UNIDAD I
CONJUNTOS de NÚMEROS
INTRODUCCIÓN
La tradición universitaria Argentina comienza a partir de la fundación de la Universidad Nacional de Córdoba (1613); es la cuarta en aparición en América y la segunda de América del Sur, después de las de Santo Domingo (1538), Lima y México (1551). Puede afirmarse que el origen de la Universidad Nacional de Córdoba se remonta al primer cuarto del siglo XVII, cuando el Obispo Fray Fernando de Trejo y Sanabria, entonces titular de la Diócesis del Tucumán con sede en Santiago del Estero, y el Padre Diego de Torres, Provincial de la Compañía de Jesús acuerdan fundar una Casa de Estudios, el Colegio Máximo, en el que comenzaron a impartirse clases de filosofía y teología, en particular a los religiosos de esa orden, siendo este establecimiento la base de la futura Universidad.
Siendo la Universidad de Córdoba la más antigua del país y una de las primeras del continente americano, cuenta con una larga historia, rica en acontecimientos que la convirtieron en un importante foco de influencia, no sólo en lo cultural y científico, sino también en lo político y social.
Ya iniciado el Siglo XX, la Universidad de Córdoba extendía múltiples influencias en el país y en la región, pero a partir de 1918 su carácter rector adquirió una fuerza insospechada que trascendió ampliamente su propio ámbito. En estrecha vinculación con los acontecimientos que vivía el país y el mundo, en junio de 1918 los estudiantes de la Universidad iniciaron un movimiento, al que rápidamente se adhirieron voces de todo el continente, en pos de la democratización de la enseñanza y de un mayor compromiso social de las instituciones universitarias. Este movimiento dio en llamarse la Reforma Universitaria.
Durante el Siglo XX la Universidad de Córdoba desarrolló un proceso de diversificación en respuesta a necesidades sociales y basada en los recursos académicos propios de la institución. Durante los años iniciales de la primera mitad del Siglo XX, las autoridades sucesivas impulsaron la creación de nuevos Institutos y Escuelas, la mayoría de las cuales fueron el germen de las actuales Facultades que conforman la Universidad.
Las primeras iniciativas para crear una facultad que atendiera la formación de profesionales en ciencias agronómicas y veterinaria se remonta al año 1950 cuando se desempeñaba como Rector el Dr. J. Urrutia, y es recién en 1964 cuando se procede a designar una Comisión integrada por representantes del Gobierno de la Provincia de Córdoba, el Instituto Nacional de Tecnología Agropecuaria (INTA), y de la Universidad, entre
ellos el que posteriormente sería primer Director del Instituto de Ciencias Agronómicas, Ing. Agr. Félix Marrone.
El 21 de marzo de 1966 se crea, por Ordenanza Nº 4/66 del Honorable Consejo Superior, el Instituto de Ciencias Agronómicas y trece años más tarde, en junio del año 1979, a solicitud de la Universidad Nacional de Córdoba, el Poder Ejecutivo Nacional por Decreto Nº 1394 modifica la denominación del Instituto por el de Facultad de Ciencias
Agropecuarias.
El Rector de la Universidad Nacional de Córdoba por Resolución Rectoral Nº 785/66 resuelve que el Instituto de Ciencias Agronómicas expedirá el Título de Ingeniero Agrónomo, y aprueba las asignaturas que integran el Plan de Estudios.
La Facultad dispone de dos grupos de instalaciones, con sus respectivos edificios: uno en la Ciudad Universitaria, entre las Avenidas Valparaíso, Rogelio Martínez y calle Uladislao Frias, de la Ciudad de Córdoba y otro adquirido en 1972, un campo de 583 hectáreas, ubicado en camino a Capilla de los Remedios Km 15,5, distante aproximadamente 22 km del edificio central de la Facultad.♦
En el texto anterior aparecen datos que hacen referencia a cantidades numéricas expresadas en diferentes formas. Es claro que los números conviven con nosotros en el estudio, en el trabajo, al leer el diario, al ver televisión, en los momentos de esparcimiento, al efectuar compras, etc.
En este capítulo realizaremos un repaso de cada uno de los conjuntos numéricos que forman estos números, así como de las operaciones que en ellos se definen y sus propiedades.
B.
NÚMEROS NATURALES
Definición: El conjunto
N
de los Números Naturales es el conjunto formado por:{
1
,
2
,
3
,
.
.
.
,
7
,
8
,
.
.
.
,
n
,
n
+
1
,
.
.
}
=
N
El conjunto de los números naturales cumple:
Es un conjunto infinito.
Tiene un primer elemento, el número 1, pero no tiene último elemento. Si
n
es un número natural cualquiera, el natural siguiente esn
+ 1 Entre dos números naturales consecutivos, no existe otro número natural, por eso se dice que es un conjunto discreto.
♦
Texto extraído de la Reseña histórica de la Universidad Nacional de Córdoba y de la Facultad de Cs. Agropecuarias.
RELACIÓN de ORDEN
Dados dos números naturales y , se verifica excluyentemente que es menor, igual o mayor que
b
. En símbolos, respectivamente:a
b
a
b
a
ó
b
a
ó
b
a
<
=
>
Los símbolos
<
(menor) y (mayor) se utilizan para representar la relación de orden en los naturales.>
La relación de orden es transitiva esto es:
c
a
c
b
y
b
a
<
<
→
<
Por lo que podemos escribir:
a
<
b
<
c
Se definen también los símbolos de
≤
y≥
, que se leen “menor o igual” y “mayor o igual”, respectivamente, y relaciona dos números así:(
a b ó a b)
b
a≤ ↔ < =
y
a≥b ↔(
a>b ó a=b)
y también verifica la transitividad.
A partir de la relación de orden podemos dar una representación de los números naturales sobre una recta numérica
R,
tomando un segmento unitarioμ
, de longitud igual a 1, y desplazándolo a la derecha de un puntop
, tomado como origen:μ
p
1 2 3 4 5 6 7
En la recta, eligiendo el sentido señalado:
a
b
OPERACIONES EN N
ADICIÓN o SUMA
Definición: Dados dos números naturales
a
yb
, su suma es el número natural, denotado por , que se obtiene agregando al número tantas unidades como indica.
b
a
+
a
b
MULTIPLICACIÓN o PRODUCTO
Definición: Dados dos números naturales
a
y , su producto es el número natural, denotado por , que se obtiene sumando el número tantas veces como indica .n
n a .a
n
a
a
a
n
a
.
=
+
+
.
.
.
+
n
vecesA partir de la definición de producto se construyeron las tablas de multiplicar (que aprendimos en la escuela primaria) mediante las cuales dados dos números
a
yn
podemos calcular el producto sin realizar las sumas consecutivas.Observación: De acuerdo a las definiciones anteriores, siempre que sumemos o multipliquemos números naturales obtenemos otro número natural.
DIFERENCIA o RESTA
Definición: Dados dos números naturales y
b
, la diferencia o resta es el número c que se define pa
or:a
b
c
c
b
a
−
=
↔
+
=
Ejemplo 1: a)7
−
3
= 4 pues4
+
3
=
7
b) = No tiene solución, ya que no hay un número natural que resuelva esta diferencia ¿por qué?
15
6
−
c) = No tiene solución, ya que no hay un número natural que resuelva esta diferencia ¿por qué?
8
8
−
¡¡IMPORTANTE!! La operación de diferencia no siempre
A partir del ejemplo anterior, nos preguntamos: ¿Es posible expandir el conjunto de números naturales incorporando nuevos números donde operaciones como las anteriores tengan solución? La respuesta es afirmativa y el conjunto donde las operaciones de diferencia tienen solución es el conjunto de números enteros.
C
. NÚMEROS ENTEROS
Definición: El conjunto de los números enteros es el formado por todos los números
naturales, que llamamos enteros positivos, los números naturales precedidos por el signo menos, los enteros negativos y el número cero:
}
{
.
.
.
,
−
5
,
−
4
,
−
3
,
−
2
,
−
1
,
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
.
.
.
=
Z
El conjunto de los números enteros verifica:
Todo número entero queda determinado por el número natural que lo representa, llamado valor absoluto o módulo y su signo, excepto el 0 que no tiene signo. Es un conjunto infinito, que no tiene primer ni último elemento.
Si
n
es un número entero cualquiera, el entero siguiente esn
+ 1 y el entero anterior esn
- 1 Entre dos números enteros consecutivos, no existe otro número entero, es un conjunto discreto.
Todo número natural es un número entero, entonces se verifica la inclusión
Z
N
⊂
Ejemplo 2: El módulo de:
a)
a
=
3
es3
b)b
=
−
8
es8.
Definición: Dado un número entero
n
se llama opuesto al número entero (–n
).
Ejemplo 3: El opuesto de:
a)
a
=
3
es− a
=
−
3
b)a
=
−
12
es− a
=
12
¡¡IMPORTANTE!!. Notemos que (–
n
)
es el opuesto den
, es decir el símbolo (–n
)
no necesariamente indica un número negativo. Por ejemplo sin
=
−
100
, entonces− n
=
100
pues −(
−100)
=100.RELACIÓN de ORDEN
En el conjunto de los números enteros se define un orden que preserva el orden en los naturales. Entonces:
a
yb
son números enteros,a
>
b
sia
está a “la derecha” deb
en la recta. La relación de orden verifica: Todo número positivo es mayor que todo negativo.
Entre dos números positivos es mayor el que está “más lejos” del cero, es decir el que tiene mayor módulo.
Entre dos números negativos es mayor el que está “más cerca” del cero, es decir el que tiene menor módulo.
Cero es menor que todo positivo y mayor que todo negativo.
A partir de la relación de orden inducida, se pueden representar los números enteros sobre la recta numérica
R
del siguiente modo:
p
−
5
−
4
−
3
−
2
−
1
0
1
2
3
4
5
R
Observación: Por definición de opuesto de un número entero
n
, en la recta numérica se representa: negativo positivo0
n
n − negativo positivo0
n
−nOPERACIONES EN
Z
ADICIÓN o SUMA
Definición: Dados dos números enteros
a
yb
, se llama suma al número enteroa
+
b
, que se obtiene de la siguiente manera: Si los dos números enteros son de igual signo, es otro número entero que conserva el signo de los sumandos y su módulo es igual a la suma de los módulos de los sumandos.
Si los dos números enteros son de distinto signo tiene el signo del sumando de mayor módulo y su módulo es la diferencia de los módulos.
Ejemplo 4:
a) 100+
(
−300)
=100 −300=−200b)
(
−100) (
+ −300)
=−100 −300=−400c) En el caso de que debamos sumar varios números enteros podemos realizar:
(
20 80 40) (
30 70)
140 100 40 40 70 80 30 20− + − + = + + − + = − =DIFERENCIA o RESTA
Definición: Dados dos números enteros
a
y , se llama diferencia al número entero , que se obtiene sumando al número el opuesto del número , esto es:b
b
a
−
a
b
)
( b
a
b
a
−
=
+
−
MULTIPLICACIÓN o PRODUCTO
Definición: Dados dos números enteros
a
yb
, se llama producto al número entero , cuyo:b
a
.
módulo es el producto de los módulos de y
a
b
signo está dado por la regla de los signos, tal que el producto es positivo si y tienen el mismo signo, y negativo en caso contrario.
a
b
Ejemplo 5: a) (+3).( )
−5 =−15 b)( ) ( )
−5 . −2 =+10 c) (−7).( )
+4 =−28¡¡IMPORTANTE!! La regla de los signos no es una imposición arbitraria sino que es
consecuencia, principalmente, de aplicar la propiedad distributiva (la cual se enuncia en el título Propiedades de las Operaciones).
Por ejemplo para obtener el signo de
( ) ( )
−2 . +3 como 0.( )
+3 =0 (¿por qué?), podemos reescribir:
[
( ) ( )
−2 + +2]
.( )
+3 = 0 y distribuyendo
( ) ( ) ( ) ( )
−2 . +3 + +2 . +3 = 0 por definición del producto enN
?
+
6
=
0
Entonces debe ser
( ) ( )
−2 . +3 = −6(Con igual razonamiento se puede comprobar el producto de un número positivo por un número negativo y el caso general).
DIVISIÓN o COCIENTE
Definición: Dados dos números enteros y
b
, la división o cociente es el número entero que se representa pora
b
a
b
a
:
=
y verifica:0
con
.
:
=
↔
=
≠
=
a
b
x
x
b
a
b
b
a
Ejemplo 6: a)(
6
)
:
2
3
2
6
−
=
−
=
−
pues por definición
.
2
6
2
6
−
=
↔
=
−
x
x
entoncesx
=
−
3
b)=
x
5
0
el resultado del cociente es
x
=
0
¿por qué? c) La división = 37: =x3 7
NO tiene solución pues para cualquier valor entero de
x
nunca se verifica
x
.
3
=
7
. d) El cociente=
x
0
3
NO tiene solución pues
x
.
0
≠
3
para cualquier valor dex
. e) La división=
x
0
0
NO tiene solución única, cualquier valor
x
cumple la definición. ¿por qué? Este cociente se suele llamar cociente indeterminado.Es importante entonces, recordar que:
NUNCA SE PUEDE DIVIDIR POR CERO
Nuevamente, en hay operaciones que no pueden resolverse, por consiguiente debemos extender el conjunto a un nuevo conjunto donde la operación de cociente tenga solución.
Z Z
D. NÚMEROS RACIONALES
Definición: El conjunto de números racionales o fraccionarios es el formado por los
cocientes
q
p
de dos números enteros
p
yq
, conq
distinto de cero :⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
≠
∈
=
/
p
,
q
y
q
0
q
p
Z
Q
El conjunto de los números racionales verifica:
Si
q
p
es un número racional, el número entero se denomina numerador y el
número entero denominador.
p
q
Es un conjunto infinito, que no tiene primer ni último elemento.
Es un conjunto denso, es decir entre dos números racionales hay infinitos números racionales.
Todo número entero p es un número racional, puesto que
1
p p= ,
Entre los conjuntos de números
N
,Z
yQ
se verifica la inclusiónQ Z
N ⊂ ⊂
Ejemplo 7: En el conjunto de números racionales escribimos
3 1 3 = 0 1 0 = 2 12 −= − 4 7 4 7 − = −
Observación: si la fracción es negativa consideraremos, por convención, el signo menos en el numerador.
( )
−
Definición: Dado un número racional
q
p
, no nulo, se llama inverso al número racional:
p q q p = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −1
Ejemplo 8: El inverso de: a)
5
4
=
a
es4
5
1=
−a
b)b
=
3
es3
1
1=
−b
Observación: Como no se puede dividir por
0
, entonces el número racional0
no tiene inverso.RELACIÓN de ORDEN
Definición: Dos números racionales
q p
y
s
r
son iguales o equivalentes si representan
la misma cantidad, es decir se verifica:
r
q
s
p
s
r
q
p
.
.
=
↔
=
Ejemplo 9:10
4
15
6
5
2
=
=
pues 2.15=5.6 y también 6.10=4.15Ejercicio: ¿Son las siguientes tres fracciones equivalentes a
5 1 − ? ¿Por qué? a)
10
2
−
b)50
10
−
c)2
10
−
Definición: Dados dos números racionales
s
r
y q p
, con denominadores positivos,
definimos el orden en los números racionales por:
r
q
s
p
s
r
q
p
.
.
<
↔
<
Ejemplo 10: Ordenar a) 3 2 y 5 4por definición, como 2.5 < 3.4 es
5
4
3
2 <
b) 3 4 − y 7 8 − como3
4
3
4
−
=
−
y7
8
7
8
−
=
−
y(
−
4
).
7
<
(
−
8
).
3
entonces7
8
3
4
−
<
−
La relación de orden permite representar los números racionales en la recta
R
. Para representar la fracción positivaq p
distinguimos dos casos:
a) Si <1
q p
dividimos la unidad en partes iguales, de las cuales tomamos
partes. La representación de
q
p
Ejemplo 11: 5 3 es:R
−
1
0
5 3 b) Si 1 2 1 > q•
p , la fracción q p se puede escribir q c q = + r p conc
∈
Z
y r< qr
¿Cómo se obtienen
q
y ? Entonces para representar la fracción se considera en la recta el número enteroc
y a partir de este se grafica la fracciónq
r
.
Ejemplo 12: Para representar
5
13
observemos que 5 2 5 = + 3 13 entonces: Si la fracciónR
•
5
13
0
1 2 3
pq es negativa, consideramos la representación hacia la izquierda del y procedemos de igual forma que para las fracciones positivas.
Para representar
0
Ejemplo 13: 4 7 − observemos que4
1
4
=
−
−
3
7
−
entonces:−
3
−
2
−
1
0
jercicio:E ¿Dónde colocaría los puntos que corresponden a los siguientes números racionales
2
/
3
,
3
/
2
,
−
6
/
5
,
−
4
/
2
?•
4
7
−
R
OPERACIONES EN
Q
ADICIÓN o SUMA
Definición: Dados dos números racionales
s
r
y q
p
, su suma es el número racional que
resulta de realizar: q s p s q r q p s r . . . + = + Ejemplo 14: a) 15 22 15 12 10 5 4 3 2 = + = + b) 3 17 3 15 2 5 3 2 = + = + c)
3
4
6
8
6
4
4
6
4
3
2
=
=
+
=
+
Observación: En la práctica es conveniente usar en vez del producto de los denominadores (que es un múltiplo de ambos) el menor de los múltiplos, llamado múltiplo común menor.
DIFERENCIA o RESTA
Definición: Dados dos números racionales
s
r
y q p
, su diferencia es el número racional
que resulta de realizar:
q s p s q r q p s r . . . − = −
MULTIPLICACIÓN o PRODUCTO
Definición: Dados dos números racionales
s
r
y q p
su producto es el número racional
que resulta de realizar:
q s p r q p s r ⋅ ⋅ = ⋅
DIVISIÓN o COCIENTE
Definición: Dados dos números racionales
s
r
y q p
el cociente de dichas fracciones es
el número racional que se obtiene como producto de la primera por la inversa de la segunda:
p
q
s
r
q
p
s
r
q
p
s
r
.
.
:
1=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
−también se puede expresar:
p
s
q
r
q
p
s
r
.
.
=
Ejemplo 15:a)
8
27
2
9
4
3
9
2
:
4
3
=
⋅
=
b)
5
9
5
3
3
3
5
:
3
=
⋅
=
c)
6
7
3
1
2
7
3
:
2
7
=
⋅
=
PROPIEDADES de las OPERACIONES en
N
,
Z
y
Q
Las propiedades que cumplen las operaciones de suma y producto, teniendo en cuenta en qué conjunto de números se resuelven las mismas, son:
Propiedades de la Suma
Conmutativa:
a
+
b
=
b
+
a
Se cumplen en
N
Se cumplen Asociativa: a+
(
b+c) (
= a +b)
+c enZ
yQ
Existencia de elemento neutro: el cero: 0, tal que
Existencia de elemento opuesto de : el
a
a
+ 0
=
a
−
a
, tal que a+( )
−a =0Propiedades del producto
Conmutativa:
a
.
b
=
b
.
a
Se cumplen Asociativa:
a
.
(
b
.
c
) (
=
a
.
b
)
.
c
en
N
yZ
Existencia de elemento neutro: el uno 1, tal quea
.
1
=
a
Se cumplen Distributiva respecto a la suma:
a
.
(
b
+
c
)
=
a
.
b
+
a
.
c
en
Q
Existencia de elemento inverso: para todo número no nulo
b
a
su inverso esa
b
b
a
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−1 tal que ⋅ =1 a b b aEjemplo 16: Utilizando las propiedades y definiciones anteriores podemos completar la
siguiente tabla:
Número Opuesto Inverso
1
−11
3
/
4
−
4
/
3
−
3
/
4
7
−
7
−
1
/
7
7
/
2
−
2
/
7
7
/
2
FACTORIAL Y NÚMEROS COMBINATORIOS
Definición: Se llama factorial de un número natural y se representa por , al producto de los nprimeros números naturales.
n
n
!
Ejemplo 17:720
6
5
4
3
2
1
!
6
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
Nota: Por convención se considera0!
=1
Definición: Se llama número combinatorio sobre , con > n a la expresión que se denota y se obtiene calculando:
m n m
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
n
m
!
)
(
!
!
n
m
n
m
n
m
−
⋅
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Ejemplo 18:10
!
2
!
3
!
5
3
5
=
⋅
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Ejercicio: Calcular a)5
!
=
b)7
!
/
4
!
=
c) = − )!2 ( ! n n (si n≥
2) d) = + − )! 2 ( )! 1 ( n n e)⎟⎟
=
f) g)=
h)=
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
3
10
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
0
7
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
7
7
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
1
n
EXPRESIONES DECIMALES
Los números racionales se expresan también como expresiones decimales, y se verifica que:
I. Todo número racional q
p
puede representarse como una expresión decimal
periódica, es decir:
parte entera parte no periódica
w
v
i
w
v
i
w
v
i
n
m
b
a
q
p
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
=
períodoEsta representación es consecuencia del algoritmo de división entre y , pues el resto sólo toma valores enteros menores que , repitiéndose a lo sumo después de pasos.
p
q
q
q
Ejemplo 19: a) 0,333... 0,3 3 1 ) == Parte entera: 0 Parte no periódica: no tiene Período: 3
b)
0
,
25000
.
.
0
,
25
4
1
=
=
Parte entera: 0 Parte no periódica: 25 Período: 0 c) 4,8333... 4,836
29 = = )
Parte entera: 4 Parte no periódica: 8 Período: 3
Ejercicio: ¿Cuáles son la parte entera, la parte no periódica y el período en el número ?,
¿y en ?, ¿y en ?
5
/
3
11
/
9
6
/
3
II. Toda expresión decimal periódica puede expresarse como una fracción q p Ejemplo 20:
a)
10
4
4
,
0
=
b)
100
253
53
,
2
=
c)
9 7 7 , 0 )=¿Cómo se obtiene el
9
7
? Sin
=
0
,
777
.
.
.
Restando10
.
n
− n
=
7
.
.
.
777
,
7
.
10
n
=
Entonces:9
7
7
.
9
n
=
→
n
=
Observación: Para escribir un número decimal periódico
n
como fracción, el procedimiento que puede seguirse es el siguiente: conseguir, a partir del número dado, dos números periódicos puros (sin parte no periódica) con el mismo período. Al restarlos y despejarn
obtenemos la fracción que lo representa.
n
Ejercicio: Representar por medio de fracciones los siguientes números:
0
,
35
7
)
y1
,
8
)
OTRAS OPERACIONES
POTENCIACIÓN
Definición: Dado un número racional
a
y un número naturaln
, definimos la potenciaenésima del número
a
como:a
a
a
a
a
n=
.
.
.
.
.
n vecesEntonces la potencia se obtiene multiplicando la base
a
por sí misma tantas veces como lo indica el exponenten
. Ejemplo 21:a)
16 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 = ⋅ ⋅ ⋅ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛b)
( ) ( ) ( ) ( )
−
4
3=
−
4
.
−
4
.
−
4
=
−
64
PROPIEDADES de la POTENCIACIÓN
1) Distributividad de la potencia con respecto al producto y al cociente:( )
a
.
b
n=
a
n.
b
n y n n n b a b a = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛2) Producto de potencias de igual base:
m n m n
a
a
a
.
=
+ 3) Potencia de potencia:( )
a
n m=
a
n.mEjercicio: Verificar, partir de la definición de potencia, las propiedades anteriores.
¡¡IMPORTANTE!! La potencia no es distributiva con respecto a la suma ni a la resta, como
se muestra en el siguiente contraejemplo:
(
3
+
4
)
2≠
3
2+
4
2( )
7
2≠
9
+
16
25
49
≠
Observación: recordemos que
(
a
+
b
)
2=
a
2+
2
.
a
.
b
+
b
2A partir de la aplicación de las propiedades enunciadas para
a
≠
0
se verifica que:1
.
0 0 0a
=
a
+=
a
→
a
=
a
n n n ¿Por qué? y también n n n n n na
a
a
a
a
a
−.
=
− +=
0=
1
→
−=
1
Entonces podemos extender la definición de potencia para exponentes enteros:
Definición: Dado un número racional
a
, distinto de cero, definimos:1
0=
a
y n na
a
−=
1
Ejercicio: ¿Qué número resulta de realizar la potencia
10
4? ¿y10
−3?Ejemplo 22: ¿Cuál es el resultado de
2
,
47
×
10
3? ¿y de0
,
3
×
10
−5?Si realizamos las cuentas en la calculadora no encontramos los resultados anteriores escritos como
2470
o0,000003
sino que estos números se presentan escritos de la forma:3
10
47
,
2
×
2 . 4 7 E + 0 3
510
3
,
0
×
−3 E
- 0
6
Diremos que un número decimal se expresa con notación científica cuando se presenta con la forma:
n
a 10
.
con1
< a
<
10
y n un número enteroLa notación científica resulta útil para efectuar cálculos con números muy grandes o muy pequeños en forma más sencilla y permite captar rápidamente el orden de magnitud de una cantidad, por medio del exponente
n
.Ejemplo 23:
a)
3
,
21
.
10
6 representa millones, es decir hay3,21
millones.b)
2
,
17
.
10
−4 representa diezmilésimos, es decir hay2,17
diezmilésimos.Recordemos que el prefijo:
mega
M
significa multiplicar por10
6kilo
k
significa multiplicar por10
3mili
m
significa multiplicar por10
−3micro
μ
significa multiplicar por10
−6Ejemplo 24: Obtener
378000
.
0
,
0074
Si los escribimos con notación científica y aplicamos propiedades de la potencia, el resultado es 2 3 5
.
7
,
4
.
10
3
,
78
.
7
,
4
.
10
10
.
78
,
3
−=
RADICACIÓN
Definición: Dado un número racional
a
y un número naturaln
, definimos la raíz enésima de un númeroa
como: a b b a n n = ↔ =- Si
a
es positivo para todos los números naturalesn
.- Si
a
es negativo para todos los números naturales imparesn
¿cuál es el signo deb
en este caso?
Observación: Para el exponente
n
=
2
se conviene en escribir a , y se lee raíz cuadrada y paran
=
3
decimos que es una raíz cúbica.Ejemplo 25: a)
3
1
27
1
3=
b) 4 =2 y también 4=−2 (hay dos resultados posibles ¿por qué?) c) 3
−
8
=
−
2
pues( )
−
2
3=
−
8
d) 4 81 = ±3
Ejercicio: Para cualquier exponente natural
n
¿cuál es el resultado de n 0 ? Ejercicio: ¿Cuál es el resultado de 532 1 − ?
Relación entre Potencia y Raíz
La raíz enésima de un número racional
a
se puede denotar como potencia de la siguiente manera: n na
a
1=
e igualmente p q p qa
a
=
PROPIEDADES de la RADICACIÓN
1) Distributividad de la raíz con respecto al producto y al cociente:
n n n b a b a. = . y n n n b a b a = ( con
b
≠
0
) 2) Raíz de raíz: m n m na
.
b
=
.a
.
b
¿Tiene solución en el conjunto de los números racionales la operación 2 ?
La respuesta es que 2 no tiene solución en el conjunto de los números racionales.
Esto es, no existe
x
∈
Q
tal quex
2=
2
o bienx
= 2
∉
Q
.En los libros de texto de matemática de enseñanza media se puede consultar la
clásica demostración de
q
p
≠
2
.El número
π
que aparece en la fórmula para el cálculo de la longitudl
de una circunferencia en función de su radior
(recordarl
=
2
π
r
), y también para el cálculo del área de un círculo en función de su radior
, (A
=
π
r
2) no es tampoco un número racional.Los números 2 y
π
, así como 3 , 7, 11,e (base de los logaritmos naturales) e infinitos números más, no son números racionales y pertenecen al conjunto de números irracionales.NÚMEROS IRRACIONALES
Definición: El conjunto de números irracionales está formado por todos los números que NO se pueden escribir como cociente
q p
de dos números enteros
p
yq
. O también podemos definirlo como:El conjunto de números irracionales está formado por todos los números que se representan como una expresión decimal no periódica.
Ejemplo 26: Truncando su parte decimal, podemos representar los números irracionales :
2 =
1,4142135. . .
π
=3,1415927. . .
e=2,7182818. . .
Representación de los números irracionales en la recta R
Los números irracionales completan los “lugares vacíos” que dejan entre sí los números racionales en la recta numérica.
Ejemplo 27: En la recta, para representar el número irracional 2 podemos utilizar el teorema de Pitágoras:
0 1
2
2
2
+
1
3 π 4 5 R
1
2
•
•
•
E
. NÚMEROS REALES
Definición: el conjunto de los Números Reales, que denotamos por
R
, es el conjunto formado por todos los números racionales y todos los números irracionales.Si denotamos por al conjunto de los números irracionales tenemos: _
Q
R
Q
Z
N
⊂
⊂
⊂
y tambiénQ
Q
R
=
∪
Representación de los Números Reales
Por la densidad de los racionales y la existencia de números irracionales “se
completa la recta
R
”, es decir podemos afirmar que :En la recta numérica, a cada punto le corresponde un único número real y, recíprocamente, cada número real determina un único punto de la recta.
Utilizando notación de conjuntos en el siguiente diagrama podemos visualizar todos los conjuntos de números:
2
π
Q
3 5 11 eZ
0 19 3 1N
32 3 − 6 −5
7
−
1,7 0,32
3
4,52222.... - 0,3111Q
0,1234578….OPERACIONES EN
R
En el conjunto de los números reales
R
las operaciones de suma, diferencia, producto, división, potenciación y radicación, se definen de igual manera que en los números racionales. Estas operaciones cumplen las siguientes:PROPIEDADES de las OPERACIONES en
R
Para la Suma:
a) Conmutativa
a
+
b
=
b
+
a
para todoa ,
b
∈
R
b) Asociativa a+
(
b+c) (
= a+b)
+c para todoa
,
b
,
c
∈
R
c) Existencia de elemento neutro, el número
0
tal quea
+ 0
=
a
para todo a∈R
d) Existencia de elemento opuesto dea
: el−
a
, tal que a+( )
−a =0 para todo a∈R
Para el Producto:a) Conmutativa
a
.
b
=
b
.
a
para todoa ,
b
∈
R
b) Asociativa a.
( ) (
b.c = a.b)
.c para todoa
,
b
,
c
∈
R
c) Existencia de elemento neutro, el número
1
tal quea
.
1
=
a
para todo a∈R
d) Existencia de elemento inverso de
a
: ela
−1, tal quea
.
( )
a
−1=
1
para todo a∈Re) Distributividad del producto respecto a la suma a.
(
b+c) (
= a.b) ( )
+ a.c Para la Potenciación:a) Distributividad de la potencia con respecto al producto y al cociente:
( )
a
.
b
n=
a
n.
b
n y n n n b a b a = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛b) Producto de potencias de igual base:
a
n.
a
m=
a
n+mc) Potencia de potencia:
( )
a
n m=
a
n.mPara la Radicación:
a) Distributividad de la raíz con respecto al producto y al cociente:
n n n
a
.
b
=
a
.
b
y n n n b a b a = ( conb
≠
0
) b) Raíz de raíz: m na
.
b
=
n.ma
.
b
Ejercicios y
Problemas de Aplicación
Ejercicio Nº 1:Completar cada casillero de la siguiente tabla con verdadero o falso según
corresponda la pertenencia o no de los números a los conjuntos de números Naturales,
Enteros, Racionales o Irracionales.
N Z Q
Irracionales
0
5 1− 32 1 . 8
)
3
(
/
)
12
5
(
−
+
−
]
2
/
)
4
6
[(
5
−
+
)
1
(
)
5
2
(
−
+
+
−
Ejercicio Nº 2: Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
a) Todo número natural es un número racional
b) Todo número natural es un número real
c) Todo número racional es un número irracional
d) Todo número irracional es un número racional
e) Todo número irracional es un número real
f) Todo número entero es un número natural
g) Todo número natural es un número entero
Ejercicio Nº 3: Representar en la recta numérica los siguientes números reales:
5
,
1
;
2
6
;
10
.
03
,
0
;
4
1
;
3
2
;
8
,
0
;
2
;
4
5
;
2
1
−
−
−
−
2−
Ejercicio Nº 4: Indicar las propiedades de los números reales que representan las siguientes
igualdades.
a)
s
.
1
=
s
d)
t
+
(
p
+
q
)
=
(
t
+
p
)
+
q
b)
m
+
n
=
n
+
m
e)
h + 0 = hc)
f
.
(
g
+
h
)
=
f
.
g
+
f
.
h
f)
w
.
d
=
d
.
w
Ejercicio Nº 5: Indicar en cada caso, si la igualdad enunciada es verdadera o falsa. En aquellas
verdaderas enunciar la/s propiedades de los números reales que la justifican.
a)
8
−
3
+
2
=
8
−
5
b)
−2 . −2 = 4c)
(
3
+
5
)
2=
9
+
25
d)
(
a
−
b
)
2=
a
2+
b
2−
2
a
b
e)
(
a
.
b
)
2=
a
2.
b
2f)
−aes un número negativo
g)
−aes el opuesto de
ah)
a
+ a
(
−
)
=
0
i)
a
.
(
−
a
)
es un número positivo
j) Todo número positivo es mayor que número negativo.
k) El número 0 es neutro para la resta.
Ejercicio Nº 6: Indicar, en cada caso, si la igualdad enunciada es verdadera o falsa. En
aquellas verdaderas enunciar la/s propiedades de los números reales que la justifican.
a)
1−(
3−7)
=(
1−3)
−7b)
40
:
8
=
8
:
40
c)
5 2 6 2 5 6 2 = + +d)
3
−
7
=
7
−
3
e)
5 2 +3 2 = (5+3) 2f)
5
.
(
-
2
+
7)
=
5
.
(
-
2)
+
5
.
(+7)
g)
2+(3+ 5)= 2+( 5+3)h)
(4+ 6) + (− 6)=4i)
(
-
10
+
0
)
-
4
=
−
10
−
4
j)
3
5
3
2
3
5
2
+
=
+
Ejercicio Nº 7: Extraer el factor común en las siguientes expresiones
a)
3
a
−
2
an
+
6
a
−
3
ab
=
b)
8
x
2−
4
x
3+
16
x
4+
12
x
5=
c)
0
,
02
x
+
0
,
04
x
3+
0
,
08
x
5−
0
,
06
x
4=
d)
4+
5+
6=
2
5
2
3
2
1
m
m
m
e)
h
4a
2+
h
3a
−
h
5a
3+
h
6a
=
77
6
44
9
11
42
22
3
Ejercicio Nº 8: Transformar en producto las siguientes diferencias de cuadrados
a)
a
2−
b
2=
b)
81 x
−
2=
c)
2
x
2− 4
=
d)
−1
=
9
1
6m
e)
2 4−
0
,
81
2=
4
1
x
y
x
Ejercicio Nº 9: Extraer factor común y luego factorear las diferencias de cuadrados
a)
2−
2=
4
1
4
1
b
a
b)
8
m
4−
2
n
2=
c)
81
m
4−
9
m
2=
d)
x
−
x
=
8
1
2
1
3Ejercicio Nº 10: Reescribir las siguientes expresiones sacando común denominador
a)
+
+
=
3
1
4
1
2
1
b)
= + + − 2 1 2 3 x xc)
(
+
)
−
(
+
)
=
4
1
3
3
1
2
x
x
d)
= − + − 1 6 13 2 4 y xe)
−
+
=
+
9
1
2
4
5
3
x
y
x
z
Ejercicio Nº 11: Efectuar las siguientes operaciones:
a)
p
4−
p
5+
p
4=
b)
a
3+
a
3+
a
3=
c)
k
5.
k
5.
k
5=
d)
3
−2.
3
−1.
3
−4=
e)
2
−3+
2
−1+
2
−4=
f)
= − − 3 4 ) 4 ( 3g)
= + − − −1 0 6 3 ) 5 ( 2h)
=
⋅
+
−
3
1
2
)
3
(
5
2
2
3
2-i)
= − − + 2 3 6 3 9 16j)
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
− 22
1
1
8
,
0
.
4
5
k)
3 8 3 1 2 3 2 + −1 = = −3 − x x conl)
(
3)
2 ) 2 ) 2 (( 3 3 3 = = + − − − − m m m conm)
⎟
=
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−
+
5
1
.
3
4
2
x
x
n)
⎟
+
=
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
x
2
x
3
2
3
5
3
4
6
4
Ejercicio Nº 12: Resolver:
a) El ser vivo más pequeño es un virus que pesa del orden de
10−21Kg. y el más grande es la
ballena azul que pesa aproximadamente 1
Kg. ¿Cuántos virus serían necesarios para
conseguir el peso de una ballena?
b) La masa promedio de un virus es de
1038 10
5,
.
21
−
