Clase Elipse Hipérbola

ELIPSE

ELIPSE

Es la cónica

Es la cónica que se obtiene cuando el plano secante es oblicuo al eje del que se obtiene cuando el plano secante es oblicuo al eje del cono, corta a todascono, corta a todas las generatrices  no pasa por el !"rtice#

las generatrices  no pasa por el !"rtice#

Definición. Definición. $na elipse

$na elipse E  E  es el conjunto de puntos %&'( ) del plano tales que la su*a de sus distancias a es el conjunto de puntos %&'( ) del plano tales que la su*a de sus distancias a

dos puntos +ij

dos puntos +ijos, lla*aos, lla*ados +ocos, dos +ocos, es una constantes una constante, *aor que la distance, *aor que la distancia entre los dosia entre los dos  puntos#

 puntos# Sea 

Sea --   ..dos puntos del plano  sea d una constante *aor que la distancia dos puntos del plano  sea d una constante *aor que la distancia --..# # $n$n

 punto

 punto / / pertenece pertenece a a la la elipse elipse de de +ocos +ocos --   .. si0 si0 --/ / 1 1 .. / 2 d 2 . / 2 d 2 .a, a, dondonde a ede a es els el

se*ieje *aor 

se*ieje *aor  de la elipse# de la elipse# Es decir, Es decir, 3 3 . . )) (( && )) (( && 44 )) (( && 5 5 P  P  x x  y y d d  P  P  F  F -- d d  P  P  F  F .. aa  E   E == ++ ==

6a gr7+ica de una elipse cuos +ocos est7n en el eje de abscisas ser8a la siguiente0 6a gr7+ica de una elipse cuos +ocos est7n en el eje de abscisas ser8a la siguiente0

Elementos de la elipse Elementos de la elipse

6os principales ele*entos de la elipse son0 6os principales ele*entos de la elipse son0 Focos:

Focos: %untos +ijos %untos +ijos  F  F --    F  F ..

Eje focal:

Vértices: V  -  V  ., puntos de intersección de la elipse con su eje +ocal#

Eje mayor0 , seg*ento que une los !"rtices# Su longitud es .a#

Centro: 9C  : punto *edio del eje *aor V  -V  .  o punto *edio del seg*ento #

Eje menor:  B- B. seg*ento que une los dos puntos deter*inado al cortar el eje nor*al a

la elipse, Su longitud es .b, donde . . .

c a b = − Distancia focal:  F  F  .c . - =

Lado recto0 seg*ento con e'tre*os en la elipse  que es perpendicular al eje +ocal# Cuerda0 seg*ento que une dos puntos arbitrarios de la elipse#

Dimetro: cuerda que pasa por el centro de la elipse# E!centricidad:

a c e=

 Note*os que al estar situados los +ocos en el eje *aor entre el centro  los !"rtices, sie*pre se tiene que0

-; -; ;< < → < < → <e< a c a c Propiedad

En cualquier elipse sie*pre se !eri+ica que0 . . . c b

a = +

6a longitud del lado recto de una elipse es0

a b.

.

Ecuación de la elipse cuyo eje focal es paralelo a un eje coordenado a) Elipse con eje +ocal <ori=ontal

Aplicando la de+inición de elipse al caso en el que los +ocos son  F _-&h−c,k )  ) , & . h c k   F  + (  el !alor constante es .a( Su ecuación es0 -) & ) & 0 _. . . . = − + − b k   y a h  x  E 

 b) Elipse con eje +ocal !ertical

Aplicando la de+inición de elipse al caso en el que los +ocos son  F _-&h,k −c)  )

, &

. h k  c

Su ecuación es0 -) & ) & 0 _. . . . = − + − a k   y b h  x  E 

Ecuaciones Canónicas de la Elipse

>esultan cuando el centro de la <ip"rbola &E) coincide con el origen de coordenadas C&;, ;)  el eje +ocal es uno de los ejes coordenados#

-0 -0 . . . . . . . . = + ∨ = + a  y b  x  E  b  y a  x  E  Pro"lema #

Se sabe que los +ocos de una elipse se encuentran sobre la recta  x = −?  el los puntos & @,.)

 A −  es uno de los e'tre*os de su eje *enor# Si ade*7s se sabe que el !alor de

e'centricidad de la elipse coincide con la longitud del lado recto de la par7bola, %0

. . - ? 

@

 x

 y − y+ = +  0 <allar la ecuación de la elipse#

Pro"lema $

$na part8cula gira siguiendo una órbita el8ptica# esde lo puntos A  B separados  c*#  ubicados en los +ocos de su órbita, se logra di!isar en un instante dado a la part8cula a una distancia de @ c*# del punto A  a una distancia de ? c*# del punto B# eter*inar la distancia *7'i*a  *8ni*a a la que se encuentra la part8cula del punto B#

Pro"lema %

6a recta  L_-0 x− y =. contiene a un +oco  a un e'tre*o del eje *enor de una elipse E# Se

sabe ade*7s que el centro de E pertenece a la recta  L_.0 y= x  su distancia al origen es

igual a su distancia a la recta  L-# Si el eje +ocal de E es paralelo al eje de ordenadas, <alle

la ecuación de la elipse E, indicando sus !"rtices, +ocos  centro# Pro"lema &

Se tiene una elipse E en la que los puntos  _L&₋.A_@ ,D) _{ & ,D)}

@ --−

 L  son los e'tre*os de uno de sus lados rectos  su centro pertenece a la recta  L0.; x−Ay+-;D =;# alle la

ecuación de E# Pro"lema '

adas las siguientes cónicas0

• Circun+erencia C0 & x−F). +&y−F). =-C

• %ar7bola %0 con +oco &;, F)  eje +ocal paralelo al eje G

• Elipse E tangente a % en su !"rtice, inscrita a C&con eje *aor un di7*etro de C)

tangente a la directri= de %

alle la ecuación de la elipse %  la par7bola %#

(IP)*+,L-Es la cónica no degenerada que se obtiene cuando el plano es paralelo al eje del cono  no  pasa por el !"rtice#

$na <ip"rbola &) es el lugar geo*"trico de un punto %&', ) que se *ue!e en el plano cartesiano de tal *anera que el !alor absoluto de la di+erencia de sus distancias a dos  puntos +ijos del plano cartesiano &deno*inados +ocos -  .), es sie*pre igual a una

cantidad constante positi!a &.a)  es *enor que la distancia entre los +ocos#

{

}

 H = & , )∈ . 0 & , _-)− & , _.) =.

Elementos de una ipér"ola

6os principales ele*entos de la <ip"rbola son0

 ocos0 %untos +ijos  F -   F . #

 Eje +ocal0 >ecta que pasa por los +ocos#

 H"rtices V  -  V  . 0 son puntos de intersección de la <ip"rbola con su eje +ocal#

 Eje trans!erso V  -V  . 0 seg*ento que une los !"rtices# Su longitud es .a#

 Centro C0 punto *edio del eje trans!erso V  -V  .  o punto *edio del seg*ento  F - F .

 Eje nor*al0 la recta que pasa por el centro  es perpendicular al eje +ocal#

 Eje conjugado  B- B. 0 seg*ento del eje nor*al cuo punto *edio es C# Su longitud es

.b#

 istancia +ocal0  F - F . 2 .c#

 Cuerda +ocal0 cualquier cuerda que pasa por el +oco# Seg*ento que une dos puntos

arbitrarios de la <ip"rbola#

 6ado recto o cuerda nor*al0 cuerda +ocal perpendicular al eje +ocal#  E'centricidad de una <ip"rbola0 dada por el cociente

a c e=

bser!e*os que al estar situados los !"rtices en el eje *aor entre el centro  los +ocos, sie*pre se tiene que0

-;< < → > → e> a c c a

es decir, las <ip"rbolas tienen una e'centricidad *aor a uno# Propiedad

En cualquier <ip"rbola se !eri+ica que0

. . . b a c = + Propiedad

6a longitud del lado recto de una <ip"rbola es0

a b.

.

Ecuación de la ipér"ola cuyo eje focal es paralelo a un eje coordenado a) ip"rbola con eje +ocal <ori=ontal

-) & ) & 0 _. . . . = − − − b k   y a h  x  H  Su gr7+ica es0

Ele*entos de la <ip"rbola0

 b) ip"rbola con eje +ocal !ertical

-) & ) & 0 _. . . . = − − − b h  x a k   y  H 

Ele*entos de la <ip"rbola

Ecuaciones Canónicas de la (ipér"ola

>esultan cuando el centro de la <ip"rbola &) coincide con el origen de coordenadas C&;, ;)  el eje +ocal es uno de los ejes coordenados#

-0 -0 . . . . . . . . = − ∨ = − b  x a  y  H  b  y a  x  H  (ipér"olas conju/adas

Si el eje trans!erso de una <ip"rbola es igual al eje conjugado de otra <ip"rbola, entonces a*bas <ip"rbolas se lla*an conjugadas# En este caso cada <ip"rbola es la <ip"rbola conjugada de la otra#

En el caso particular en el que una de las <ip"rbolas tenga ecuación0

-. . . . = − b  y a  x

se cu*plir7 que la ecuación de su <ip"rbola conjugada ser70

-. . . . = − a  x b  y Ejemplo #

alle la ecuación canónica de una <ip"rbola si el eje nor*al es perpendicular al eje de las abscisas, la longitud del eje trans!erso es J  los +ocos est7n a K.; unidades del centro# Ade*7s deter*inar sus ele*entos restantes#

Ejemplo $

6os +ocos de una <ip"rbola  son los e'tre*os del lado recto de la par7bola de ecuación

; -F -; F . = + + −  x y

 x # Si una de las as8ntotas de  es paralela a la rectaF x−?y−--= ;#

a) eter*inar las ecuaciones de   de su <ip"rbola conjugada#  b) Lra+icar las dos cónicas en el *is*o plano#

Ejemplo %

$no de los !"rtices de la <ip"rbola H  se encuentra sobre la recta  L0 x+ y−C− D =;# Si

los !"rtices del eje *enor de la elipse  E 0-C x. +.@ y. −AC x−-@;y−?-=; son los +ocos

de la <ip"rbola#

a) eter*ine la ecuación de H #

b) alle las ecuaciones de la as8ntotas  la longitud del lado recto de H  c) Lra+ique H   sus as8ntotas#

Ejemplo &

6a recta  L_-0 x− y =. contiene a un +oco  a un e'tre*o del eje *enor de una elipse E # Se

sabe ade*7s que el centro de E  pertenece a la recta L_. 0 y= x  su distancia al origen es

igual a su distancia a la recta  L-# Si el +ocal de E  es paralelo al ejeY #

a) alle la ecuación de la elipse E , indicando sus !"rtices, +ocos  centro#

 b) alle la ecuación de la <ip"rbola H  cuos +ocos son los +ocos de la elipse  uno de

Ejemplo '

En una <ip"rbola H  su eje trans!erso es paralelo al eje X ,  la recta  L0F x−?y−?;=; es

 perpendicular a una de sus as8ntotas  pasa por uno de sus +ocos# El centro de H  dista F

unidades de la recta L, pertenece a la recta  L_. 0 y =. x  su ordenada es *enor que ?#

a) alle la ecuación de H   la de sus as8ntotas#

 b) En un *is*o siste*a de coordenadas gra+ique H   sus as8ntotas indicando las

coordenadas de sus +ocos# Ejemplo 0

6a <ip"rbola tiene centro C &., ?) uno de sus !"rtices se encuentra ubicado en el punto  A&., )# 6a par7bola % tiene directri=  D0F y−?x=-J  !"rtice

(

)

@ . @ -C_,− − V  # Si el +oco

de la par7bola coincide con el +oco de ordenada negati!a de la <ip"rbola H , <alle la