Introducción Axiomática al Electromagnetismo

Apuntes para una

‘Introducción Axiomática

al

Electromagnetismo

’

V.D. Rodríguez

Dpto. Física Fundamental y Experimental, Electrónica y Sistemas

Universidad de La Laguna

XII-2002

Imagine una fuerza como la gravitatoria que varíe predominatemente con la inversa del cuadrado de la distancia, pero un billón de billones de billones (1036_{) de veces mas} intensa. Y con otra diferencia. Que haya dos tipos de ‘materia’, que podríamos llamar positiva y negativa respectivamente. Que las del mismo tipo se atraigan y que las de distinto tipo se repelan, a diferencia de la gravedad donde solo hay atracción. ¿Qué sucedería?. /…/ Tal fuerza existe: la fuerza eléctrica.

/…/

Si usted se encontrara separado de alguien una distancia igual a la longitud de un brazo y ambos tuvieran un uno por ciento mas de electrones que de protones, la fuerza de repulsión sería increible. ¿Cómo de grande?. /…/. La repulsión sería suficiente para levantar un peso igual al de la Tierra.

/…/

Si un núcleo contiene demasiados protones, se vuelve excesivamente grande y no permanece unido. Un ejemplo es el uranio, con 92 protones. /…/ Si un núcleo así es golpeado ligeramente (por ejemplo enviandole un neutrón lento), se rompe en dos piezas con carga positiva y estas piezas salen despedidas por la repulsión eléctrica. La energía que se libera es la energía de la bomba atómica. Esta energía es habitualmente llamada energía ‘nuclear’, pero es realmente energía ‘electrica’ liberada cuando las fuerzas de repulsión eléctrica superan a las fuerzas atractivas nucleares.

/…/

Desde una visión amplia de la Historia del hombre –digamos dentro de diez mil años- hay pocas dudas acerca de que el descubrimiento de las leyes de la electrodinámica por Maxwell será considerado como el evento mas importante del siglo XIX.

Estos apuntes tienen como objetivo servir de ayuda a los estudiantes de la asignatura de Electromagnetismo I de la Licenciatura en Física de la Universidad de La Laguna.

INDICE:

• Cargas y Corrientes.

• Ecuaciones del Campo Electromagnético en el Vacío.

• Ecuaciones del Campo Electromagnético en

presencia de Medios Materiales.

• Solución de las Ecuaciones del Campo. Potenciales

Electromagnéticos.

• Leyes de conservación.

•

Ecuaciones del Campo Electromagnético en

CARGAS Y CORRIENTES.

La carga es una propiedad intrínseca de las partículas elementales.

Tipos de carga: hay dos tipos de carga que se distinguen asignándoles los signos positivo o negativo. Así, por ejemplo, se dice que los protones son positivos y los electrones negativos. Esta asignación es arbitraria y pudo haber sido hecha al revés.

Propiedades:

Invariancia Lorentz. Conservación.

Cuantización (con precisión de una parte en 1020).

Unidad en el SI: culombio

Densidad de carga: cuando la distancia entre las partículas cargadas es mucho menor que las dimensiones de la distribución se introducen las densidades de carga de volumen ρ, de superficie σ o de línea λ:

( )

dv dq r = ρ r ,

( )

ds dq r = σ r ,

( )

dl dq r = λ r S dv

para una carga puntual:

( )

rr =q⋅δ

(

rr−rr_o

)

ρ

para varias cargas puntuales:

( )

=

∑

⋅δ

(

−

)

ρ i i i r r q r r r r Densidad de corriente: A partir de:

( )

rr,t

ρ densidad de carga móvil

( )

r,t v r

r _{velocidad de desplazamiento} se define la densidad de corriente como:

( ) ( ) ( )

r,t r,t v r,t J r r r r r ⋅ ρ =

si la distribución de corriente es superficial:

( ) ( ) ( )

r,t r,t v r,t J_s r r r r r _{=σ ⋅}

Si consideramos una pequeña superficie ∆Sr, entonces Jr⋅∆Sr es la carga que pasa a través de dicha superficie por unidad de tiempo:

∆q = v ∆t ∆S cosθ = J ∆t ∆S cosθ t q S J ∆ ∆ = ∆ ⋅ r r θ J r Sr ∆

Intensidad de corriente: la intensidad de corriente a través de una superficie es la carga que la atraviesa en la unidad de tiempo. Para una superficie infinitesimal:

S J dI=r⋅r

entonces para una superficie S:

∫

⋅ = S S d J I r r

Si la corriente es superficial, la intensidad a través de un tramo infinitesimal de curva: l

d J dI=r⋅ r

y para una curva c sobre la superficie la intensidad viene dada por:

∫

⋅ = C l d J dI r r

(Nota: no es una circulación)

Conservación de la carga eléctrica: Consideremos un volumen V cuyo contorno es la superficie S, la conservación de la carga eléctrica se puede expresar matemáticamente de la siguiente forma:

∫

∫

ρ =− ⋅ S V S d J dv dt d r r

El primer miembro representa la variación por unidad de tiempo de la carga contenida en el volumen V, mientras que el segundo miembro corresponde a la carga que escapa por unidad de tiempo a través de la superficie S. El signo menos se debe a que un flujo positivo de carga lleva a una disminución de la carga total contenida en el volumen.

J r S

dr

A partir de la ecuación anterior y aplicando el teorema de Gauss se puede obtener la expresión local de la conservación de la carga eléctrica también conocida como ecuación de continuidad: t J ∂ ρ ∂ − = ∇r

(Se dice que una distribución de corriente es estacionaria cuando ∇Jr=0)

ECUACIONES DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO EN

EL VACÍO.

La fuerza que actúa sobre una partícula con carga q y velocidad vr cuando interacciona con otras partículas cargadas viene dada por la expresión de la Fuerza de Lorentz:

(

E v B

)

q

Fr= r +r×r

donde Er y Br son dos magnitudes vectoriales que caracterizan el campo electromagnético en la posición de la partícula de carga q debido al resto de partículas cargadas. Estas dos magnitudes se conocen como campo eléctrico y campo magnético, respectivamente, y contienen la información necesaria acerca de todas las cargas existentes en el universo para calcular la fuerza que actúa sobre nuestra partícula cargada. De esta forma, la expresión de la fuerza de Lorentz sugiere la posibilidad de entender la fuerza que actúa sobre una partícula cargada como debida a la interacción con un campo electromagnético, prescindiendo de los detalles acerca de la distribución de cargas y corrientes que lo generan.

Conociendo la fuerza que actúa sobre una partícula cargada y la ley relativista del movimiento, la Dinámica de la partícula queda determinada. Necesitaríamos poder calcular el campo Electromagnético debido a una distribución de partículas cargadas que, en general, estarán en movimiento. El campo electromagnético (Er ,Br) está relacionado con la distribución

de cargas y corrientes (ρ y Jr) que lo producen mediante las cuatro Ecuaciones de Maxwell para el vacío, también llamadas ecuaciones microscópicas. Estas ecuaciones nos dan las fuentes escalares y vectoriales de Er y de Br : o E ε ρ = ∇r 0 B= ∇r t B E ∂ ∂ − = × ∇ r r       ∂ ∂ ε + µ = × ∇ t E J B _{o o} r r r

εo y µo son respectivamente la permitividad y la permeabilidad del vacío y tienen los siguientes

valores: 2 2 12 o m N C 10 854 . 8 ⋅ × = ε − A m . T 10 4 7 o = π× − µ

Las ecuaciones de Maxwell para el vacío, junto con la expresión de la fuerza de Lorentz, contienen toda la información física necesaria para estudiar la interacción electromagnética en cualquier sistema de partículas cargadas. Estas ecuaciones pueden tomarse como postulados de partida para desarrollar el estudio del Electromagnetismo.

(Nota: En las Ecuaciones de Maxwell está implícita la Ley de Conservación de la Carga Eléctrica, como se comprueba calculando la divergencia en los dos miembros de la última ecuación).

ECUACIONES DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO

EN PRESENCIA DE MEDIOS MATERIALES.

En un medio material se tiene, a escala microscópica, una distribución complicada de partículas cargadas en movimiento. Como consecuencia se encuentra variaciones grandes del Campo Electromagnético en distancias pequeñas y variaciones rápidas en el tiempo, hasta el punto de que no se dispone de sensores suficientemente pequeños y rápidos para medir este campo. Pero, en general, no se necesita conocer con detalle en el medio material ni la distribución de cargas y corrientes ni el campo electromagnético, siendo suficiente conocer los promedios espaciales de estas magnitudes sobre volúmenes que incluyan un número alto de átomos del medio, es decir, de radio mucho mayor que las distancias interatómicas. Esta operación de promediado pasa de las magnitudes microscópicas a las macroscópicas. Así, cuando hay presentes medios materiales se habla de densidades macroscópicas de carga y corriente y de campos macroscópicos.

El efecto de un campo electromagnético sobre un medio material se puede caracterizar a escala macroscópica mediante tres magnitudes: polarización Pr (densidad de momento dipolar eléctrico), magnetización Mr (densidad de momento dipolar magnético) y densidad de corriente

J r

. Estas magnitudes representan la respuesta del medio al campo.

Se puede comprobar que en un medio material se tiene densidades de carga y corriente equivalentes macroscópicas dadas por (Véase ‘Fundamentos de la Teoría Electromagnética’ de J.R. Reitz, F.J. Milford y R.W. Christy):

P P =−∇r ρ M J_M r r × ∇ = t P J_P ∂ ∂ = r v

Añadiendo estas densidades de carga y corriente a las ecuaciones de Maxwell para el vacío se obtienen ecuaciones para un tratamiento macroscópico de los medios materiales. Las

ecuaciones de Maxwell para medios materiales, también conocidas como ecuaciones macroscópicas, quedan de la siguiente forma:

o P E ε ∇ − ρ = ∇ r r 0 B= ∇r t B E ∂ ∂ − = × ∇ r r       × ∇ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ε + µ = × ∇ M t P t E J B _{o o} r r r r r

Para resolver estas ecuaciones se necesita conocer la relación entre el campo electromagnético (Er , Br ) y la respuesta (Pr, Mr y Jr). Esta información viene recogida en las relaciones de constitución del medio:

E Pr=εoχr B 1 1 M m m o r r χ + χ µ = E J r r σ =

donde χ, χm y σ son respectivamente la susceptibilidad eléctrica, la susceptibilidad magnética y

la conductividad. Estos tres parámetros dan la caracterización macroscópica del medio material. Con frecuencia resulta más simple trabajar con las ecuaciones macroscópicas introduciendo dos campos auxiliares: el Desplazamiento Eléctrico Dr y la Intensidad Magnética

Hr . Estos campos se definen de la siguiente forma:

(

1

)

E E P E Dr =ε_or+r =ε_o +χ r =εr µ = − µ = B M B H o r r r r con: µ=µ_o

(

1+χ_m

)

A partir de las Ecuaciones de Maxwell se comprueba fácilmente que: ρ = ∇Dr t D J H ∂ ∂ + = × ∇ r r r

estos resultados indican que en las fuentes escalares de Dr no intervienen las cargas de polarización y en las fuentes vectoriales de Hr no intervienen las corrientes de magnetización. Como consecuencia el cálculo de los campos auxiliares puede resultar más simple que el cálculo del campo electromagnético, de aquí deriva la utilidad de estos campos.

Como alternativa, las dos primeras relaciones de constitución se pueden expresar utilizando los campos auxiliares de la siguiente forma:

E Dr =εr H Br =µr

SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DEL CAMPO.

POTENCIALES ELECTROMAGNÉTICOS.

Ecuaciones de Ondas para los Campos.

Las ecuaciones de Maxwell están acopladas, pero se puede obtener fácilmente ecuaciones desacopladas para Er y Br .

Partimos de: t B E ∂ ∂ − = × ∇ r r

aplicando el rotacional a los dos miembros:

(

Er

) ( )

Er 2Er −∇2Er ε ρ ∇ = ∇ − ∇ ∇ = × ∇ × ∇ 2 2 t E t J B t t B ∂ ∂ µε − ∂ ∂ µ − = × ∇ ∂ ∂ − =       ∂ ∂ × ∇ r r r r

finalmente: t J t E E 2₂ 2 ∂ ∂ µ + ε ρ ∇ = ∂ ∂ µε − ∇ r r r análogamente se llega a: J t B B ₂ 2 2r r _=−µ∇×r ∂ ∂ µε − ∇

estas dos ecuaciones son del tipo: P t Q v 1 Q ₂ 2₂ 2 r r r − = ∂ ∂ − ∇

que es la ecuación de ondas inhomogénea y expresa que la perturbación Qr que tiene por causa

Pr se propaga con velocidad vr.

Según esto el campo electromagnético

( )

Er,Br se comporta como una onda, propagándose con la velocidad

µε 1

. Para el vacío esta velocidad

0 0 1 ε µ sería 3x10 8 m/s que coincide con la velocidad de la luz en el vacío. Este resultado llevó a Maxwell en 1873 a la predicción de la existencia de ondas electromagnéticas y a la conclusión de que la luz tiene naturaleza electromagnética. Lo primero fue confirmado por Hertz en 1888 quien consiguió generar y detectar ondas EM, observando los fenómenos de reflexión, refracción, interferencias y polarización.

Potenciales Electromagnéticos.

De ∇Br =0 se tiene Br =∇×Ar A t t B E r r r × ∇ ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = × ∇ 0 t A E _=      ∂ ∂ + × ∇ r r ϕ −∇ = ∂ ∂ + t A E r r

finalmente: t A E ∂ ∂ − ϕ −∇ = r r

‘Solo son necesarios dos potenciales debido a que Er y Br no son independientes y a que 0

B= ∇r ’.

Los potenciales no están unívocamente determinados. Si tenemos:

( )

ϕ,Ar →

( )

Er,Br

se puede encontrar dos nuevos potenciales que dan lugar al mismo campo. A partir de cualquier función escalar ψ: t ' ∂ ψ ∂ + ϕ = ϕ ψ ∇ − = A ' Ar r E t ' A ' r r = ∂ ∂ − ϕ ∇ − B ' Ar = r × ∇

Ecuaciones de ondas para los potenciales: Partiendo de:       ∂ ∂ + µ = × ∇ t D J B r r r con: A Br =∇×r A A Ar =∇∇r −∇2r × ∇ × ∇       ∂ ∂ − ϕ ∇ − ∂ ∂ µε + µ t A t J r r       _+∇ ∂ ϕ ∂ µε ∇ − µ − = ∂ ∂ µε − ∇ A t J t A A ₂ 2 2 r r r r

Contraste de Lorentz: t A ∂ ϕ ∂ µε − = ∇r

Ecuaciones de ondas para los potenciales: J t A A 2₂ 2 r r r µ − = ∂ ∂ µε − ∇ también se llega a: ε ρ − = ∂ ϕ ∂ µε − ϕ ∇2 2₂ t

Solución de las ecuaciones de ondas para los potenciales Si la distribución de cargas no cambia con el tiempo:

( )

( )

ε ρ − = ϕ ∇2 rr rr ecuación de Poisson carga puntual en rr₀:

( )

(

)

( )

0 0 2 r r q 4 1 r r r q r r r r _{r r} r − πε = ϕ → ε − δ − = ϕ ∇

conjunto de cargas puntuales:

( )

∑

( )

∑

− πε = ϕ = ϕ i i i i i r r q 4 1 r r r _{r r} r distribución continua:

( )

( )

dv ' r r ' r 4 1 r V

∫

− ρ πε = ϕr _r r_r

Cuando ρ depende de t la solución no se obtiene sustituyendo ρ

( )

rr' por ρ

( )

rr,'t . La ecuación de ondas es también una ecuación lineal, podemos calcular el potencial debido a cada elemento de volumen y sumar las distintas contribuciones.

Para calcular la contribución de un elemento de volumen elegimos el origen de coordenadas coincidiendo con él:

0 t2 0 2 0 2 ₌ ∂ ϕ ∂ µε − ϕ ∇

suponiendo que ϕ0 solo depende de r y de t:

0 t v 1 r r r r 1 2 0 2 2 0 2 2 _∂ = ϕ ∂ − ∂ ϕ ∂ ∂ ∂ haciendo:

( ) ( )

r t , r t , r 0 =χ ϕ       ± χ = χ → = ∂ χ ∂ − ∂ χ ∂ v r t 0 t v 1 r 2 2 2 2 2 o χ=χ

(

r±vt

)

( )

r v r t t , r 0       ± χ = ϕ

cualquier solución de este tipo satisface la ecuación de ondas fuera del elemento de volumen. Comparando con la solución estática elegimos:

r v r t q 4 1 0       ± ∆ πε = ϕ

Nos quedamos con el signo negativo que corresponde a un potencial retardado. Considerando una distribución continua de carga, el potencial en el punto rr debido a la carga en un volumen dv y situada en rr' será:

( )

(

)

dv ' r r v / ' r r t ,' r 4 1 t , r d _{r r} r r r r − − − ρ πε = ϕ Finalmente:

( )

∫

(

)

− − − ρ πε = ϕ V dv ' r r v / ' r r t ,' r 4 1 t , r _{r r} r r r r análogamente se obtiene:

( )

∫

(

)

− − − π µ = V dv ' r r v / ' r r t ,' r J 4 t , r A _{r r} r r r r r r

Comportamiento del Campo Electromagnético en superficies de

discontinuidad.

Consideremos una superficie que separa dos medios diferentes:

ε2, µ2, σ2

ε1, µ1, σ1

Componentes normales a la superficie de separación: σ = − _1n n 2 D D σ = ε −

ε₂D_{2n 1}D_1n para medios isótropos 0 B B_2n − _1n = 0 H H_{2n 1 1n} 2 −µ =

µ para medios isótropos

Componentes tangentes a la superficie de separación: 0 E E2t − 1t = 0 D D 1 t 1 2 t 2 ₌ ε −

ε para medios isótropos

S t 1 t 2 H J H − = S 1 t 1 2 t 2 B _J B ₌ µ −

LEYES DE CONSERVACIÓN.

Conservación de la Energía Electromagnética.

Consideremos un volumen V en el que existe una distribución de cargas y corrientes y un campo electromagnético. El trabajo realizado por unidad de tiempo por el campo sobre las cargas de un elemento infinitesimal de volumen viene dado por:

(

E v B

)

dq v E dv v E J Edv dq v F d v⋅ = ⋅ ⋅ + × = ⋅ ⋅ =ρ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ sobre todas las cargas del volumen V sería:

( )

( )

dv t B H t D E H E dv t D E H E Edv J V V V

∫

∫

∫

_      ∂ ∂ + ∂ ∂ + × ∇ − =         ∂ ∂ − × ∇ =

se utilizó en el último paso la relación: ∇

( ) ( ) ( )

E×H =H∇×E −E∇×H Si el medio es lineal: 2 2 t E 2 t E E t D E ∂ ∂ ε = ∂ ε ∂ = ∂ ∂ análogamente: 2 2 t B 2 1 t B B t B H ∂ ∂ µ = ∂ ∂ µ = ∂ ∂

Aplicando el Teorema de Gauss, queda finalmente (S es el contorno del volumen V):

( )

E Hds dv B 2 1 E 2 dt d dv E J S V 2 2 V

∫

∫

∫

_ − ×      µ + ε − =

La primera integral del segundo miembro se puede identificar como la energía electromagnética almacenada en el volumen V y el integrando sería la densidad de energía asociada al campo electromagnético. La última integral de la ecuación anterior corresponde al flujo de energía electromagnética a través de la superficie S y el producto E×H, conocido como vector de Poynting S, es la densidad de flujo de energía.

Al considerar que se tiene energía almacenada en el espacio cuando existe campo electromagnético se está admitiendo que el campo tiene entidad física, no es simplemente un recurso matemático para describir la interacción a distancia entre partículas cargadas.

Conservación del Momento Electromagnético.

Partiendo de la fuerza que actúa sobre las partículas con carga de un elemento infinitesimal de volumen:

(

E v B

)

dq F d = ⋅ + × se llega a:

(

+

)

=

∫

⋅ =

∫∑

⋅ S i i ji S j j campo partículas P T dS T dS P dt d

donde el momento del campo electromagnético viene dado por: B

D P_campo = ×

y el flujo de la componente j del momento del campo electromagnético se obtiene a partir de la componente j del tensor de esfuerzos de Maxwell:

(

)

ji i j i j ji ED BH 2 1 B H D E T = + − + δ

ECUACIONES DEL CAMPO EN SITUACIONES

PARTICULARES.

µ(J+

∂D/∂t

)

µJ

µJ

0

∇xB =

-∂B/∂t

-∂B/∂t

0

0

∇xE =

0

0

0

0

∇⋅B =

ρ/ε

ρ/ε

ρ/ε

ρ/ε

∇⋅E =

Corrientes

variables

ρ=ρ(t)

J=J(t)

Corrientes

estacionarias

ρ≠ρ(t)

J=J(t),

∇J=0

Magnetos-tática

ρ≠ρ(t)

J

≠J(t)

Electrostática

ρ≠ρ(t)

J=0