Cinemática y Dinámica
Guía de Estudio de la
Licenciatura en Ingeniería Civil
Presentación Presentación
El Sistema Educativo Universitario Azteca, es una empresa 100% chiapaneca con criterios educativos definidos por los cuales nos esforzamos día a día preocupados por la conciencia del buen saber, además del buen ser y hacer.
Misión
Formar jóvenes profesionistas, con aptitud emprendedora, que les permita incorporarse y desarrollarse con éxito en el campo laboral.
Visión
Promover educación de calidad para coadyuvar con el desarrollo de nuestro estado, dentro del marco del desarrollo cultural.
Valores
Nuestra comunidad educativa destaca, compromiso con la sociedad, honestidad, responsabilidad, amor y disciplina.
Esta guía de estudio, fue elaborada con la participación de las academias, los catedráticos y coordinada por el Departamento de Investigación Educativa del Sistema Educativo Universitario Azteca, con el fin de proveer a sus alumnos un material orientado hacia el modelo de enseñanza aprendizaje basado por competencias para reforzar las destrezas, conocimientos, aptitudes y actitudes desarrollados dentro del aula.
Este material está conformado por elementos clave como introducción, propósito de la asignatura y de cada uno de los bloques que la componen, así como actividades de aprendizaje y complementarias, además de casos prácticos y un glosario. También incluye desarrollar un proyecto final, el cual servirá para reafirmar los conocimientos adquiridos durante el cuatrimestre y será de gran utilidad para aplicarlo posteriormente en situaciones de la vida diaria, integrándose así de forma profesional al campo laboral.
LICENCIATURA EN INGENIERÍA CIVIL LICENCIATURA EN INGENIERÍA CIVIL
Asignatura:
Asignatura: CINEMÁTICA Y DINÁMICA
Modalidad:
Modalidad: MIXTA
Cuatrimestre:
Cuatrimestre: III
Línea de formación:
Línea de formación: TÉCNICA GENERAL Créditos:
Créditos: 5
Objetivo:
Objetivo: AL TERMINAR LA ASIGNATURA, EL ALUMNO EXPLICARÁ LAS PRINCIPALES LEYES DE LA FÍSICA QUE HACEN POSIBLE QUE LOS CUERPOS CAMBIEN SU ESTADO DE POSICIÓN; PRIMERAMENTE ESTUDIANDO LOS CUERPOS EN MOVIMIENTO SIN IMPORTAR LAS CAUSAS QUE HACEN ESTE MOVIMIENTO.
ESTRUCTURA DEL CURSO ESTRUCTURA DEL CURSO
CINEMÁTICA Y
CINEMÁTICA Y
DINÁMICA
DINÁMICA
BLOQUE I.
BLOQUE I.
CINEMATICA DE
CINEMATICA DE
PARTICULAS
PARTICULAS
BLOQUE II.
BLOQUE II.
CINEMÁTICA DE
CINEMÁTICA DE
LOS CUERPOS
LOS CUERPOS
BLOQUE III.
BLOQUE III.
DINÁMICA
DINÁMICA
ÍNDICE
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN ... 6
BLOQUE I ... 10
CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS ... 10
1.1.- Desplazamiento, velocidad y aceleración ... 12
1.2.- Determinación del movimiento de una partícula ... 18
1.3.- Movimiento rectilíneo uniforme ... 24
1.4.- Movimiento rectilíneo uniformente acelerado ... 24
1.5.- Movimiento de varias partículas ... 26
1.6 Movimiento curvilíneo de particulas ... 30
1.7.- Movimiento circular uniforme ... 34
1.7.1.- Aceleración centrípeta ... 35
1.7.2.- Desplazamiento angular ... 38
1.7.3.- Velocidad angular ... 41
1.7.4.- Aceleración angular ... 43
BLOQUE II ... 51
CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS ... 51
2.1.- Segunda Ley de Newton ... 52
2.2.- Cantidad de movimiento lineal de una partícula. Razón de cambio de la cantidad de movimiento lineal ... 52
2.3.- Sistema de unidades ... 53
2.4.- Ecuaciones del movimiento ... 55
2.5.- Equilibrio dinámico ... 56
2.6.- Cantidad de movimiento angular de una partícula. Razón de cambio de la cantidad de movimiento angular ... 57
BLOQUE III ... 66
DINÁMICA ... 66
3.1.- Impulso y cantidad de movimiento ... 69
3.1.1.- Principio de conservación de la cantidad de movimiento de una partícula ... 71
3.1.2.- Necesidad de introducir las dos características: cantidad de movimiento y energía cinética ... 71
3.2.- Principio de conservación de la cantidad de movimiento de un sistema de dos partículas aisladas y elásticas ... 74
3.3.- Principio de conservación de la cantidad de movimiento para un sistema de más de dos partículas aisladas ... 79
3.4.-. COMENTARIOS SOBRE LA FORMULACION DEL PRINCIPIO DE MASA 3.5.- Choque ... 84
3.5.1.- Choque central ... 84
3.5.2.- Choque central directo ... 85
3.5.3.- Casos extremos de choque ... 90
BIBLIOGRAFÍA ... 103
GLOSARIO ... 104
ANEXO 1 ... 107
INTRODUCCIÓN
INTRODUCCIÓN
Esta guía contiene temas de Cinemática y Dinámica, con un enfoque para la Licenciatura en Ingeniería civil. La teoría que se trata es lo más clara y básica posible poniendo mayor enfoque en los ejemplos prácticos, en donde el estudiante adquirirá la habilidad para resolver problemas que se le presenten en la vida cotidiana.
La guía se estructura de tres bloques los cuales contienen actividades de aprendizaje y complementarias al inicio y final de cada uno, para reafirmar los conceptos aprendidos, así como el desarrollo de un proyecto final relacionado a su perfil.
En el bloque I. Introduciremos los elementos matemáticos básicos para la descripción del movimiento de una partícula.
La parte de una teoría física que introduce el lenguaje necesario para la descripción de los fenómenos que estudia se llama la Cinemática. Todo fenómeno que se encuentra dentro del rango de aplicación de la Teoría debe ser expresable en dicho lenguaje. Así, la Cinemática de las Partículas Materiales debe ser capaz de describir cualquier movimiento posible de una partícula en el espacio tridimensional
El bloque II. Estudiaremos los conceptos básicos de la cinemática de cuerpos rígidos la cual estudia las relaciones existentes entre el tiempo, las posiciones, las velocidades y las aceleraciones de las diferentes partículas que forman un cuerpo rígido.
En el bloque III. Estudiaremos los conceptos básicos de Dinámica. Ella establece las leyes que obedecen los fenómenos físicos. En particular, la Dinámica de las
partículas Materiales nos permitirá determinar, en una situación dada, cuál de todos los movimientos cinemáticamente posibles seguirá la partícula en cuestión.
Criteri os de evaluación
A creditación
De acuerdo con estas sugerencias de evaluación, el titular de la asignatura determinara la calificación conforme al siguiente parámetro siempre que el alumno hay cumplido con el85% de as is tencia al curso.
La escala de calificación será del 0 al 10. Lacalifi cación mínima aprobatoria de Proyecto Proyecto 10% 10% Tareas 30% Tareas 30% Asistencia Asistencia 10% 10% Examen Examen 50% 50% TTotal otal 100%100%
A ctividades con el docente Clase magistral Resolución de ejercicios Lluvia de ideas Debate A ctividades independientes Consultas bibliográficas Resolución de problemas Investigaciones
Material didáctico requerido
Cuaderno de cuadros para actividades Lapiceros tinta roja y negra
Lápiz 2b Hojas blancas Hojas milimétricas Calculadora Computadora Proyector Libros complementarios
Proyec to final
Este cuatrimestre como parte de la evaluación del curso desarrollarás un proyecto para la materia de Cinemática y dinámica. La participación en este proyecto es
obligatoria y se realizará por equipos.
El proyecto será crear material didáctico para el apoyo al entendimiento y el aprendizaje de los temas de Cinemática y Dinámica.
Como recomendación podrán elegir cualquiera una o más de las siguientes sugerencias para entregar de manera física y digital un cuadernillo al finalizar el curso:
• Realidad aumentada • Resúmenes (interactivos) • Presentaciones
• Series de ejercicios explicados • Manual de fórmulas.
• Investigación de aplicaciones de la cinemática y dinámica a la ingeniería civil.
BLOQUE I
BLOQUE I
CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS
CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS
Propósito:
Propósito: Al finalizar el bloque el alumno conocerá y comprenderá los conceptos básicos de cinemática de partículas, así también será capaz de usar las formulas y resolver problemas relacionados con el desplazamiento, velocidad y aceleración lineal y angular y la relación que puede existir entre ellos.
A ctividades de aprendizaje
I. Elige la respuesta correcta en cada pregunta del siguiente cuestionario de acuerdo a tus conocimientos generales
1) Una partícula que realiza un movimiento con aceleración tangencial nula:
( ) Describe necesariamente un movimiento circular ( ) Está en reposo
( ) Mantiene constante el módulo de la velocidad ( ) Describe necesariamente una trayectoria rectilínea
2) En un movimiento circular uniformemente acelerado:
( ) El vector aceleración lineal es constante ( ) El vector aceleración angular es nulo
( ) El vector aceleración normal tiene módulo constante ( ) El vector aceleración tangencial tiene módulo constante
3) En un tiro parabólico:
( ) No hay aceleración normal ( ) El vector aceleración es constante
( ) El vector aceleración tangencial es constante ( ) El vector velocidad es constante
4) En un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:
( ) El vector aceleración tangencial es nulo ( ) El vector aceleración normal es nulo ( ) El vector velocidad es constante
( ) No hay aceleración
5) En un tiro parabólico, en el punto más alto de la trayectoria:
( ) La componente y de la velocidad se anula ( ) La componente x de la velocidad se anula ( ) La aceleración se anula
( ) La aceleración normal se anula
6) En cualquier tipo de movimiento, el vector velocidad:
( ) Se anula si la aceleración tangencial es nula ( ) Es paralelo al vector aceleración
( ) Es tangente a la trayectoria ( ) Es paralelo a la aceleración normal
1.1.- Desplazamiento, velocidad y aceleración 1.1.- Desplazamiento, velocidad y aceleración
Una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta se dice que se encuentra en movimiento rectilíneo. En cualquier instante dado t, la partícula ocupará cierta posición sobre la línea recta. Para definir la posición P de la partícula se elige un srcen fijo O sobre la dirección positiva a lo largo de la línea. Se mide la distancia x desde O hasta P, y se marca con un signo más o menos, dependiendo de si P se alcanza desde O al moverse a lo largo de la línea en la dirección positiva o en la negativa, respectivamente.
La distancia x, con el signo apropiado, define por completo la posición de la partícula, y se denomina como la coordenada de la posición de la partícula. Por ejemplo, la coordenada de la posición correspondiente a P en la figura 1.1 a) es
5
m; la coordenada correspondiente a′
en la figura 1.1 b) es
−2
m. Cuando se conoce la coordenada de la posición x de una partícula para cualquier valor de tiempo t, se afirma que se conoce el movimiento de la partícula.El “itinerario” del movimiento puede expresarse en forma de una ecuación en x y t, tal como
6
−
, o en una gráfica de x en función de t, como se indica en la figura 1.6. Las unidades que se usan con mayor frecuencia para medir la coordenada de la posición x son el metro (m) en el sistema de unidades SI y el pie (ft) en el sistema de unidades inglés. El tiempo t suele medirse en segundos (s).Figura 1.1 Figura 1.1
Considere la posición P ocupada por la partícula en el tiempo t y la coordenada correspondiente x (figura 1.2).
Considere también la posición P ocupada por la partícula en un tiempo posterior
∆
; la coordenada de la posición P puede obtenerse sumando a la coordenada x de P el pequeño desplazamiento∆
, el cual será positivo o negativo según si P está a la derecha o a la izquierda de P. La velocidad promedio de la partícula sobre el intervalo de tiempo∆
se define como el cociente entre el desplazamiento∆
y el intervalo de tiempo∆
: ∆∆
El movimiento de este vehículo solar se describe mediante su posición, velocidad y aceleración.
Si se usan unidades del SI,
∆
se expresa en metros y en segundos, la velocidad promedio se expresa consecuentemente en metros por segundo (m/s). Si se recurre a las unidades de uso común en Estados Unidos,∆
se expresa en pies y∆
en segundos; la velocidad promedio se expresará entonces en pies por segundo (ft/s).Figura 1.2 Figura 1.2
La velocidad instantánea v de la partícula en el instante t se obtiene de la velocidad promedio al elegir intervalos
∆
y desplazamientos,∆
cada vez más cortos: á lim
∆→
∆∆
La velocidad instantánea se expresa también en
/
o/
. Observando que el límite del cociente es igual, por definición, a la derivada de x con respecto a t, se escribe
La velocidad
se representa mediante un número algebraico que puede ser positivo o negativo. Un valor positivo de v indica que x aumenta, esto es, que la partícula se mueve en la dirección positiva (figura 1.3a); un valor negativo de v indica que x disminuye, es decir, que la partícula se mueve en dirección negativa (figura 1.3b). La magnitud de v se conoce como la rapidez de la partícula.Figura 1.3 Figura 1.3
Considere la velocidad v de la partícula en el tiempo t y también su velocidad
∆
en un tiempo posterior∆
(figura 1.4). La aceleración promedio de la partícula sobre el intervalo de tiempo∆
se refiere como el cociente de∆
y∆
:Figura 1.4 Figura 1.4
Si se utilizan las unidades del SI,
∆
se expresa en m/s y∆
en segundos; la aceleración promedio se expresará entonces en/
. Si se recurre a las unidades de uso común en Estados Unidos,∆
se expresa en/
y∆
en segundos; la aceleración promedio se expresa entonces en/
.La aceleración instantánea a de la partícula en el instante t se obtiene de la aceleración promedio al escoger valores de
∆
y
∆
cada vez más pequeños:
ó á lim
∆→
∆∆
La aceleración instantánea se expresa también en
/
o/
. El límite del cociente, el cual es por definición la derivada de v con respecto a t, mide la razón de cambio de la velocidad. Se escribe
La aceleración a se representa mediante un número algebraico que puede ser positivo o negativo. Un valor positivo de a indica que la velocidad (es decir, el número algebraico v) aumenta. Esto puede significar que la partícula se está moviendo más rápido en la dirección positiva (figura 1.5a) o que se mueve más lentamente en la dirección negativa (figura 1.5b); en ambos casos, v es positiva. Un valor negativo de a indica que disminuye la velocidad; ya sea que la partícula se esté moviendo más lentamente en la dirección positiva (figura 1.5c) o que se esté moviendo más rápido en la dirección negativa (figura 1.5d).
Figura 1.5 Figura 1.5
El término desaceleración se utiliza en algunas ocasiones para referirse a
cuando la rapidez de la partícula (esto es, la magnitud de v) disminuye; la partícula se mueve entonces con mayor lentitud. Por ejemplo, la partícula de la figura 1.5 se desacelera en las partes b y c; en verdad se acelera (es decir, se mueve más rápido) en las partes a y d.Ejemplo de aplicación
Considere la partícula que se mueve en una línea recta y suponga que su posición está definida por la ecuación
6
−
Donde t se expresa en segundos y x en metros. La velocidad de v en cualquier tiempo t se obtiene al diferenciar x con respecto a t
12− 3
La aceleración a se obtiene al diferenciar otra vez con respecto a t:
La coordenada de la posición, la velocidad y la aceleración se han graficado contra t en la figura 11.6. Las curvas obtenidas se conocen como curvas de movimiento. Recuérdese, sin embargo, que la partícula no se mueve a lo largo de ninguna de estas curvas; la partícula se mueve en una línea recta. Puesto que la derivada de una función mide la pendiente de la curva correspondiente, la pendiente de la curva
−
en cualquier tiempo dado es igual al valor de
en ese tiempo y la pendiente de la curva−
es igual al valor de a. Puesto que
0
en
2
, la pendiente de la curva v-t debe ser cero en2
; la velocidad alcanzaun máximo en este instante. Además, puesto que
0
en 0
y 4
s la tangente a la curva−
debe ser horizontal para ambos de estos valores de t. Un estudio de las tres curvas de movimiento de la figura 1.6 muestra que el movimiento de la partícula desde 0
hasta∞
puede dividirse en cuatro etapas:Figura 1.6 Figura 1.6
1. La partícula inicia desde el srcen,
0
, sin velocidad pero con una aceleración positiva. Bajo esta aceleración, gana una velocidad positiva y se mueve en la dirección positiva. De0
a2
,,
y
son todas positivas. 2. En 2
, la aceleración es cero; la velocidad ha alcanzado su valor máximo.De
2
a4
, v es positiva, pero a es negativa. La partícula aún se mueveen dirección positiva, pero cada vez más lentamente; la partícula se está desacelerando.
3. En
4
, la velocidad es cero; la coordenada de la posición x ha alcanzado su valor máximo. A partir de ahí, tanto v como a son negativas; la partícula se está acelerando y se mueve en la dirección negativa con rapidez creciente.4. En
6
, la partícula pasa por el srcen; su coordenada x es en ese caso cero, en tanto que la distancia total recorrida desde el principio del movimiento es de 64 m. Para valores mayores de
que
6 ,,
y
serán todas negativas. La partícula continúa moviéndose en la dirección negativa, alejándose de O, cada vez más rápido.
1.2.- Determinación del movimiento de una partícula 1.2.- Determinación del movimiento de una partícula
En la sección anterior se afirma que el movimiento de una partícula es conocido si se sabe la posición de la partícula para todo valor del tiempo t. En la práctica, sin embargo, un movimiento rara vez se define por medio de una relación entre x y t.
Con mayor frecuencia, las condiciones del movimiento se especificarán por el tipo de aceleración que posee la partícula. Por ejemplo, un cuerpo en caída libre tendrá una aceleración constante, dirigida hacia abajo e igual a
9.81 /
, o32.2 /
; una masa unida a un resorte que se ha estirado tendrá una aceleraciónproporcional a la elongación instantánea del resorte, medida desde la posición de equilibrio, etc. En general, la aceleración de la partícula puede expresarse como una función de una o más de las variables
,
y
. Para determinar la coordenada de la posición x en términos de t, será necesario efectuar dos integraciones sucesivas.Se considerarán tres clases comunes de movimiento:
Al integrar ambos miembros, se obtiene la ecuación
∫ ∫
que define v en términos de t. Sin embargo, debe notarse que una constante arbitraria se introducirá como resultado de la integración. Esto se debe al hecho de que hay muchos movimientos que corresponden a la aceleración dada
. Para definir en forma única el movimiento de la partícula, es necesario especificar las condiciones iniciales del movimiento, esto es, el valor de
de la velocidad y el valor
de la coordenada de la posición en 0
. Al sustituir las integrales indefinidas por integrales definidas con los límites inferiores correspondientes a las condiciones iniciales 0
y
y los límites superiores correspondientes a
y
, se escribe∫
∫
−
∫
lo cual produce v en términos de t.
La ecuación (11.1) puede resolverse ahora para
,
y la expresión que se acaba de obtener sea sustituida por v.
. La coordenada de la posición x se obtiene de ese modo en términos de t; el movimiento está completamente determinado.2.
. La aceleración se da en función de
. Al reordenar la eciacion
Y sustituir
para
, se escribe
Puesto que cada miembro contiene sólo una variable, se puede integrar la ecuación. Denotando de nuevo mediante
y
, respectivamente, los valores iniciales de velocidad y la coordenada de la posición, se obtiene∫ ∫
12
−12
∫
La cual produce
en términos de
. A continuación se resuelve la ecuación siguiente para.
Entonces
Y se sustituye por
la expresión que acaba de obtenerse. Ambos miembros pueden integrarse entonces para obtener la relación deseada entre
y
. Sin embargo, en muchos casos esta última integración no puede llevarse a cabo de manera analítica y debe recurrirse a un método de integración numérico.3.
.
La aceleración es una función dada de v. Es posible sustituir
por
en la ecuación
Para obtener cualquiera de las siguientes relaciones:
La integración de la primera ecuación producirá una relación entre
y
; la integración de la segunda ecuación srcinará una relación entre
y
. Cualquiera de estas relaciones puede utilizarse junto con la ecuación
para obtener la relación entre
y
que caracteriza el movimiento de la partícula.Ejemplo de aplicación
La posición de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta está definida por la relación
−6
−1540
, donde
se expresa en pies y
en segundos. Determinea) el tiempo al cual la velocidad será cero,
b) la posición y la distancia recorrida por la partícula en ese tiempo, c) la aceleración de la partícula en ese tiempo,
Solución Solución
Las ecuaciones de movimientos son
−6
−1540 1
3
−12−15 2
6−12
3
a) Tiempo en el cualTiempo en el cual
.
Se fija0
en (2):3
−12−150
Resolviendo la ecuación tenemos que:
−1 5
Solo la raíz
5
corresponde a un tiempo después de que el movimiento se ha iniciado: para<5 , <0
, la partícula se mueve en dirección negativa, para>5 , >0
, la partícula se mueve en dirección positiva.b) Posición y distancia recorrida cuandoPosición y distancia recorrida cuando
.
Al sustituir5
en (1), se tiene
5
−65
−155
40
−
La posición inicial en
0
fue
40
. Puesto que≠0
durante el intervalo0
a
−
−60 −40 −100
100 .
c)
c) Aceleración Aceleración cuandocuando
.. Se sustituye5
en (3):
65−1230−1218 /
d)d) Distancia Distancia recorrida recorrida desdedesde
hasta hasta .
La partícula se mueve en la dirección negativa desde
4
hasta5
y en dirección positiva desde 5
hasta6
; por lo tanto, la distancia recorrida durante cada uno de estos intervalos de tiempo se calculara por separado. De4
a5
:
−60
4
−64
−15440−52
−
−60 −−52 −8
8 ó
De5
a6
:
−60
6
−66
−15640−50
−
−50 −−60 10
10 ó
La distancia total recorrida desde
4
hasta6
es de8 10
1.3.- Movimiento rectilíneo uniforme 1.3.- Movimiento rectilíneo uniforme
El movimiento rectilíneo uniforme es un tipo de movimiento en línea recta que a menudo se encuentra en las aplicaciones prácticas. En este movimiento, la aceleración a de una partícula es cero para todo valor de t. En consecuencia, la velocidad v es constante, y la ecuación siguiente se transforma en
La coordenada de posición x se obtiene cuando se integra esta ecuación. Al denotar mediante
el valor inicial de
, se escribe∫
∫
−
Esta ecuación puede utilizarsesólo si la velocidad de la partícula es constante.
1.4.- Movimiento rectilíneo uniformente acelerado 1.4.- Movimiento rectilíneo uniformente acelerado
El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es otro tipo común de movimiento. En éste, la aceleración
de la partícula es constante, y la ecuación de la aceleración se convierte en
La velocidad
de la partícula se obtiene al integrar esta ecuación:∫
∫
−
Donde
es la velocidad inicial. Al sustituir por
, se escribe
Al denotar mediante
el valor inicial de
e integrar, se tiene∫
∫
−
1
2
También se puede recurrir a la ecuación siguiente ecuación
Al integrar ambos lados, se obtiene
∫
∫
12
−
−
Las tres ecuaciones que se han deducido ofrecen relaciones útiles entre la coordenada de posición, la velocidad y el tiempo en el caso del movimiento
uniformemente acelerado, al sustituir los valores apropiados de
,
y
. El srcen O del eje
debe definirse primero y escogerse una dirección positiva a lo largo del eje; esta dirección se usará para determinar los signos de
,
y
. Es importante recordar que las tres ecuaciones anteriores pueden utilizarse sólo cuando se sabe que la aceleración de la partícula es constante.Si la aceleración de la partícula es variable, su movimiento se debe determinar a partir de las ecuaciones fundamentales.
1.5.- Movimiento de varias partículas 1.5.- Movimiento de varias partículas
Cuando varias partículas se mueven de manera independiente a lo largo de la misma línea, es posible escribir ecuaciones de movimiento independientes para cada partícula. Siempre que sea factible, el tiempo debe registrarse a partir del mismo instante inicial para todas las partículas, y es necesario medir los desplazamientos desde el mismo srcen y en la misma dirección. En otras palabras, deben usarse un solo reloj y una sola cinta métrica.
Movimiento relativo de dos partículas.. Considere dos partículas A y B que se mueven a lo largo de la misma línea recta (figura 11.7).
Si las coordenadas de posición
y
se miden desde el mismo srcen, la diferencia
−
define la coordenada de posición relativa de B con respecto a A y se denota por medio de
. Se escribe
−
De manera independiente de las posiciones de A y B con respecto al srcen, un signo positivo para
significa que B está a la derecha de A, y un signo negativo indica que B se encuentra a la izquierda de A.La razón de cambio
se conoce como la velocidad relativa de B con respecto a A y se denota por medio de
.
Al diferenciar la ecuación anterior, se escribe
=
−
Un signo positivo de
significa que a partir de A se observa que B se mueve en dirección positiva; un signo negativo indica, según se observa, que ésta se mueve en dirección negativa.La razón de cambio de
se conoce como la aceleración relativa de B con respecto a A y se denota mediante
. Al diferenciar la ecuación anterior, se obtiene
−
Ejemplo de aplicación
Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde una altura de 12 metros en el pozo de un elevador con una velocidad inicial de 18 m/s. En el mismo instante
arriba con una velocidad constante de 2 m/s. Determine a) cuándo y dónde golpea al elevador, b) la velocidad relativa de la pelota con respecto al elevador cuando ésta lo golpea.
Solución
Movimiento de la pelota. Puesto que la pelota tiene una aceleración constante, su movimiento es uniformemente acelerado. Al colocar el srcen de O del eje y a nivel del suelo, es decir su dirección positiva hacia arriba, encontramos que la posición inicial es
12
, la velocidad inicial corresponde a
18 /
, y la aceleración equivale a−9.81 /
. Sustituyendo estos valores en las ecuaciones para movimiento uniformemente acelerado, se escribe
18−9.81
1
12
1218−4.905
2
Movimiento del elevador. Puesto que el elevador tiene una velocidad constante, su movimiento es uniforme. Al ubicar el srcen O en el nivel del suelo y elegir la dirección positiva hacia arriba, se observa que
5
y se escribe
2⁄
3
La pelota golpea el elevador .. Se usaron el mismo tiempo t y el mismo srcen O al escribir las ecuaciones de movimiento tanto de la pelota como del elevador. Se observa en la figura que cuando la pelota golpea el elevador,
5
Al sustituir para
y
en (2) y (4) en (5), se tiene5 2 1218− 4.905
−0.39
3.65
Sólo la raíz
3.65
corresponde a un tiempo después de que se ha iniciado el movimiento. Al sustituir este valor en (4), se obtiene
5 2 3.65 12.30
ó 12.30
La velocidad relativa de la pelota con respecto al elevador es
⁄
−
18− 9.81− 2 16− 9.81
Cuando la pelota golpea al elevador en el tiempo
3.65
, se tiene
⁄
16− 9.813.65
⁄
. /
El signo negativo significa que desde el elevador se observa que la pelota se mueve en el sentido negativo (hacia abajo).
1.6 Movimiento curvilíneo de particulas 1.6 Movimiento curvilíneo de particulas
Cuando una partícula se mueve a lo largo de una curva diferente a una línea recta, se afirma que describe un movimiento curvilíneo. Para definir la posición P ocupada por la partícula en un tiempo determinado t, se elige un sistema de referencia fijo, tal como los ejes x, y, z que se muestran en la figura a), y se dibuja el vector r que une al srcen O y al punto P. Puesto que el vector r está caracterizado por su magnitud r y su dirección con respecto a los ejes de referencia, éste define por completo la posición de la partícula con respecto a esos ejes;el vector r se conoce como el vector de posición de la partícula en el tiempo t.
Considérese ahora el vector
′
que define la posición′
ocupada por la misma partícula en un tiempo posterior∆
. El vector∆
que une a P y a′
representa el cambio en el vector de posición durante el intervalo del tiempo∆
, pues, como se puede verificar fácilmente en la figura a), el vector′
se obtiene al sumar los vectores r y∆
de acuerdo con el método de triángulo.∆
representa un cambio de dirección, así como un cambio de magnitud del vector de posición r. La velocidad promedio de la partícula sobre el intervalo de tiempo∆
se define como el cociente de∆
y∆
. Puesto que∆
es un vector y∆
es un escalar, el cociente de∆/∆
es un vector unido a P, de la misma dirección que
∆
y de magnitud igual a la magnitud de
∆
dividida entreLa velocidad instantánea de la partícula en el tiempo t se obtiene al elegir intervalos de tiempo
∆
cada vez más cortos y, de manera correspondiente, incrementos vectoriales∆
cada vez menores. La velocidad instantánea se representa en consecuencia mediante el vectorlim
∆→
∆∆
A medida que
∆
y∆
disminuyen, las posiciones P y′
se acercan cada vez más entre sí; el vector v obtenido en el límite debe, por lo tanto, ser tangente a la trayectoria de la partícula (figura c).Puesto que el vector de posición r depende del tiempo t, se conoce como una función vectorial de la variable escalar t y se denota
mediante
. Extendiendo el concepto de derivada de una función escalar que se presenta en cálculo elemental, el límite del cociente∆∆
se conoce como la derivada de la función vectorial
. Se escribeLa magnitud
del vector
se conoce como la rapidez de la partícula y es posible obtenerla al sustituir, en vez del vector∆
en la fórmulalim
∆→∆∆
, la magnitud de este vector representado por el segmento de línea recta′
. Sin embargo, la longitud del segmento′
, se acerca a la longitud∆
del arco′
cuando∆
disminuye (figura a), por lo que se puede escribirlim
∆→
∆
lim
∆→∆∆
La rapidez v puede obtenerse entonces diferenciando con respecto a t la longitud s del arco que describe la partícula.
Considere la velocidad v de la partícula en el tiempo t y su velocidad
′
en un tiempo posterior∆
(figura 1.15a). Se dibujarán ambos vectores
y′
a partir del mismo srcen O (figura 11.15b). El vector∆
que une a Q y a′
representa el cambio en la velocidad de la partícula durante el intervalo de tiempo∆
, ya que el vector′
puede obtenerse al sumar los vectores v y∆
.Hay que
advertir que
∆
representa un cambio en la dirección de la velocidad, así como un cambio en la rapidez. La aceleración promedio de la partícula sobre el intervalo detiempo
∆
se define como el cociente entre∆
y∆
. Puesto que∆
es un vector yLa aceleración instantánea de la partícula en el tiempo
se obtiene al tomar valores cada vez más y más pequeños de∆
y∆
. La aceleración instantánea se representa en consecuencia por medio del vectorlim
∆→
∆∆
Al advertir que la velocidad
es una función vectorial
del tiempo
, es posible referirse al límite del cociente∆∆
como la derivada de
con respecto a
. Se escribe
Se observa que la aceleración
es tangente a la curva descrita por la punta Q del vector
cuando este último se dibuja desde un srcen fijo′
(figura 1.15c) y que, en general, la aceleración no es tangente a la trayectoria de la partícula (figura 1.15d). La curva descrita por la punta de
e indicada en la figura 1.15c) se conoce como lahodógrafa del movimiento.1.7.- Movimiento circular uniforme 1.7.- Movimiento circular uniforme
Movimiento en una trayectoria circular
La primera ley de Newton dice que todos los cuerpos que se mueven en línea recta con rapidez constante mantendrán inalterada su velocidad a menos que actúe sobre ellos una fuerza externa. La velocidad de un cuerpo es una cantidad vectorial definida por su rapidez y su dirección. Igual que se requiere una fuerza resultante para cambiar su rapidez, hay que aplicar una fuerza resultante para cambiar su dirección. Siempre que esa fuerza actúa en una dirección diferente de la dirección srcinal del movimiento, ocasiona un cambio en la trayectoria de la partícula en movimiento.
El movimiento más sencillo en dos dimensiones se produce cuando una fuerza externa constante actúa siempre formando ángulos rectos respecto a la trayectoria de la partícula en movimiento. En este caso, la fuerza resultante producirá una aceleración que sólo cambia la dirección del movimiento y mantiene la rapidez constante. Este tipo de movimiento sencillo se conoce como movimiento circular uniforme.
El movimiento circular uniforme es un movimiento en el que la rapidez no cambia, sólo hay un cambio en la dirección.
Un ejemplo del movimiento circular uniforme consiste en dar vueltas en una trayectoria circular a una piedra atada a un cordel, como se ilustra en la figura. Mientras la piedra gira con rapidez constante, la fuerza hacia el centro srcinada por la tensión en el cordel cambia constantemente la dirección de la piedra, haciendo que ésta se mueva en una trayectoria circular.
Si el cordel se rompiera, la piedra saldría disparada en una dirección tangencial, es decir, perpendicular al radio de su trayectoria circular.
(a) La tensión hacia adentro que el cordel ejerce sobre la piedra hace que ésta se mueva en una trayectoria circular, (b) Si el cordel se rompe, la piedra sale volando en dirección tangencial al círculo.
1.7.1.- Aceleración centrípeta 1.7.1.- Aceleración centrípeta
La segunda ley del movimiento de Newton establece que una fuerza resultante debe producir una aceleración en la dirección de la fuerza. En el movimiento circular uniforme, la aceleración cambia la velocidad de una partícula que se mueve alterando su dirección.
(a) A y B son las posiciones en dos instantes separados por un intervalo de tiempo ∆t. (b) El cambio de velocidad v se representa gráficamente. El vector apuntará directamente hacia el centro si
∆
es lo suficientemente pequeño para que la cuerdas sea igual al arco que une los puntos A y B.La posición y la velocidad de una partícula que se mueve en una trayectoria circular de radio R se presenta en dos instantes en la figura 10.2. Cuando la partícula se halla en el punto A, su velocidad se representa con el vector
. Después del intervalo de tiempo∆
, su velocidad se denota por el vector
. La aceleración, por definición, es el cambio de velocidad por unidad de tiempo. Por tanto,∆∆
∆
−
El cambio en la velocidad
∆
se representa gráficamente en la figura anterior. La diferencia entre los dos vectores
y
se construye de acuerdo con los métodos expuestos en física 1. Como las velocidades
y
tienen la misma magnitud, forman los lados del triángulo isósceles BPQ cuya base es Av. Si construimos un triángulo similar ABC, puede observarse que la relación entre la magnitud de∆
y la magnitud de cualquiera de las velocidades es la misma que la relación entre la cuerda s y el radio R. Esta proporcionalidad se escribe simbólicamente así:∆
donde v representa la magnitud absoluta de
o de
.
La distancia que recorre realmente la partícula desde el punto A hasta el punto B no es la distancia s, sino la longitud del arco de A a B. Cuanto más corto es el intervalo de tiempo
∆
, más cerca estarán estos puntos hasta que, en el límite, la longitud de la cuerda se iguala con la longitud del arco. En este caso, la longitud 5 está dada por∆
La cual, cuando se sustituye en la ecuación anterior resulta en
∆∆
Reordenando algunos términos tenemos que la aceleración está dada:
∆∆
Por consiguiente, la razón de cambio de la velocidad, o aceleración centrípeta , está dada por
Donde
es la rapidez lineal de una partícula que se mueve en una trayectoria circular de radio R.Ejemplo de aplicación
Un cuerpo de 2 kg se ata al extremo de una cuerda y se hace girar en un círculo horizontal de 1.5 m de radio. Si el cuerpo realiza tres revoluciones completas por segundo, determine su rapidez lineal y su aceleración centrípeta.
Plan: La distancia recorrida por el cuerpo en una revolución es igual al perímetro del círculo (
2
); como da tres revoluciones por segundo, el tiempo para una de ellas debe ser la tercera parte de un segundo, o 0.333 s. Con esta información podemos determinar la rapidez lineal del cuerpo, así como la aceleración a partirSolución: Primero se determina el perímetro de la trayectoria circular
22 1.5 9.43
Al dividir la distancia entre los 0.333 s necesario para dar una revolución de obtiene
9.43
0.333 28−3 /
Después se calcula la aceleración con base en la ecuación:
28.3
1.5 534 /
1.7.2.- Desplazamiento angular1.7.2.- Desplazamiento angular
El desplazamiento angular de un cuerpo describe la cantidad de rotación. Si el punto A en el disco giratorio de la figura gira sobre su eje hasta el punto B. el desplazamiento angular se denota por el ángulo
. Hay varias formas de medir este ángulo. Ya nos hemos familiarizado con las unidades de grados y revoluciones, las cuales están relacionadas de acuerdo con la definición1 360°
El desplazamiento angular 6 se indica por la porción sombreada del disco. El desplazamiento angular es el mismo de C a D que de A a B para un cuerpo rígido.
rotación de cuerpos rígidos. Una medida más fácil de aplicar el desplazamiento angular es elradián (rad). Un ángulo de 1 rad es un ángulo central cuyo arco 5 es igual en longitud al radioR (véase la figura siguiente). Es más común que el radián se defina por la siguiente ecuación:
Donde s es la longitud de arco de un círculo descrito por el ángulo
. Puesto que el cociente s entre R es la razón de dos distancias, el radián es una cantidad sin unidades.El factor de conversión que permite relacionar radianes con grados se encuentra considerando un arco de longitud 5 igual al perímetro o circunferencia de un círculo
2
. Dicho ángulo en radianes se obtiene a partir de la ecuación anterior.22
Así tenemos,
1 360°2
De donde se observa que
Ejemplo de aplicación
Un extremo de una cuerda se ata a una cubeta de agua y el otro extremo se enrolla muchas veces alrededor de un carrete circular de 12 cm de radio. ¿Cuántas revoluciones del carrete se requiere para levantar la cubeta a una distancia vertical de 5 m?
Plan:
Plan: La distancia vertical de elevación debe ser igual a la longitud de la cuerda envuelta alrededor del carrete de modo que la longitud de arco
5
. Primero se calcula la rotación en radianes necesarios para una longitud de arco de 5 m. Recuerde establecer el modo de radianes en su calculadora (normalmente está en modo de grados). Más adelante una conversión de este ángulo a revoluciones dará la respuesta buscada.Solución: A partir de la ecuación
5
0.12 41.7
Recordemos que
1 2
, se hace la conversión para hallar el ángulo en revoluciones.41.7 ( 1
2 )6.63
Por tanto, aproximadamente seis revoluciones dos tercios levantaran la cubeta 5 m.
1.7.3.- Velocidad angular 1.7.3.- Velocidad angular
A la razón de cambio del desplazamiento angular con respecto al tiempo se le llamaveloci dad ang ular . Por lo tanto, si un objeto gira a través de un ángulo 9 en un tiempo t, su velocidad angular media está dada por 9
̅
El símbolo
(letra griega omega) se usa para denotar la velocidad angular. Cuando una barra aparece sobre el símbolo, indica que la velocidad angular es un valor medio. Aun cuando la velocidad angular puede expresarse en revoluciones por minuto (rpm) o revoluciones por segundo (rev/s), en la mayoría de los problemas físicos es necesario utilizar radianes por segundo para adaptarse a la opción básica del desplazamiento angular 9 en radianes. Tenga en mente que la velocidad angular puede estar en el sentido de las manecillas del reloj o contrasentido; es decir, tiene dirección. Debemos elegir una dirección positiva para la rotación y sustituir los signos que concuerden con esa elección.Puesto que la velocidad de rotación en gran número de problemas técnicos se expresa en términos revoluciones por minuto o revoluciones por segundo, es conveniente hallar una expresión para la conversión a radianes por segundo. Si la frecuencia de revoluciones en
/
se denota por medio del símbolo
, la velocidad angular en/
está dada por̅2
Si la frecuencia está en rpm en vez de
/
, el factor de conversión es
2/60
Ejemplo de aplicación
La rueda de una bicicleta tiene de radio de 33 cm y gira 40 revoluciones en 1 min. ¿Qué distancia lineal recorrerá la bicicleta en 30 s?
Plan:
Plan: Primero se convertirá la velocidad angular de la rueda a radianes por segundo.
Luego podemos usar la definición de velocidad media para calcular la longitud de arco .y descrita por un punto en el borde de la rueda. Esta distancia será la misma que la recorrida por la bicicleta a lo largo de una trayectoria horizontal.
Solución:
Solución: Primero se convierte la frecuencia de rpm a
/
.(40
1 )(1
60 )0.667 /
Sustituyendo esta frecuencia en la ecuación anterior se obtiene la velocidad angular.
2 2 0.667 ⁄4.19 ⁄
Ahora bien, se vuelve a escribir la ecuación
̅
Esto significa que la distancia
esEs importante observar que la velocidad angular descrita por la ecuación (11.2) representa un valor medio (o un valor constante). La misma distinción se debe hacer entre la velocidad angular instantánea y la media tal como se estudió en el capítulo 6 para las velocidades instantáneas y medias.
1.7.4.- Aceleración angular 1.7.4.- Aceleración angular
Al igual que el movimiento rectilíneo, el movimiento rotacional puede ser uniforme o acelerado.
La velocidad de la rotación puede aumentar o disminuir bajo la influencia de un momento de torsión resultante. Por ejemplo, si la velocidad angular cambia de un valor inicial
a un valor final w en un tiempo t, la aceleración angular es
−
La letra griega a {alfa) denota la aceleración angular. Una forma más útil de esta ecuación es
para la aceleración lineal se verá que sus formas son idénticas si establecemos analogías entre los parámetros angulares y lineales.
Ahora que hemos introducido el concepto de velocidades angulares inicial y final, podemos expresar la velocidad angular media en términos de sus valores inicial y final:
Al sustituir esta igualdad para
̅
en la ecuación anterior se obtiene una expresión más útil para el desplazamiento angular:̅(
2 )
Esta ecuación es similar a una ecuación deducida para el movimiento rectilíneo.
En realidad, las ecuaciones para la aceleración angular tienen la misma forma básica que las que se obtuvieron para la aceleración lineal si establecemos las siguientes analogías:
↔
↔/
↔
El tiempo, desde luego, es el mismo para ambos tipos de movimiento y se mide en segundos.
Al aplicar estas fórmulas, debemos tener cuidado de elegir las unidades apropiadas para cada cantidad. También es importante seleccionar una dirección (en el sentido del avance de las manecillas del reloj o contrario a éste) como positiva y conservarla en forma consistente para asignar los signos apropiados a cada cantidad.
Ejemplo de aplicación
Un volante aumenta su velocidad de rotación de 6 a 12
/
en 8
. Determine la aceleración angular en radianes por segundo al cuadrado.Plan:
Plan: Cuando se aplican las ecuaciones para la aceleración angular uniforme, las únicas unidades angulares aceptables son los radianes. Primero debemos cambiar las unidades para las velocidades angulares final e inicial. Luego se organizan los datos dados, se elige una ecuación adecuada y se resuelve para la aceleración angular.
Solución:
Solución: Las velocidades angulares son:
2( 2
1 )(6 )37.7 ⁄
2( 2
1 )(12 )75.4 /
Ahora bien, podemos resolver para a usando la definición de aceleración angular.
Dados:
37.7 ⁄
;
75.4
; 8
Encuentre:?
Al resolver para a obtenemos
−
75.4−⁄ 37.7 ⁄
8
4.71
⁄
Relación entre los movimientos rotacional y rectilíneo
El eje de rotación de un cuerpo rígido que gira se puede definir como la línea de partículas que permanecen estacionarias durante la rotación. Se puede tratar de una línea a través del cuerpo, como en el caso de un trompo, o puede ser una línea a través del espacio, como un aro en rotación.
En cualquier caso, nuestra experiencia nos dice que cuanto más lejos está la partícula del eje de rotación, mayor es su velocidad tangencial. Este hecho se expresó mediante la fórmula
2
Donde
es la frecuencia de rotación. Ahora deduzcamos una relación similar en términos de velocidad angular. La partícula de la figura gira a través de un arco s que se describe comoSi la distancia es recorrida en un tiempo t, la velocidad tangencial de la partícula está dada por
Puesto que
⁄
, la velocidad tangencial se puede expresar como una función de la velocidad angular:A ctividades complementarias
I. Resolver cada uno de los siguientes problemas.
1.- El movimiento de una partícula está definido por la relación
1.5
– 30
5 10
, donde x y t se expresan en metros y segundos, respectivamente.Determine la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula cuando
4
.
2.- El movimiento de una partícula está definido por la relación
12
– 18
2 5
, donde x y t se expresan en metros y segundos, respectivamente.Determine la posición y la velocidad cuando la aceleración de la partícula es igual a cero.
3.- El movimiento de una partícula está definido por la relación
– 5/2
−30 8
, donde x y t se expresan en pies y segundos,respectivamente.
Determine el tiempo, la posición y la aceleración cuando
0
.
4.- El movimiento de una partícula está definido por la relación
6
– 8
40
, donde x y t se expresan en pulgadas y segundos, respectivamente.Determine la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula cuando
6
. 5.- El movimiento de una partícula está definido por la relación
6
– 2
– 12
3 3
, donde x y t se expresan en metros y segundos,respectivamente. Determine el tiempo, la posición y la velocidad cuando
0
. 6.- El movimiento de una partícula está definido por la relación 2
– 15
24 4
, donde x se expresa en metros y t en segundos.
Determine a) cuándo la velocidad es cero, b) la posición y la distancia total viajada hasta ese momento cuando la aceleración es cero.
7.- El movimiento de una partícula está definido por la relación
– 6
36 40
, donde x y t se expresan en pies y segundos, respectivamente.Determine a) cuándo la velocidad es cero, b) la velocidad, la aceleración y la distancia total viajada cuando
0
.8.- El movimiento de una partícula está definido por la relación
– 9
24− 8
, donde x y t se expresan en pulgadas y segundos, respectivamente. Determine a) cuándo la velocidad es cero, b) la posición y la distancia total recorrida cuando la aceleración es cero.
9.- La aceleración de una partícula se define mediante la relación
−8 /
. Si se sabe qué20
cuando 4
y 4
cuando 16 /
, determine a) el tiempo cuando la velocidad es cero, b) la velocidad y la distancia total recorrida cuando 11
.10.- Una automovilista entra a una carretera a 45 km/h y acelera uniformemente hasta 99 km/h. De acuerdo con el odómetro del automóvil, la conductora sabe que recorrió 0.2 km mientras aceleraba. Determine a) la aceleración del automóvil, b) el tiempo que se requiere para alcanzar 99 km/h.
11.- Un camión recorre 220 m en 10 s mientras se desacelera a una razón constante de 0.6 m/s2. Determine a) su velocidad inicial, b) su velocidad final, c) la distancia recorrida durante los primeros 1.5 s.
12.- Cuando un corredor de relevos A ingresa a la zona de intercambio, de 20 m de largo, con una rapidez de 12.9 m/s empieza a desacelerar. Entrega la estafeta al corredor B 1.82 s después, y su compañero deja la zona de intercambio con la misma velocidad. Determine a) la aceleración uniforme de cada uno de los corredores, b) el momento en el que el corredor B debe empezar a correr.
13.- En una rampa se colocan cajas a intervalos uniformes de tiempo
y se deslizan hacia abajo de la rampa con aceleración uniforme. Si se sabe que cuando se suelta la caja B, la caja A ya se ha deslizado 6 m y que 1 s después están separadas por una distancia de 10 m, determine a) el valor de
, b) la aceleración de las cajas.14.- En una carrera de lanchas, la lancha A se adelanta a la lancha B por 120 ft y ambos botes viajan a una rapidez
constante de 105 mi/h. En
0
, las lanchas aceleran a tasas constantes. Si se sabe que cuando B rebasa a A,8
y 135 /ℎ
, determinea) la aceleración de A,
BLOQUE II
BLOQUE II
CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS
CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS
Propósito:
Propósito: Al finalizar el bloque el alumno conocerá y aplicara los conceptos básicos de la cinemática de los cuerpos, así también será capaz de desarrollar y resolver problemas utilizando las ecuaciones de movimiento.
A ctividades de aprendizaje
I. Contesta las siguientes preguntas de acuerdo a tus conocimientos generales:
1.- Enuncia la segunda Ley de Newton.
2.- ¿Cuál son las unidades que se utilizan para la fórmula de la segunda Ley de Newton?
3.- Investiga cuales son las ecuaciones del movimiento.
4.- ¿Qué es el equilibrio dinámico?
5.- ¿Qué tipos de equilibrio dinámico hay?
2.1.- Segunda Ley de Newton 2.1.- Segunda Ley de Newton
La segunda ley de Newton se puede enunciar de la manera siguiente:
Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula no es cero, la partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud de la resultante y en la dirección de esta fuerza resultante.
Al denotar mediante m la masa de una partícula, por
∑
la suma, o resultante, de las fuerzas que actúan sobre la partícula, y por a la aceleración de la partícula relativa aun sistema de referencia newtoniano, se escribe∑
2.2.- Cantidad de movimiento lineal de una partícula. Razón de cambio de la 2.2.- Cantidad de movimiento lineal de una partícula. Razón de cambio de la cantidad de movimiento lineal
cantidad de movimiento lineal
Si se reemplaza la aceleración a por la derivada
/
en la ecuación anterior, seescribe:
∑
o, ya que la masa m de la partícula es constante,
∑
El vector
se denomina como la cantidad de movimiento lineal, o simplemente cantidad de movimiento de la partícula. Tiene la misma dirección que la velocidad de la partícula, ysu magnitud es igual al producto de la masa m y la velocidad v de la partícula (figura).
La ecuación anterior expresa que la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula es igual a la razón de cambio de la cantidad de movimiento lineal de la partícula. En esta forma fue que Newton enunció srcinalmente la segunda ley de movimiento. Al denotar por L la cantidad de movimiento lineal de la partícula,
y por
̇
su derivada con respecto a t, es posible escribir la ecuación∑
en la forma alternativa∑ ̇
la cual expresa que la resultante dela fuerza que actúa sobre una partícula es igual a la razón de cambio de la cantidad de movimiento lineal de la partícula.
2.3.- Sistema de unidades 2.3.- Sistema de unidades
Al utilizar la ecuación fundamental
, las unidades de fuerza, masa, longitud y tiempo no pueden elegirse de manera arbitraria. Si eso ocurriera, la magnitud de la fuerzaFF que se requiere para proporcionar una aceleración
a la masa m no sería numéricamente igual al producto ma; sólo sería proporcional a este producto. En consecuencia, se pueden elegir tres o cuatro unidades de manera arbitraria, pero se debe escoger la cuarta unidad de manera que se satisfaga la ecuación
. Se dice entonces que las unidades forman un sistema de unidades cinéticas consistentes.Suelen utilizarse dos sistemas de unidades cinéticas consistentes: el Sistema Internacional de Unidades (unidades del SI) y unidades utilizadas comúnmente en Estados Unidos.
Sistema Internacional de Unidades (unidades del SI).
En este sistema, las unidades básicas son las de longitud, masa y tiempo y se
La unidad de fuerza es una unidad derivada. Se denomina
y se define como la fuerza que produce una aceleración de1 /
a una masa de1
(figura). De la ecuación de fuerza se describe1 1 1
1⋅/
Unidades de uso común en Estados Unidos.
La mayoría de los ingenieros estadounidenses siguen utilizando de forma común un sistema en el que las unidades básicas son las de longitud, fuerza y tiempo; estas unidades corresponden, respectivamente, al
, la
y el .
En realidad, cuando actúa sobre ella una fuerza de 1 lb, esto es, cuando se somete a su propio peso, la libra estándar recibe la aceleración de la gravedad,
32.2 /
(figura) y no la aceleración unitaria que requiere la ecuación
.
La unidad de masa consistente con el pie, la libra y el segundo es la masa, que recibe una aceleración de
