Probabilidad. Estadística I Tecnología Industrial UTP

Probabilidad

Cuando se toman decisiones sobre resultados futuros que se conocen, la única razón para que se cometa un error es que exista un error en el análisis por parte del decisor. Esta

situación se conoce como certidumbre completa.

Pero la realidad casi nunca es totalmente predecible. Por lo tanto, aunque el decisor haya hecho el análisis correcto, siempre hay factores que no puede controlar y que influyen para que los resultados sean imprevistos. Cuando

prevalecen estas condiciones se dice que se trabaja “bajo incertidumbre” y, por lo tanto, el decisor se ve obligado a asumir riesgos.

Por ejemplo, que los resultados de sus decisiones no sean

favorables. Una forma de hacerlo es medir el riesgo asociado a cada predicción; riesgo que significa qué tantas

posibilidades hay de que la decisión adoptada sea errónea. Con esa información el decisor tomará la “mejor” determinación

y sólo queda esperar para saber si el resultado es o no favorable. Por más cuidado que se tenga en el análisis, siempre existirá la posibilidad de que el resultado sea desfavorable. —“a priori”—

Se debe identificar el mayor número de resultados posibles y medir, para cada resultado, la probabilidad de que ocurra.

Cuando se trabaja con decisiones bajo riesgo es necesario entonces introducir el concepto de probabilidad. Esta idea se utiliza en forma intuitiva y en el léxico corriente. Así, por ejemplo, se habla de la probabilidad de que llueva o de que un candidato gane cierta elección. Estas son probabilidades subjetivas que, ante escasez de información, son válidas.

Deducción e inducción

Al abordar el problema de la probabilidad y hacer análisis de tipo probabilístico, conviene distinguir entre:

Proceso/Método deductivo, esto es, que se parte de lo general

para decir algo de lo particular. Por ejemplo, se conoce un universo de elementos y se desea saber cuál es el comportamiento de un grupo reducido de observaciones tomadas de ese universo.

Proceso/Método inductivo, esto es, que a partir de la información

obtenida de unos pocos elementos de un universo (muestra) características de todo el universo.

Cuando se utiliza la inferencia estadística se está trabajando el

concepto de inducción, o sea que de unas pocas observaciones se obtienen conclusiones sobre la totalidad del universo. Eje: estudios encuestas

Probabilidad

El concepto de probabilidad es manejado por mucha gente. Frecuentemente se escuchan preguntas como las que se mencionan a continuación:

¿ Cuál es la probabilidad de que me saque la lotería o el melate ? ¿ Qué posibilidad hay de que me pase un accidente

automovilístico ?

¿ Qué posibilidad hay de que hoy llueva ? para llevar mi paraguas o no.

¿ Existe alguna probabilidad de que repruebe el primer parcial ?

El calculo de probabilidades proporciona las reglas para el estudio de experimentos aleatorios o de azar que constituyen la base

Fenómenos Aleatorios y Fenómenos Deterministicos. Fenómeno Aleatorio.-

Es un fenómeno del que no se sabe que es lo que va a ocurrir, están relacionados con el azar o probabilidad.

Fenómeno Determinista.-

Es el fenómeno en el cual de antemano se sabe cual será el resultado.

La probabilidad estudia el tipo de fenómenos aleatorios.

Experimento aleatorio.-

Una acción que se realiza con el propósito de analizarla. Tiene como fin último determinar la probabilidad de uno o de varios resultados.

Se considera como aleatorio y estocástico, si sus resultados no son constantes.

Puede ser efectuado cualquier número de veces esencialmente en las mismas condiciones.

Un experimento es aleatorio si se verifican las siguientes condiciones:

1. Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones;

2. Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener;

3. El resultado que se obtenga,

s

PROBABILIDAD

Ejemplos:

Tirar dardos en un blanco determinado Lanzar un par de dados

Obtener una carta de una baraja Lanzar una moneda

Otros ejemplos de eventos:

A: que al nacer un bebe, éste sea

niña

B: que una persona de 20 años,

sobreviva 15 años más

C: que la presión arterial de un

adulto se incremente ante un

disgusto

Probabilidad e Inferencia.

Se presentan dos candidatos al cargo de la presidencia del CEUDLA, y se desea

determinar si el candidato X puede ganar.

Población de interés: Conjunto de respuestas de los estudiantes que votarán el día de las elecciones.

Criterio de gane: Si obtiene el más del 50%

Supóngase que todos los estudiantes de la UDLA van a las urnas y se elige de manera aleatoria, una muestra de 20 estudiantes.

Si los 20 estudiantes apoyan al candidato

¿ Qué concluye respecto a la posibilidad que tiene el candidato X de ganar las elecciones ?

1.- EL CANDIDATO X GANARA 2.- EL CANDIDATO Y GANARA

1.- EL CANDIDATO X GANARA

GANAR IMPLICA OBTENER MAS DEL 50%

Y COMO LA FRACCION QUE LO FAVORECE EN LA MUESTRA ES 100%, ENTONCES LA FRACCION QUE LO FAVORECERA EN LA POBLACION SERA IGUAL.

TOME UNA MONEDA HONRADA Y LANCELA

20 VECES ANOTANDO LOS

RESULTADOS.

LLAME X = CAE CARA Y = CAE SELLO.

¿ CUAL ES LA FRACCION DE CARA Y CUAL ES LA FRACCION DE SELLOS ?.

TOME UNA MONEDA HONRADA Y LANCELA 20 VECES ANOTANDO LOS RESULTADOS.

LLAME X = CAE CARA Y = CAE SELLO.

¿ CUAL ES LA FRACCION DE CARAS Y CUAL ES LA FRACCION DE SELLOS?.

1.- EL CANDIDATO X GANARA

SERIA IMPOSIBLE QUE 20 DE LOS 20 VOTANTES DE LA MUESTRA LO APOYARAN, SI EN REALIDAD, MENOS DEL 50% DE LOS VOTANTES PENSARIA VOTAR POR EL.

NO.

SI BIEN NO ES IMPOSIBLE OBTENER

20 VOTANTES A FAVOR DE X EN

UNA MUESTRA DE 20, SI ES

PROBABLE QUE MENOS DEL 50% DE

LOS VOTANTES ESTE A FAVOR DE

EL, AUN CUANDO SEA MUY POCO

Espacio Muestral

Es el conjunto de todos los posibles resultados de interés de un experimento dado, y se le denota normalmente mediante la letra

S

1.- Experimento: Se lanza una moneda.

Espacio muestral = total de formas en como

puede caer la moneda, o sea dos formas de interés, que caiga cara o que caiga sello. (Si cae de parada no es de interés y se repite el lanzamiento).

PROBABILIDAD

2.- Experimento: Se lanza un dado.

Espacio muestral = total de caras en que puede

caer el dado, o sea seis formas de interés: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

• Usualmente se utiliza el concepto de frecuencia para ilustrar el concepto de probabilidad. Supóngase que se estudian n resultados de un experimento, de los cuales m se consideran ocurrencias exitosas de un resultado deseado, E y P(E)

denota la probabilidad de ocurrencia de dicho resultado; la relación entre el número de resultados exitosos m y el

número de resultados posibles n, es una medida aproximada de la probabilidad de ese resultado, es decir:

• Esto es rigurosamente cierto cuando n es muy grande. Más formalmente, se deberá escribir así:

PROBABILIDAD

Los eventos aleatorios se denotan normalmente con las letras mayúsculas

A

B

Son subconjuntos de S, esto es,

A, B

S

Los eventos aleatorios son conjuntos que pueden contener un solo elemento, una infinidad de elementos, y también no contener ningún elemento.

Al número de puntos muestrales de S se le representa por N(S)

• Donde:

• P(E): Probabilidad que el resultado E ocurra. • E: Resultado que interesa analizar.

• M: Número de veces que ocurre E.

• Por ejemplo, si se desea saber cuál es la probabilidad de ocurrencia de que aparezca el número 2 en la cara superior cuando se lanza un dado, se podrían hacer lanzamientos seguidos y anotar cuántas veces aparece cada número, en particular el 2. Si esto se repite varias veces, entonces la relación entre el número de veces que apareció el 2 y el número de lanzamientos será un estimativo de la probabilidad. Esta frecuencia relativa tiende a un número; en el caso de un dado que no esté cargado, esta frecuencia tiende a 1/6.

• Una variable aleatoria está definida por una función que asigna un valor de dicha variable aleatoria a cada punto del universo. Por ejemplo, la variable aleatoria puede ser el valor que aparezca en la cara superior del dado, o el cuadrado de este valor, etc. En este ejemplo, E=2, m es el número de veces que aparece el número 2 y n es el número de lanzamientos.

Eventos aleatorios que aparecen con gran

frecuencia en el cálculo de probabilidades: Evento seguro.- Siempre se verifica después del

experimento aleatorio, son los mismos del espacio muestral.

E = S y N(E) = N(S)

Evento Imposible.- Es aquel que nunca se verifica

como resultado del experimento aleatorio. No tiene elementos de interés para su fenómeno. Es un subconjunto de

S

es que el evento imposible sea el

conjunto vacío.

Evento Elemental.- Es el evento E que contiene

exactamente un punto muestral de S, esto es, N(E) = 1.

Cada elemento del espacio muestral, es un evento elemental. También se le denomina como punto muestral.

Si s1, s2 

S

Ejemplos (1) y (2):

En el experimento 1,

S = { c, s }, c y s son sucesos elementales N(S) = 2

A = Que caiga cara= { c}, N(A) = 1

En el experimento 2,

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, 1, 2, 3, 4, 5 y 6 son sucesos elementales, y

N(S) =6

A = Que caiga un uno = { 1 }

B = Que caiga un dos = { 2 }

: : :

Evento Compuesto.- Es el evento E que contiene más de un

punto muestral de S, por tanto

N(E) > 1

Evento contrario a un evento A: También se denomina evento complemento de A y es el evento que se verifica si, como

resultado del experimento aleatorio, no se verifica A.

Ya que los eventos son conjuntos, este evento se denota con el símbolo Ac _{o bien Ā, y se define como:}



s

tal que



c

Ejemplo:

Experimento: Se lanza una moneda tres veces. Espacio Muestral:

Ω = { (S,S,S), (S,S,C), (S,C,S), (C,S,S), (C,C,S), (C,S,C), (S,C,C), (C,C,C) },

N(Ω) = 8, S es el evento seguro.

Evento simple:

B:Que salgan tres sellos; B ={ (S,S,S) } , N(B) = 1

Evento compuesto:

E: Que salgan al menos dos sellos;

E = { (S,S,S), (S,S,A), (S,A,S), (A,S,S) }, N(E) = 4

PROBABILIDAD

Si un espacio muestral contiene n puntos muestrales, hay un total de 2n _{subconjuntos o eventos ( se le conoce como}

conjunto potencia ).

Por tanto para el ejemplo anterior existen: 28 _{= 256, eventos posibles.}

Para el caso del experimento: se tira una moneda, el espacio muestral es de 2 puntos muestrales

S = {C, S}, por lo que se tienen 22 _{= 4 subconjuntos y el}

Operaciones Básicas con Eventos Aleatorios

Ya que los eventos aleatorios son subconjuntos del conjunto Ω, espacio muestral, se pueden aplicar las conocidas operaciones con conjuntos, a los eventos, como son la unión, la intersección y la diferencia de eventos.

PROBABILIDAD

OPERACIÓN EXPRESION DESCRIPCION

UNION A  B Unión de eventos originales: es el evento que sucede si y solo si A sucede o B sucede o ambos

suceden

INTERSECCION A  B Intersección de los eventos

originales, es el evento que sucede si y sólo si A y B suceden

simultáneamente.

DIFERENCIA A - B La diferencia de los eventos

originales A y B, es el evento que sucede solo en A pero no en B.

PROBABILIDAD

Gráficamente estas operaciones se pueden representar a través de los diagramas de Venn.

Sea Ω el espacio muestral y A y B eventos tal que A, B  _Ω

gráficamente se puede expresar como:

S

A

B

PROBABILIDAD

A

B

Fig 2. Los eventos A y B tienen elementos del espacio muestral en común.

S

De acuerdo a lo indicado en las figuras 1 y 2, la unión de dos eventos se presenta de dos formas diferentes: cuando los eventos son mutuamente exclusivos (que no tienen elementos en común) y cuando entre los eventos hay elementos

comunes.

Definición.- Se dice que dos eventos A y B son mutuamente exclusivos, cuando no pueden ocurrir simultáneamente, es

Ejemplo:

Experimento: Se lanza un dado.

Espacio muestral = total de caras en que puede caer el

dado, o sea seis formas de interés: S = { 1,2,3,4,5,6 }, N(S) = 6

Sean A, B, C los eventos:

A: Que caiga un número impar = { 1, 3, 5 } , N(A) = 3

B: Que caiga un número mayor de 2 y menor que 5 = { 3, 4 }, N(B) = 2

C: Que caiga un número par = { 2, 4, 6 } , N(C) = 3

PROBABILIDAD A B = { 1, 3, 5 } { 3, 4 } = {1,3,4,5}, N(A B) = 4 A  C = { 1, 3, 5 } { 2,4,6 } = {1,2,3,4,5,6}=S, N(A C) = N(S) = 6 B  C = { 3, 4 }  { 2, 4, 6 } = {2,3,4,6}, N(B  C) = 4 A B  C = { 1, 3, 5 } { 3, 4 } { 2,4,6 }= {1,2,3,4,5,6}=S, N(A B  C) = 6 S A B C 1 5 3 4 2 6

PROBABILIDAD A  B={ 1, 3, 5 }  { 3, 4 } = {3}, N(AB) = 1 A  C={ 1, 3, 5 }  { 2,4,6 } = {}, N(A  C) = N{) = 0 B  C={ 3, 4 }  { 2, 4, 6 } = {4}, N(B  C) = 1 (A  B)  C = ({ 1, 3, 5 }  { 3, 4 })  { 2,4,6 }= {3} { 2,4,6 }={}, N((A  B)  C) = N{) = 0 A  (B  C) = { 1, 3, 5 }  ({ 3, 4 }  { 2,4,6 })= { 1, 3, 5 }  { 4 }={}, N(A  (B  C)) = N{) = 0 S A B C 3 4

PROBABILIDAD A – B = ={ 1, 3, 5 } - { 3, 4 } = { 1, 5 }, N(A – B) = 2 A – C = { 1, 3, 5 } - { 2,4,6 } = { 1,3,5 } = A, N( A – C) = N(A) = 3 B – C = { 3, 4 } - { 2,4,6 } = { 3 }, N(B-C) = 1 S A B C 1 5 3 4 2 6

PROBABILIDAD Ac _{= { 2, 4, 6} = C N(A}c _{) = N( C )= 3} Bc _{= {1, 2, 5, 6 } N(B}c _{) = 4} Cc _{= {1, 3, 5 } = A N(C}c _{) = N(A) = 3} S A B C 1 5 3 4 2 6

PROBABILIDAD

Probabilidad Clásica y Frecuencial. Probabilidad frecuencial y regularidad

estadística

Las frecuencias relativas de un evento tienden a estabilizarse cuando el número de observaciones se hace cada vez mayor.

Ejemplo: La regularidad estadística en el

experimento del lanzamiento de monedas, indica que las frecuencias relativas del evento: que salga sello {s}, se tiende a estabilizar aproximadamente en .5= 1/2.

PROBABILIDAD

Probabilidad frecuencial y regularidad estadística

La probabilidad de un evento A, denotada por P(A), es el valor en el que se estabilizan las frecuencias relativas del evento A, cuando el número de observaciones del experimento se hace cada vez mayor.

PROBABILIDAD Esto es:

donde

N(A) = número de elementos del evento A

N(Ω) = número de elementos del espacio muestral Ω.

( )

( )

(2)

( )

N A

P A

N





PROBABILIDAD

Probabilidad clásica.-

Sea S un espacio muestral cualquiera y A un evento de

ese espacio. Se define la probabilidad P del evento A, como:

donde

NCF - número de casos favorables NCT - número de casos totales

(1)

)

(

NCT

NCF

A

P



PROBABILIDAD

Ejemplo:

Experimento.- Se lanza una moneda

Evento A.- que al lanzar una moneda caiga cara.

Calcular la probabilidad de A: S = { S, S}, N(Ω) = 2 A = { C }, N(A) = 1

( )

1

( )

.5

( )

2

N A

P A

N



 



PROBABILIDAD

Leyes De La Probabilidad

Las relaciones que se dan entre los eventos al ser aplicadas las operaciones que se presentaron, se facilitan y comprenden mejor haciendo uso de los axiomas y teoremas de probabilidad (Leyes de Probabilidad).

Axioma.- es una verdad evidente que no requiere demostración.

Teorema.- Es una verdad que requiere ser

PROBABILIDAD

Axioma 1.- Sea S un espacio muestral cualquiera

y A un evento, tal que A  _{S, entonces se} cumple que

0  _P(A)  _{1 (3)}

esto significa que la probabilidad de cualquier evento no puede ser más grande que uno, ni ser menor que cero. Si es igual a 1 se llama evento seguro, y cuando es cero se llama evento imposible.

P(A)

___________________________________

PROBABILIDAD

Axioma 2.- La probabilidad del espacio muestral Ω es

un evento seguro, es uno

P(Ω) = 1

Ejemplo.-

Experimento.- Se lanza un dado

Si A =Ω, es decir si el evento A coincide o es igual al espacio muestral, entonces.

( )

( )

( )

1

( )

( )

N A

N S

P A

N

N











PROBABILIDAD

Teorema 1.- Si  _{es el conjunto vacío, entonces} la probabilidad de  _{es igual a 0}

Ejemplos:

Una persona que quiere ganar la lotería nacional, pero no compra boleto.

Que aparezca un siete al lanzar un dado Que una persona viva 250 años

En estos casos los eventos son vacíos

(

)

(

)

0

( )

N

P

N



 





PROBABILIDAD

Axioma 3.- Sea Ω un espacio muestral

cualquiera y sean A y B dos eventos tales que A  _{Ω, B}  _{Ω y A}  _{B =} _{, es decir, dos}

eventos mutuamente exclusivos, entonces P(A  _{B) = P(A) + P(B).}

A  B

PROBABILIDAD

Ejemplo:

Experimento: Se lanzan dos monedas

Ω = { cs, cc sc, cs} N(Ω) = 4

Sean:

A: el evento de que al lanzar un par de monedas caigan dos sellos exactamente

B: el evento de que al lanzar un par de monedas caiga un sello exactamente.

Los elementos de A y B son A = { ss }

B = {sc, cs}

Se puede ver que A  _{B =} _{, no hay elementos en común,}

por lo que los eventos son mutuamente exclusivos o disjuntos, por tanto

PROBABILIDAD

( )

1

( )

( )

4

( )

2

( )

( )

4

1

2

3

(

)

( )

( )

4

4

4

N A

P A

N

N B

P B

N

P A

B

P A

P B



















  

PROBABILIDAD

Axioma 4.-

Sean A1, A2, A3, A4, ..., An eventos mutuamente exclusivos:

P(A1  _A2  _A3  _{A4, ...}  _{An) =}

P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) + ...+ P(An) Este axioma dice que la probabilidad de varios

eventos mutuamente exclusivos (que no tienen elementos en común), es igual a la suma de sus probabilidades.

Si los eventos no son mutuamente excluyentes entonces para n eventos seria: 1 2 1 2 1 2

(

...

)

( )

( ) ...

( )

(

)

(

) ...

(

...

)

P A

A

A

P A

P A

P A

P A

A

P A

A

A

P A

A

A





 





 





Ejemplo:

Experimento: Se lanza un dado

Sean

Evento A: que al lanzar un dado salga el 2 o el 4 Evento B: que al lanzar un dado salga un número

mayor a 4

Evento C: que salga el 1 o 3

Los elementos de A, B y C son

A = {2, 4}, N(A) = 2 B = {5, 6}, N(B) = 2 C = {1, 3} , N(C) = 2

Como A, B y C son mutuamente excluyentes, ya que A  _{B = {}_{}, A}  _{C = {}_}, B  _{C = {}_}, Por axioma 4 P(A  B  C) = P(A) + P(B) + P(C) ( ) 2 ( ) ( ) 6 ( ) 2 ( ) ( ) 6 ( ) 2 ( ) ( ) 6 2 2 2 6 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 6 6 6 6 N A P A N N B P B N N C P C N P A B C P A P B P C                   

PROBABILIDAD

Teorema 2.-(Ley Aditiva de la Probabilildad).

Sean A y B dos eventos no excluyentes, A  _B  _{, entonces}

P(A  _{B) = P(A) + P(B) - P(A}  _B)

PROBABILIDAD Diferencia

Sean A y B dos eventos:

A-B = { x | x  _{A y x}  _{B }}

A

B

PROBABILIDAD

Ejemplo.-

Experimento.- Se lanza un dado y una moneda

Ω = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1c, 2c, 3c, 4c, 5c, 6c } N(Ω) = 12

A: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan el número 2 o 3 con sol.

B: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan números pares con sol.

A = { 2s, 3s }, N(A) = 2 B = { 2s, 4s, 6s } N(B) = 3

A  _{B = { 2s } N(A}  _{B ) = 1} P(A  _{B) = P(A) + P(B) - P(A}  _B)

PROBABILIDAD

Teorema 3.- Sea A un evento cualquiera y Ω un

espacio muestral, tal que A_{S, si A}c _{es el}

complemento del evento A, entonces la probabilidad de Ac _{es igual a 1 menos la}

probabilidad de A, es decir P(Ac_{) = 1 – P(A)}

PROBABILIDAD

Experimento.- Se lanza un dado y una moneda

Ω = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1c, 2c, 3c, 4c, 5c, 6c } N(Ω) = 12

A: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan el número 2 o 3 con sello.

B: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan números pares con sello.

A = { 2s, 3s }, N(A) = 2 B = { 2s, 4s, 6s } N(B) = 3

Ac _{= { 1s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a }}

P(Ac_{) = 1 – P(A) = 1 – 2/12 = 10/12}

Bc _{= { 1s, 3s, 5s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a }}

PROBABILIDAD

Probabilidad Condicional.

Sea A un evento arbitrario de un espacio muestral Ω, con P(E) > 0. La probabilidad de que un evento A suceda una vez que E ha sucedido o en otras palabras, la probabilidad condicional de A dado E, se define como:

)

(

)

(

)

/

(

E

P

E

A

P

E

A

P





PROBABILIDAD

Eventos Independientes:

Se dice que los eventos A y E son independientes si se cumplen:

Si no se cumplen, se dice que los eventos son dependientes.

)

(

)

(

)

(

)

(

)

/

(

)

(

)

/

(

B

P

A

P

B

A

P

E

P

A

E

P

A

P

E

A

P









Probabilidad Condicional.

Ley Multiplicativa de la Probabilidad.

Ya que (AE) = (EA) y despejamos a P(AE), se tiene que la probabilidad de la intersección es:

PROBABILIDAD ) A P( ) E/A P( ) ( ) / ( ) ( ) ( ) ( ) / ( ) ( ) ( ) / (        E P E A P E A P A P A E P A E P E P E A P E A P

PROBABILIDAD Probabilidad Condicional. Si A y B son independientes:

P(E)P(A)

)

A

P(

)

E/A

P(

)

(

)

(

)

(

)

/

(

)

(











E

P

A

E

P

E

P

A

P

E

A

P

PROBABILIDAD Ejemplo:

Experimento: Lanzar un dado.

A: que al lanzar el dado caiga 3

E: que al lanzar un dado salga un impar

Encontrar la probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un 3 dado que se obtuvo un impar.

Ω = {1,2,3,4,5,6}

A = {3}, E = { 1,3,5}, (A_{E) = {3},}

P(A) = 1/6

P(A/E) = P(A_{E)/ P(E)}

= 1/6 / 3/6 = (1)(6)/(6)(3) = 6/18 = 1/3

PROBABILIDAD

Otra forma de calcular las probabilidades de la intersección y las probabilidades condicionales, de dos eventos A y B, tal que

A  _AC _{= Ω}

B  _BC _{= Ω}

es elaborando primero la tabla de número de elementos de los eventos y después la tabla de sus probabilidades.

B Bc _Total

A AB ABc _A

Ac _Ac_{B A}c_Bc _Ac

Total B Bc _Ω

Se tienen los eventos A y B y sus complementos Ac_{, B}c

B Bc _Total

A N(AB) N(ABc_{) N(A)}

Ac _N(Ac_{B) N(A}c_Bc_{) N(A}c₎

Total N(B) N(Bc_{) N(Ω)}

Tabla de número de elementos de A, B y sus complementos Ac_{, B}c

B Bc _Total

A P(AB) P(ABc_{) P(A)}

Ac _P(Ac_{B) P(A}c_Bc_{) P(A}c₎

Total P(B) P(Bc_{) P( Ω)}

Tabla de probabilidades de A, B, Ac_{, B}c _{y sus}

PROBABILIDAD Probabilidades condicionales:

P(A/B) = P(A  _B)/P(B) P(B/A) = P(A  _B)/P(A) P(A/Bc_{) = P(A  B}c_)/P(Bc₎

P(B/Ac_{) = P(A}c _{ B)/P(A}c₎

P(Ac_{/B) = P(A}c _{ B)/P(B)}

PROBABILIDAD

Ejemplo.-

En cierta ciudad, las mujeres representan el 50% de la población y los hombres el otro 50%. Se sabe que el 20% de las mujeres y el 5% de hombres están sin trabajo. Un economista estudia la situación de empleo, elige al azar una persona desempleada. Si la población total es de 8000 personas,

¿ Cuál es la probabilidad de que la persona escogida sea ?:

PROBABILIDAD

a).- Mujer b).- Hombre

c).- Mujer dado que está empleado

d).- Desempleado dado que es hombre e).- Empleado dado que es mujer

Sean los eventos: M: Que sea Mujer H: Que sea Hombre

D: Que sea Desempleado E: Que sea Empleado

Desempleados D Empleados E Total Mujeres M 800 3200 4000 Hombres H 200 3800 4000 Total 1000 7000 8000

D E Total M 800/8000 = .1 3200/8000= .4 4000/8000= .5

H 200/8000= .025 3800/8000= .475 4000/8000= .5

Total 1000/8000= .125 7000/8000= .875 8000/8000= 1

PROBABILIDAD P(M) = .50 P(H) = .50 P(E) = .875 P(D) = .125 P(M/E) = P(M_{E)/P(E) = .40/.875 = .4571} P(D/H) = P(D_{H)/P(H) = .025/.5 = .05} P(E/M) = P(M_{E)/P(M) = .40/.5 = .8} P(M/D) = P(M_{D)/P(D) = .10/.125 = .8} P(H/D) = P(H_{D)/P(D) = .025/.125 = .2}

PROBABILIDAD

Eventos dependientes e independientes En el ejemplo anterior se tiene que

P(M) = .50 P(H) = .50 P(E) = .875 P(D) = .125 P(M_{E) = .40 P(M) P(E) = .4375} P(D_{H) = .025 P(D) P(H) = .0625} P(M_{D) = .10 P(M) P(D) = .0625} P(E_{H) = .475 P(E) P(H) = .4375}

PROBABILIDAD Por tanto los eventos M y E ,

D y H, M y D, E y H son dependientes.

Ley general Multiplicativa para n

eventos

(

...

)

(

) (

) (

)... (

)

P A

A

A

A



P A P A P A

P A

PROBABILIDAD

Probabilidad total.-

Sean A₁, A₂, A₃..., An eventos disjuntos (mutuamente excluyentes), que forman una partición de Ω. Esto es Ai  _{Aj =}  _para toda i y toda j, y además

Ω = A₁  _A2  _A3  _An A1 A2 A3 A4 A5 A6 An

PROBABILIDAD

Y sea E otro evento tal que E  _{Ω y E}  _Ai  

A1 A2 A3 A4 A5 A6 An E E

PROBABILIDAD Entonces

E = Ω  _{E = (A1}  _A2 _A3 _An)  _E

= (A₁  _E) _(A2  _E) _(A3 _E)  _(An _E)

Al aplicar la función de probabilidad a ambos eventos, se tiene que:

P(E) = P(A1_{E) + P(A2}_{E) +P(A3}_{E) +}_+P(An _E)

PROBABILIDAD Como (A_i  _{E) = (E}  _{Ai) entonces} P(A_i  _{E) = P(E}  _{Ai) = P(E/Ai) P(Ai)}

Entonces la probabilidad completa de E es: P(E) = P(E/A₁) P(A₁) + P(E/A₂) P(A₂) +

PROBABILIDAD

Ejemplo.-

En una pequeña empresa de tejidos se obtiene su producción con tres máquinas hiladoras M₁, M₂ y M₃ que producen respectivamente 50%, 30% y el 20% del número total de artículos producidos.

Los porcentajes de productos defectuosos producidos por estas máquinas son 3%, 4% y 5%. Si se selecciona un artículo al azar,

¿ Cuál es la probabilidad de que el artículo sea defectuoso ?

PROBABILIDAD Sea

D el evento: Que sea un artículo defectuoso. P(M₁) = .50 P(D/M₁) = .03 P(M₂) = .30 P(D/M₂) = .04 P(M₃) = .20 P(D/M₃) = .05 P(D) = P(D/M₁) P(M1) + P(D/M2) P(M2) + P(D/M3) P(M3) = .03(.50) + .04(.30) + .05(.20) = 0.037

M1 M₂ M₃ D ND D ND D ND P(M₁)=.50 P(M₂)=.30 P(M₃)=.20 P(D/M₁)=.03 P(ND/M₁)=.97 P(D/M₂)=.04 P(D/M₃)=.05 P(ND/M₂)=.96 P(ND/M₃)=.95 P(M₁)*P(D/M₁)=.5*.03=.015 P(M₂)*P(D/M₂)=.3*.04=.012 P(M₁)*P(D/M₁)=.2*.05=.01 P(D) = .015+.012+.01=.037

PROBABILIDAD

Teorema de Bayes.- Supóngase que A₁, A₂, A₃,...,A_n es una partición de un espacio muestral Ω. En cada caso P(A_i) ≠ 0. La partición es tal que A₁, A₂, A₃,...,A_n, son eventos mutuamente exclusivos. Sea E cualquier evento, entonces para cualquier A_i,

) / ( ) ( ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) / ( 2 2 1 1 n n I i i A E P A P A E P A P A E P A P A E P A P E A P     

PROBABILIDAD

PROBABILIDAD

Ejemplo.-

En una pequeña empresa de tejidos se obtiene su producción con tres máquinas hiladoras M₁, M₂ y M₃ que producen respectivamente 50%, 30% y el 20% del número total de artículos producidos.

Los porcentajes de productos defectuosos producidos por estas máquinas son 3%, 4% y 5%. Supóngase que se selecciona un artículo al azar y resulta ser defectuoso. ¿Cuál sería la probabilidad de que el artículo haya sido producido por la máquina M1?

PROBABILIDAD

Ejemplo.-

En una pequeña empresa de tejidos se obtiene su producción con tres máquinas hiladoras M₁, M₂ y M₃ que producen respectivamente 50%, 30% y el 20% del número total de artículos producidos.

Los porcentajes de productos defectuosos producidos por estas máquinas son 3%, 4% y 5%. Supóngase que se selecciona un artículo al azar y resulta ser defectuoso. ¿Cuál sería la probabilidad de que el artículo haya sido producido por la máquina M1?

PROBABILIDAD Sea

D: Que el artículo sea defectuoso

ND: Que el artículo no sea defectuoso

M₁: Que haya sido producido por la máquina 1 M₂: Que haya sido producido por la máquina 2 M₃: Que haya sido producido por la máquina 3 P(M₁) = .50 P(D/M₁) = .03

P(M₂) = .30 P(D/M₂) = .04 P(M₃) = .20 P(D/M₃) = .05

M1 M₂ M₃ D ND D ND D ND P(M₁)=.50 P(M₂)=.30 P(M₃)=.20 P(D/M₁)=.03 P(ND/M₁)=.97 P(D/M₂)=.04 P(D/M₃)=.05 P(ND/M₂)=.96 P(ND/M₃)=.95 P(M₁)*P(D/M₁)=.5*.03=.015 P(M₂)*P(D/M₂)=.3*.04=.012 P(M₁)*P(D/M₁)=.2*.05=.01 P(D) = .015+.012+.01=.037

PROBABILIDAD Por teorema de Bayes se tiene:

La probabilidad de que el artículo defectuoso se haya producido en la M₁ es del 40.54%

4 0 5 4 . 0 3 7 . ) 0 3 )(. 5 0 (. ) ( ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) / ( 1 1 3 3 2 2 1 1 1 1 1       D P M D P M P M D P M P M D P M P M D P M P M D P M P D M P