DISTRIBUCIÓN
EXPONENCIAL
DISTRIBUCIÓN
EXPONENCIAL
CANALES ESPINOZA, BRAULIO GIOMARGRADOS PEREZ, RENATO MARTÍN PADILLA TAPIA, DANTE MANUEL ROJAS AVILA, CHRISTIAN ALEXANDER TINEO MEGO, JOSÉ LUIS
III CICLO
Dirigido a:
Ing. Víctor SILVA TOLEDO
Universidad Nacional José Faustino Sánchez Carrión.
Facultad de Ingeniería Industrial Sistema e Informática.
Escuela Académica Profesional de Ingeniería Industrial.
Huacho-Perú
2015
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ÍNDICE
AGRADECIMIENTO...4
DEDICATORIA...5
INTRODUCCIÓN...6
1. GENERALIDADES...7
1.1. OBJETIVOS:...8
1.2. IMPORTANCIA...8
1.2. HISTORIA...8
2. CONTENIDO...9
2.1. PROBABILIDAD CONTINUA...10
2.2. DISTRIBUCION EXPONENCIAL...10
2.3. RELACION CON POISSON...10
2.4 PROPIEDADES FUNDAMENTALES...11
2.5. FÓRMULAS...13
2.6. EJEMPLOS...14
IV. CONCLUSIONES...17
V. RECOMENDACIONES...17
VII. REFERENCIAS...18
AGRADECIMIENTO
Primero y antes que nada, dar gracias a Dios, por estar con nosotros en cada paso que damos, por fortalecer nuestro corazón e iluminar nuestra mente.
De igual forma, a nuestros Padres, a quien le debemos todo mí, les agradecemos su cariño y su comprensión, a ustedes quienes han sabido formarnos con buenos sentimientos, hábitos y valores, lo cual nos ayudara a salir adelante buscando siempre el mejor camino.
Un agradecimiento especial a nuestro Profesor, por la colaboración, paciencia, apoyo y sobre todo por esa gran amistad que nos brindó.
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DEDICATORIA
Dedicamos este trabajo a nuestros padres, porque fueron ellos que nos enseñaron a ser unas grandes personas, y que siempre hay que salir para adelante hasta en los momentos más difíciles.
INTRODUCCIÓN
El presente trabajo tiene como objetivo exponer la distribución exponencial de forma teórica y práctica. A pesar de la sencillez analítica de sus funciones de definición, la distribución exponencial tiene una gran utilidad práctica ya que podemos considerarla como un modelo adecuado para la distribución de probabilidad del tiempo de espera entre dos hechos que sigan un proceso de Poisson.
De hecho la distribución exponencial puede derivarse de un proceso experimental de Poisson con las mismas características que las que enunciábamos al estudiar la distribución de Poisson, pero tomando como variable aleatoria, en este caso, el tiempo que tarda en producirse un hecho.
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1. GENERALIDADES
1.1. OBJETIVOS:
El principal objetivo es transmitir los conocimientos referidos al tema de distribución exponencial, sus características, propiedades, su uso
La comprensión de este tema hará más eficaz la resolución de problemas que tengamos en nuestro día a día profesionalmente.
1.2. IMPORTANCIA:
La importancia de este tema va en función al uso en sí, la distribución exponencial es usada como un modo de definir el tiempo de espera, esto relacionado con los ingenieros industriales es vinculado con la prestación de servicio de todo tipo.
Este también es usado par medir el tiempo de funcionamiento, por ejemplo de baterías, máquinas, etc.
1.2. HISTORIA:
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2. CONTENIDO
2.1. PROBABILIDAD CONTINUA.
Una distribución de probabilidad es continua cuando los resultados posibles del experimento son obtenidos de variables aleatorias continuas, es decir, de variables cuantitativas que pueden tomar cualquier valor, y que resultan principalmente del proceso de medición.
La estatura de un grupo de personas El tiempo dedicado a estudiar
La temperatura en una ciudad
2.2. DISTRIBUCION EXPONENCIAL
Una de las distribuciones de variable continua más importantes es la distribución exponencial
Se la utiliza como modelo para representar el tiempo de funcionamiento o de espera. Tiene como función expresar también el tiempo transcurrido entre eventos que se contabilizan por medio de la distribución de Poisson.
2.3. RELACION CON POISSON.
Mientras que la distribución de Poisson describe las llegadas por unidad de tiempo, la distribución exponencial estudia el tiempo entre cada una de estas llegadas. Si las llegadas son de Poisson el tiempo entre estas llegadas es exponencial.
Mientras que la distribución de Poisson es discreta la distribución exponencial es continua porque el tiempo entre llegadas no tiene que ser un número entero.
Esta distribución se utiliza mucho para describir el tiempo entre eventos. Más específicamente la variable aleatoria que representa al tiempo necesario para servir a la llegada.
2.4 PROPIEDADES FUNDAMENTALES
El uso de la distribución exponencial supone que los tiempos de servicio son aleatorios, es decir, que un tiempo de servicio determinado no depende de otro servicio realizado anteriormente ni de la posible cola que pueda estar formándose
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Otra característica de este tipo de distribución es que no tienen "edad" o en otras palabras, "memoria".
Por ejemplo. Supongamos que el tiempo de atención de un paciente en una sala quirúrgica sigue una distribución exponencial. Si el paciente ya lleva 5 horas siendo operada, la probabilidad de que esté una hora más es la misma que si hubiera estado 2 horas, o 10 horas o las que sean.
Propiedad Perdida de memoria P(X>x+y|X>y)= P(X>x)
Se han esperado “y” unidades de tiempo y se pide la probabilidad de que el tiempo de espera sea por lo menos “x” unidades adicionales de tiempo, esta probabilidad coincide con la probabilidad inicial de que se deba esperar “x” unidades de tiempo, el tiempo de “y” unidades queda olvidada y es como si todo iniciara de nuevo.
Relación con poisson
Suponga que un evento que ocurre al azar varias veces a lo largo del tiempo, medida de manera continúa.
Suponga que los tiempos de interocurrencia (tiempo entre eventos) son independientes uno de otro y todos tienen Distribución Exponencial ( ) Sea Nt =”#Eventos que ocurren en [0,t]”.
Entonces Nt
~
Poisson ( t )
Ejemplo:
El tiempo que transcurre entre la ocurrencia de un temblor y el siguiente temblor tiene una media de 6 meses.
Suponiendo una dist. Exponencial para los tiempos de interocurrencia, calcule la prob. De que:
0
t
TIEMP O
b) ocurran k temblores en el siguiente año.
SOLUCION: Usando propiedad pérdida de memoria
Sea x =”tiempo de interocurrencia” Entonces:
X~exp( ) con E(x)= 1/ = 6 meses Valor de parámetro landa =1/6
a) P(x>6) = 1- P(x ≤ 6)
=
e−ℷ (6 )=
e -1≈
0.3678
b) Sea N=”#Temblores en un año”
Entonces N~ Poisson (12 ), en donde 12 =12(1/6) = 2
Por lo tanto P(N= k) = e−12ℷ.(12ℷ ) k k ! = e−2.2 k k !
k =0,1,2, 3,….
2.5. FÓRMULAS
Parámetro Función de densidad13
Su función de distribución acumulada es:
Donde representa el número e.
El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución exponencial son:
Graficas
Función de densidad de probabilidad
Función de distribución de probabilidad
2.6. EJEMPLOS
Ejemplo ilustrativo
Los buses interprovinciales llegan al terminal a una tasa promedio de 10 buses por hora.
1) ¿Cuál es la probabilidad de que llegue un bus en no más de 5 minutos? 2) ¿Cuál es la probabilidad de que llegue un bus en no más de 10 minutos? 3) ¿Cuál es la probabilidad de que llegue un bus entre 5 minutos y 10 minutos?
4) ¿Cuál es la probabilidad de que llegue un bus en más de 5 minutos?
Solución:
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Interpretación: Existe un 56,54% de probabilidad de que el segundo bus llegue al terminal en 5 minutos o menos del primero si la tasa promedio de llegada es de 10 buses por hora.
2) El porcentaje que representa 10 minutos de una hora (60 minutos) es:
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IV. CONCLUSIONES
A las conclusiones que llegamos luego de realizar el trabajo son:
1. El uso de la distribución exponencial en servicios es uno de los beneficios que no trae este tema, por nuestra relación como ingenieros industriales.
2. Tanto la distribución Poisson como la Exponencial tienen diversas aplicaciones en la vida real, las cuales tienen relación una con otra, y no sólo eso, sino que hay otras distribuciones que tienen relación con las antes mencionadas y es por eso que tiene su importancia conocerlas.
3. La distribución exponencial vienen derivada de la distribución de Poisson, ya que al suponerse que para cada valor t > 0, que representa el tiempo, el número de sucesos de cierto fenómeno aleatorio sigue una distribución de Poisson de parámetro t. Entonces, los tiempos discurridos entre dos sucesos sucesivos sigue la distribución exponencial.
V. RECOMENDACIONES
1. Las recomendaciones a dar serian la comprensión de términos comprendidos en este tema para su mejor análisis, debido a que la distribución exponencial tiene término un tanto complicados.
2. Resolver problemas de este tema hará más rápido la comprensión del tema, se recomienda empezar por problemas fáciles y luego subir la dificultad.
