MECÁNICA DE FLUIDOS
Curso del Trimestre 07-I
Notas complementarias al libro de texto:
Fenómenos de Transporte
por Bird, Stewart, Lightfoot (Reverte, 1982),
para actualizar el contenido de acuerdo a la nueva edición en inglés
(John Wiley & Sons, 2002)
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NIVEL GLOBAL NIVEL LOCAL NIVEL MOLECULAR Balances globales balances locales Leyes de conservación
Ecuaciones de cambio en partículas volumen ← ∫ espacio fase ← ∫ e G e L s L s G z v Moléculas de líquido Moléculas de gas L ρ ρG E Essttuuddiiooddeellaassmmaanniiffeessttaacciioonneessooccuurrrriiddaassccuuaannddoosseettrraannssffiieerree u unnaaccaannttiiddaad ddde eiinntteerrééss* *eenn uunn ssiisstteemmaa eelleeggiiddoo*** *
1. Viscosidad y mecanismos de transporte de momentum
§1.1 Ley de Newton de la viscosidadEJEMPLO: Flujo entre dos placas planas
En la última situación, la fuerza necesaria para mantener V de la placa, es constante. Al aumentar la fuerza F, aumenta la velocidad V, en tanto que para mantener una velocidad constante, al reducir Y, debe aumentarse la fuerza F. Entonces podemos proponer que
F V
A∝ Y (1.1)
La constante de proporcionalidad es la viscosidad. Es decir que
F V A =µY (1.2) V V V V x x x x y y y y Y t < 0, no hay movimiento
t = 0, la placa inferior se mueve a velocidad
constante V, por adherencia el fluido en
contacto con la placa se mueve también con la misma velocidad vx(y=0,t=0)=V
t pequeños, el fluido cercano a la placa
adquiere velocidad vx(y,t). El flujo es
transitorio
t grandes, todo el fluido se mueve con
velocidad vx(y), independiente del tiempo.
Por adherencia el fluido en contacto con la placa superior no se mueve, vx(Y) = 0. El
flujo es estacionario
Viscosidad = Propiedad física que cuantifica la resistencia al flujo
Esta fuerza por unidad de área se transmite a través de todo el fluido, imprimiéndole movimiento. Así, la placa superior debe sujetarse firmemente, pues si se deja suelta, acabará por moverse como una balsa en la superficie de un río, como se ve en la siguiente Figura:
¿Cuál es la fuerza/área en algún plano al interior del fluido?
En el ejemplo del flujo entre dos placas planas, a régimen estacionario, la fuerza/área es una
constante a través de todo el fluido. Podemos verlo porque la fuerza necesaria para mantener fija la placa superior es, precisamente, igual y de sentido contrario a la que se ejerce sobre la placa inferior, es decir que un balance (simplificado) de las fuerzas en dirección x, para todo el
fluido entre las placas, a régimen estacionario, es
placa superior placa inferior 0
F +F = (1.3)
Entonces, la fuerza que ejerce la placa superior es F− y el fluido que está en contacto con esta placa, ejercerá una fuerza F sobre ella. Balances similares pueden hacerse para diferentes porciones del fluido, abarcando desde la placa inferior hasta algún plano y= y0, encontrando
que el fluido por arriba del plano ejerce una fuerza F− sobre el fluido por debajo del mismo y de manera correspondiente, que el fluido debajo del plano, ejerce una fuerza F
sobre el fluido arriba del plano. Además podemos dividir entre el área A para darnos cuenta
de que por todo el fluido se transmite una fuerza/área constante. Llamaremos esfuerzos viscosos a esta razón de fuerza/área en cualquier plano del fluido, y los denotaremos por τyx,
es decir que
yx
F
A =τ (1.4)
Por otra parte, en el perfil lineal estacionario de la velocidad del fluido, podemos verificar la igualdad: yx τ Plano y = y 0 x y x dv V dy = − Y V x
y Si la placa superior no se sujeta adquiere, a t grandes, la velocidad de la placa inferior y de todo el fluido
0 0 x dv V V dy Y Y − = = − − (1.4)
Entonces escribimos la Ecuación (1.2), para cualquier plano del fluido, como
x yx
dv dy
τ = −µ (1.5)
Conocida como “Ley” de Newton de la viscosidad. Ésta es en realidad una relación de
comportamiento de un conjunto muy grande y muy importante de fluidos que la cumplen. Pero hay fluidos que se comportan de otra manera, es decir, fluidos que no presentan una relación lineal (con ordenada al origen nula) entre los esfuerzos viscosos τyx y el gradiente de
velocidad dvx
dy .
Acerca de la notación de τyx, y aprovechando el ejercicio:
1. La dirección de la velocidad del fluido coincide con la dirección de la fuerza aplicada, en este caso, la del eje coordenado x.
2. La dirección de una superficie se puede determinar por su vector normal. La dirección del eje coordenado y es normal al plano y = y0, que es aquel donde se aplica el esfuerzo
yx
τ .
3. El movimiento del fluido se propaga desde la placa inferior hacia arriba, es decir, en la dirección del eje coordenado y. Este movimiento tiene, sin embargo, la dirección x. Entonces, considerando a τyx como una fuerza aplicada:
O considerando a τyx como un flujo de cantidad de movimiento:
Dimensiones, unidades y valores de la viscosidad:
µ = viscosidad dinámica,
(
)
2 M F t Pa s Lt L = → i µ ν ρ = = viscosidad cinemática, L2(
m s2 1)
t − → i Ejemplos numéricos: Aire a 20 0C, µ =1.8 10× −5 Pa si Agua a a 20 0C, µ =1.0019 10× −3 Pa si Glicerina a 20 0C, µ =1.00 Pa si i k τSegundo índice: dirección del momentum
Primer índice: dirección de la propagación de momentum
i k
τ
Segundo índice: dirección de la fuerza Primer índice: dirección
Ejercicios de tarea
E1.1. Buscar Tablas de viscosidad de fluidos en los manuales de la biblioteca y hacer en fotocopias un banco de propiedades, tan completo como se pueda.
E1.2. Dos placas planas están separadas una distancia Y =0.1 m y fluye agua al
desplazar la placa inferior a una velocidad V = m/s. Si se sustituye el agua por 1 aire, ¿cuál debe ser la separación entre las placas, para que con la misma fuerza, la placa inferior se mueva a la misma velocidad V?
§2.2 Generalización de la ley de Newton de la viscosidad (a tres coordenadas del espacio) El gradiente de la velocidad
La velocidad de los flujos es un campo vectorial que depende de la posición y del tiempo:
(
)
(
)
(
)
, , , , , , , , , x y z v x y z t v x y z t v x y z t = v (1.6)de modo que el término dvx
dy , que hemos llamado el gradiente de la velocidad, es más bien
uno de los elementos de dicho gradiente. El operador “nabla”, en notación vectorial y coordenadas cartesianas, es:
x y z ∂ ∂ ∂ ∇ = ∂ ∂ ∂ (1.7)
de modo que el gradiente de la velocidad es:
(
)
y x z y x z x y z y x z v v v x x x x v v v v v v y y y y v v v z z z z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ v (1.8)en tanto que su divergencia es:
x y x z y z v v v v v x y z x y z v ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ v i (1.9)
El tensor de esfuerzos viscosos
Los esfuerzos viscosos del ejemplo anterior, τyx, son en realidad, sólo una componente de los
esfuerzos que pueden existir en un caso general, donde hay tres componentes de la velocidad. En un flujo general, el tensor de esfuerzos viscosos es el arreglo:
xx xy xz yx yy yz zx zy zz τ τ τ τ τ τ τ τ τ = τ (1.10)
que se puede también expresar como τik, (para i = 1, 2, 3; k=1, 2, 3) donde los ejes
coordenados
(
x y z se representan de manera equivalente como)
(
1 2 3 . Además, los)
esfuerzos fuera de la diagonal principal tienen dirección tangencial al plano considerado [porque la dirección de la (normal a la) superficie es ortogonal a la dirección de la fuerza], en tanto que los esfuerzos de la diagonal principal, los τii (para i = 1, 2, 3) son normales al plano.Además, los esfuerzos viscosos son simétricos, es decir, que el elemento en la posición ik del arreglo (1.10) es igual al elemento en la posición ki del arreglo, es decir que τik =τki. Esto se
escribe en notación tensorial (tensores y vectores en negritas) como τ τ= T [donde τT es la
transpuesta del arreglo (1.10)] y se cumple si su relación lineal con el gradiente de la velocidad (que no es simétrico) se propone, más bien, en términos de funciones simétricas lineales de ∇v . Entonces podemos proponer el caso más general:
( )
2(
)
3 T µ µ κ = − ∇ + ∇ + + ∇ τ v v iv δ (1.11)donde δik es el tensor unitario o delta de Kronecker, dado por
1 0 0 0 1 0 0 0 1 ik δ = = δ (1.12) viscosidad dinámica
viscosidad dilatacional o volumétrica
µ κ
=
=
Generalmente no se requiere conocer κ porque muchas veces los líquidos se consideran incompresibles y entonces ∇ =iv 0 y para muchos gases se puede proponer como aproximación un resultado encontrado válido para gases monoatómicos ideales que cumplen
0
κ= .
Además la presión es también una fuerza normal a la superficie, que no ha sido considerada en los esfuerzos viscosos τii. Habría que sumarla para tener un tensor de esfuerzos totales o
tensor de presiones πik, de modo que
ik p ik ik
π = δ +τ (1.13)
Nota sobre los signos de τ
El signo negativo en (1.11) es compatible con la observación hecha al definir τyx, es decir, que
los esfuerzos viscosos se toman en la dirección positiva del eje coordenado, para el fluido más cercano al eje coordenado (debajo del plano y= y0, ver discusión del flujo entre dos placas
planas) y se toman negativos para el fluido más lejano al eje coordenado (arriba del plano
0
y=y ). En algunos textos se propone lo contrario (τyx positiva arriba y negativa abajo del
plano y=y0), lo cual es compatible con un signo positivo para la ley de Newton de la
viscosidad, resultando en conjunto un resultado idéntico al de la convención que aquí usamos. §1.3 Dependencia de la viscosidad con la presión y la temperatura
Se usa un enfoque derivado de la ley de estados correspondientes, para lo cual es necesario conocer las constantes críticas de cada material
c presión crítica temperatura crítica viscosidad crítica c c p T µ = = =
Con estos datos se definen las propiedades reducidas r c p p p = , r c T T T = y r c µ µ µ = y se utiliza la Gráfica correspondiente del texto.
Hay pocos datos de la viscosidad crítica, pero puede estimarse de dos maneras:
(1) Si se conoce un valor de la viscosidad a una presión y temperatura reducidas, se localiza el punto en la Gráfica, se encuentra la viscosidad reducida y se despeja la viscosidad crítica (cuanto más cerca el punto del valor requerido, mejor).
(2) Se usan relaciones empíricas, cuidando las conversiones de unidades, para estimar µc.
(3) Para fluidos multicomponentes se usan propiedades “pseudocríticas”. §1.7 Transporte convectivo de momentum
Además del transporte molecular de momentum, que resulta como consecuencia de la transferencia de movimiento entre las moléculas, también existe un flujo de momentum debido al movimiento de bulto o movimiento convectivo del fluido. Esta transferencia de movimiento tiene que ver con el flux másico ρv , que atraviesa un plano dado del fluido. El flux másico atraviesa un plano dado, debido a su componente de velocidad normal a dicho plano, así en el plano xy tenemos:
El flux convectivo de momentum es el producto del flux másico por la velocidad, es decir
ρvv . Entonces, el flux convectivo de momentum atravesando el plano x x= es 0 ρvxv , el flux
convectivo de momentum atravesando el plano y=y0 es ρvyv y por extensión a la
coordenada z, se tiene también el flux convectivo de momentum atravesando el plano z z= , 0
como ρvzv. Cada uno de estos fluxes es un vector, tiene tres componentes, que corresponden
a las direcciones de las componentes de la velocidad.
El flux combinado de momentum φ es la suma del flux molecular de momentum, que corresponde a los esfuerzos totales más el flux convectivo de momentum:
p
ρ ρ
= + = + +
φ π vv δ τ vv (1.14)
Así, la componente ϕyx del flux combinado de momentum tiene el significado:
Y se expresa como:
yx yx v vy x p yx yx v vy x
ϕ =π +ρ = δ +τ +ρ (1.15)
Aquí hay que recordar que δyx = , lo cual elimina el efecto de la presión en esta componente 0 [ver la definición de δik en la Ecuación (1.12)]. Esto es así debido a que la presión es una
fuerza normal a la superficie considerada.
Ejercicios de tarea
E1.3. Problema 1.A del texto E1.4. Problema 1.B del texto
y y v ρv=ρ e 0 y 0 x 0 x x x y y ρv x v ρ
El flux másico atravesando el plano x x= es 0 ρvx
El flux másico atravesando el plano x x= es cero, 0
pero el que atraviesa el plano y=y0 es ρvy
yx
ϕ = flux combinado de momentum en la dirección x, atravesando una superficie perpendicular a la dirección y
E1.5. Problema 1.C del texto
E1.6. Encuentra las componentes no cero del flux combinado de momentum si la velocidad de flujo de un fluido newtoniano en coordenadas cartesianas y la presión son, respectivamente:
1 2 1 0 x V t y V t + = + v p P x= 0
(
+2y)
Donde P0 y V son constantes.
Autoevaluación 1
1. ¿Cuáles son las unidades de momentum por unidad de área por unidad de tiempo en términos de fuerza?
2. Escribe la ley de Newton de la viscosidad y nombra cada uno de sus elementos.
3. Dibuja un sistema coordenado (x, y, z), luego representa los esfuerzos viscosos , ,
xx xy xz
τ τ τ en el punto
(
x y0, 0,0)
, así como el plano considerado.4. Escribe la expresión del flux combinado de momentum y nombra cada uno de sus términos.
5. Encuentra las componentes del flux combinado de momentum si
(
2)
0 1 0 , 0 V y p P y − = = v .Donde P0 y V son constantes.
Auto-evaluación 2
1. Define el concepto de viscosidad (no fórmulas). 2. ¿Qué es un esfuerzo cortante?
3. ¿Qué significa la “condición de adherencia”? 4. ¿Qué es el régimen transitorio?
5. ¿Qué le pasa a la viscosidad de un líquido cuando aumenta la temperatura? 6. ¿Qué le pasa a la viscosidad de un gas cuando aumenta la temperatura? 7. ¿En qué dimensiones se mide la viscosidad?
8. ¿Qué es 1 poise?
9. Define la cantidad de movimiento o momentum lineal de un fluido 10. ¿Qué diferencia física hay entre
( )
∇v y(
∇ ⋅ v ?)
2. Balances de momentum en envolturas y distribuciones de velocidad
con flujo laminar
§ 2.1 Balances de momentum en envolturas y condiciones a la frontera
La envoltura es el sistema, se elige una rebanada delgada del espacio, al interior del flujo, que conserva las características geométricas del sistema global, con sus caras paralelas o perpendiculares a la dirección del flujo (las componentes de la velocidad).
Se aplica un balance de momentum a esta envoltura, considerando los términos importantes en cada una de sus superficies (o caras). El balance de momentum es:
Flujo de momentum Flujo de momentum Fuerza de gravedad Tasa de cambio combinado entrando combinado saliendo actuando sobre del momentum
a la envoltura de la envoltura el sistema
− + = en el sistema
El balance de momentum es una relación vectorial, consiste por lo tanto de tres relaciones escalares, una para cada una de las direcciones de un sistema coordenado ortogonal.
Procedimiento para la aplicación, solución y uso de los balances de envoltura
1. Considerando el flujo en la escala global, elige el sistema coordenado que se adapte a la geometría del flujo (coordenadas cartesianas, cilíndricas o esféricas), localiza el origen y determina la dirección de los ejes coordenados.
2. Identifica la componente de la velocidad que no se anula y la dirección (o las direcciones) en la(s) que cambia dicha componente [la velocidad depende de la(s) coordenada(s) correspondiente(s) a dichas direcciones]
3. Determina el lugar de la envoltura, que debe estar inmersa en la región de flujo que te interesa analizar. La envoltura debe ser delgada en la(s) dirección(es) en la(s) que cambia la velocidad y amplia en la(s) que no cambia. Dibuja un diagrama de dicha envoltura.
4. Identifica las componentes del flux combinado de momentum en la dirección del flujo y anótalos en el diagrama, entrando a la envoltura por la cara correspondiente más cercana al eje coordenado y saliendo por la más lejana. Agrega la contribución de la fuerza gravitacional, cuando corresponda.
5. Aplica el balance de momentum en la dirección del flujo.
Flujo laminar ⇒ El fluido se desplaza ordenadamente, como en láminas o capas Flujo turbulento ⇒ El fluido se desplaza aparentemente con desorden, siguiendo patrones
muy complejos con movimientos transversales a la dirección de flujo principal
Aplicaremos el balance de momentum a sistemas que tienen solamente una componente de velocidad, por lo que el balance se aplicará solamente en la dirección de dicha componente.
6. Divide el balance entre el volumen de la envoltura y toma el límite cuando el (los) espesor(es) de la(s) cara(s) delgada(s) de la envoltura tiende(n) a cero, para hacer uso de la definición de la derivada como el cociente incremental de una función y obtener así la ecuación diferencial correspondiente.
7. Sustituye las componentes del flux combinado de momentum por los términos que correspondan, de acuerdo con su definición [Ecuación (1.14)] y con las especificaciones para cada término [como en el ejemplo de la Ecuación (1.15)].
8. Simplifica la ecuación resultante, considerando la dependencia espacial de la velocidad (¿de qué coordenadas es función la velocidad?) y de la presión (los cambios de la presión se producen en la dirección del flujo). El resultado es el balance diferencial de momentum en la dirección seleccionada.
9. Determina las condiciones a la frontera. Necesitas establecer una condición a la frontera para cada variable derivada. A veces no se tiene una condición para los esfuerzos viscosos y su determinación se deja para una etapa posterior (el paso 12 de esta secuencia). En tal caso se requiere una condición de frontera adicional para la velocidad.
10. Integra esta ecuación para obtener la distribución del flux de momentum (en la dirección elegida) y aplica las condiciones a la frontera si es procedente.
11. Sustituye la ley de Newton de la viscosidad (o la relación de comportamiento que corresponda al fluido), considerando nuevamente la dependencia espacial de la velocidad para simplificar los términos. Resulta una ecuación diferencial para la velocidad.
12. Integra esta ecuación y aplica las condiciones a la frontera, para obtener la
distribución de velocidad (el perfil de velocidad).
13. Utiliza la distribución de velocidad para obtener otras cantidades importantes como la
velocidad máxima, el flujo volumétrico o gasto, la fuerza del fluido sobre una
superficie sólida que lo limite o la disipación viscosa. Condiciones a la frontera
En las fronteras del flujo se encuentran otros materiales, sólidos o fluidos, o bien el mismo fluido entrando o saliendo del sistema. Las condiciones a la frontera son reglas que se asignan al comportamiento de la velocidad o de los esfuerzos en las fronteras del sistema. Las que se usan más frecuentemente son:
a. Interfases sólido-fluido: La velocidad del fluido en contacto con el sólido iguala la velocidad del sólido. Esta condición se subdivide en (i) condición de adherencia, para la igualdad de las componentes tangenciales de la velocidad y (ii) condición
de impenetrabilidad, para la igualdad de las componentes normales.
b. Interfases líquido-líquido: Se satisface la condición de adherencia y si no hay transferencia de masa, también la condición de impenetrabilidad. Además las componentes del tensor de esfuerzos totales π son continuas.
c. Interfases líquido-gas: Se satisface la condición de adherencia y si no hay transferencia de masa, también la condición de impenetrabilidad. Además las componentes del tensor de esfuerzos viscosos τ son cero. Esto es una aproximación razonable porque la viscosidad de los gases es muy inferior a la de los líquidos.
