Universidad del País Vasco

(1)

eman ta zabal zazu

A

Universidad

del País Vasco

Euskal Herriko

Unibertsitatea

INSTRUCCIONES

1. A continuación tienes el examen que consta de 35 cuestiones breves que has de responder en una hoja de codificación naranja y tres problemas, 1, 2 y 3, a responder en orden y en las hojas de papel del examen. Hay una tabla de la distribuciónN(0,1) al final del cuestionario.

2. No olvides codificar correctamente tu D.N.I. en la hoja naranja y ponerlo tambi´en de forma clara y legible en cada una de las hojas en las que resuelvas los problemas.

3. En el cuestionario las respuestas correctas proporcionan un punto. Hay una única respuesta correcta en cada cuestión. Respuestas incorrectas conllevan una penalización de−0,20 puntos.

4. Es preciso obtener 12 puntos o m´as sobre 35 en el cuestionario para que se corrijan los problemas. Los puntos a obtener en los tres problemas son 15 (5 puntos en cada uno de ellos). Hacen falta al menos 25 puntos para superar el examen.

5. El tiempo de que dispones para realizar el examen es de 1 hora y 35 minutos para el cuestionario y 20 minutos para cada uno de los problemas. La recogida tanto del cuestionario como de los problemas ser´a escalonada y en orden de presentaci´on.

(2)

Estad´ıstica y

An´

alisis de Datos

Julio 2013, Tipo: 1 Apellidos: Nombre: DNI: Grupo: Profesor :

Secci´

on 1. Preguntas de elecci´

on m´

ultiple

Comienzo de un bloque de preguntas

Las preguntas situadas antes de la pr´oxima l´ınea horizontal se refieren al enunciado siguiente.

Sea X una v.a. con distribuci´on N(7,5;σ2 _{= 6)}

que mide, en millones de euros, los ingresos mensuales de una empresa.

1. La probabilidad de que los ingresos mensuales superen los 2,5 millones de euros es, aproxima-damente: (a) 0,9793 (b) 0,0207 (c) Todo falso (d) 0,9938 (e) 0,0062

2. ¿Cu´al es la funci´on generatriz de momentos de la variableX? (a) e7,5u+6u2 (b) e6u+7,5₂u2 (c) e7,5u+6u2 2 (d) e7,5u2₊6u 2

(e) Todo falso

3. La v.a.Y mide los costes mensuales en millones de euros y sigue una distribuci´onN(3;σ2= 1). La distribuci´on de la variable beneficios, si se supone que existe independencia entre los in-gresos y los costes, es:

(a) N(10,5 ; σ2_{= 7)}

(b) N(10,5 ; σ2_{= 5)}

(c) N(4,5 ; σ2_{= 7)}

(d) N(4,5 ; σ2_{= 5)}

(e) Todo falso

4. La probabilidad de que los beneficios en un mes cualquiera sean superiores a 7 millones de euros es, aproximadamente:

(a) 0,9066 (b) 0,1314 (c) 0,8264 (d) 0,1736 (e) Todo falso

Final de un bloque de preguntas

El siguiente histograma muestra la distribuci´on de la distancia en yardas alcanzada porN = 20 jugado-res profesionales de golf con un determinado tipo de palo.

(3)

N=20 X=Distancia nº jugadores 230 240 250 260 270 280 0 1 2 3 4

5. El intervalo modal de esta distribuci´on de fre-cuencias es:

(a) (235,240) (b) (245,250)

(c) Esta distribuci´on no tiene moda (d) Esta distribuci´on es trimodal (e) Todo falso

6. La mediana de esta distribuci´on deber´ıa estar en alg´un punto del intervalo:

(a) (250,255] (b) (255,260] (c) (260,265] (d) (265,270] (e) Todo falso

7. Si la relación entre yardas y metros es de 1 yar-da = 0,91 metros y la media aritmética de la distancia en yardas es ¯x= 257,85, entonces la media aritmética ¯y de la distancia en metrosY es, aproximadamente:

(a) 234,64 (b) 283,35 (c) 257,85 (d) 258,76 (e) Todo falso

Las preguntas situadas antes de la pr´oxima l´ınea horizontal se refieren al enunciado que aparece en la siguiente cuesti´on.

8. Un urna contiene 8 bolas, de las cuales 4 son ro-jas y 4 son azules. Se extraen dos bolas consecu-tiva y aleatoriamente y se definen dos variables aleatorias:

X=

1 si la primera bola extra´ıda ha sido roja 0 en otro caso

Y=

1 si la segunda bola extra´ıda ha sido roja 0 en otro caso

La distribuci´on de Y, si la extracci´on ha sido con reemplazamiento, es:

(a) Binaria de par´ametrop=1₂ (b) Desconocida

(c) Binaria de par´ametrop=2₃ (d) Binaria de par´ametrop=1₄ (e) Todo falso

9. La distribuci´on de Y, si la extracci´on ha sido sin reemplazamiento, es:

(a) Binaria de par´ametrop=1₂ (b) Desconocida

(c) Binaria de par´ametrop=2 3

(d) Binaria de par´ametrop=1 4

(e) Todo falso

10. Las variablesX eY son independientes: (a) Siempre

(b) Unicamente si las extracciones son con´ reemplazamiento

(c) Unicamente si las extracciones son sin´ reemplazamiento

(d) No se puede saber porque no tenemos la funci´on de cuant´ıa conjunta

(e) Todo falso

(4)

Las dos preguntas siguientes se refieren al enun-ciado de la siguiente cuesti´on.

11. Sean dos variables X e Y tipificadas e inde-pendientes entre s´ı. La varianza de una tercera variableZ = 2X+ 10Y + 1000 es:

(a) 1012 (b) 1104 (c) 104

(d) 1

(e) Todo falso

12. La covarianza entre las variablesX yZ es:

(a) 1

(b) 0

(c) 102

(d) 2

(e) Todo falso

Las dos preguntas siguientes se refieren a la tabla que aparece en la siguiente cuesti´on.

13. La siguiente tabla muestra el reparto de los tra-bajadores de una empresa seg´un su salarioX:

xi fi qi x1 0,25 0,15 x2 0,25 0,25 x3 0,25 0,30 x4 0,25 0,30 dondex1< x2< x3< x4.

El ´ındice de Gini calculado con los datos de esta tabla es:

(a) 1

(b) 0,125

(c) 0

(d) 0,375 (e) Todo falso

14. Interpretando el valor del ´ındice de Gini pode-mos decir que:

(a) El salario medio ser´a bajo

(b) El salario medio es poco representativo (c) El reparto de la masa salarial es poco

equitativo

(d) El reparto de la masa salarial es muy equitativo

(e) Todo falso

Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional cuya funci´on de densidad es: f(x, y) = 1₂xy3 _para

0≤x≤1 y para 0≤y≤2.

15. La funci´on de densidad marginal deX,fX(x), es:

(a) 8xpara 0≤x≤1 (b) xpara 0≤y≤2 (c) 32xpara 0≤y≤2 (d) 2xpara 0≤x≤1 (e) Todo falso

16. El valor deP(X ≤0,75) es: (a) 0,7525

(b) 1

(c) 0,5625 (d) 0,2813 (e) Todo falso 17. ∀x, yse cumple:

(a) f(x, y) = 2fX(x)fY(y) (b) fX(x) = 2fY(y) (c) f(x, y) =fX(x)fY(y) (d) f(x, y) =fX(x) (e) Todo falso

(5)

18. El valor deP(X ≤0,75|Y ≤1) es: (a) 0,7525

(b) 1

(c) 0,4375 (d) 0,5625 (e) Todo falso

19. Sea la v.a. Z = X−Y. El valor de E(Z) es, aproximadamente:

(a) −0,93 (b) −0,44 (c) 0,93 (d) 0,44 (e) Todo falso

20. Sea una v.a.X con la siguiente distribuci´on de probabilidad: X -2 0 2 3 P(x) 0,25 0,3 0,1 0,35 P(Z <3) siendoZ=|X|es: (a) 1 (b) 0,30 (c) 0,65 (d) 0,70 (e) Todo falso

Las preguntas situadas antes de la pr´oxima l´ı-nea horizontal se refieren al enunciado de la siguiente cuesti´on.

21. La siguiente tabla refleja el salario m´ınimo interprofesional (SMI) medido en euros y el ´ındice de precios de consumo (IPC) en Espa˜na

para el periodo 2006-2011. A˜no SM I IP C 2006 540,90 100 2007 570,60 102,79 2008 600,00 106,98 2009 624,00 106,67 2010 633,30 108,59 2011 641,40 112,06

En media, suponiendo un crecimiento anual constante, el SMI creci´o anualmente en t´ ermi-nos nominales en el periodo 2006-2011 aproxi-madamente:

(a) un 3,5 % (b) un 5,5 % (c) un 0,7 % (d) un 2,1 % (e) Todo falso

22. En el periodo 2006-2011 el poder adquisitivo del SMI en t´erminos reales:

(a) aumentó más de un 12 % (b) diminuyó un 2,15 % (c) aumentó menos de un 6 % (d) aumentó un 18,58 % (e) Todo falso

23. En términos reales, el SMI en el año 2011 con respecto al año 2010 aproximadamente:

(a) disminuyó un 1,86 % (b) aumentó un 0,80 % (c) disminuyó un 10,83 % (d) aumentó un 1,50 % (e) Todo falso

Las preguntas situadas antes de la pr´oxima l´ınea horizontal se refieren al enunciado que aparece en la siguiente cuesti´on.

(6)

24. La longitud en metros (m.) de ciertas barras de metal, X, se distribuye seg´un la funci´on de densidad:

f(x) =

1

9(6−2x) si x∈[0,3]

0 en otro caso

Sabiendo que la media deX es 1, el valor de la varianza es: (a) 3 2 (b) 1 (c) 1₂ (d) q1 2

(e) Todo falso

25. Dichas barras son consideradas extra-largas si su longitud est´a entre 2 y 4 metros. La pro-babilidad de que una barra sea extra-larga es, aproximadamente: (a) 0,718 (b) 0 (c) 0,218 (d) Todo falso (e) 0,111

26. Para realizar una barandilla es preciso unir 150 de estas barras. Si las seleccionamos de mane-ra independiente, la media y la varianza de la longitud de la barandilla ser´an, respectivamen-te:

(a) 150 m. y 150 m.2 (b) 150 m. y 75 m.2 (c) 150 m. y 225 m.2

(d) 150 m. y 183,71 m.2

(e) Todo falso

27. Con una probabilidad del 95 % la barandilla tendr´a una longitud aproximadamente superior a:

(a) 164 m. (b) 136 m. (c) 133 m. (d) 167 m. (e) Todo falso

28. Si dos variables estad´ısticas son independientes se puede afirmar que:

(a) pueden tener una relación lineal (b) pueden tener una relación no lineal (c) están incorrelacionadas

(d) las frecuencias relativas marginales de las dos variables coinciden

(e) Todo falso

Una empresa tiene 100 empleados, de los cuales 60 trabajan en el departamento de producci´on, 36 en el departamento de ventas y 4 son administrativos. El 50 % de los trabajadores del departamento de pro-ducci´on son mujeres, el 75 % de los trabajadores del departamento de ventas son mujeres y de los 4 admi-nistrativos, 2 son hombres.

29. Se elige un trabajador al azar. La probabilidad de que pertenezca al departamento de produc-ci´on o de ventas es:

(a) 0,216 (b) 0,5 (c) 0,96 (d) 0,75 (e) Todo falso

30. Se elige un trabajador al azar. La probabilidad de que sea hombre es:

(a) 0,55 (b) 0,63 (c) 0,41 (d) 0,75 (e) Todo falso

31. Habiendo seleccionado un hombre, la probabi-lidad de que no pertenezca al departamento de ventas es, aproximadamente:

(a) 0,91 (b) 0,51 (c) 0,78 (d) 0,43 (e) Todo falso

(7)

Sea X una v.a. discreta con funci´on de cuant´ıa P(X =x) = 1₃ parax= 0,1,2. Sea Y otra v.a. dis-creta e independiente de X con funci´on de cuant´ıa P(Y =y) = 1₃yparay= 1,2. 32. El valor deP(X = 3) es igual a: (a) 3₄ (b) 0 (c) 1₃ (d) 1

(e) Todo falso

33. Si definimos la v.a. (X, Y) y teniendo en cuenta queX eY son independientes, la probabilidad de que (X, Y) sea igual a (1,2) es:

(a) 1

(b) 2₉ (c) 4₉

(d) 0

(e) Todo falso

34. Si definimos la v.aZ =X+Y, la probabilidad de queZ tome el valor 2 es igual a:

(a) 2 3 (b) 1 9 (c) 1 (d) 1₃ (e) 0 (f) Todo falso

35. La nota final de la asignatura de Estad´ıstica y An´alisis de Datos se calcula como una media ponderada de la nota del examen, con un peso del 80 %, y de la nota de los seminarios, con un peso del 20 %. Un alumno saca una nota de 10 puntos sobre 10 en los seminarios. ¿Qu´e nota tiene que sacar en el examen para sacar un 5 de nota final?

(a) 4,25 puntos (b) 3,75 puntos (c) 3,00 puntos (d) 3,25 puntos (e) Todo falso

(8)

(9)

PROBLEMAS

APELLIDO 1: APELLIDO 2:

NOMBRE: DNI: Tipo de examen: 1

Problema 1.(5 puntos, 20 minutos)Se dispone de datos de 100 centros de educaci´on secundaria vizca´ınos correspondientes a las variables:

Nota media de Selectividad para cada centro (Junio 2012).

Titularidad de cada centro: P´ublica (Publ.) o Privada-Concertada (Priv.).

En la siguiente tabla se recoge el n´umero de centros de cada tipo seg´un la nota media de Selectividad: Nota 4,2 4,6 4,8 5,2 5,4 5,6 5,8 6,0 6,2 6,4 6,6 6,8 7,0 7,2 Total

Publ. 1 0 1 2 0 5 4 5 3 10 8 2 2 1 44

Priv. 0 1 2 1 3 4 3 10 9 3 10 7 1 2 56

Utilizando estos datos se han obtenido los siguientes valores t´ıpicos: Nota Valores t´ıpicos Publ. Priv.

Media 6,17 Mediana 6,20 S 0,58 g1 -1,01 -0,64 g2 1,40 0,20 q1 5,80 5,90 q3 6,60 6,60 M´ınimo 4,60 M´aximo 7,20

1. En un art´ıculo period´ıstico se sostiene que los alumnos de los centros privados-concertados realizaron mejor la prueba de Selectividad que los alumnos de la red pública. Calcula la media aritmética y la mediana para la nota de Selectividad en los centros públicos. A partir de los valores obtenidos, comenta la afirmación anterior.

2. Calcula la desviación t´ıpica de la nota en los centros públicos. ¿Cuál de las dos distribuciones es más dispersa? ¿Dir´ıas que las medias aritméticas son representativas? (Nota: recuerda que los estad´ısticos para los centros privados están en la tabla de valores t´ıpicos).

3. Completa el gráfico dibujando el diagrama de caja que representa la distribución de la nota de Se-lectividad para los centros públicos. ¿Cuál de las dos distribuciones es más asimétrica?, ¿qué tipo de asimetr´ıa tienen? Razona tu respuesta.

Pública 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 ● ● ● Privada−Concertada 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5

(10)

(11)

Problema 2. (5 puntos, 20 minutos) Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional cuya funci´on de densidad es:f(x, y) =kx(x+y) para 0≤x≤1 y 0≤y≤2.

1. Comprueba que el valor de la constante kes 3 5.

2. Obt´en la funci´on de densidad marginal de X,fX(x). 3. Calcula el valor deE(XY).

4. Sabiendo queE(X) = ₁₀7 yE(Y) = 6₅, calcula e interpreta el valor de Cov(X, Y). 5. Calcula el valor deP(Y >1|X = 0,5).

(12)

(13)

Problema 3. (5 puntos, 20 minutos) Una empresa dispone de 220 delegaciones por toda España, 100 en el interior y el resto en la costa. El departamento financiero quiere hacer un análisis de costes de todas sus delegaciones. Se sabe que los costes de cada una de las 100 delegaciones del interior siguen una distribución exponencial de media 50 y varianza 2500. Los costes de cada una de las delegaciones de la costa siguen una distribución continua de media 30 y varianza 36. Los costes de todas las delegaciones están medidos en miles de euros y siguen distribuciones independientes entre s´ı.

1. ¿Cu´al es la distribuci´on de los costes totales de esta empresa en miles de euros?

2. ¿Cuál es la probabilidad de que los costes totales de esta empresa superen los 8900 miles de euros? 3. Sabiendo que la función generatriz de la distribución de los costes de cada delegación del interior es

α(u) = ₀_,0₀₂,02₋_u parau < 0,02, demuestra que la media y varianza de esta distribuci´on son 50 y 2500, respectivamente.

(14)

(15)

eman ta zabal zazu

A

Universidad

del País Vasco

Euskal Herriko

Unibertsitatea

INSTRUCCIONES

(16)

Respuestas para el examen de tipo

1 Secci´

on 1. Preguntas de elecci´

on m´

ultiple

Las preguntas situadas antes de la pr´oxima l´ınea ho-rizontal se refieren al enunciado siguiente.

Sea X una v.a. con distribuci´on N(7,5;σ2 _{= 6) que}

mide, en millones de euros, los ingresos mensuales de una empresa.

2. ¿Cu´al es la funci´on generatriz de momentos de la variableX? (a) e7,5u+6u2 (b) e6u+7,5₂u2 (c) e7,5u+6u 2 2 (d) e7,5u2+62u

(e) Todo falso

3. La v.a.Y mide los costes mensuales en millones de euros y sigue una distribuci´onN(3;σ2_{= 1).}

La distribuci´on de la variable beneficios, si se supone que existe independencia entre los in-gresos y los costes, es:

(a) N(10,5 ; σ2= 7) (b) N(10,5 ; σ2= 5) (c) N(4,5 ; σ2= 7) (d) N(4,5 ; σ2_{= 5)}

(e) Todo falso

(a) 0,9066 (b) 0,1314 (c) 0,8264 (d) 0,1736

(e) Todo falso

El siguiente histograma muestra la distribuci´on de la distancia en yardas alcanzada por N = 20 jugadores profesionales de golf con un determinado tipo de palo.

(17)

(a) (235,240) (b) (245,250)

(c) Esta distribuci´on no tiene moda (d) Esta distribuci´on es trimodal

(e) Todo falso

(a) (250,255] (b) (255,260] (c) (260,265] (d) (265,270] (e) Todo falso

(a) 234,64 (b) 283,35 (c) 257,85 (d) 258,76 (e) Todo falso

Las preguntas situadas antes de la pr´oxima l´ınea ho-rizontal se refieren al enunciado que aparece en la siguiente cuesti´on.

X=

Y=

(a) Binaria de par´ametrop= 1 2

(b) Desconocida

(c) Binaria de par´ametrop=2₃ (d) Binaria de par´ametrop=1₄ (e) Todo falso

(b) Desconocida

(c) Binaria de par´ametrop=2 3

(d) Binaria de par´ametrop=1₄ (e) Todo falso

(b) Unicamente si las extracciones´ son con reemplazamiento

(e) Todo falso

Las dos preguntas siguientes se refieren al enunciado de la siguiente cuesti´on.

(18)

(a) 1012 (b) 1104

(c) 104

(d) 1

(e) Todo falso

(a) 1

(b) 0

(c) 102

(d) 2

(e) Todo falso

(a) 1

(b) 0,125

(c) 0

equitativo

(e) Todo falso

Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional cu-ya funci´on de densidad es: f(x, y) = 1₂xy3 _para

0≤x≤1 y para 0≤y≤2.

15. La funci´on de densidad marginal deX,fX(x), es:

(a) 8xpara 0≤x≤1 (b) xpara 0≤y≤2 (c) 32xpara 0≤y≤2 (d) 2x para 0≤x≤1

(e) Todo falso

16. El valor deP(X ≤0,75) es: (a) 0,7525

(b) 1

(19)

(b) 1

(c) 0,4375 (d) 0,5625

(e) Todo falso

19. Sea la v.a. Z = X−Y. El valor de E(Z) es, aproximadamente:

(a) −0,93 (b) −0,44 (c) 0,93 (d) 0,44 (e) Todo falso

20. Sea una v.a.X con la siguiente distribuci´on de probabilidad: X -2 0 2 3 P(x) 0,25 0,3 0,1 0,35 P(Z <3) siendoZ=|X|es: (a) 1 (b) 0,30 (c) 0,65 (d) 0,70 (e) Todo falso

Las preguntas situadas antes de la pr´oxima l´ınea ho-rizontal se refieren al enunciado de la siguiente cues-ti´on.

(a) aumentó más de un 12 % (b) diminuyó un 2,15 %

(c) aument´o menos de un 6 % (d) aument´o un 18,58 %

(e) Todo falso

(20)

f(x) =

1

9(6−2x) si x∈[0,3]

0 en otro caso

(e) Todo falso

(a) 150 m. y 150 m.2 (b) 150 m. y 75 m.2 (c) 150 m. y 225 m.2

(d) 150 m. y 183,71 m.2

(e) Todo falso

(a) 164 m. (b) 136 m.

(c) 133 m. (d) 167 m. (e) Todo falso

(e) Todo falso

(a) 0,216 (b) 0,5 (c) 0,96 (d) 0,75 (e) Todo falso

(a) 0,55 (b) 0,63 (c) 0,41 (d) 0,75 (e) Todo falso

(a) 0,91 (b) 0,51 (c) 0,78 (d) 0,43 (e) Todo falso

(21)

Sea X una v.a. discreta con funci´on de cuant´ıa P(X = x) = 1₃ para x = 0,1,2. Sea Y otra v.a. discreta e independiente deX con funci´on de cuant´ıa P(Y =y) = 1₃yparay= 1,2. 32. El valor deP(X = 3) es igual a: (a) 3₄ (b) 0 (c) 1₃ (d) 1

(e) Todo falso

(a) 1

(b) 2₉ (c) 4₉

(d) 0

(e) Todo falso

(a) 4,25 puntos (b) 3,75 puntos

(c) 3,00 puntos (d) 3,25 puntos (e) Todo falso SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS

Publ. 1 0 1 2 0 5 4 5 3 10 8 2 2 1 44

Priv. 0 1 2 1 3 4 3 10 9 3 10 7 1 2 56

(22)

Nota Valores t´ıpicos Publ. Priv.

Respuesta: Si denotamos por xpu a la media aritm´etica de la nota de Selectividad en los centros p´ublicos, tenemos que:

xpu = 1 44 14 X i=1 nixi= 1 44(4,2 + 4,8 + 2·5,2 +· · ·+ 7,2) = 6,1545

Por su parte, denotando comoM e(xpu) a la mediana de la nota de Selectividad en los centros p´ublicos, tenemos que: M e(xpu) =xi, tal que Ni−1< N 2 y Ni> N 2 Como N 2 = 22,N9= 21<22 yN10= 31>22, la mediana esM e(xpu) =x10= 6,4.

Comparando estos valores con los obtenidos en los centros privados,xpri= 6,17 yM e(xpri) = 6,20, res-pectivamente, podemos decir que, aunque la nota media es m´as alta en los centros privados-concertados (xpri= 6,17> xpu= 6,1545), en la red p´ublica el 50 % de los centros con mejores notas, sacan al menos un 6,4 =M e(xpu), mejor nota que la obtenida en los centros privados-concertados, en los que el 50 % de los centros con mejores notas obtienen al menos un 6,2 =M e(xpri).

Respuesta: Primero calculamos el momento ordinario de orden 2,a2(xpu): a2(xpu) = 1 44 14 X i=1 nix2i = 1 441681,84 = 38,22. La varianza de la variable Xpu, esSx2pu = a2(xpu)−x 2 pu = 38,22−6,15452 = 0,3421. La desviaci´on t´ıpica,Sxpu= 0,5849.

A la vista de los resultados en la tabla para los centros privados:Sxpri = 0,58 yxpri= 6,17.

Calculando los coeficientes de variaci´on: g0(xpu) = Sxpu xpu = 0,5849 6,1545 = 0,095. g0(xpri) = Sxpri xpri = 0,58 6,167 = 0,094.

La dispersi´on es muy similar y muy baja en ambos casos, luego las dos notas medias son muy repre-sentativas.

(23)

Notas de Selectividad. Bizkaia Junio 2012

Respuesta: En el caso de los centros p´ublicos y seg´un la tabla del enunciado los cuartiles sonq1= 5,8

yq3= 6,6 y la medianaM e(xpu) = 6,4 =q2.

El l´ımite admisible inferior LIpu =q1−1,5(q3−q1) = 5,8−1,5(6,6−5,8) = 4,6 y el superior LSpu= q3+ 1,5(q3−q1) = 6,6 + 1,5(6,6−5,8) = 7,8.

Los valores adyacentes sonb1(xpu) = 4,8 yb3(xpu) = 7,2.

A la vista de los valores obtenidos hay un outlier moderado por debajo, el valor 4.2 y ning´un outlier por arriba.

En el caso de los centros privados, y seg´un el diagrama de caja del enunciado, los valores adyacentes son aproximadamenteb1(xpri) = 5,2 yb3(xpri) = 7,2. Existen dos valores extremos (outliers) por debajo, 4.6 y 4.8. ● Pública 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 ● ● ● Privada−Concertada 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5

Comparando ambas representaciones gráficas vemos que es más asimétrica la distribución de las notas en los centros públicos. Esto se observa también en los coeficientes de asimetr´ıag1(Xpu)< g1(Xpri). En ambos casos hay una asimetr´ıa negativa o por la izquierda.

(24)

Respuesta: Integramos la funci´on de densidad en el recinto 0≤x≤1, 0≤y≤2, e igualamos dicha integral a 1. Es decir: Z 1 0 Z 2 0 kx(x+y)dydx = Z 1 0 kx2y+kxy 2 2 2 0 dx= Z 1 0 (2kx2+ 2kx)dx= = 2k1 3 + 2k 1 2 = 5k 3 = 1 de dondek=3₅.

2. Obt´en la funci´on de densidad marginal de X,fX(x).

Respuesta: Integramos la funci´on de densidad conjunta con respecto ayen el recinto 0≤y≤2. Es decir: fX(x) = Z 2 0 3 5x(x+y)dy = 3 5 x2y+xy 2 2 2 0 = 3 5 2x2+ 2x = 6 5 x2+x si 0≤x≤1. 3. Calcula el valor deE(XY). Respuesta: E(XY) = Z 1 0 Z 2 0 3 5x 2_y₍_x₊_y₎_dydx₌Z 2 0 Z 1 0 3 5x 2_y₍_x₊_y₎_dxdy ₌3 5 Z 2 0 yx 4 4 +y 2x3 3 1 0 dy= = 3 5 Z 2 0 ₁ 4y+ 1 3y 2 dy=3 5 ₁ 4 y2 2 + 1 3 y3 3 2 0 = 5·3 18 = 5 6

4. Sabiendo queE(X) = ₁₀7 yE(Y) = 6₅, calcula e interpreta el valor de Cov(X, Y). Respuesta: Sabemos queCov(X, Y) =E(XY)−E(X)E(Y), luegoCov(X, Y) = 5

6− 7 10 6 5 = −1 150.

La covarianza negativa indica una relaci´on lineal inversa entre las variablesX eY. 5. Calcula el valor deP(Y >1|X = 0,5).

Respuesta: Para calcular esta probabilidad condicionada tenemos que calcular primero la funci´on de densidad condicionadafY|X=0,5(y). fY|X=0,5(y) = f(0,5, y) fX(0,5) = 3 50,5(0,5 +y) 6 5(0,5 2_{+ 0}_,₅₎ = 0,3(0,5 +y) 0,9 = 1 3(0,5 +y) si 0≤y≤2. Entonces: P(Y >1|X = 0,5) = Z 2 1 fY|X=0,5(y)dy= Z 2 1 1 3(0,5 +y)dy= 1 3 (0,5y+y 2 2 ) 2 1 = 2 3.

(25)

Respuesta: Sea Xi, con i= 1, ..,100, la v.a. que mide el coste de la i-ésima delegación del interior. Sabemos queXi ∈exp(a), tal que E(Xi) = 50 yV ar(Xi) = 2500. Sea además Yj, conj= 1, ..,120, la v.a. que mide el coste de laj-ésima delegación de la costa, tal queE(Yj) = 30 yV ar(Yj) = 36. Entonces, los costes totales seránZ =X1+...+X100+Y1+...+Y120con

E(Z) =E(X1) +...+E(X100) +E(Y1) +...+E(Y120) = 8600 y

V ar(Z) =V ar(X1) +...+V ar(X100) +V ar(Y1) +...+V ar(Y120) = 254320.

Adem´as por el TCL,Z∈AN(8600, σ2_{= 254320).}

2. ¿Cu´al es la probabilidad de que los costes totales de esta empresa superen los 8900 miles de euros? Respuesta:

P(Z >8900) =P(T > 8900√ −8600

254320 ) =P(T > 300

504,30) = 1−Φ(0,59)≈1−0,72 = 0,28

3. Sabiendo que la función generatriz de la distribución de los costes de cada delegación del interior es α(u) = ₀_,0₀₂,02₋_u parau < 0,02, demuestra que la media y varianza de esta distribución son 50 y 2500, respectivamente.

Respuesta: Si la funci´on generatriz es α(u) = ₀_,0₀₂,02₋_u para u < 0,02, la funci´on cumulativa es µ(u) =lnα(u) =ln0,02−ln(0,02−u) siu <0,02. Sabemos queE(X) =µ0(0) yV ar(X) =µ00(0). Entonces, comoµ0(u) =₀_,₀₂1₋_u se deduce queE(X) =µ0(0) = ₀_,1₀₂ = 50.

Adem´as,µ00(u) = ₍₀_,₀₂1₋_u₎2 de dondeV ar(X) =µ00(0) =

1

(26)

(27)

eman ta zabal zazu

A

Universidad

del País Vasco

Euskal Herriko

Unibertsitatea

INSTRUCCIONES

(28)

Estad´ıstica y

An´

alisis de Datos

Julio 2013, Tipo: 2 Apellidos: Nombre: DNI: Grupo: Profesor :

Secci´

on 1. Preguntas de elecci´

on m´

ultiple

X=

Y=

(b) Desconocida

(c) Binaria de par´ametrop= 2 3

(d) Binaria de par´ametrop= 1₄ (e) Todo falso

(a) Binaria de par´ametrop= 1₂ (b) Desconocida

(c) Binaria de par´ametrop= 2₃ (d) Binaria de par´ametrop= 1 4

(e) Todo falso

(b) Unicamente si las extracciones son con´ reemplazamiento

(e) Todo falso

Sea X una v.a. con distribuci´onN(7,5;σ2 _{= 6) que}

mide, en millones de euros, los ingresos mensuales de una empresa.

(29)

5. ¿Cu´al es la funci´on generatriz de momentos de la variableX? (a) e7,5u+6u2 (b) e6u+7,5u 2 2 (c) e7,5u+6u2 2 (d) e7,5u2+6u 2

(e) Todo falso

6. La v.a.Y mide los costes mensuales en millones de euros y sigue una distribuci´onN(3;σ2_{= 1).}

La distribuci´on de la variable beneficios, si se supone que existe independencia entre los in-gresos y los costes, es:

(a) N(10,5 ; σ2_{= 7)}

(b) N(10,5 ; σ2_{= 5)}

(c) N(4,5 ; σ2_{= 7)}

(d) N(4,5 ; σ2_{= 5)}

(e) Todo falso

(a) 0,9066 (b) 0,1314 (c) 0,8264 (d) 0,1736 (e) Todo falso

f(x) =

1

9(6−2x) si x∈[0,3]

0 en otro caso

(e) Todo falso

(a) 150 m. y 150 m.2 (b) 150 m. y 75 m.2 (c) 150 m. y 225 m.2

(d) 150 m. y 183,71 m.2

(e) Todo falso

(a) 164 m. (b) 136 m. (c) 133 m. (d) 167 m. (e) Todo falso

(30)

(a) 4,25 puntos (b) 3,75 puntos (c) 3,00 puntos (d) 3,25 puntos (e) Todo falso

Sea X una v.a. discreta con funci´on de cuant´ıa P(X = x) = 1

3 para x = 0,1,2. Sea Y otra v.a.

discreta e independiente deX con funci´on de cuant´ıa P(Y =y) = 1₃yparay= 1,2. 13. El valor deP(X = 3) es igual a: (a) 3 4 (b) 0 (c) 1₃ (d) 1

(e) Todo falso

(a) 1

(b) 2₉ (c) 4₉

(d) 0

(e) Todo falso

(31)

(a) (235,240) (b) (245,250)

(c) Esta distribuci´on no tiene moda (d) Esta distribuci´on es trimodal (e) Todo falso

(a) (250,255] (b) (255,260] (c) (260,265] (d) (265,270] (e) Todo falso

(a) 234,64 (b) 283,35 (c) 257,85 (d) 258,76 (e) Todo falso

Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional cu-ya funci´on de densidad es: f(x, y) = 1₂xy3 para 0≤x≤1 y para 0≤y≤2.

20. La funci´on de densidad marginal de X, fX(x), es:

(a) 8xpara 0≤x≤1 (b) xpara 0≤y≤2 (c) 32xpara 0≤y≤2 (d) 2xpara 0≤x≤1 (e) Todo falso

21. El valor deP(X ≤0,75) es: (a) 0,7525

(b) 1

(c) 0,5625 (d) 0,2813 (e) Todo falso

22. ∀x, yse cumple:

(b) 1

(c) 0,4375 (d) 0,5625 (e) Todo falso

24. Sea la v.a. Z = X −Y. El valor de E(Z) es, aproximadamente:

(a) −0,93 (b) −0,44 (c) 0,93 (d) 0,44 (e) Todo falso

(32)

25. La siguiente tabla refleja el salario m´ınimo interprofesional (SMI) medido en euros y el ´ındice de precios de consumo (IPC) en Espa˜na para el periodo 2006-2011. A˜no SM I IP C 2006 540,90 100 2007 570,60 102,79 2008 600,00 106,98 2009 624,00 106,67 2010 633,30 108,59 2011 641,40 112,06

(a) aumentó más de un 12 % (b) diminuyó un 2,15 % (c) aumentó menos de un 6 % (d) aumentó un 18,58 % (e) Todo falso

(a) 1

(b) 0,125

(c) 0

equitativo

(e) Todo falso

30. Sea una v.a.X con la siguiente distribuci´on de probabilidad: X -2 0 2 3 P(x) 0,25 0,3 0,1 0,35 P(Z <3) siendoZ =|X|es: (a) 1 (b) 0,30 (c) 0,65 (d) 0,70 (e) Todo falso

(33)

(a) 1012 (b) 1104 (c) 104

(d) 1

(e) Todo falso

(a) 1

(b) 0

(c) 102

(d) 2

(e) Todo falso

Una empresa tiene 100 empleados, de los cuales 60 trabajan en el departamento de producci´on, 36 en el departamento de ventas y 4 son administrativos. El 50 % de los trabajadores del departamento de pro-ducci´on son mujeres, el 75 % de los trabajadores del

departamento de ventas son mujeres y de los 4 admi-nistrativos, 2 son hombres.

(a) 0,216 (b) 0,5 (c) 0,96 (d) 0,75 (e) Todo falso

(a) 0,55 (b) 0,63 (c) 0,41 (d) 0,75 (e) Todo falso

(a) 0,91 (b) 0,51 (c) 0,78 (d) 0,43 (e) Todo falso

(34)

(35)

PROBLEMAS

Publ. 1 0 1 2 0 5 4 5 3 10 8 2 2 1 44

Priv. 0 1 2 1 3 4 3 10 9 3 10 7 1 2 56

(36)

(37)

1. Comprueba que el valor de la constante kes 3 5.

2. Obt´en la funci´on de densidad marginal de X,fX(x). 3. Calcula el valor deE(XY).

4. Sabiendo queE(X) = ₁₀7 yE(Y) = 6₅, calcula e interpreta el valor de Cov(X, Y). 5. Calcula el valor deP(Y >1|X = 0,5).

(38)

(39)

2. ¿Cuál es la probabilidad de que los costes totales de esta empresa superen los 8900 miles de euros? 3. Sabiendo que la función generatriz de la distribución de los costes de cada delegación del interior es

α(u) = ₀_,0₀₂,02₋_u parau < 0,02, demuestra que la media y varianza de esta distribuci´on son 50 y 2500, respectivamente.

(40)

(41)

eman ta zabal zazu

A

Universidad

del País Vasco

Euskal Herriko

Unibertsitatea

INSTRUCCIONES

(42)

Respuestas para el examen de tipo

2 Secci´

on 1. Preguntas de elecci´

on m´

ultiple

X=

Y=

(a) Binaria de par´ametro p=1 2

(b) Desconocida

(c) Binaria de par´ametrop= 2₃ (d) Binaria de par´ametrop= 1₄ (e) Todo falso

(a) Binaria de par´ametro p=1₂ (b) Desconocida

(c) Binaria de par´ametrop= 2₃ (d) Binaria de par´ametrop= 1 4

(e) Todo falso

(b) Unicamente si las extracciones´ son con reemplazamiento

(e) Todo falso

Sea X una v.a. con distribuci´onN(7,5;σ2 = 6) que mide, en millones de euros, los ingresos mensuales de una empresa.

5. ¿Cu´al es la funci´on generatriz de momentos de la variableX? (a) e7,5u+6u2 (b) e6u+7,5₂u2 (c) e7,5u+6u2 2 (d) e7,5u2₊6u 2

(43)

6. La v.a.Y mide los costes mensuales en millones de euros y sigue una distribuci´onN(3;σ2= 1). La distribuci´on de la variable beneficios, si se supone que existe independencia entre los in-gresos y los costes, es:

(a) N(10,5 ; σ2_{= 7)}

(b) N(10,5 ; σ2_{= 5)}

(c) N(4,5 ; σ2_{= 7)}

(d) N(4,5 ; σ2_{= 5)}

(e) Todo falso

(a) 0,9066 (b) 0,1314 (c) 0,8264 (d) 0,1736

(e) Todo falso

f(x) =

1

9(6−2x) si x∈[0,3]

0 en otro caso

Sabiendo que la media deX es 1, el valor de la varianza es: (a) 3₂ (b) 1 (c) 1₂ (d) q 1 2

(e) Todo falso

(a) 150 m. y 150 m.2

(b) 150 m. y 75m.2

(c) 150 m. y 225 m.2

(d) 150 m. y 183,71 m.2

(e) Todo falso

(a) 164 m. (b) 136 m.

(c) 133 m. (d) 167 m. (e) Todo falso

(a) 4,25 puntos (b) 3,75 puntos

(c) 3,00 puntos (d) 3,25 puntos (e) Todo falso

(44)

Sea X una v.a. discreta con funci´on de cuant´ıa P(X = x) = 1₃ para x = 0,1,2. Sea Y otra v.a. discreta e independiente deX con funci´on de cuant´ıa P(Y =y) = 1₃yparay= 1,2. 13. El valor deP(X = 3) es igual a: (a) 3₄ (b) 0 (c) 1₃ (d) 1

(e) Todo falso

(a) 1

(b) 2₉ (c) 4₉

(d) 0

(e) Todo falso

15. Si definimos la v.aZ=X+Y, la probabilidad de queZ tome el valor 2 es igual a:

(a) 2₃ (b) 1₉ (c) 1 (d) 1₃ (e) 0 (f) Todo falso

(e) Todo falso

(a) (235,240) (b) (245,250)

(c) Esta distribuci´on no tiene moda (d) Esta distribuci´on es trimodal

(e) Todo falso

(a) (250,255] (b) (255,260] (c) (260,265] (d) (265,270] (e) Todo falso

(45)

(a) 234,64 (b) 283,35 (c) 257,85 (d) 258,76 (e) Todo falso

Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional cu-ya funci´on de densidad es: f(x, y) = 1₂xy3 _para

0≤x≤1 y para 0≤y≤2.

20. La funci´on de densidad marginal de X, fX(x), es:

(a) 8xpara 0≤x≤1 (b) xpara 0≤y≤2 (c) 32xpara 0≤y≤2 (d) 2xpara 0≤x≤1

(e) Todo falso

21. El valor deP(X ≤0,75) es: (a) 0,7525

(b) 1

(c) 0,4375 (d) 0,5625

(e) Todo falso

24. Sea la v.a. Z = X −Y. El valor de E(Z) es, aproximadamente:

(a) −0,93 (b) −0,44 (c) 0,93 (d) 0,44 (e) Todo falso

(46)

(a) aumentó más de un 12 % (b) diminuyó un 2,15 %

(c) aument´o menos de un 6 % (d) aument´o un 18,58 %

(e) Todo falso

(a) 1

(b) 0,125

(c) 0

equitativo

(e) Todo falso

30. Sea una v.a.X con la siguiente distribuci´on de probabilidad: X -2 0 2 3 P(x) 0,25 0,3 0,1 0,35 P(Z <3) siendoZ =|X|es: (a) 1 (b) 0,30 (c) 0,65 (d) 0,70 (e) Todo falso

31. Sean dos variables X e Y tipificadas e inde-pendientes entre s´ı. La varianza de una tercera variableZ= 2X+ 10Y + 1000 es:

(a) 1012 (b) 1104

(c) 104

(d) 1

(e) Todo falso

(a) 1

(b) 0

(c) 102

(d) 2

(e) Todo falso

(47)

(a) 0,216 (b) 0,5 (c) 0,96 (d) 0,75 (e) Todo falso

(a) 0,55 (b) 0,63 (c) 0,41 (d) 0,75 (e) Todo falso

(a) 0,91 (b) 0,51 (c) 0,78 (d) 0,43 (e) Todo falso

SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS

Publ. 1 0 1 2 0 5 4 5 3 10 8 2 2 1 44

Priv. 0 1 2 1 3 4 3 10 9 3 10 7 1 2 56

1. En un art´ıculo period´ıstico se sostiene que los alumnos de los centros privados-concertados realizaron mejor la prueba de Selectividad que los alumnos de la red p´ublica. Calcula la media aritm´etica y la

(48)

mediana para la nota de Selectividad en los centros p´ublicos. A partir de los valores obtenidos, comenta la afirmaci´on anterior.

Respuesta: Si denotamos por xpu a la media aritm´etica de la nota de Selectividad en los centros p´ublicos, tenemos que:

xpu = 1 44 14 X i=1 nixi= 1 44(4,2 + 4,8 + 2·5,2 +· · ·+ 7,2) = 6,1545

Por su parte, denotando comoM e(xpu) a la mediana de la nota de Selectividad en los centros p´ublicos, tenemos que: M e(xpu) =xi, tal que Ni−1< N 2 y Ni> N 2 Como N₂ = 22,N9= 21<22 yN10= 31>22, la mediana esM e(xpu) =x10= 6,4.

Comparando estos valores con los obtenidos en los centros privados,xpri= 6,17 yM e(xpri) = 6,20, res-pectivamente, podemos decir que, aunque la nota media es m´as alta en los centros privados-concertados (xpri= 6,17> xpu= 6,1545), en la red p´ublica el 50 % de los centros con mejores notas, sacan al menos un 6,4 =M e(xpu), mejor nota que la obtenida en los centros privados-concertados, en los que el 50 % de los centros con mejores notas obtienen al menos un 6,2 =M e(xpri).

Respuesta: Primero calculamos el momento ordinario de orden 2,a2(xpu): a2(xpu) = 1 44 14 X i=1 nix2i = 1 441681,84 = 38,22. La varianza de la variable Xpu, esSx2pu = a2(xpu)−x 2 pu = 38,22−6,15452 = 0,3421. La desviaci´on t´ıpica,Sxpu= 0,5849.

A la vista de los resultados en la tabla para los centros privados:Sxpri = 0,58 yxpri= 6,17.

Calculando los coeficientes de variaci´on: g0(xpu) = Sxpu xpu = 0,5849 6,1545 = 0,095. g0(xpri) = Sxpri xpri = 0,58 6,167 = 0,094.

La dispersi´on es muy similar y muy baja en ambos casos, luego las dos notas medias son muy repre-sentativas.

(49)

Respuesta: En el caso de los centros p´ublicos y seg´un la tabla del enunciado los cuartiles sonq1= 5,8

yq3= 6,6 y la medianaM e(xpu) = 6,4 =q2.

El l´ımite admisible inferior LIpu =q1−1,5(q3−q1) = 5,8−1,5(6,6−5,8) = 4,6 y el superior LSpu= q3+ 1,5(q3−q1) = 6,6 + 1,5(6,6−5,8) = 7,8.

Los valores adyacentes sonb1(xpu) = 4,8 yb3(xpu) = 7,2.

A la vista de los valores obtenidos hay un outlier moderado por debajo, el valor 4.2 y ning´un outlier por arriba.

En el caso de los centros privados, y seg´un el diagrama de caja del enunciado, los valores adyacentes son aproximadamenteb1(xpri) = 5,2 yb3(xpri) = 7,2. Existen dos valores extremos (outliers) por debajo, 4.6 y 4.8. ● Pública 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 ● ● ● Privada−Concertada 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5

Comparando ambas representaciones gráficas vemos que es más asimétrica la distribución de las notas en los centros públicos. Esto se observa también en los coeficientes de asimetr´ıag1(Xpu)< g1(Xpri). En ambos casos hay una asimetr´ıa negativa o por la izquierda.

1. Comprueba que el valor de la constante kes 3₅.

Respuesta: Integramos la funci´on de densidad en el recinto 0≤x≤1, 0≤y≤2, e igualamos dicha integral a 1. Es decir: Z 1 0 Z 2 0 kx(x+y)dydx = Z 1 0 kx2y+kxy 2 2 2 0 dx= Z 1 0 (2kx2+ 2kx)dx= = 2k1 3 + 2k 1 2 = 5k 3 = 1