El´
ectrica y Electr´
onica
Universidad de Guanajuato
email: [email protected]
En estas notas mostraremos como definir la funci´on determinante para matrices cuadradas de orden arbitrario. El estudio de los determinantes se iniciar´a definiendo las propiedades que debe tener la funci´on determinante. Adem´as, se mostrar´a que la funci´on determinante de existir es ´unica.
1.
Definici´
on de la funci´
on determinante.
El primer paso ser´a definir las propiedades que debe satisfacer la funci´on determinante.
Definici´on de la funci´on determinante. Sea Mp×p el espacio vectorial de matrices cuadradas de orden p con elementos sobre el campo K. El determinante es un mapeo de Mp×p al campo K
que est´a definido por los requerimientos sobre las columnasM1, M2, . . . , Mp de una matrizM ∈Mp×p
arbitraria.
1. Si laj−´esima columna 1≤j≤pdeM est´a dada porMj+Mj∗, se tiene que
det(M1M2· · ·Mj+Mj∗· · ·Mp) = det(M1M2· · ·Mj· · ·Mp) +det(M1M1· · ·Mj∗· · ·Mp) 2. Si laj−´esima columna 1≤j≤pdeM est´a dada porλMj, donde λ∈Kse tiene que
det(M1M2· · ·λMj· · ·Mp) =λ det(M1M2· · ·Mj· · ·Mp)
Estas dos primeras propiedades, aseguran que el determinante es un mapeo multilineal en las columnas de la matrizM.
3. SiMj=Mj+1 para cualquierj tal que 1≤j≤p−1 entonces1
det(M) = 0.
4. SiIp es la matriz identidad en el espacioMp×p entonces
det(Ip) = 1.
A partir de esta definici´on, se encontrar´an propiedades adicionales de la funci´on determinante y se ampliar´a el alcance de algunas de estas propiedades iniciales.
Teorema. Sea M ∈ Mp×p y sea det la funci´on determinante sobre Mp×p. Entonces, el valor del
determinante de la matriz obtenida intercambiando o permutando dos columnas adyacentes de M
es (−1)det(M).
Prueba.Considere el determinante de la matriz
0 = det(M1M2 · · ·Mj+Mj+1Mj+Mj+1 · · ·Mp)
0 = det(M1M2 · · ·MjMj+Mj+1 · · ·Mp) +det(M1M2· · · Mj+1Mj+Mj+1 · · · Mp) 0 = det(M1M2 · · ·MjMj · · · Mp) +det(M1M2 · · ·MjMj+1 · · ·Mp) +
det(M1M2 · · ·Mj+1Mj · · · Mp) +det(M1M2· · · Mj+1Mj+1 · · ·Mp)
Sin embargo, por la propiedad n´umero 3 de la funci´on determinante, el primero y el ´ultimo de los determinantes son 0, por lo tanto
0 =det(M1M2 · · ·MjMj+1 · · · Mp) +det(M1M2 · · ·Mj+1Mj · · ·Mp) por lo tanto
det(M1M2 · · ·Mj+1Mj · · · Mp) =−det(M1M2· · · MjMj+1 · · ·Mp) =−det(M)
Corolario.Si dos columnas de M son iguales; es decir siMi=Mj parai=j, entoncesdet(M) = 0.
Prueba.Suponga quei < j, entonces
det(M) = det(M1M2 · · ·Mi · · ·Mj · · ·Mp) = (−1)j−i−1det(M1M2· · · MiMj · · ·Mp)
= (−1)j−i−1det(M1M2 · · ·MiMi · · ·Mp) = (−1)j−i−1(0) = 0
Corolario. Sea M ∈ Mp×p y sea det la funci´on determinante sobre Mp×p. Entonces, el valor del determinante de la matriz obtenidaintercambiando o permutandodos columnas cualesquiera deM
es (−1)det(M).
Prueba.Considere el determinante de la matriz
0 = det(M1M2· · ·Mi+Mj· · ·Mi+Mj· · ·Mp)
0 = det(M1M2· · ·Mi· · ·Mi+Mj· · ·Mp) +det(M1M2· · ·Mj· · ·Mi+Mj· · ·Mp) 0 = det(M1M2· · ·Mi· · ·Mi· · ·Mp) +det(M1M2· · ·Mi· · ·Mj· · ·Mp) +
det(M1M2· · ·Mj· · ·Mi· · ·Mp) +det(M1M2· · ·Mj· · ·Mj· · ·Mp)
Sin embargo, por el corolario anterior, el primero y el ´ultimo de los determinantes son 0, por lo tanto 0 =det(M1M2· · ·Mi· · ·Mj· · ·Mp) +det(M1M2· · ·Mj· · ·Mi· · ·Mp)
por lo tanto
det(M1M2· · ·Mj· · ·Mi· · ·Mp) =−det(M1M2· · ·Mi· · ·Mj· · ·Mp) =−det(M)
Teorema.La adici´on del m´ultiplo escalar de una columna de la matriz a otra columna de la matriz deja sin cambio al valor del determinante.
Prueba.Considere la matriz
det(M1M2· · ·Mi· · ·Mj+λMi· · ·Mp) = det(M1M2· · ·Mi· · ·Mj· · ·Mp) + det(M1M2· · ·Mi· · ·λMi· · ·Mp) = det(M1M2· · ·Mi· · ·Mj· · ·Mp) + λdet(M1M2· · ·Mi· · ·Mi· · ·Mp) = det(M1M2· · ·Mi· · ·Mj· · ·Mp) + 0 = det(M1M2· · ·Mi· · ·Mj· · ·Mp)
Teorema.Para cadap, existe cuando mucho una funci´on determinante enMp×p.
No mostraremos este teorema para el caso general, pero mostraremos que este resultado es cierto para
p= 2 y parap= 3.
Unicidad del determinante parap= 2. Considere una matriz arbitrariaM ∈M2×2, entonces
M = a11 a12 a21 a22 = [M1 M2] donde M1=a11eˆ1+a21ˆe2 y M2=a12eˆ1+a22eˆ2 adem´as ˆ e1= 1 0 y ˆe2= 0 1
Entonces, expandiendo las columnas del determinante de la matriz,M, se tiene que
|M|=det(M) = det(a11eˆ1+a21eˆ2 a12ˆe1+a22eˆ2) = det(a11eˆ1 a12eˆ1+a22ˆe2) +det(a21eˆ2 a12eˆ1+a22ˆe2) = det(a11eˆ1 a12eˆ1) +det(a11eˆ1 a22ˆe2) + det(a21eˆ2 a12eˆ1) +det(a21eˆ2 a22ˆe2) = a11a12det(ˆe1 eˆ1) +a11a22det(ˆe1 ˆe2) + a21a12det(ˆe2 eˆ1) +a21a22det(ˆe2 ˆe2) = (a11a22−a21a12)det(ˆe1 eˆ2) =a11a22−a21a12
Unicidad del determinante parap= 3. Considere una matriz arbitariaM ∈M3×3, entonces
M = ⎡ ⎣ aa1121 aa1222 aa1323 a31 a32 a33 ⎤ ⎦= [M1 M2 M3] donde M1=a11ˆe1+a21eˆ2+a31ˆe3 M2=a12eˆ1+a22eˆ2+a32ˆe3 M3=a13eˆ1+a23ˆe2+a33eˆ3 ademas ˆ e1= ⎡ ⎣ 10 0 ⎤ ⎦ eˆ2= ⎡ ⎣ 01 0 ⎤ ⎦ ˆe3= ⎡ ⎣ 00 1 ⎤ ⎦
determinantes cuyo valor es 0, se tiene que |M| = det(a11eˆ1+a21ˆe2+a31eˆ3 a12ˆe1+a22ˆe2+a32eˆ3 a13ˆe1+a23eˆ2+a33ˆe3) = det(a11eˆ1 a12eˆ1+a22ˆe2+a32ˆe3 a13ˆe1+a23eˆ2+a33ˆe3) + det(a21eˆ2 a12eˆ1+a22ˆe2+a32ˆe3 a13ˆe1+a23eˆ2+a33ˆe3) + det(a31eˆ3 a12eˆ1+a22ˆe2+a32ˆe3 a13ˆe1+a23eˆ2+a33ˆe3) = det(a11eˆ1 a12eˆ1 a13ˆe1+a23eˆ2+a33ˆe3) + det(a11eˆ1 a22eˆ2 a13eˆ1+a23eˆ2+a33ˆe3) + det(a11eˆ1 a32eˆ3 a13eˆ1+a23eˆ2+a33ˆe3) + det(a21eˆ2 a12eˆ1 a13eˆ1+a23eˆ2+a33ˆe3) + det(a21eˆ2 a22eˆ2 a13eˆ1+a23eˆ2+a33ˆe3) + det(a21eˆ2 a32eˆ3 a13eˆ1+a23eˆ2+a33ˆe3) + det(a31eˆ3 a12eˆ1 a13eˆ1+a23eˆ2+a33ˆe3) + det(a31eˆ3 a22eˆ2 a13eˆ1+a23eˆ2+a33ˆe3) + det(a31eˆ3 a32eˆ3 a13eˆ1+a23eˆ2+a33ˆe3) = det(a11eˆ1 a22eˆ2 a13ˆe1+a23eˆ2+a33ˆe3) + det(a11eˆ1 a32eˆ3 a13eˆ1+a23eˆ2+a33ˆe3) + det(a21eˆ2 a12eˆ1 a13eˆ1+a23eˆ2+a33ˆe3) + det(a21eˆ2 a32eˆ3 a13eˆ1+a23eˆ2+a33ˆe3) + det(a31eˆ3 a12eˆ1 a13eˆ1+a23eˆ2+a33ˆe3) + det(a31eˆ3 a22eˆ2 a13eˆ1+a23eˆ2+a33ˆe3)
Expandiendo la tercera columna del determinante de la matriz M y eliminando aquellos determinantes cuyo valor sea 0, se tiene que
M = det(a11ˆe1 a22eˆ2 a13eˆ1) +det(a11eˆ1 a22ˆe2 a23ˆe2) +det(a11eˆ1 a22eˆ2 a33eˆ3) +
det(a11ˆe1 a32eˆ3 a13eˆ1) +det(a11eˆ1 a32ˆe3 a23ˆe2) +det(a11eˆ1 a32eˆ3 a33eˆ3) +
det(a21ˆe2 a12eˆ1 a13eˆ1) +det(a21eˆ2 a12ˆe1 a23ˆe2) +det(a21eˆ2 a12eˆ1 a33eˆ3) +
det(a21ˆe2 a32eˆ3 a13eˆ1) +det(a21eˆ2 a32ˆe3 a23ˆe2) +det(a21eˆ2 a32eˆ3 a33eˆ3) +
det(a31ˆe3 a12eˆ1 a13eˆ1) +det(a31eˆ3 a12ˆe1 a23ˆe2) +det(a31eˆ3 a12eˆ1 a33eˆ3) +
det(a31ˆe3 a22eˆ2 a13eˆ1) +det(a31eˆ3 a22ˆe2 a23ˆe2) +det(a31eˆ3 a22eˆ2 a33eˆ3)
= det(a11ˆe1 a22eˆ2 a33eˆ3) +det(a11eˆ1 a32ˆe3 a23ˆe2) +det(a21eˆ2 a12eˆ1 a33eˆ3) +
det(a21ˆe2 a32eˆ3 a13eˆ1) +det(a31eˆ3 a12ˆe1 a23ˆe2) +det(a31eˆ3 a22eˆ2 a13eˆ1).
El paso final, consiste en realizar todas las permutaciones, cambiando el signo del determinante de manera apropiada, para que las columnas del determinante correspondan a la matriz identidad, cuyo determinante es 1.
M = a11a22a33det(ˆe1 eˆ2 eˆ3)−a11a32a23det(ˆe1 eˆ2 ˆe3)−a21a12a33det(ˆe1 ˆe2 eˆ3) +
a21a32a13det(ˆe1 ˆe2 eˆ3) +a31a12a23det(ˆe1 eˆ2 ˆe3)−a31a22a13det(ˆe1 ˆe2 eˆ3)
= a11a22a33−a11a32a23−a21a12a33+a21a32a13+a31a12a23−a31a22a13
2.
Problemas Resueltos
Problema 1.Empleando los m´etodos indicados en estas notas, calcule el valor del siguiente determinante de orden 2.
|M1|= −3 2
1 7
Soluci´on:Empleando los vectores columna
ˆ e1= 1 0 y ˆe2= 0 1
el determinante se escribe como
|M1| = −31 27 =|3ˆe1−eˆ2 2ˆe1+ 7ˆe2|= 3|ˆe1 2ˆe1+ 7ˆe2| − |ˆe2 2ˆe1+ 7ˆe2|
= 6|ˆe1 eˆ1|+ 21|ˆe1 eˆ2| −2|ˆe2 eˆ1| −7|eˆ2 ˆe2|
Pero se sabe que
|eˆ1 eˆ1|=|ˆe2 eˆ2|= 0 adem´as |ˆe1 eˆ2|= 1 y |ˆe2 eˆ1|=−|ˆe1 eˆ2|=−1. Por lo tanto |M1| = 6|eˆ1 eˆ1|+ 21|eˆ1 eˆ2| −2|ˆe2 eˆ1| −7|ˆe2 eˆ2| = 6(0) + 21(1)−2(−1)−7(0) = 23.
Problema 2.Empleando los m´etodos indicados en estas notas, calcule el valor del siguiente determinante de orden 3. |M1|= 3 2 −1 −1 7 0 −3 5 3 Soluci´on:Empleando los vectores columna
ˆ e1= ⎡ ⎣ 10 0 ⎤ ⎦ eˆ2= ⎡ ⎣ 01 0 ⎤ ⎦ ˆe3= ⎡ ⎣ 00 1 ⎤ ⎦
el determinante se escribe como
|M1| = 3 2 −1 −1 7 0 −3 5 3 =|3ˆe1−ˆe2−3ˆe3 2ˆe1+ 7ˆe2+ 5ˆe3 −ˆe1+ 3ˆe3| = |3ˆe1 2ˆe1+ 7ˆe2+ 5ˆe3 −eˆ1+ 3ˆe3| +| −ˆe2 2ˆe1+ 7ˆe2+ 5ˆe3 −ˆe1+ 3ˆe3| +| −3ˆe3 2ˆe1+ 7ˆe2+ 5ˆe3 −eˆ1+ 3ˆe3| = |3ˆe1 2ˆe1 −eˆ1+ 3ˆe3|+|3ˆe1 7ˆe2 −eˆ1+ 3ˆe3|+|3ˆe1 5ˆe3 −eˆ1+ 3ˆe3| +| −ˆe2 2ˆe1 −ˆe1+ 3ˆe3|+| −ˆe2 7ˆe2 −ˆe1+ 3ˆe3|+| −ˆe2 5ˆe3 −ˆe1+ 3ˆe3| +| −3ˆe3 2ˆe1 −eˆ1+ 3ˆe3|+| −3ˆe3 7ˆe2 −ˆe1+ 3ˆe3|+| −3ˆe3 5ˆe3 −ˆe1+ 3ˆe3|
Pero se sabe que si alg´un determinante tiene dos columnas con el mismo vector unitario su valor es cero, por lo tanto
|M1| = |3ˆe1 7ˆe2 −eˆ1+ 3ˆe3|+|3ˆe1 5ˆe3 −eˆ1+ 3ˆe3|+| −eˆ2 2ˆe1 −eˆ1+ 3ˆe3|
Expandiendo la tercera columna se tiene que
|M1| = |3ˆe1 7ˆe2 −ˆe1|+|3ˆe1 7ˆe2 3ˆe3|+|3ˆe1 5ˆe3 −eˆ1|+|3ˆe1 5ˆe3 3ˆe3|
+| −eˆ2 2ˆe1 −eˆ1|+| −ˆe2 2ˆe1 3ˆe3|+| −eˆ2 5ˆe3 −eˆ1|+| −ˆe2 5ˆe3 3ˆe3|
+| −3ˆe3 2ˆe1 −ˆe1|+| −3ˆe3 2ˆe1 3ˆe3|+| −3ˆe3 7ˆe2 −ˆe1|+| −3ˆe3 7ˆe2 3ˆe3|
Nuevamente, aquellos determinantes que tienen dos columnas con el mismo vector unitario su valor es cero, por lo tanto
|M1| = |3ˆe1 7ˆe2 3ˆe3|+| −eˆ2 2ˆe1 3ˆe3|+| −eˆ2 5ˆe3 −eˆ1|+| −3ˆe3 7ˆe2 −eˆ1|
= 63|ˆe1 eˆ2 ˆe3|+ 6|eˆ1 ˆe2 ˆe3|+ 5|eˆ1 eˆ2 ˆe3| −21|ˆe1 eˆ2 eˆ3|= 53|ˆe1 eˆ2 ˆe3|= 53 Pues se sabe que el determinante de la matrix identidad
|I3|=|ˆe1 eˆ2 eˆ3|= 1.
3.
Problemas Propuestos.
Problema 1. Empleando los m´etodos indicados en estas notas, calcule el valor de los siguientes determinantes de orden 2. |M1|= 4 5 2 7 |M2|= −1 3 4 3
Problema 2. Empleando los m´etodos indicados en estas notas, calcule el valor de los siguientes determinantes de orden 3. |M3|= 4 5 2 2 7 −3 2 −3 4 |M4|= −1 3 2 4 3 −2 2 −1 0
