Probabilidades Ejercicios Resueltos

1

PROGRAMA DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL Y SISTRAMS ESTADISTICA Y PROBABILIDAD

PROBABILIDADES

LINK: EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE PROBABILIDADES CONTENIDO:

 GENERALIDADES

 DEFINICIONES Y CONCEPTOS  CLASES DE PROBABILIDADES

 ESPACIO MUESTRAL. DIAGRAMA DEL ÁRBOL. ASIGNACIONES

 ALGUNAS TECNICAS DE CONTEO: PERMUTACIONES Y COMBINACIONES.  REGLAS DE LAS PROBABILIDADES: CLASES DE SUCESOS

 PROBABILIDAD CONDICIONAL  TEOREMA DE BAYES

 MISCELANEA DE EJERCICIOS.

COMPETENCIAS:

EL ESTUDIANTE AL FINALIZAR ESTA UNIDAD ESTARÁ EN CAPACIDAD DE:

 COMPRENDER Y MANEJAR LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD.

 CALCULAR PROBABILIDADES APLICANDO LAS REGLAS DE ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN.

 DETERMINAR EL NÚMERO POSIBLES DE PERMUTACIONES Y COMBINACIONES  UTILIZAR EL TEOREMA DE BAYES PARA CALCULAR PROBABILIDADES QUE

INCLUYA PROBABILIDADES A PRIORI Y A POSTERIORI.

 ENTERNDER LA IMPORTANCIA QUE TIENE EN LA INFERENCIA, PARA REALIZAR ASEVERACIONES SOBRE UN ENTORNO INCIERTO O DE INCERTIDUMBRE.

CONCEPTO: EL CONCEPTO DE PROBABILIDADES PUEDE SER INTERPRETADO COMO ALGO INDEFINIBLE, PERO UTILIZADO PARA EXPRESAR, DE ALGÚN MODO, UN GRADO DE CREENCIA QUE UNO TIENE DE LA OCURRENCIA DE UN HECHO, SUCESO O FENÓMENO; NOS REFERIMOS A ALGO QUE PUEDE SUCEDER CON BASE EN LA EXPERIENCIA QUE SE TENGA.

EJEMPLOS: PRONOSTICOS O ESTADO DEL TIEMPO, LA POSIBILIDAD DE GANAR EL CAMPEONATO POR PARTE DE UN EQUIPO, GANARSE UN QUINTO O EL CHANCE DE LA LOTERIA, LAS APUESTAS EN LAS CARRERAS EN CABALLOS, ETC.

HISTORIA: EL ORIGEN DE LAS PROBABILIDADES SE REMONTA AL SIGLO XVII, CUANDO ANTOINE GOMBAULD MÁS CONOCIDO COMO EL CABALLERO DE MERÉ, JUGADOR PROFESIONAL EN LOS JUEGOS DE AZAR (DADOS). AL DISMINUIR SUS GANANCIA BUSCO AYUDA DE BLAS PASCAL Y A PIERRE DE FERMAT, INICIANDOSE LA

2

PROBABILIDAD, POCO A POCO UNA CIENCIA BIEN FUNDAMENTADAS. TAMBIEN CARDANO FUE UN JUGADOR EMPEDERNIDO LAS LOTERIAS.

FORMULAS DE PROBABILIDADES

EN LA ACTUALIDAD LAS PROBABILIDADES GUARDAN UNA ESTRECHA RELACIÓN CON LA TEORIA DE CONJUNTO, DE GRAN IMPORTANCIA EN EL CAMPO DE LA INFERENCIA ESTADISTICA DEBIDO A LA INCERTIDUMBRE QUE SIEMPRE SE TIENE EN LA TOMA DE DECISIONES.

POSIBILIDAD: COMPARA EL NÚMERO DE RESULTADOS FAVORABLES CON LOS DESFAVORABLES = ( ) .

PROBABILIDAD: RELACION ENTRE LO FAVORABLE Y EL TOTAL DE CASOS POSIBLE ( ) .

FÓRMULA

“TODOS EN ESENCIA SOMOS JUGADORES. EN LOS NEGOCIOS, EN NUESTRA VIDA Y SIEMPRE QUE TOMAMOS UNA DECISIÓN, SIEMPRE VA A SER INCERTIDUMBRE POR LA DIFICULTAD DE PREDECIR CON EXACTITUD. GANARE EL PARCIAL? EL SEMESTRE? ME GANARE EL BALOTO, SI LO COMPRO? SI LE HABLO A ESA PERSONA ME RESPONDERA? TODAS ESAS PREGUNTAS Y MUCHAS MÁS, TENDRÍAN EN NUESTRA MENTE UNA POSIBLE RESPUESTA YA QUE NOS DEJAMOS DE GUIR POR LA EXPERIENCIA Y LA INTUICIÓN”.

POSIBLES DEFINICIONES

METODO AXIOMÁTICO: EL CUAL CONCIBE LA PROBABILIDAD DE OCURRENCIA DE

UN SUCESO, COMO UN NÚMERO COMPRENDIDO ENTRE 0 Y 1. ESTE CONCEPTO TIENE QUE VER DIRECTAMENTE CON LA NOCIÓN DE FRECUENCIA RELATIVA, DONDE 0 < hi < 1.

EJEMPLO:

FRECUENCIA ABSOLUTA: CARA 56 VECES SELLO 44 VECES FRECUENCIA RELATIVA : 56/100 44/100 PROBABILDAD P= 56% (ÉXITO) q = 44%(FRACASO).

EXPERIMENTO: CONJUNTO DE PRUEBAS REALIZADAS EN LAS MISMAS CONDICIONES. LA RESPUESTA DE UNA PRUEBA SE LLAMA RESULTADO, PUNTO MUESTRAL O SUCESO. EL CONJUNTO DE TODOS LOS RESULTADOS POSIBLES CONSTITUYE UN ESPACIO MUESTRAL. UN EVENTO ES EL CONJUNTO DE UNO O MÁS PUNTOS MUESTRALES

3

CIERTO: CUANDO SON FAVORABLES TODOS LOS CASO POSIBLES, COMO POR EJEMPLO: COMPRAR TODOS LOS BILLETES DE LOTERIA Y GANARSELA.

VEROSIMIL: CUANDO LA PROBABILIDAD ES MENOR QUE LA UNIDAD Y MAYOR QUE O,5. INVEROSIMIL: CUANDO LA PROBABILIDAD ES MAYOR QUE CERO Y MENOR QUE O,5. DUDOSO: PROBABILIDAD IGUAL A 0,5, YA QUE HAY VENTAJAS Y DESVENTAJAS EN LAS MISMAS PROPORCIONES.

IMPOSIBLE: ES CUANDO NO EXISTE POSIBILIDAD ALGUNA DE SALIR CON ÉXITO, LA PROBABILIDAD ES CERO.

MÉTODO EMPÍRICO: CONSIDERA LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO, COMO AQUEL

NÚMERO AL CUAL APRÓXIMA CADA VEZ MÁS A LA FRECUENCIA RELATIVA DE LA OCURRENCIA DE UN SUCESO, CUANDO LAS VECES QUE SE REPITE EL EXPERIMENTO QUE ORIGINA ESE SUCESO ES LO BASTANTE GRANDE. ESTE CONCEPTO TIENE ALGO QUE VER CON EL EXPERIMENTO DE QUETELET, EN DONDE LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO TIENDE A ESTABILIZARSE EN UN PUNTO, CUANDO EL NÚMERO DE EXPERIMENTOS SE VA HACIENDO CADA VEZ MÁS GRANDE (BUSCAR BIOGRAFÍA).

PROBABILIDAD EMPERÍCA:

, SE DETERMINA MEDIANTE UNA

SERIE DE EXPERIMENTOS, ES EL CASO, DE DETERMINAR LA PROBABILIDAD DE ÉXITO DE UNA OPERACIÓN PRACTICADA POR UN DETERMINADO MÉDICO.

SI LANZAMOS 10 VECES UNA MONEDA, ES POSIBLE QUE 8 SEAN CARAS Y 2 SEAN SELLOS, PERO AQUÍ HABLAMOS DE UNA MONEDA TEÓRICA, PERFECTAMENTE EQUILIBRADA CAÉRA EL MISMO NÚMERO DE CARAS Y SELLOS, EN NUESTRO CASO 5 SON CARAS Y 5 SON SELLOS. EN UN DADO TEÓRICO, SE TENDRÁ QUE LA PROBABILIDAD DE APARICIÓN DE CADA CARA SERÁ 1/6. LA PROBABILIDAD TEÓRICA SE APLICA A ALGO QUE NO EXISTE EN LA PRACTICA, PUES EN LA VIDA DIARIA VEREMOS QUE CUANTO MAYOR SEA EL NÚMERO DE LANZAMIENTO DE LA MONEDA MÁS NOS ACERCAREMOS AL IDEAL. EL NÚMERO DE OBSERVACIONES DEBE SER LO SUFICIENTEMENTE GRANDE, SI SE QUIERE UNA INFERENCIA VÁLIDA PARA ELLA.

MÉTODO CLASICO:

CLASES DE PROBABILIDADES:

A PRIORI: ES AQUELLA QUE SE PUEDE DETERMINAR DE ANTEMANO, SIN NECESIDAD DE REALIZAR EL EXPERIMENTO. EJEMPLO: LANZAMIENTO DE UNA MONEDA.

A POSTERIORI: ES AQUELLA QUE SE PUEDE DETERMINAR DESPUES DEL EXPERIMENTO. SUBJETIVA: CORRESPONDE A UNA EVALUACIÓN MUY PERSONAL DE LA OCURRENCIA DEL SUCESO. EJEMPLO: PERDERA LA SELECCIÓN DE FUTBOL DE LA UNIVERSIDAD EN

4

EL PRÓXIMO PARTIDO?, SARARÉ MÁS DE 4.0 EN EL PROXIMO PARCIAL DE ESTADISTICA?

OBJETIVA: SON LAS OBTENIDAS A TRAVÉS DEM MÉTODO EMPÍRICO Y EL CLÁSICO, SE TOMA DE LA EXPERIENCIA, ES DECIR, DE LAS REPETICIONES DEL HECHO.

EL CONCEPTO DE PROBABILIDAD CON BASE EN LAS FRECUENCIAS RELATIVAS, ES DE CARÁCTER PROBABIISTICO, QUE CONSISTE EN UNA OBSERVACIÓN QUE NOS DETERMINA EN QUE MOMENTO OCURRIERON EVENTOS SEMEJANTES EN EL PASADO, QUE PERMITAN ESTABLECER LA PROBABILIDAD DE QUE VUELVA A OCURRIR EN EL FUTURO.

EJEMPLOS DE PROBABILIDADES: ELABORCIÓN DEL ESPACIO MUESTRAL:

EXPERIMENTO 1: ELEGIR UN ALUMNO DEL CURSO DE ESTADISTICA EN LA FACULTAD DE INGENIERÍAS:

SOLUCIÓN: CONJUNTO S = U = {ALCINA, ALMENDRALES, BALLESTEROS, BETANCOUR… VILLEGAS}

SUCESO O PUNTO MUESTRAL: ALCINA, ALMENDRALES, BALLESTEROS,..ENTRE OTROS. EVENTO: SEAN LOS ESTUDIANTES CUYOS APELLIDOS EMPIEZAN CON A: A = {ALCINA, ALMENDRALES…}

LANZAMIENTO DE MONEDAS:

FORMULA 2^n, DONDE 2 ES EL NÚMERO DE SUCESOS Y n ES EL TOTAL DE LOS CASOS POSIBLES:

EXPERIMENTO UNO: LANZAMIENTO DE UNA MONEDA TEÓRICA. FÓRMULA: 2^1 =2 SUCESOS.

SOLUCIÓN U = {C,S). LA PROBABILIDAD ES DE ½ A CADA UNO.

EXPERIMENTO DOS: LANZAMIENTO DE DOS MONEDAS O LANZAMIENTO DE UNA MONEDA DOS VECES, ASIGNAR LA PROBABILIDAD DE CADA SUCESO. FORMULA: 2^2 = 4 SOLUCIÓN : U = { (CC, CS, SC, SS}. CADA PROBABILIDAD ES DE 1/4

EXPERIMENTO TRES: LANZAMIENTO DE TRES MONEDAS. CADA PROBABILIDAD ES DE 1/8 = 0,125. FÓRMULA: 2^3 =8

SOLUCIÓN: U = {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS}. EXPERIMENTO CUATRO. - LANZAMIENTO DE 4 MONEDAS:

5

2^4 = 16

SOLUCIÓN = {CCCC, CCCS, CCSS, CSSS, CCSC, CSCS, SCSS, CSCC, CSSC, SSCS, SCCC, SCSC, SSSC, SSCC, SCCS}.

CADA SUCESO TIENE UNA PROBABILIDAD DE 1/16.

EJEMPLO: LA PROBABILIDAD DE OBTENER EXACTAMENTE TRES CARAS ES DEL 4/16. LA AUSENCIA DE CARAS EN EL JUEGO ES DE 1/16 Y EL ÉXITO DE DTENER TODAS CARAS ES DEL 1/16.

LANZAMIENTO DE DADOS: 6^n, DONDE n ES EL NÚMERO DE SUCESO Y n ES EL TOTAL DE CASOS POSIBLES.

EXPERIMENTO UNO: LANZAMIENTO DE UN DADO: 6^1 = 6. SOLUCIÓN: S = {1,2,3,4,5,6}

EXPERIMENTO DOS: LANZAMIENTO DE UN DADO DOS VECES O LANZAMIENTO DE DOS DADOS:

6^2 = 36.

S= {1 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6 CADA SUCESO TIENE P(A) = 1/36. 2 1, 2 2, 2 3, 2 4, 2 5, 2 6

3 1, 3 2, 3 3, 3 4, 3 5, 3 6 4 1, 4 2, 4 3, 4 4, 4 5, 4,6 5 1, 5 2, 5 3, 5 4, 5 6, 5 6}

EXPERIMENTO TRES: LANZAMIENTO DE TRES DADOS: 6^3 = 216, CADA SUCESO TENDRÍA P(A) =1/216.

JUEGO DE BARAJAS CON N CARTAS:

EXPERIMENTO UNO: EXTRAER UNA CARTA DE UNA BARAJA DE 40 CARTAS: SOLUCIÓN:

COPAS … AS 2 3 4 5 6 7 ZOTA CABALLO REY OROS … AS 2 3 4 5 6 7 ZOTA CABALLO REY ESPADAS… AS 2 3 4 5 6 7 ZOTA CABALLO REY BASTOS … AS 2 3 4 5 6 7 ZOTA CABALLO REY

6

CADA SUCESO TIEUNA PROBABILIDAD DE 1/40, EN CADA PINTA ES DE 1/10, Y CADA UNO DE LOS ELEMENTOS EN CADA PINTAS ES DE ¼.

EXPERIMENTO DOS: EXTRAER UNA CARTA DE UNA BARAJA DE 52 CARTAS: SOLUCIÓN:

DIAMANTES … AS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K CORAZÓN … AS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K TRÉBOL … AS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K PICAS … AS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K

CADA SUCESO TIENE UNA PROBABILIDAD DE 1/52, EN CADA PINTA ES DE 1/13, Y DE CADA UNO DE LOS ELEMENTOS EN CADA PINTAS ES DE ¼.

DIAGRAMA DEL ÁRBOL:

UNA DE LAS MANERAS QUE PERMITE DETERMINAR DIVERSOS EVENTOS POSIBLES, AL CONTAR LOS PUNTOS O SUCESO MUESTRALES.

EJEMPLO 1 : LANZAMIENTO DE TRES MONEDAS:A,B Y C SOLUCIÓN: C) 1/2 c B) s 1/2 c A) 1/2 c s s ½ c 1/2 c c 1/2 s 1/2 1/2 s c c s

7

CCC: ½ x ½ x ½ = 1/8 SCC: ½ x ½ x ½ = 1/8 CCS: ½ x ½ x ½ = 1/8 SCS: ½ x ½ x ½ = 1/8 CSC: ½ x ½ x ½ = 1/8 SSC: ½ x ½ x ½ = 1/8 CSS: ½ x ½ x ½ = 1/8 SSS: ½ x ½ x ½ = 1/8.

EJERCICIO PROPUESTO: HALLE EL DIAGRAMA DEL ÁRBOL PARA 4 MONEDAS.

EJEMPLO 2 : LANZAMIENTO DE TRES DADOS: A,B Y C. SOLUCIÓN: B) C) A) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

8

EJEMPLOS:

1.- DE UNA URNA QUE CONTIENE 3 BOLAS ROJAS Y 5 AZULES SE EXTRAEN SIMULTANEAMENTE DOS BOLAS, HALLAR LA PROBABILIDAD DE QUE LAS DOS SEAN ROJAS.

2.- EN CIERTO GRUPO DE 400 EMPLEADOS SE REALIZÓ UNA ENCUESTA ACERCA DE LA SATISFACIÓN EN EL TRABAJO Y EL PROGRESO EN SU ORGANIZACIÓN FAMILIAR.

Progreso familiar Sin progreso familiar total Satisfecho en el trabajo 194 162 356 No satisfecho en el trabajo 14 30 44 Total 208 192 400

HALLAR LA PROBABILIDAD DE QUE:

A) UN EMPLEADO ESTE SATISFECHO EN EL TRABAJO O NO HAYA PROGRESADO EN SU VIDA FAMILIAR.

B) UN EMPLEADO NO ESTE SATISFECHO Y NO HAYA PROGRESADO EN SU VIDA FAMILIAR.

C) UN EMPLEADO ESTE SATISFECHO EN EL TRABAJO DADO QUE HA PROGRESADO EN LA FAMILIA

D) UN EMPLEADO NO SATISFECHO EN EL TRABAJO DADO QUE HA PROGRESADO EN LA FAMILIA.

3.- EN UN RECUENTO DE 500 ESTUDIANTES QUE CURSAN ALGEBRA, FISICA Y ESTADISTICA REVELÓ LOS SIGUIENTES NÚMEROS DE ESTUDIANTES MATRICULADOS. ALGEBRA 320, FISICA 180, ESTADISTICA 290, ALGEBRA Y FISICA 93, ALGEBRA Y ESTADISTICA 217, FÍSICA Y ESTADISTICA 63, LAS TRES ASIGNATURAS 53. SE PIDE ENTONCES DETERMINAR QUE UN ESTUDIANTE SELECCIONADO AL AZAR ESTE MATRICULADO EN:

A) ESTADISTICA, PERO NO EN FÍSICA.

B) MATEMATICA, PERO NO ESTADISTICA NI FISICA. C) EXCLUSIVAMENTE EN UNA ASIGNATURA.

D) NI EN ESTADISTICA, NI EN MATEMATICA, NI FISICA.

4.- AL LANZAR UN PAR DE DADOS CORRECTOS. CÚAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE: A) AMBOS DADOS CAIGAN EN EL MISMO NÚMERO?

9

C) LA SUMA DE SUS CARAS SEAN UN # IMPAR?

D) EN UNO DE ELLOS APAREZCA EL 3 Y EN EL OTRO 6? E) EN EL PRIMERO APAREZCA EL 3 Y EN EL SEGUNDO EL 6.

5.- CÚAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE SEAN VARONES, LOS TRES HIJOS DE UNA FAMILIA?

ESPERANZA MATEMÁTICA

CONSISTE EN EL NÚMERO DE SUCESOS EN N ENSAYOS QUE PREPRESENTA LA PROBABILIDAD DE ÉXITO DE UN SUCESO EN UN ENSAYO.

FÓRMULA : E = N x p

EJEMPLO: EN EL LANZAMIENTO DE 900 VECES DE DOS DADOS. CÚAL ES LA ESPERANZA DE QUE LA SUMA DE SUS CARAS SEA UN VALOR MENOR A 6?

SOLUCIÓN: EN UN SOLO ENSAYO SE TIENE p = m/n, m = 10 Y n = 36., N = 900. (1,1) (1,2) (2,1) N (2,2) (2,3) (3,2) (1,3) (3,1), (4,1) (1,4). E =900X 10/36 = 250

COMO SE LANZA 900 VECES ESOS DOS DADOS, SE OBTIENE QUE: E = N x p = 900x(10/36) = 250.

250 ES LA ESPERANZA DE QUE EN 250 DE LOS 900 LANZAMIENTOS, LA SUMA DE SUS CARAS SEA MENOR A 6.

EJEMPLOS:

1.- EN UNA URNA HAY 50 SOBRE, DE LOS CUALES, 10 CONTIENE $5000, 10 CONTIENE $1000 CADA UNO Y EL RESTO ESTA VACÍO. CÚAL ES LA ESPERANZA AL SACAR UN SOLO SOBRE?

2.- ASEGURO MI AUTOMÓVIL CONTRA EL RIESGO DE ROBO EN LA SUMA DE $850000. SI LA PROBABILIDAD DE QUE SEA ROBADO EN EL CURSO DE UN AÑO ES DE 0,04. CÚAL ES EL PRECIO JUSTO DE LA PRIMA AÑUAL QUE DEBO PAGAR.

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN:

EL DIAGRAMA DEL ÁRBOL AYUDA A ESTABLECER LOS PUNTOS MUESTRALES, QUE TAMBIEN PUEDEN SE UTILIZADAS EN LOS EXPERIMENTOS COMPUESTOS, EL CUAL PUEDE RESULTAR TEDIOSO, SOBRETODO AQUELLOS CUANDO EL NÚMERO DE RESULTADOS POSIBLES O EL NÚMERO DE ETAPAS ES GRANDE. LA REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN, LA APLICACIÓN DE LAS PERMUTACIONES Y COMBINACONES EVITAN EN MUCHO CASOS TRAZAR UN DIAGRAMA DEL ÁRBOL

10

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN: ALGUNOS DE LOS PROBLEMAS DE PROBABILIDADES TIENEN SOLUCIÓN A TRAVÉS DE LA APLICACIÓN DE LA REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN: EJEMPLO 1: EN EL EXPERIMENTO DE LANZAR UNA MONEDA Y A LA VEZ UN DADO. CÚAL ES EL NÚMRO DE PUNTOS MUESTRALES?

SOLUCIÓN: LA MONEDA TIEN 2 Y EL DADO 6 POSIBILIDADES, POR LO TANTO LOSEL # DE PUNTOS MUESTRALES ES : 2 x 6 = 12

EJEMPLO 2.- EN UNA BARAJA DE 52 CARTAS . CUANTOS PUNTOS MUESTRALES TENDRÁ EL EXPERIMENTO COMPUESTO: A) SI DESPUES DE EXTRAER UNA CARTA, SE VUELVE AL MAZO Y LUEGO SE EXTRAE OTRA CARTA?.

B) SI LUEGO DE EXTRAER UNA CARTA ÉSTA SE DEJA POR FUERA Y LUEGO SE EXTRAE OTRA SEGUNDA CARTA?

SOLUCIÓN: A) EN LA PRIMERA SE TIENE 52 CARTAS Y COMO SE DEVOLVIÓ EN LA SEGUNDA TENDRA OTRA VEZ LAS 52 CARTAS, POR LO TANTO EL ESPACIO MUESTRAL ES 52 x 52 = 2704.

B) EN LA PRIMERA EXTRACCIÓN SE TENDRÁ 52 PUNTOS, PERO EN LA SEGUNDA NO SE DEVOLVIÓ LA CARTA, SOLO HAY 51 PUNTOS, EN ESTE CASO 52 x 51 =2652 PUNTOS MUESTRALES.

PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

LA REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN ES LA BASE DE DOS FÓRMULAS, QUE NOS PERMITEN SIMPLIFICAR EN FORMA CONSIDERABLE EL CONTEO DE PUNTOS MUESTRALES, SIENDO ELLAS LAS PERMUTACIONES Y LAS COMBINACIONES.

PERMUTACIONES

ES UNA FORMA DE ORDENAR O ARREGLAR LA TOTALIDAD DE LOS ELEMENTOS DE UN CONJUNTO. TAMBIÉN SE PUEDE CONSIDERAR COMO UN CONJUNTO DE COSAS EXTRAÍDAS EN UN ORDEN ESPECÍFICO Y SIN REEMPLAZO DE UN CONJUNTO IGUAL O MAYOR.

FÓRMULAS O SIMBOLO: Pn = n! Ó nPn = n!, SE LEE “PERMUTACIONES DE n ELEMENTOS DE n EN n.

EJEMPLO 1.- SE TIENEN LOS NÚMEROS 1,2,3,4 Y SE QUIERE FORMAR CIFRAS DE 4 DIGITOS.

SOLUCIÓN: 4P4 = 4! = 4 x 3 x2 X1 = 24, P4 = 4! = 24 ESPACIO MUESTRAL: 1234 2134 3142 4132

1243 2143 3124 4123 1324 2314 3214 4213

11

1342 2341 3241 4231 1432 2413 3412 4312 1423 2431 3421 4321. EN ESTE CASO NO IMPORTA EL ORDEN DE LOS ELEMENTOS.

EJEMPLO 2.- EN LA PRIMERA LINEA DEL SALON DE CLASE SE TIENE COLOCADOS 10 PUPITRES Y SE QUIERE SENTAR A 10 ALUMNOS . DÉ CUÁNTAS MANERAS SE PODRÁN COLOCAR?

SOLUCIÓN:

10P10 = P10 = 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3628800 .

EJEMPLO 3.- CON LAS LETRAS DE LA PALABA PALO. CUÁNTAS PALABRAS PUDEN FORMAR?

SOLUCIÓN:

PALO APLO LPAO OPAL PAOL APOL LPOA OPLA PLAO AOPL LOPA OLAP PLOA AOLP LOAP OLPA POLA ALOP LAPO OALP POAL ALPO LAOP OAPL P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

EJEMPLO 4.- PERMUTACIONES CON REPETICIONES Pn(r )=n!/r!: LA PALABRA CASA TIENE LAS PERMUTACIONES :

CASA ACSA SCAA CSAA AACS SAAC CAAS ACAS SACA ASAC AASC ASCA

FÓRMULA Pn(r=2) = n!/r! = 4!/2! = 12, r ES EL NÚMERO DE REPETICIONES DE LA LETRA A, r = 2.

LAS PERMUTACIONES CON REPETICIONES, r SON UN CASO DE VARIACIONES.

EJEMPLO 5.-SEA LAS LETRAS AABBBCCD: n = 8, r1 = 2, r2 = 3, r3 = 2 FÓRMULA: Pn(r1,r2,r3) = n!/ r1!r2! :

12

FÓRMULA GENERAL: _{( )} .

EJEMPLO 6.- FORMAR CIFRAS DE TRES DIGITOS CON 1,2,3,4: SOLUCIÓN: _{( )} .

EJEMPLO: SI CON LOS 8 ESTUDIANTES SE QUIEREN FORMAR GRUPOS DE 5 . CUANTOS SE FORMARÍAN:

_{( )}

COMBINACIONES:

SON ARREGLOS DE LOS ELEMNTOS SIN IMPORTAR EL ORDEN EN QUE SE DISPONGAN. FÓRMULA: _{( )}

EJEMPLO 1: CON LAS LETRAS ABCD, SE DESEA COMBINARLAS, CUANTAS MANERAS SE DISPONDRÍAN.

SOLUCIÓN: ABCD = ADBC = ACBD = CBAD = DACB. _{( )}

EJEMPLO 2: SI SE COMBINARAN ESAS CUATRO LETRAS DE DOS EN DOS, SE TENDRÍA: AB = BA, AC = CA, BC = CB, BD = DB, CD = DC, AD = DA, LUEGO : 4C2 V= 6.

PARA UN GRUPO DE TRES EN TRES SE TENDRÍA : 4C3 = 4.

EJERCICIOS (PÁGINA 251):

55.- CUÁNTOS NÚMEROS DE 4 DÍGITOS PUDEN FORMARSE CON LOS DIGITOS 1, 3, 5, 7, 8,9 SI NINGUNO PUEDE APARECE MÁS DE UNA VEZ?

59.- DE CUÁNTAS MANERAS DIFERENTES SE PUEDE CONTESTAR UN EXAMEN DE 5 PREGUNTAS, SI SOLO HAY QUE DAR RESPUESTA A 3 DE ELLAS?

63.- CUÁNTAS PERMUTACIONES SE PUEDEN FORMAR CON LAS LETRAS DE LA PALABRA BARRANQUILLA?

68.- UN JOVEN HA INVITADO A 6 AMIGOS A COMER. DESPUÉS DE SENTARSE ÉL. DE CUÁNTAS MANERAS DIFERENTES PUEDEN SENTARSE LOS AMIGOS?

13

72.- DÉ CUÁNTAS MANERAS PUEDE FORMAR UNA FAMILIA DE 5 HIJOS, SI DESEA QUE DOS SEAN NIÑAS Y TRES NIÑOS?

76.- CUÁNTOS COMITÉ DIFERENTES DE 4 PERSONAS SE PUEDEN FORMAR A PARTIR DE UN GRUPO DE 12 PERSONAS?

78.- CUÁNTOS GRUPOS DE 7 CARTAS, PUEDEN SACARSE DE UNA BARAJA DE 40 CARTAS?

79.- CUÁNTOS COMITÉ DIFERENTES PUEDEN SELECCIONARSE ENTRE 7 HOMBRES Y 4 MUJERES SI DEBEN CONSTITUIRSE DE : A) 3 HOMBRES Y 2 MUJERES

B) 5 PERSONAS DE LAS CUALES POR LO MENOS TRES DEBEN SER HOMBRES. ASIGNACIÓN DE EJERCICIOS COMO TRABAJO.

ALGUNAS REGLAS BÁSICAS DE PROBABILIDADES.

CLASES DE SUCESOS:

 SUCESOS IGUALMENTE PROBABLE: LANZAR UNA MONEDA, APARICIÓN DE CARA O SELLO.

 SUCESOS OPUESTOS O CONTRARIO: SIENDO AQUELLOS QUE SE

COMPLEMENTAN BAÁSICAMENTE.

 SUCESOS CIERTOS: UNA MONEDA CON DOS CARAS.

 SUCESOS IMPOSIBLES: LANZAR UN DADO Y QUE APAREZCA EN LA CARA SUPERIOR 8.

 SUCESOS COMPATIBLES: QUE PUEDE SUCEDER EN UNA BARAJA, APAREZCA SIMULTAMENTAMENTE UN SEIS Y QUE SEA OROS.

 SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES: AL LANZAR APARECE UN DOS O UN SEIS.

 SUCESOS INDEPENDIENTES: AL LANZAR DOS DADOS, OBTENER EN EL PRIMERO UN DOS Y EN EL SEGUNDO UN, SEIS.

 SUCESOS DEPENDIENTES: LA OCURRENCIA DE UNO AFECTA LA OCURRENCIA DEL OTRO.

REGLA DE LA ADICIÓN:

A) SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES:

SI DOS O SUCESOS SON TALES, QUE SOLAMENTE UNO DE ELLOS PUEDE OCURRIR EN UN SOLO ENSAYO, SE DICE QUE SON MUTUAMENTE EXCLUYENTES. SE DENOMINA PROBABILIDAD ADITIVA Y SERÁ IGUAL A LA SUMA DE LAS PROBABILIDADES DE CADA SUCESO.

14

MUTUAMENTE EXCLUYENTE SIGNIFICA QUE SOLAMENTE UN SOLO SUCESO O EVENTO PUEDE OCURRIR, O SEA QUE LOS DEMÁS NO SE PUEDEN PRESENTAR AL MISMO TIEMPO, LA FÓRMULA ANTERIOR SE PUEDE EXPRESAR, ASÍ:

P(A o B) = P(A) + P(B), P(A o B O C) = P(A) + P(B) + P(C),

P(A U B) = P(A) + P(B),

EJEMPLO 1.- LA PROBABILIDAD DE OBTENER UN As O UN Rey, SACANDO UNA SOLA CARTA EN UNA BARAJA DE 40 CARTAS. SI UNO DE LOS CASOS APARECE, QUEDA EXCLUIDO EL OTRO.

SOLUCIÓN:

( ) ( ) . P(A o B) = P(A) + P (B) = +

EJEMPLO 2.- LA PROBABILIDAD DE OBTENER UN 2 O UN 5, EN EL LANZAMIENTO DE UN DADO.

SOLUCIÓN: ( ) ( ) ( ) ( ) P(A o B) = P(A) + P (B) = + EN ESTE SUCESO SE DEBE UTILIZAR UN SOLO SISTEMA.

B) SUCESOS COMPATIBLES:

DOS SUCESOS SON COMPATIBLES, O QUE NO SEAN MUTUAMENTE

EXCLUYENTES, CUANDO LA PROBABILIDAD DE QUE OCURRA UN SUCESO NO IMPIDE LA OCURRENCIA DEL OTRO.

FÓRMULA: P(A o B) = P(A) + P (B) – P(A y B).

EJEMPLO 1.- HALLE LA PROBABILIDAD AL EXTRAE UNA CARTA DE UNA BARAJA DE 40 CARTAS Y QUE ESTA SEA As O COPAS.

LA PROBABILIDAD DE QUE APAREZCA UN As ES P(A) = 4/40; LA PROBABILIDAD QUE APAREZCA COPAS ES P(B) = 10/40;

LA PROBABILIDAD DE QUE SEA EL As O COPAS P(AyB) = 1/40. P(A o B) =

15

EJEMPLO 2.- AL LANZAR UN DADO . USTED APUESTA $5000, A QUE EL NÚMRO OBTENIDO DEBE SER PAR O DIVISIBLE POR 3. CUÁL ES LA PROBABILIDAD QUE UD.GANE EN ESTE LANZAMIENTO.

SOLUCIÓN: QUE APAREZCA UN NÚMERO PAR : A = {2,4,6}, P(A) = 3/6.

QUE SEA DIVISIBLE POR 3 B = { 3,6}, P(B) = 2/6, AnB = {6} , P(AnB) = 1/6, LUEGO:

P(AUB) = 3/6 + 2/6 - 1/6 = 2/3 = 0,667 = 66,67%.

NOTA: PARA ALGUNOS EJERCICIOS SE DEBE RECORDAR QUE LA PROBABILIDAD REPRESENTADA POR EL ESPACIO MUESTRAL ES DE 100% Y LA PROBABILIDAD DE CUALQUIER EVENTO A, CORRESPONDERÁ A UN VALOR QUE PUEDE VARIAR DE O A 1: 0 ≤ P(A) ≤ Y P(Ac_{) = 1 – P(A).}

NOTA: CUANDO SE AGOTAN TODAS LAS POSIBILIDADES, YA QUE SE CONSIDERA LA TOTALIDAD DE LOS ELEMENTOS, A ESTOS SUCESOS SE LES DENOMINA

COLECTIVOS EXHAUSTIVOS,

POR EJEMPLO: LA PROBABILIDAD DE QUE SEA UN TREBOL O DIAMANTE O CORAZONES O ESPADAS EN UN JUEGO DE BARAJAS DE 52 CARTAS: 52/52 = 1.

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN

C) SUCESOS INDEPENDIENTES:

ESTOS SUCESO SON CUANDO LA PROBABILIDAD DE PRESENTACIÓN DE NINGUNO DE ELLOS QUEDA INFLUENCIADA POR LA PRESENTACIÓN DEL OTRO. EN CASO CONTRARIO SON SUCESO DEPENDIENTES.

EN OTRAS INTERPRETACIONES SI EL RESULTADO DE UN SUCESO NO AFECTA AL OTRO, SE DICE QUE SON INDEPENDIENTE.

FÓRMULA: P = p1 x p2 x p3 x . . . x pn, P(A y B y C) = p(a) x p(b)xp(c)x . . . x p(n)

EJEMPLO 1.- QUÉ PROBABILIDAD SE TIENE DE OBTENER DOS Reyes SACANDO UNA CARTA DE UNA BARAJA Y LA OTRA DE UNA SEGUNDA BARAJA?

SOLUCIÓN: P(A y B) = P(A) x P(B)

P =

16

EJEMPLO 2.- AL LANZAR DOS DADOS. CÚAL ES LA PROBABILIDAD DE SACAR DOS CINCO?

p1 = 1/6 ( 5 en el primer dado), p2 = 1/6 ( 5 en segundo dado) P = 1/6 X 1/6 = 1/ 36.

EJEMPLO 3.- SE DISPONEN DE TRES BARAJAS DE 40 CARTAS CADA UNA. SE DESEA EXTRAER TRES CARTAS UNA DE CADA BARAJA. CÚAL ES LA PROBABILIDAD DE OBTENER UN As Y UN Rey DE OROS Y UN SEIS DE COPAS?

SOLUCIÓN:

EN LA PRIMERA BARAJA SE TIENEN 4 ASES, SIENDO P(A) = 4/40 EN LA SEGUNDA BARAJA SE TIENE UN REY DE OROS P(B) = 1/40 Y EN LA TERCERA BARAJA HAY UN SEIS DE COPAS P© = 1/40

SE OBSERAV QUE LOS RESULTADOS SON INDEPENDIENTES, PUES NINGUNO DE ELLOS SE VE AFECTADO POR LA APARICIÓN DEL OTRO, EN ESTOS CASOS APLICAMOS LA REGLA ESPECIAL DE MULTIPLICACIÓN:

P(A y B y C) = 4/40 x 1/40 x 1/40 = 1/16000 = 0,0000625= 0,00625.

DIFERENCIAS ENTRE LOS SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTE Y LOS

INDEPENDIENTES:

A) EN EL PRIMERO SE TIENE UN SOLO SISTEMA (DADO, MOENA O CARTA) Y EL SEGUNDO SE TIENE DOS O MÁS SISTEMAS.

B) EN EL PRIMERO SE EXTRAE UN SOLO ELEMENTO, SE ESPERA LA PRESENTACIÓN DE UN SUCESO, EN EL SEGUNDO SE ESPERA LA PRESENTACIÓN DE DOS O MAS SUCESOS.

C) EN EL PRIMERO SE UTILIZA LA CONJUCION “O” (UNIÓN) Y EL SEGUNDO SE EMPLEA LA CONJUCIÓN “Y”.

D) SUCESOS DEPENDIENTES:

SUCESOS DEPENDIENTES O EVENTOS COMPUESTOS, ES CUANDO LA OCURRENCIA O NO OCURRENCIA DE UN EVENTO EN CUALQUIER PRUEBA AFECTA LA PROBABILIDAD DE OTROS EVENTOS EN OTRAS PRUEBAS, ES DECIR QUE LA PROBABILIDAD DE SEGUNDO DEPENDE DEL PRIMER SUCSO, EL DEL TERCERO DE LO QUE HAYA SUCEDIDO EN EL PRIMERO Y SEGUNDO Y ASÍ SUCESIVAMENTE.

17

EJEMPLO 1.- LA PROBABILIDAD DE OBTENER TRES ASES, SACANDO SUCESIVAMENTE TRES CARTAS DE UNA BARAJA ESPAÑOLA (40 cartas), SIN VOLVERLAS A INCLUIR ( SIN REPETICIÓN), EN EL MONTÓN O MAZO.

SOLUCIÓN: p1 = 4/40, p2 = 3/39, p3 = 2/38

P = 4/40 x 3/39 x 2/38 = 1/2740

INTERPRETACIÓN: EL JUEGO DE BARAJAS TIENE 4 ASES, EN EL PRIMER EXPERIMENTO EL JUEGO ESTA COMPLETO CON 40 CARTAS, EN EL SEGUNDO EXPERIMENTO SE TIENEN 3 ASES Y 39 CARTAS Y EN EL TERCER EXPERIMENTO SE PRESENTAN 2 ASES Y 38 CARTAS DEL JUEGO.

EJEMPLO 2.- LA PROBABILIDAD DE OBTENER UN As, UN REY Y UNA ZOTA(ALFIL), SACANDO SUCESIVAMENTE TRES CARTAS SIN REPOSICIÓN, DE UNA BARAJA DE 40 CARTAS.

SOLUCIÓN: EN EL JUEGO EXITEN 4 ASES Y 40 CARTAS, ENTONCES: P1 = 4/40, EXISTEN 4 REYES Y 39 CARTAS POR LO TANTO: P2 = 4/39,

TAMBIEN SE TIENE 4 ZOTAS Y QUEDAN 38 CARTAS, P3 = 4/38, DE DONDE. P =4/40 x 4/39 X 4/38 = 64/59280.

SI EXISTIERA REPOSICIÓN EN LOS EJEMPLOS ANTERIORES EL NÚMERO DE CARTAS DEL JUEGO ES CONSTANTE.

PROBABILIDAD CONDICIONAL

LA PROBABILIDAD CONDICIONAL ES AQUELLA QUE SE PRESENTA EN UN EVENTO O SUCESO, DADO QUE OTRO EVENTO HAYA OCURRIDO.

LA PROBABILIDAD CONJUNTA: ES CUANDO SE PRESENTAN 2 Ó MAS EVENTOS EN FORMA SIMULTANEA.

TODOS SE PRESENTAN BAJO CONDICIONES DE DEPENDENCIA ESTADISTICA. NO HAY QUE OLVIDAR QUE EXISTEN LAS PROBABILIDADES MARGINALES, CORRESPONDIENTE A UNA PROBABILIDAD INCONDICIONAL DE QUE SE PRESENTE UN EVENTO, SE REFIERE A LA PROBABILIDAD DE UN SOLO EVENTO

EN LA REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN, LA PROBABILIDAD CONJUNTA A y B SE CALCULA MEDIANTE LA FÓRMULA:

P(A y B)= P(A)*P(B/A) = P(AnB),

DE DONDE PODEMOS DESPEJAR LA FÓRMULA PARA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL DE UN EVENTO:

18

P(A) : PROBABILIDAD DE QUE OCURRA EL SUCESO A.(PROB. MARGINAL) P(A´) = P(Ac) : PROBABILIDAD DE QUE NO OCURRA A.(C0MPLEMENTO)

P(A/B). PROBABILIADD DE QUE OCURRA A DADO B Ó PROBABILIDAD CONDICIONAL DE A DADO B.

P(B/A): PROBABILIADD DE QUE OCURRA B DADO A Ó PROBABILIDAD CONDICIONAL DE B DADO A.

P(AnB): PROBABILIDAD DE QUE OCURRA TANTO A COMO B Ó PROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN DE A Y B Ó PROBABILIDAD CONJUNTA DE A Y B.

P(AUB): ES LA PROBABILIDAD DE QUE OCURRA A, O BIEN B, O AMBOS Ó PROBABILIDAD DE LA UNIÓN A Y B.

NOTA: EN ESTA CLASE DE PROBABILIDAD RECORDAR LAS FÓRMULAS DE LOS SUCESOS ANTES VISTOS.

EJEMPLO 1.- EL 18% DE LAS FAMILIAS DE UN BARRIO TIENEN VEHÍCULO PROPIO, EL 20% TIENE VIVIENDA DE SU PROPIEDAD Y EL 12%, VIVIENDA Y VEHICULO. CÚAL ES LA PROBABILIDAD DE TENER VIVIENDA SI SE TIENE VEHICULO?

SOLUCIÓN:

A: PROPIETARIO DE VEHÍCULO A´ : NO PROPIETARIO DE VEHÍCULO B : PROPIETARIO DE VIVIENDA B´: NO PROPIETARIO DE VIVIENDA. B B´ TOTAL A 0,12p(AyB) 0,06 0,18 p(A) A´ 0,08 0,74 0,82 TOTAL 0,20 0,80 1,00

19

P(B/A) = 0,12/0,18 = 0,66 = 66%.

LAS FAMILIAS QUE TIENEN VIVIENDA, SI TIENE VEHÍCULOS PRESENTAN UNA PROBABILIDAD DE 66%.

AL INTERPRETAR MÁS EL EJERCICIO, SE TIENE: HAGA EL CÁLCULO Y COMPRUEBELO (aplique la fórmula):

2) NO TIENEN VEHICULO, SI NO TIENE VIVIENDA PROPIA: 93% 3 TIENEN VEHÍCULO,SI NO TIENEN VIVIENDA: 8%

4) NO TIENEN VIVIENDA, SI NO TIENEN VEHICULO: 90% 5) CALCULAR OTRAS.

EJEMPLO 2.- SE ENCUENTRA EN UNA FACULTAD QUE EL 70% DE LOS ALUMNOS. EL 70% SON MUJERES Y EL 18% SON ESTUDIANTES DE ECONOMÍA. SI ELEGIMOS UN ESTUDIANTE AL AZAR Y RESULTA SE MUJER, CÚAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE ESTÉ ESTUDIANDO ECONOMÍA? (Hacer la tabla)

SOLUCIÓN

( )) ( )

( )

HALLE OTRAS PROBALIDADES Y SI ES POSIBLE TABULELOS DATOS

EJEMPLO 3.- POR UNA INVESTIGACIÓN SE ENCONTRÓ QIE EL 10% DE LOS

CONDUCTORES DE TAXI EN LA CIUDAD SON HOMBRES CON ESTUDIOS

UNIVERSITARIOS. TAMBIEN SE SABE QUE EL 80% DE LOS CONDUCTORES DE TAXI SON HOMBRES. CÚAL ES LA PROBABILIDAD, AL TOMAR UN CONDUCTOR DE TAXI AL AZAR, QUE RESULTE SER HOMBRE, Y QUE TENGA ADEMÁS ESTUDIOS UNIVERSITARIOS? (Hacer la tabla) SOLUCIÓN: ( ) ( ) ( )

TAREA CONSULTE (MEJORE LA NOTA EL TRABAJO, CONDICIONES ACORDADS CON EL DOCENTE ):

A)

B)

20

21

TEOREMA DE BAYES

EL MATEMÁTICO Y REVERENDO THOMAS BAYES, (1763) EN EL SIGLO XVVIII INTENTÓ DESARROLLAR UNA FÓRMULA PARA EVALUAR LA PROBABILIDAD DE LA EXISTENCIA DE DIOS CON BASE EN EVIDENCIAS ERRENALES. MÁS TARDE FUE LAPLACE QUIEN TERMINÓ SE DESARROLLO DENOMINANDOLO “TEOREMA DE BAYES”

ESTE TEOREMA SE APLICA CUANDO SE FORMULA HIPOTESIS A POSTERIORI SOBRE LA PROBABILIDAD A PRIORI DE EVENTOS OCURRIDOS. ES DE APLICACIÓN EN ANÁLISIS RELACIONADOS CON LA PRODUCCIÓN DE UNA EMPRESA.

FÓRMULA GENERAL:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ESTE TEOREMA ESTABLECE, QUE SI SUCEDE CIERTO EVENTO, QUE DEPENDE DE LA OCURRENCIA DE LOS EVENTOS A o B o C CORRESPONDIENTES A UN CONJUNTO DE SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES, LA PROBABILIDAD DE QUE B HAYA OCURRIDO A CONSECUENCIA DE A, LO CUAL LO EXPRESAMOS: P(A/B) CORRESPONDA AL PRODUCTO DE LAS PROBABILIDADES INDIVIDUALES DEL EVENTO A Y DEL EVENTO B, DIVIDIDO POR LA PROBABILIDAD ALTERNATIVA DEL EVENTO B CON RESPECTO A CADA UNO DE LOS EVENTOS INDEPENDIENTES DE A,B Y C, LA F+ORMULÑA GENERAL QUEDARÍA, ASÍ:

( ) _{( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} ( ) ( )

EJEMPLO1.- 4 MÁQUINAS A, B, C, Y D, POR ESPECIFICACIONES Y CONTROL SE CONOCE LA CAPACIDAD DE PRODUCCIÓN DE CADA MAQUINA, DURANTE UN DETERMINADO PERÍODO ( 1 HORA) ASÍ: A, UNA PRODUCCIÓN DE 600; B DE 400; C, DE 300 Y D, DE 700 UNIDADES, ES DECIR, EN TERMINOS PORCENTUALES A PRODUCE EL 30%, B EL 20%, C EL 15%, Y D EL 35%.

22

MEDIANTE UN PROCESO DE OBSERVACIONES SE HA DETECTADO QUE EL PORCENTAJE DE UNIDADES DEFECTUOSAS PRODUCIDAD POR CADA UNA DE LAS MÁQUINAS ES DE 4%, 3%, 6% Y 5%, RESPECTIVAMNETE.

SI SE PROCEDE A EXTRAE UN ELEMENTO DEL TOTAL DEL LOTE DETERMINADO.

A) SELECCIONANDO UNA PIEZA AL AZAR. CÜAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE SALGA DEFECTUOSA.

SOLUCIÓN: E“LA PEIEZA DEFECTUOSA” Y N “LA PIEZA NO DEFECTUOSA”: PARA CALCULARLA PROBABILIDAD DE QUE LA PIEZA ELEGIDA SEA DEFECTUOSA P(E), POR LA PROPIEDAD DE LA PROBABILIDAD TOTAL, SE TIENE LA FÓRMULA:

P(E)= P(A)*P(E/A)+ P(B)*P(E/B)+ P(C)*P(E/C+ P(D)*P(E/D) PARA APLICAR LA FÓRMULA SE TIENE:

P(A) = 0,30, P(B) = 0,20, P(C) = 015 , P(D) = 0,35 P(E/A) = 0,04, P(E/B) = 0,03, P(E/C) = 0,06, P(E/D) = 0,05, DE DONDE:

P(A)*P (E/A) = 0.30*0,04 = 0,012, P(B)*P(E/B) = 0,20*0,03 = 0,006 P(C)*P(E/C) = 0,15*0,06 = 0,009, P(D)*P(E/D) = 0,35*0,05 = O,O175 LA SUMA DE LAS POSIBILIDADES SERÁ:

= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=0,012 + 0,006 + 0,009 + 0,0175 = 0,0445

LA PROBABILIDAD DE QUE LA PIEZA ELEGIDA SEA DEFECTUOSA ES DE 4,45%

B) CÚAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE HAYA SIDO PRODUCIDA POR LA MAQUINA A, O POR LA MÁQUINA B, O POR LA MÁQUINA C O POR LA MÁQUINA D.

SOLUCIÓN:

LA FÓRMULA SE PARA LA MÁQUINA ES:

( ) ( ) ( )

( ) ( _{) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )}

23

LA PROBABILIDAD DE QUE HAYA SIDO PRODUCIDO POR LA MÁQUINA A ES DE 29,67%. P(B/E)

.

LA PROBABILIDAD DE QUE HAYA SIDO PRODUCIDO POR LA MÁQUINA B, ES DE 13,48%. P(C/E)

.

LA PROBABILIDAD DE QUE HAYA SIDO PRODUCIDO POR LA MÁQUINA C, ES DE 20,22%. P(D/E) .

LA PROBABILIDAD DE QUE HAYA SIDO PRODUCIDO POR LA MÁQUINA D, ES DE 39,33%.

UTILIZANDO EL DIAGRAMA DEL ÁRBOL EN DOS ETAPAS:

0.04 P= 0,30 *0,04 = 0,012 0,96 0,30 0,03 P=0,20 * 0,03 = 0,06 P(A) 0,20 0,20 0,97 P(B) 0,15 0,06 P(C) 0,94 P= 0,15 * 0,06 = 0,09 P(D) 0,35 0,05 0,95 P=0,35*0,05 =0,0175

EJEMPLO 2.- SE TIENEN TRES RECIPIENTES; LA PRIMERA CONTIENE 6 BOLAS AZULES Y 2 ROJAS; LA SEGUNDA 4 AZULES Y 4 ROJAS Y LA TERCERA 6 AZULES. SE SELECCIONA UNA DE LAS TRES URNAS AL AZAR Y DEELLAS UNA BOLA QUE RESULTA SER AZUL.

24

CON LO ANTERIOR INFORMACIÓN. CÚAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE EL RECIPIENTE ESCOGIDO SEA EL PRIMERO? SEA EL TERCERO.

SOLUCIÓN:

P(A) = 1/3, P(B) = 1/3, P(C) = 1/3 P(E/A) = 6/8 = 3/4 P(E/B) = 4/8 = ½ P(E/C) = 6/6 = 1.

LA PROBABILIDAD DE QUE LA BOLA AZUL PROVENGA DEL PRIMER RECIPIENTE ES:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( _{) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

LA PROBABILIDAD DE QUE LA BOLA AZUL PROVENGA DEL PRIMER RECIPIENTE ES :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )(( )

( _{) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

EJEMPLO 3.- UN AUTOR DE LA EDITORIAL ENVIA FOLLETOS PROMOCIONANDO SU LIBRO DE ESTADISTICA AL 72% DE LOS PROFESORES QUE ENSEÑAN LA ASIGNATURA EN LAS UNIVERSIDADES QUE FUERON SELECCIONADAS PARA LA PROMOCIÓN. UN MES DESPUÉS SE CONSTATÓ QUE EL 46% QUE RECIBIERON EL FOLLETO ADOPTARON EL LIBRO Y UN 16% QUE NO LO RECIBIERON, TAMBIEN LO ADOPTARON. CÚAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE UN PROFESOR QUE ADOPTA EL LIBRO, FUE EL RESULTADO DEL FOLLETO DE PROMOCIÓN.

0,46

P(A) = 0,72

25

0,16 =0,8809 = 88,09%

P(B) 0 0,28

0,84

LA PROBABILIDAD DE QUE UN PROFESOR ADOPTE UN LIBRO ES DE 88,09%. BIBLIOGRAFIA:MARTINEZ B. Ciro. Estadística y muestreo paginas 231-280.