Centre de Investigaciónüentífica y de
Educación Superior de Ensenada
E
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E3@-scripcinn en el Dominio Temporal de Parejasnde Fntones
f åeneradas Mediante nel Prncøsn de Dmvnconversion Paramãtrico
TESIS
.
MAESTRIA EN CIENCIAS
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nnonano =
ENSENADA BAJÁ CFA. MEXHIO ENERÓ DE 2006 _ y
Yaeser Jerónimo Moreno
Y aprobada por el siguiente comité:
02-WWW
Dr. Alfred Barry U'Ren Cortés.
Dr. Santiago López.
Miembro del mi é
Director del Comité
lïš Roger Sea y eno.
Miembro del Comit '
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J2¿_.\\«\J
Dr. Jesus Favela Vara.
Miembro del Comité
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Dr. Eugenío Méndez Méndez Miembro del Comité
%<i,,..;/4.<9'D0MQ
Dr. Kevin Arthur O'D0nne11.
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ik Miembro del Comité
RM (Ji
Df- Pedm f te Regagnøn- Dr. Raúl Ramón Castro Escamilla.
Coordinado del ogama en Óptica física
Director de Estudios de Posgrado
CENTRO DE INVESTIGACION CIENTÍFICA Y DE EDUCACION
SUPERIOR DE ENSENADA
clcese;
PROGRAMA DE POSGRADO EN CIENCIAS
EN OPTICA
CON ORIENTACION EN OPTICA PISICA
Descripción en el Dominio Temporal de Parejas de Fotones
Generadas Mediante el Proceso de Downconversion
Paramétrico
TESIS
que para cubrir parcialmente los requisitos necesarios para obtener el grado de
MAESTRO EN CIENCIAS
Presenta:
Yasser J erónimo Moreno
FISICA. Ensenada, B. C. Enero de 2006.
Descripción en el Dominio Temporal de Parejas de Fotones Generadas Mediante el Proceso de Downconversion
Paramétrico
Resumen aprobado por:
Cid/f'7@e/za
' Dr. Alfred Barry U'Ren Cortés.
Director de Tesis
El proceso de downconversion paramétrico (PDC) constituye un método práctico para la generación de luz no-clasica con múltiples aplicaciones, entre ellas la preparación condicional de paquetes de onda uni-fotónicos.
En este trabajo se estudia en detalle la influencia de diversos parametros experimen-tales (longitud del cristal no lineal, ancho de banda espectral del haz de bombeo y los parámetros de desempatamiento de la velocidad de grupo) sobre la intensidad temporal conjunta (la cual describe a las parejas de fotones PDC en el dominio temporal). Se analizaron cuatro estados específioos caracterizados por exhibir en el dominio espectral: i) anticorrelación, ii) simetría sin correlaciones (Grice et al., 2001), iii) alto grado de elongación sin correlaciones (U°Ren et al., 2004b) y iv) correlación positiva (Giovannetti et al., 2002; U'Ren et al., 2003).
Se muestra que es posible generar parejas de fotones donde uno de ellos O ambos se encuentran descritos por un paquete de onda ultra-corto (con duración temporal cercana a la del pulso de bombeo), mediante dos técnicas de empatamiento de la velocidad de grupo: i) simétrico y ii) asimétrico. Ambas técnicas permiten la generación de fotones con la duración temporal más corta compatible con su ancho de banda (i.e.
están limitados por la transformada de Fourier). La segunda técnica muestra ventajas
adicionales; en particular uno de los fotones tendra la duración mínima posible que equivale a la duración del pulso de bombeo.
Los fotones individuales ultra-cortos al igual que pulsos clásicos de luz son vul-nerables a sufrir efectos dispersivos. En este trabajo se muestra que para el estado con alto grado de elongación sin correlaciones espectrales (generado con la técnica de empatamiento asímétrico de la velocidad de grupo) es posible suprimir ciertos efectos dispersivos asociados con medios dispersivos externos.
Palabras clave: Luz no-clasica, downconversion paramétrico, empatamiento de fases,
dispersión de velocidad de grupo.
ABSTRACT of the thesis presented by Yasser Jerónimo Moreno, as a partial
requirement to obtain the MASTER OF SCIENCE degree With oríentation in OPTICS
PHYSICS. Ensenada, B. C. January 2006.
Temporal Domain Description of Photon Pairs Generated by
the Process of Parametric Downconversion
Abstract approved by:
CZ- 7/ `/Qe/ti
Dr. Alfred Barry U'Ren Cortés. Thesis director
The process of parametric down conversion (PDC) consitutes a practical method for generating non-classical light with many applications, including the generation of single-photon wavepackets by conditional preparation.
In this work we have studied in detail the influence of different experimental
para-meters (nonlinear crystal length, pump beam spectral bandwidth and group velocity
mismatch parameters) over the joint temporal intensity (which characterizes the PDC photon pairs in the temporal domain). In particular, we have studied four specific states characterized to exhibit in the spectral domain: i) anti-correlation, ii) decorrelation and symmetry (Grice et al., 2001), iii) decorrelation and high aspect ratio, and iv) positive correlation (Giovannetti et al., 2002; U'Ren et al., 2003).
It shown that it is possible to generate photon pairs where one or both of them are described by ultrashort wavepackets (with a duration close to that of the pump)
exploting two techniques: i) symmetric group velocity matching and ii) asymmetric
group velocity matching. Both techniques generate photons with the temporal duration shortest posible compatible with their own bandwidth (i.e. they are limited by the Fourier transform). The second technique shows some important additional advantages; in particular one of the photons generated exhibits the shortest possible duration: the pump pulse duration.
Ultrashort single photon wavepackets are vulnerable to dispersive effects in the same manner that classical short pulses are. In this work we show that for the decorrelated high aspect ratio two-photon state (generated via asymmetric group velocity matching) it is possible suppress certain dispersive effects associated with external dispersive
me-dia.
Keywords: Non-classical light, parametric downconversion, phase matching, group velocity dispersión.
Guillermina Moreno V.
y Gilberto Jerónimo M.
Agradecimientos
A lo largo de todo el proceso de este proyecto he contraído deudas de gratitud con muchas personas y a las cuales deseo expresar mis sentimientos de agradecimiento.
Desde lo más profundo de mi corazón a mi familia, quien siempre me ha respaldado
en mis proyectos.
A mi Alma Mater, la Facultad de Ciencias Físico-Matematicas “Mat. Luis Manuel
Rivera Gutiérrez” de la UMSNH en donde obtuve mis primeros grandes acercamientos
a la física.
A los profesores del posgrado por el conocimiento transmitido.
A los miembros de mi comité por su disponibilidad, valiosas sugerencias y acertados aportes.
Quiero hacer mención especia.l al Dr. Alfred U”Ren Cortés por su valiosa asesoria
y compartir conmigo su conocimiento, experiencia y tiempo en la realización de este proyecto de tesis, por lo cual le estoy profundamente agradecido.
A Kari quien siempre ha estado al pendiente de mi y he encontrando en ella un refugio. Gracias Kari!
A César por el gran apoyo e invaluable amistad que me brindo en todo momento.
A las futuras doctoras Noemí y Norma con quienes pase ratos muy agradables y disfrute de su acompañamiento solidario.
Al camarada Daniel por la ayuda que me otorgo y que gracias a el he descubierto el estético y eficiente mundo de la manzana.
En general, a todos los nuevos compañeros que encontré, en especial a los que a la distancia siempre me acompañan deseandoles que todos sus proyectos resulten exitosos.
A CONACyT por el apoyo otorgado en la realización de este trabajo de
investi-gación.
Ensenada, México Yasser Jerónimo Moreno
25 de Enero de 2006.
Capítulo Pagina
Tabla de Contenido i
Resumen ii
Abstract iii
Agradecimientos v
Lista de Figuras vii
I Introducción
I.1 Objetivos de la tesis. . . . II Derivación del estado de PDC con dispersión.
III Descripción temporal del estado de parejas de fotones producidas por
downconversion paramétrico. 13
III.1 La intensidad temporal conjunta. . . 13
III.2 Aplicaciones para los estados con propiedades espectrales acondicionadas. 22 lIl.3 Estado con correlación espectral negativa. . . 24
III.4 Condición de empatamiento simétrico de la velocidad de grupo. . . . 30
III.4.l Estados simétricos sin correlaciones espectrales. . . 32
III.4.2 Estado con correlación espectral positiva. . . 34
III.5 Estado factorizable con alto grado de elongación espectral. . . _ 38 III.6 Generación de paquetes de onda unifotónicos ultra-cortos. . . _ . 42 IV Efectos dispersivos en el proceso de down conversion paramétrico. 46 IV.0.1 Dispersión en el haz de bombeo . . . 52
IV.1 Estado factorizable con alto grado de elongación espectral. . . 55
IV.2 Estado simétrico sin correlaciones espectrales. . . 60
IV.2.1 Estado con correlación espectral positiva. . . 64 lV.3 Estado con correlación espectral negativa. . . _ _ 66
V Conclusiones 70
Bibliografía 73
A La función Z(G',6,:z:0;:r) 76
U1›I>~I-I
Lista de Figuras
Figura Pagina
Esquema del proceso de downconversion con propagación no colineal en un cristal 94(2) de longitud L el cual es bombeado por un pulso ultra-corto y con elementos dispersivos de longitud l,, (,u = p, s, i) insertados en los tres campos. El estudio desarrollado en esta tesis es bajo propagación
colineal. . . . Distribución de probabilidad máxima de la diferencia de tiempos de
emisión entre los fotones PDC y el pulso de bombeo. . . . Intensidad temporal conjunta de la pareja de fotones obtenida mediante
PDC para un cristal BBO de 5 mm de longitud cortado y alineado para
empatamiento de fases tipo II centrado en 800 nm. . . . Intensidad espectral conjunta y temporal conjunta exhibida por una
pa-reja de fotones producida por el proceso PDC con empatamiento de fases
tipo I en un cristal BBO de 2 cm de longitud. . . . Se muestra de manera ilustrativa el comportamiento de la intensidad
temporal conjunta en función de la longitud del cristal no lineal BBO y empatamiento de fases tipo I. . . _
Intensidad espectral conjunta y temporal conjunta exhibida para una pareja de fotones producida por el proceso de PDC con empatamiento de fases tipo II en un cristal BBO de 2.7 mm de longitud . . . . Intensidad espectral conjunta y temporal conjunta exhibida para una pareja de fotones producida por el proceso de PDC con empatamiento
de fases tipo II en un cristal BBO de 4 cm de longitud, bombeado por un pulso de 15 nm de ancho de banda espectral . . . . Se muestra de manera ilustrativa el comportamiento de la intensidad temporal conjunta en función de la longitud del cristal no lineal BBO y empatamiento de fases tipo Il . . . .
Intensidad espectral conjunta y temporal conjunta exhibida por una pa-reja de fotones producida por el proceso de PDC con empatamiento de fases tipo II en un cristal KDP de 2 cm de longitud, bombeado por un pulso de 5 nm de ancho de banda espectral. . . . Se muestra de manera ilustrativa el comportamiento de la intensidad
temporal conjunta en función de la longitud del cristal no lineal KDP y
empatamiento de fases tipo II . . . _ . Preparación condicional de un paquete unifotónico basado en una fuente
PDC. En este caso la detección en D de un fotón anuncia la presencia de otro en el modo conjugado . . . .
vii
40
,
Figura Pagina Intensidad temporal conjunta de la pareja de fotones obtenida mediante PDC en un cristal BBO de 5mm de longitud para empatamiento de fases
tipo II centrado en 800 nm, bombeado por un pulso de 20 nm de ancho
espectral. . . .
Intensidad temporal conjunta bajo efectos dispersivos en pareja de
fo-tones PDC con un cristal KDP tipo II de 1 cm de longitud, bombeado por un pulso con ancho de banda espectral de 5 nm . . . .
Intensidad temporal conjunta de la pareja de fotones obtenida mediante
el proceso de PDC para un cristal BBO tipo II de 3.9 mm de longitud bombeado por un pulso de 15 nm de ancho de banda espectral centrado en una longitud de onda de 0.8 nm . . . . Intensidad temporal conjunta de la pareja de fotones obtenida mediante
PDC en un cristal BBO de 4 cm de longitud para empatamiento de fases
tipo II centrado en 1.514 nm y bombeado por un pulso de 15 nm de ancho de banda espectral. . . _ . Intensidad temporal conjunta de la pareja de fotones obtenida mediante PDC en un cristal BBO de 1 mm de longitud para empatamiento de
fases tipo I centrado en 800 nm y bombeado por un pulso de 3 nm de
ancho espectral y un filtro de 300 nm de ancho espectral sobre el campo
de downconversion. . . _
Comportamiento de la función Z (G, 9, 9:0; cr) . . . .
Capítulo I
Introducción
El fenómeno de downconversion paramétrico (PDC por sus siglas en inglés)
(Burn-ham y Wienberg, 1970; Hong y Mandel, 1985), constituye un método practico para la
generación de luz no-clasica, y se ha utilizado como base para la implementación de
tecnologías de procesamiento de información cuántica, asi como demostrar la validez de la mecánica cuántica, por ejemplo a través de la violación de la desigualdad de Bell (Bell, 1966).
Una fuente de PDC esta constituida por un medio no lineal XQ) el cual es iluminado
por un haz de bombeo (p); fotones individuales de dicha fuente decaen espontáneamente
en parejas de fotones (fotones PDC), que son comúnmente llamados fotón señal (3) y fotón acompañante En este proceso se cumple con la conservación de energía y la condición de empatamiento de fases, que corresponde a la conservación de momento.
La naturaleza no-clásica de las parejas de fotones es evidente en la aparición de correlaciones en el número de fotones entre los dos modos señal y acompañante, así
como también en las variables de tiempo de emisión, frecuencia y momento transversal. Dichas correlaciones en las parejas de fotones dan lugar a la aparición de enlazamiento cuántico, lo cual significa que el estado cuántico de la pareja de fotones no se puede descomponer en el producto directo de estados independientes para cada fotón.
demostrar fenómenos como teleportación cuántica (Bouwmeester et al., 1997; Boschi
et al., 1998) y la demostración del principio de compuertas lógicas basadas en
compu-tación cuántica con óptica lineal (Knill et al., 2001; Pittman et al., 2003).
Una de las ventajas del PDC es que el estado cuántico que describe a las parejas de
fotones emitidas permite una gran libertad de manipulación y de acondicionamiento dc
las propiedades de correlaciones en grados de libertad continuos (espectral, temporal y
momento transversal) entre los fotones señal y acompañante; tales correlaciones estan determinadas en gran medida por la dispersión experimentada por el haz de bombeo y por los paquetes de onda uni-fotónicos señal y acompañante en el cristal no lineal. Para lograr el acondicionamiento de la estructura modal del estado de dos fotones se cuenta con herramientas experimentales específicas, como la utilización de un haz de bombeo
en la forma de pulsos ultra-cortos y la selección apropiada del tipo del cristal no lineal tomando en cuenta las propiedades de la velocidad de grupo.
En general, para generar algunos de los estados de interés practico potencial, como son los estados con correlaciones acondicionadas (positivas y negativas) y decorrelacio-nados en el grado de libertad espectral, se requiere que se cumplan ciertas condiciones de empatamiento de la velocidad de grupo entre el haz de bombeo y en los fotones señal
y acompañante. Dichos estados estaran descritos por la intensidad conjunta, la cual puede expresarse ya sea en el dominio espectral o temporal.
La mayoría de los estudios que se han realizado del enlazamiento cuántico mostrado en parejas de fotones PDC se han llevado a cabo en el dominio espectral. Este trabajo se
concentrará en realizar un estudio detallado de la intensidad temporal conjunta, la cual
describe las parejas de fotones emitidas por PDC en el dominio temporal, prestando
especial atención a identificar técnicas que permitan la generación de paquetes de o11da uni-fotónicos ultra-cortos (por ejemplo, en el régimen de femtosegundos).
3
que exhiben anti-correlación espectral estricta; en este caso la distribución de diferencias de tiempo de emisión puede tener un caracter ultra-corto. Sin embargo, en un estado
con estas características los fotones señal y acompañante estan caracterizados indivi-dualmente por paquetes de onda con una duración que es varios ordenes de magnitud mayor que las diferencias de tiempo de emisión.
En esta tesis se muestra que mediante la implementación de ciertas técnicas de
empatamiento de la velocidad de grupo es posible generar parejas de fotones con ancho de banda amplio, limitados por la transformada de Fourier. Esto último permite, al utilizar un haz de bombeo constituido por pulsos ultra-cortos, que los fotones emitidos sean descritos por paquetes de onda ultra-cortos, teniendo en cuenta que la duración temporal más corta posible de los fotones es igual a la duración del pulso de bombeo.
I.1
Objetivos de la tesis.
En términos generales el objetivo principal del presente trabajo es estudiar el estado de dos fotones generado por el proceso de downconversion pa.ramétrico en el dominio
tem oral. En Particular se tomaran en cuenta los si uientes as ectos:3
1. Estudiar los ti os de correlaciones ue esP Posible obtener en la intensidad tem-oral con`unta la cual caracteriza a la are`a de fotones en el dominio tem tem-oral.› P P
2. Estudiar en el dominio temporal las técnicas previamente establecidas para
acon-dicionar las propiedades de correlación de las parejas de fotones (hasta ahora estudiadas
principalmente en el dominio espectral).
3.- El estudio de la generación y transmisión a través de medios dispersivos de
paquetes de onda uni-fotónicos temporalmente ultra-cortos.
Capítulo II
Derivación del estado de PDC con
dispersión.
Una de las técnicas más exitosas utilizadas para generar luz no-clásica es el proceso de downconversion paramétrico. Esta técnica se basa en la mezcla de tres ondas elec-tromagnéticas en un material no lineal de segundo orden, en donde se tiene un haz
de bombeo de frecuencia w,, y vector de onda kp el cual incide sobre un cristal óptico no lineal. El haz, al atravesar el cristal no lineal crea parejas de fotones, uno llamaclo regularmente señal con frecuencia ws y con vector de onda kg y el otro fotón llamado acompañante con frecuencia wi y vector de onda k¡. El proceso de PDC está sujeto a las restricciones de conservación de energía y de momento, es decir, se cumple:
¿Up : ws 'I' wi›
(1)
kp = ks + k,-.
Las parejas de fotones así creadas, son vulnerables a experimentar ensanchamiento temporal al propagarse a través de un medio dispersivo. Entre los efectos que se pro-ducen por el recorrido de las parejas de fotones a través de dicho medio dispersivo está
la cancelación de dispersión, en donde la dispersión experimentada por uno de los fo-tones puede cancelar la dispersión experimentada por el otro fotón. Este fenómeno fue analizado por primera vez por Franson (Franson, 1992).
A continuación se mostrará la derivación del estado cuántico que exhiben las parejas
dispersivos, los cuales son incluidos, y forman parte central del presente trabajo de tesis.
El operador de momento dipolar (r, t) se puede expresar como una serie de poten-cias del campo eléctrico. En este trabajo se considerará un cristal no centro-simétrico
cuya respuesta dominante corresponde al segundo término de la serie. Este término del momento dipolar por unidad de volumen puede ser escrito como:
R <f, n - Zxíšàej <f, ±> el af),
<2›
jk
donde los subíndices i, j, le denotan las componentes cartesianas de los operadores del campo eléctrico y de polarización, mientras que es la constante de proporcionalidad llamada susceptibilidad no lineal de segundo orden que relaciona la polarización no lineal con el producto de las amplitudes del campo eléctrico y que da a lugar a a la emisión de parejas de fotones. Restringiendo nuestra atención a un elemento en particular del tensor XQ), se puede escribir una versión escalar para la polarización introducida por la
presencia de dos campos eléctricos, los cuales serán referidos a lo largo de este trabajo
como señal y acompañante (s e i por sus siglas en inglés) como:
P (1-,±) = ¿(1-)
(P, i)
(ms),
(3)
donde d = para valores particulares fijos de i,j y k, determinados por el estado
de polarización de cada una de las tres ondas involucradas.
Del vector de desplazamiento D : EQE + P y con ayuda de la Ec.(3), se puede obtener el término asociado con la energía de polarización del medio, la cual viene de la expresión para la densidad de energía del campo electromagnético U = %E - D y que puede ser escrita como:
7
donde Ep (r, t) es el operador de campo eléctrico del haz de bombeo. De esta manera es posible obtener una expresión para el Hamiltoniano efectivo, el cual será el responsable
de describir el proceso cuántico en el cuadro de interacción:
fm) Z fvdvd(1~)E,g-> (1~,±)ɧ+> (l~,±)E§+> (1~,i)+H.c.,
(5)
donde H.C. denota el conjugado hermítico y se ha expresado cada uno de los campos eléctricos como la suma de las partes de frecuencia positiva y frecuencia negativa para
los tres campos eléctricos involucrados (Ii = p, s, i):
É” = ÉÁ+) _¡_ ÉL-), (6) y donde la integral se extiende sobre el volumen de interacción V (i.e., el volumen iluminado del cristal no lineal). Ahora se puede aplicar el operador unitario de evolución
temporal para determinar el estado cuántico al tiempo t dado el estado inicial |\I/0) (Claude Cohen-Tannoudji, 1977):
l\ïf(t)> = expjå /tdf'É (f')j |\If0>›
(7)
donde É (t) es el Hamiltoniano dependiente del tiempo (ver Ec. Para tiempos de interacción pequeños comparados con el tiempo entre interacciones paramétrica.s
suce-sivas, lo cual significa una probabilidad pequeña de que un pulso de bombeo específico genere una pareja de fotones, la función exponencial que aparece en la Ec.(7) se puede
expandir como: t
I åìO[dt'Í:I (t')] |vac), (8)
E
zz
P-^+
donde se ha supuesto que el estado inicial es el vacío, es decir, |\If0) = Ivac) y se ha truncado la expansión de la exponencial a primer orden. Como se verá más adelante, de
contribución de dos fotones. Los experimentos de downconversion paramétrico algunas veces operan en el régimen de baja ganancia (ver Ec.(8)), en donde la probabilidad
de emisión de múltiples parejas es despreciable. A lo largo del presente trabajo se
supone que términos de orden mayor del operador unitario de evolución pueden ser
despreciados.
= ei¢(fl>s)a†(mS)|0)
-"" 4'
¬-"'~\ I-Í, _Í-'ͬ-*--«.11--`Z-'_
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V. ìf
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:
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Íåp XQ)
|u),›) = e¡¢(w¡)a†(m,-)|0)
Figura 1: Esquema del proceso de downconversion con propagación no colineal en un
cristal XQ) de longitud L el cual es bombeado por un pulso ultra-corto y con elemen-tos dispersivos de longitud l,, (¡i = p, s,i) insertados en los tres campos. El estudio desarrollado en esta tesis es bajo propagación colineal.
En el contexto de esta tesis un pulso ultra-corto es un pulso electromagnético con duración del orden de femtosegundos (1 fs = 1O_15s) y tiene un ancho de banda es-pectral considerable. Dicha propiedad permite el acondicionamiento de las propiedades espectrales de la pareja de fotones así como definir una ventana de tiempo, lo que
permite detección temporalmente selectiva.
Para simplificar el análisis, en este trabajo se supone que los campos eléctricos de
9
con polarización lineal y frecuencia central w,, que se propaga de acuerdo al vector de onda k,,, el cual viajará a través de un medio dispersivo para posteriormente incidir
sobre el cristal no lineal como se muestra en la Fig.1. Dado que en el régimen de operación el haz de bombeo muestra una intensidad mucho mayor que el nivel de fotones individuales, éste será tratado clásicamente (donde el operador de campo eléctrico es
reemplazado por una función compleja):
E, (r, ±) ¬ A, / depa (op) exp@ (1<,, (o,,) . r _ opi) ]eXp[i¢›,, (w,,)] + O_O.,
(9)
donde C.C. indica el complejo conjugado y A,,o¿(w) representa la amplitud espectral del haz de bombeo. La función (tp (w,,) = /cp (wp) lp, representa la fase acumulada por el
haz de bombeo al recorrer un medio óptico dispersivo de longitud l,, caracterizado por el número de onda ¡sp (mp) y colocado previo al cristal no lineal (ver Fig.1).
El campo eléctrico correspondiente a los fotones señal y acompañante está dado de la siguiente forma (con ,u:s,i) (Loudon, 1980):
E,,(r,±) =i/aI,,A(w,,)a,,(w,)@Xp[i(1<,,(t,,,)-r _ w,,±)]exp[¢¢,, (o,,)1 + Co., (10)
li/.u
A tu = -ii-_ 11
< H) 2e0n (w,,) l/Q ( )
representa la amplitud del campo eléctrico correspondiente a un solo fotón, l/Q repre-donde
senta el volumen de cuantización, â,,(w,,) representa el operador de aniquilación eva-luado en la frecuencia w,,, k,, = n (w,,) w,,/c es el vector de onda y q5,, (w,,) = /-c (w,,) l,, es
la fase introducida por un medio dispersivo de longitud l,, que adquiere el modo ,Li (con
/si = s, al viajar por dicho medio dispersivo y caracterizado por el número de onda
de la expresión del hamiltoniano efectivo (Ec.(5)), se obtiene:
PI (t) = Ap f f f dw,,dwsdw,›./l (ws) A oe (cup) expj - i (w,, - ws - wi) tj
›<e›<pIi ia es + al to + ¢,- an la en f» (wa
<12›
>< fdl/ exp [i{k,, (top) - ks (ws) - lc, (w¿)} - rj.
=--|-Haciendo uso de las Ec.(9) y Ec.(12), se puede escribir el estado cuántico resultante al
tiempo t = tp, como:
te
|\I') = |vac) + tP I/I/f/dw,,dw3dw¿{%/dt'e“fA“'f}e¢dfSPA(w,)A(w,)oi(w,,)
P
0
>< ii/ d exp[iAk ~ 1'] }o,I (ws) âl (w,) |vac),
(13)
donde Ak representa el desempatamiento de fases:
Ak = k,., - ks - k,-, (14) Aw representa el desempatamiento de frecuencia:
Aw = 01,, - ws - 0.1,-, (15) y c/›d,-3,, agrupa las fases adquiridas por cada una de las ondas al atravesar los medios
dispersivos externos al cristal no lineal:
idep = ¢f› (wi) + sis (ws) + ¢i (wi) -
(16)
tp en la Ec. (13) corresponde a un intervalo de tiempo del orden de la duración del pulso de bombeo, mayor al tiempo característico de la interacción (dado por la duración temporal de los fotones producidos). La integral del primer término que se encuentra
entre llaves, al despreciar un factor de fase, puede ser expresado como sinc <A_°¶fi); donde se define esta función co1no:
11
Dado que el tiempo de interacción es mucho más corto que el tiempo promedio entre eventos PDC, la función sinc puede ser aproximada en el límite cuando tp -› oo como
ô (Aw) = 6 (wp - ws - w,). La amplitud del campo eléctrico uni-fotónico (Ec.(11)) es una función lenta de la frecuencia, por lo tanto, su valor puede ser aproximado como una constante, evaluando en la frecuencia central de downconversion. Usando la propiedad
Í) 5 (a: - 1:0) f(a:)dx : f(fc0) en la va.riable de integración w,,, se obtiene la siguiente eicopresión para el estado cuántico producido por el proceso de PDC bajo efectos de dispersión externa:
+>/ O\8 <:\8
Q.
|\I/) = |vac) wsdw,-f (w,¿,ws) al (ws) âl (wi) |vac) , (18)
donde el parámetro Ã, que es proporcional a la magnitud de la no linealidad y a la intensidad del haz de bombeo, representa la eficiencia del proceso de PDC. La función gb (cu,-, ws) que esta definida por:
¢(w,,wS) = -X;/dl/d (r) exp (iAk-r) (19) es llamada función de empatamiento de fases y contiene las propiedades dispersivas del cristal no lineal. Esta función determinará la distribución de energía del fotón del haz de bombeo entre los fotones señal y acompañante dado un pulso de bombeo. La función:
f (wtws) = Q (wi + ws) ¢ (waws) (P (waws),
(20)
representa un factor de peso en la suma de los operadores de creación actuando sobre el vacío (ver Ec.(18)) y constituye la amplitud espectral conjunta de la pareja de fotones.
Gaussiana con ancho o:
2
donde wm y wsg son las frecuencias centrales del fotón senal y acompanante,
Capítulo III
Descripción temporal del estado de
parejas de fotones producidas por
downconversion paramétrico.
III.1
La intensidad temporal conjunta.
En el capítulo I se ha derivado la expresión general para la función de amplitud espectral
conjunta de parejas de fotones generadas por el proceso de downconversion paramétrico en el régimen de bombeo pulsado y bajo efectos dispersivos, la cual está dada por:
.f (wiaws) : Ea (ws + Wi) QI) (wifl-Ús) (I) (wii Ws)›
donde oi (ws + wi) es la función envolvente espectral del haz de bombeo, gt (w,,w,) es la función de empatamiento de fases que describe las propiedades ópticas (dispersivas) del cristal no lineal, la función <I> (w,-, ws) agrupa los términos de dispersión introducida por
medios dispersivos externos y E es una constante de normalización de manera que se cumple:
f f desde-If (WS) 12 - 1
es
Suponiendo que el pulso de bombeo está descrito por un perfil espectral gaussiano de ancho o, la función oi (w,-,w,,) resultante es:
(wi-ws +wi~-0112
«<w,+a>-exp ,
(24)
y descritos por ondas planas, la función de empatamiento de fases puede ser expresada como:
gb (ws, ws) : sinc
jímk
(°“"*°JS)j @f4_lL^'°ë'i'“s ,
(25)
2 en términos del desempatamiento de fases:
Alt (w,-,ws) = ks (ws) + lc, - /cp (wp), (26) donde k,, (/,I = s, i, p) es la componente longitudinal del vector de Onda para cada una
de las tres ondas involucradas. El factor de la función sino que aparece en la Ec.(25), puede ser expresado como:
1
Lai ,-, s
1
.
wa,
sinc = 5/d§e*LM(2 )¿, (27) -1
donde § es una variable adimensional que representa la posición dentro del cristal no lineal. Realizando una expansión en serie de Taylor de Ak alrededor de la frecuencia central ws@ (con /i = s,i, p.), se tiene que:
LAR (wi, ws) = L[/fs (win) + ks (win) (ws - wa) + åks' (win) (ws - wSo)2
+k¿ (U/io) + (wie) (wi _ ww) + (wie) (Wi _ 0Jio)2) (28)
_kp (ww) + ki (ww) (WP _ “pnl _ åffi' (ww) (WP _ %0)2l + O(°-f3)›
donde O (w3) denota los términos de tercer orden y mayores. Escribiendo la expresión
anterior en términos de las “desintonizaciones” (I/,, = ws - w,,@, con /i = s, y conside-rando el caso degenerado, es decir, suponiendo que la pareja de fotones PDC tiene
la misma frecuencia y cuyo valor es la mitad de la frecuencia del haz de bombeo (w,-@ = ws@ = w@ y wp@ = ws@ + w,-@ = 2w@), la Ec.(28) queda como:
LAl<: ('11,-, vs) = LAk(0) + rsvs + rio, + fisfuš -I- ,Bing -|- ,B,,i›sv,- + O (U3) , (29)
donde:
15
representa el término constante de la expansión en serie de Taylor, el cual debe ser cero
para garantizar la existencia de empatamiento de fases. Los coeficientes de los términos de primer y segundo orden quedan como:
TH = L [kfi (0.10) - lc; (2w0)] = L (ui - ui) ,
ft = §wf;1<«»0> - kz <2~›@>1,
en
[ip = -Lké' (2010) .
En las expresiones anteriores ' y ” denotan la primera y segunda derivada con respecto a la frecuencia, up representa la velocidad de grupo del haz de bombeo y 'uy (/1 = s,
representa la velocidad de grupo de los fotones señal y acompañante. Bu (rr = s, f¿,p) representa los términos de dispersión de la velocidad de grupo relevantes introducidos
por el cristal no lineal. Dicha dispersión introduce una fase espectral cuadratica a lo largo del espectro del pulso, ocasionando así el ensanchamiento temporal de éste. Los
parametros TS y Ti se pueden entender como la lnaxima diferencia temporal de emisión entre los fotones señal y acompañante, respectivamente, y el pulso de bombeo. Por ejemplo, para un cristal BBO de 4 cm de longitud, bombeado a una longitud de onda a 0.8 ,um con 5 nm de ancho de ba11da espectral y empatamiento de fases tipo II el valor de T8 = 2.34 ps y 13 = 1.46 ps.
Debido a que la pareja de fotones PDC son de distinta frecuencia al pulso de bombeo, el tiempo de transito del punto de generación a la segunda cara del cristal no lineal será distinto para el pulso de bombeo que para los fotones generados. Nótese que la probabilidad de emisión de una pareja de fotones es la misma en cualquier punto
del cristal no li11eal, resultando en una distribución de probabilidad rectangular como
ilustra la Fig.2 para la diferencia temporal de emisión (TH) entre el fotó11 señal (u = s) o acompañante (,u = y el pulso de bombeo en un cristal no lineal de longitud L.
P(T››~)
Figura 2: Distribución de probabilidad maxima de la diferencia de tiempos de emisión entre los fotones PDC y el pulso de bombeo.
usando la Ec.(27), la Ec.(22) quedara como: 1
feas) =E /drexpl-{ (¿-i%<§+1>)@š-1§<a+1›«t
-1
-I-(É-'¿%(-f-l-1)) 'uf~1l%(§+l)v¿ (32)
+
-1% (¿+ 1)) W),-H,
A continuación se llevará a cabo un analisis de la distribución de tiempos de emisión
de los fotones señal y acompañante en ausencia de efectos dispersivos, es decir se
su-pondrá que los términos ,Bu (lr = s, fi, p) correspondientes a la dispersión de la velocidad
de grupo del cristal no lineal son nulos (en el Cap.lV se estudiarán en detalle efectos
dispersivos introducidos por medios externos).
17
transformada de Fourier de la función de amplitud espectral conjunta, es decir:
OO OO
f(1±,,±,)= / au, / dw,f (iii,-as) ef<-*8+~i*f>.
(as)
-oo -oo
Dado que es conveniente trabajar en términos de las “desintonizaciones” (en lugar de hacerlo directamente en términos de las frecuencias), se llevara a cabo el cambio de variables 1),, = au” - wg (/rr = s, en la Ec.(33):
OO OO
¡_-(this) :e1z.›o(±3+±¿)/dvs/dvif (vs7Uz_)ei(115›±5+«›,›±.-)_ (34)
-oo -oo
Nótese que en la ecuación anterior aparece una fase que oscila a la frecuencia central de PDC. En los calculos subsecuentes esta fase jugara un papel limitado ya que el análisis
estará en términos de las intensidades. Sustituyendo la Ec.(32) en la Ec.(34) se tiene:
mw
Ñ:
É”
8_
'U2
.TS
J-`(t,-,t,) = n dv,-exp - E - 25 (§ + 1) vs
-1 - -oo
2 . 2 _
+âï2 -
(5 + 1) U@ + ãvSv1-H@“(””t“+””*)-
(35)
Nótese que el integrando de la Ec.(35) es una función contínua de vs, vi y §. Dado que el dominio de integración es rectangular (aunque infinito en 'us y 1),-) se puede intercambiar el orden de integración llevando a cabo la integral sobre § al final.
Evaluando las primeras integrales con respecto a las variables espectrales vs y U,-, se
obtiene que:
1
fe,-, ias) =
/ dgexpj - “X2 (ws + ¿ï;1)2Ja<å±_ _ g),
(ss)
~1
donde t_ : ti - ts y 7'_ = 'r_, - 'r_. El nuevo parámetro T_ se puede interpretar como
{t+,t_} con t+ = ti + ts. Este nuevo sistema cartesiano se encuentra girado 45° con respecto a los ejes 13,- y ts. La función 5 (ÉL - f) representa la función delta de Dirac dada por:
O0
5 = ¿W Í dtem. (37)
N)
El calculo procede de manera distinta para los casos T_ = 0 y fr, 75 0. A continuación
se estudiará el caso T_ çš 0.
Se puede evaluar la integral que aparece en la Ec.(36), lo cual corresponderá a
evaluar la exponencial en el punto § = 2t_ /T_, obteniéndose:
45 3/2
Sa- ,ts 2 2
2±_
fm.) = Lap mx. mi g1,1,_
IT | 4T T(38)
donde se ha utilizado la siguiente igualdad:
22
/ de e - wo) f ei = f<w0>1~e@t<w1,w> ,
(39)
wi
definiendo la función rect(:r1, $2; 9:) como:
0, 11? < 1171
1`@C†1(ffl1›~'F2š1U) =
1, $1 <
Há $2
(40)
0, íIÍ>SC2
Haciendo uso de la propiedad: rect <:1:1,:c2;:12) = rect(Ä:1:1,Ãa:2;Ã:c), donde à re-presenta cualquier número real, se puede escribir la Ec.(38) como:
4Ecr1r3/2 (gt, - 'r¿ts)2 02 T_ T_
: T€Xp[- ±|I`€Ct<_ï,ï';t_\).
Como se observa en la expresión resultante, la función de amplitud temporal conjunta se obtiene del producto de dos funciones. Una de ellas es una función rect con ancho 1-_ en la dirección t_, la cual se encuentra alineada en el eje t+ y cuyo argumento
19
en cuyo argumento se encuentra información de las propiedades del cristal no lineal, así como también del haz de bombeo. La orientación de la función Gaussiana dependerá de los valores T3 y T,-; sus contornos están descritos por la condición:
frsti - Tits = 0. (42)
La Ec.(42) describe una línea recta en el espacio temporal {t,-,t,} con pendiente
T8/T, que se alineará al máximo de la función Gaussiana. Así, el ángulo subtendido por
dicha línea y el eje ti sera:
69 = arctan . (43)
Hasta ahora se ha considerado que 'r_ # O. Se estudiará ahora el caso †_ = 0; bajo esta condición es posible reescribir la Ec.(36) como:
.7-`(t,-,tS) o< /ldfiexp l - 0-Í2 (ts -I- ¿_f%)2] 5(t_). (44) La variable de integración 5 aparece solamente en el argumento de la exponencial y es posible extraer de la integral la función ô(t_). Al evaluar la integral se obtiene:
.7-`(t,-,ts) o< 6 (t_) (erfia (ts + - erflzf (ts - D, (45)
donde la función erf(Z) es llamada función de error definida sobre el plano complejo y
dada por:
âse oìm5%
(U
@rf(z) = _
-tf
(46)
La Ec.(45) se puede expresar como:
f(±,,±S) fx 5 (±_) z (0, 0, gas) .
(47)
Como se puede observar de la Ec.(47) la función de amplitud temporal conjunta está
otra está dada en términos de la función Z (G, H,:r0;m) la cual se encuentra definida en el apéndice. Para lograr un mejor entendimiento del caso T_ = 0, escribamos en
ausencia de dispersión y en términos de nuevas variables espectrales {v+, v_} la función
de amplitud espectral conjunta:
f (v+, ru) oc exp sinc (É-v+) , (48)
donde v_¡_ = 11,- -l- vs, 11_ = vs - 1),- y TS = T, = T. Como se observa, esta función no depende de v_ y por lo tanto exhibe un ancho de banda espectral infinito sobre el eje U-.
Esto último no corresponde a un estado físico, en la práctica siempre se presentará un mecanismo de reducción de ancho de banda espectral como por ejemplo dispersión en el cristal no lineal (ver Secc.III.3) 0 absorción óptica. De esta manera, en la Secc.IV.3 se obtiene una versión físicamente realista de la función de amplitud temporal conjunta
para el caso T_ = 0 en términos de un ancho de banda espectral of limitante que caracteriza al arreglo experimental utilizado:
E 3/2 t2 2
f (ws) = Mfipexp [-“ïfffl ›<
Tea
<erf - erf .
, / -I- ¡Í , /1 + ff
Nótese que en la expresión para la amplitud espectral conjunta dada por la Ec.(45) no se incluye una constante de proporcionalidad; como ya se ha mencionado el límite T_ -› 0 corresponde a un estado no físico, que en particular no es normalizable. Sin embargo, al incluir un filtro espectral con ancho of podemos obtener una expresión
completa para la amplitud temporal conjunta (ver Ec. (49)).
En el límite de filtración débil para la pareja de fotones PDC (af -› oo),1a función Gaussiana de la Ec.(49) tiende a una función delta de Dirac 6(t_), así la ecuación
21
En resumen, tomando en cuenta los casos 1; 7€ 0 y T. = 0 por separado, es posible
expresar la función de amplitud temporal conjunta como:
4Eavr3/2 02 2 T_ 'r_
für, =í
-_ sti- ,ts
-_ -;±_
50
.7-¬( ) 'LI exp[ 473 (fr 1' ) ]rect( 2 2 ) ( )
para L 7¿ 0. Si T_ = 0, la función de amplitud temporal conjunta es:
.7-"(t,-,t,,) o< å(t_) (erf [0 (ts + ]~ erf [cf (ts - . (51)
fotón
_ 0.2.
-A 99
ems`ón de seña(ps)
O
po de
-0.2-tem
-0.4. _ , . . .
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4
tiempo de emisión del fotón tiempo de emisión del fotón tiempo de emisión del fotón acompañante (ps) acompañante (ps) acompañante (ps)
Figura 3: Intensidad temporal conjunta de la pareja de fotones obtenida mediante
PDC para un cristal BBO de 5 mm de longitud cortado y alineado para empatamiento
de fases tipo II centrado en 800 nm con angulo de corte de 28.9°, bombeado por un
pulso con ancho espectral de 20 nm.(A) Función Gaussiana orientada a un ángulo 09 = arctan (TS/†,).(B) Función rect con ancho L en la dirección de t_.(C) Intensidad
temporal conjunta obtenida como el producto de las funciones anteriores.
En la Fig.3 se muestra la intensidad temporal conjunta (dada por |.7-` (t,-,t,) I2) a partir de la Ec.(50) cuando †_ çé 0, para el caso particular de PDC centrado en 800 nm generado por un cristal no lineal beta-bario-borato (BBO) cortado y alineado para
empatamiento de fases tipo II y bombeado por un pulso de 400 nm de ancho de banda
bombeo y de los fotones señal y acompañante son extraordinaria, ordinaria y extraor-dinaria, respectivamente) y propagación colineal (dicha propagación se mantendrá a lo
largo esta tesis) en donde la dirección de propagación del fotón señal y acompañante es igual al del pulso de bombeo. La Fig.3(C) representa la intensidad temporal conjunta (If (t,-, ts) |2) de la pareja fotones, que de acuerdo con la Ec.(41) se obtiene del producto
de una función Gaussiana (Fig.3(A)) que se encuentra orientada a un ángulo 09 z 148°
con respecto al eje ti y de una función rect (Fig.3(B)) que esta alineada con el eje t+ y tiene un ancho T_ en la dirección t_.
La Fig.3(C) puede entenderse como la distribución de probabilidad conjunta de tiempos de emisión; esto es, la probabilidad de que el fotón acompañante sea emitido a un tiempo ti = t1 y el fotón señal a un tiempo ts = tg sera proporcional al valor de la
función .77 (t,-, ts) en el punto (t1,t2).
III.2
Aplicaciones para los estados con propiedades
espectrales acondicionadas.
En esta sección se mencionaran algunas aplicaciones practicas de los estados con
pro-piedades espectrales acondicionadas.
Existen múltiples formas de caracterizar las propiedades de correlación y
enlaza-miento en grados de libertad continuos (en este caso nos interesa en particular el grado de libertad espectral) de parejas de fotones. El grado de correlación se puede cuantificar
directamente a través del coeficiente de correlación:
. . _ 2 .
p : cov (v,,v,) : ff'uSv,|f(v,,'u,)| dvsalv., (52)
M
¢ffv2|f<«›i,1›i>12«f«›8dv¬/ƒf~,?|f<«›i,«›s>|2«1«›,d«›i
23
\/var('u,,) con u = s,'¿. El coeficiente p puede tomar valores entre -1 y 1, donde el
valor numérico esta ligado al tipo de correlación presente:
1, correlación positiva estricta
P = 0, no hay correlación (53)
-1, anticorrelación estricta
Por otro lado, el enlazamiento cuántico presente en las parejas de fotones se puede cuantificar a través del parametro de cooperatividad, el cual está definido en términos
de los eigenvalores de la descomposición de Schmidt Ã, como (U'Ren et al., 2003):
1
K = W (54)
donde el valor mínimo permitido de K, K = 1, corresponde a un estado factorizable. Recordemos que el enlazamiento presente en un sistema cuántico, está asociado al grado
de no-factorabilidad, por lo que K = 1 representa un estado sin enlazamiento cuántico. Se puede demostrar que un estado factorizable no tiene correlaciones (p = 0), aunque
el converso no se cumple, es decir, un estado no correlacionado no necesariamente es
factorizable.
En la primera generación de experimentos basados en el proceso de PDC, se utilizó bombeo de onda contínua lo que resulta en correlación espectral negativa estricta debido a la conservación de energía con una sola frecuencia de bombeo. Incluso, en el caso de
bombeo pulsado, el PDC tipo I con cristales no lineales relativamente largos también da lugar a u11a anti-correlación espectral estricta. Los estados con correlación espectral (ya sea positiva o negativa) exhiben enlazamiento cuántico en el grado de libertad espectral,
el cual se puede en principio explotar por ejemplo para la teleportación de un paquete
Existen aplicaciones para las cuales se requiere un tipo específico de correlaciones
espectrales. En particular, correlaciones espectrales positivas son de utilidad para
me-trología cuántica (Giovannetti et al., 2001) y para lograr cancelación de dispersión
ex-terna a todos los órdenes (Erdmann et al., 2000). Por otra parte, en los estados donde
los fotones señal y acompañante son intrínsecamente distinguibles (por ejemplo PDC tipo Il) se observa una reducción de interferencia en particular en cristales no lineales largos, en un interferómetro Hong-Ou-Mandel. En dichas circunstancias, una solución
es acondicionar la fuente PDC para establecer correlaciones espectrales negativas, ga-rantizando de esta manera la indistinguibilidad de los fotones señal y acompañante
(U'Ren et al., a).
Es posible generar estados que no exhiben correlaciones espectrales, los cuales son potencialmente importantes para la preparación condicional de fotones individuales
pu-ros que son un ingrediente fundamental en experimentos de interferencia cuántica entre fotones provenientes de distintas fuentes. Ejemplos de lo anterior son la teleportación cuántica (Bouwmeester et al., 1997) y un esquema propuesto para computación cuántica
con óptica lineal (Ralph et al., 2001; Knill et al., 2001). La supresión de correlaciones
entre señal y acompañante, sumada a la utilización de un haz de bombeo en la forma de un tren de pulsos ultra-cortos, permite la preparación condicional de fotones indi-viduales espectralmente puros con ancho de banda espectral amplio y descritos por un paquete de onda ultra-corto (U'Ren et al., 2004b) limitados por la transformada de Fourier los cuales son de gran importancia para la criptografía (Gisin et al., 2002) y comunicación cuántica.
Las aplicaciones de las propiedades espectrales aquí mencionadas muestran la im-portancia del acondicionamiento del estado de dos fotones. En las siguientes secciones
25
el capítulo IV se extiende el análisis para incluir efectos de dispersión de la velocidad de grupo.
0 I
III.3
Estado con correlación espectral negativa.
Los estados que exhiben correlación espectral negativa están caracterizados por contor-nos de la función de intensidad espectral conjunta en el espacio de frecuencias {w.¿, ws}
con pendiente -1. Bajo este régimen y suponiendo correlación estricta, si el fotón
acompañante ha sido detectado con una frecuencia wi = wo + e (wo representa la fre-cuencia central de PDC), sabremos con certidumbre (aún sin detectarlo) que el fotón señal tendrá una frecuencia ws = wo - e. El estado resultante de la pareja de fotones se
puede escribir como:
|)1f> - f d-f<f> rw@ + «>_.: Ia - fi:
<f›f›>
donde f(e) es un factor de peso debidamente normalizado.
Como se observa en la Ec.(22), la función de amplitud espectral conjunta está dada por el producto de la función de empatamiento de fases y la función envolvente espectral del haz de bombeo (la función referente a la dispersión no se ha tomado en cuenta pues
por el momento nos limitaremos al caso cuando no existe dispersión). La orientación,
perfil y localización en el plano espectral {w,,ws} de la intensidad espectral conjunta se pueden seleccionar mediante el ajuste de parámetros como son: el tipo de cristal no lineal, la longitud de éste, la región espectral utilizada y el ancho espectral del haz de
bombeo.
Por otra parte, si el cristal no lineal es largo (L -› oo), la función de empatamiento de fases tenderá a una función delta de Dirac, haciendo que esta función domine sobre
la función envolvente espectral del haz de bombeo y por consiguiente determinará la
orientación de la función de amplitud espectral conjunta.
A manera de ejemplo, consideremos el caso particular de PDC degenerado tipo I
para el cual se cumple la siguiente condición sobre los coeficientes de desempatamiento de la velocidad de grupo: T8 - Ti = 0. Es decir, que el desempatamiento de la velocidad
de grupo con respecto al pulso de bombeo es idéntico para señal y acompañante. En el plano espectral {w¿,w,} esto se traduce en que los contornos de la función de empata-miento de fases exhiben una orientación paralela a la función envolvente espectral del haz de bombeo como ilustra la Fig.4, la cual ya sea para L -› oo ó J -› O se traduce en correlación espectral negativa estricta, exhibiendo un ancho de banda espectral muy
amplio en la dirección v_.
En la Fig.4(A) se muestra la función envolvente espectral del haz de bombeo (|o¿(v,,v,-) |2, ver la Ec.(24)) para un haz de bombeo con ancho de banda espectral de 15 nm. En la Fig.4(B) se observa la función de empatamiento de fases (|¢ (vs, 'u.¿) |2, ver la Ec.(25)) tipo I centrado en 800 nm en un cristal BBO de 2 cm de longitud y ángulo de corte de 29.2°. El producto de las funciones anteriores genera la Fig.4(C) donde se ilustra la intensidad espectral conjunta para una pareja de fotones PDC, la cual representa la distribución de probabilidad de que los fotones posean frecuencias w2=wsyw1=w,-.
En este caso, se puede observar que la pareja de fotones PDC está caracterizada
por perfiles idénticos para los fotones señal y acompañante, y mostrando un ancho de
banda espectral más amplio que el del haz de bombeo.
27
ud deonda defotón
señaum
Q'Q
0.75
/-\ \_/
:i -- 0.85'
ong t
0.
ola oƒas ole 0."/5 019 ojas ola 0115 ole o.`e5 ole 0175
longitud de onda del fotón longitud de onda del fotón longitud de onda del fotón acompañante (pm) acompañante (um) acompañante (pm) 4_(D) _ _ _ _ _ _ _ ._.(E.)., _ _ _ _ (F).
defotón
_2 ~ 4
m s'ón
seña (ps
O
dee
_2 ._
tempo
-4 -2 0 2 4-4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4
tiempo de emisión del fotón tiempo de emisión del fotón tiempo de emisión del fotón acompañante (ps) acompañante (ps) acompañante (ps)
Figura 4: Intensidad espectral conjunta ((A)-(C)) y temporal conjunta ( exhi-bida para una pareja de fotones producida por el proceso PDC con empatamiento de fases tipo l en un cristal BBO de 2 cm de longitud con ángulo de corte de 29.2°.(A)
Función envolvente espectral del haz de bombeo con ancho espectral de 15 nm. (B)
es nula (como se ha supuesto aquí), la función de amplitud espectral conjunta se ex-tiende infinitamente sobre el eje w_ = w, ~ ws. Cuando se toman en cuenta los efectos
dispersivos del cristal no lineal, se producirá una ligera curvatura en la función de
em-patamiento de fases resultando en una distribución de diferencias de tiempo de emisión con ancho diferente de cero (típicamente pequeño).
Cabe hacer notar que estas son gráficas espectrales y por lo tanto sus ejes son en frecuencia, pero para un mejor entendimiento se han etiquetado los ejes con las longitudes de onda correspondientes a dicha frecuencias. En las subsecuentes gráficas espectrales se seguirá el mismo formato.
Las Figs.4(D)-(F) muestran la intensidad temporal conjunta de la pareja de fotones
PDC a partir de la Ec.(51) cuando T_ = 0. En la Fig.4(D) se ilustra la función delta de Dirac (mostrada con ancho pequeño distinto de cero por claridad gráfica). La Fig.4(E) muestra la función Z (G,6,:t0; rr) la cual se reduce a una función rect alineada con el eje t,; y con ancho T en la dirección ts. La anticorrelación espectral se traduce en correlación positiva en el dominio temporal como se ilustra la Fig.4(F), donde la intensidad temporal conjunta tiene una orientación perpendicular a la intensidad espectral conjunta (Fig.4(C)). La interpretación física para esta gráfica es que (en el límite de correlación temporal estricta cuando la dispersión de la velocidad de grupo del cristal no lineal evaluado en wg se anula) si se ha determinado que el fotón señal ha
sido emitido a un tiempo ts = t, se sabrá con certeza que el fotón acompañante ha sido
emitido al mismo tiempo, es decir: ti = ts = t.
Para este estado ambos fotones tienen la misma duración temporal y es posible
hacerlos temporalmente largos incrementando la longitud del cristal no lineal, teniendo
en cuenta que en el límite L -› 0 la duración temporal mínima de la pareja de fotones estará dada por la duración del pulso de bombeo. En este caso límite, la función
29
puede escribir como:
f (±,, is) (X 5 (±_) exp
_
(ss)
L-› o L-1., >L, 1.=L, >L, r=L,
Amptucl Tcmpora›
D .--Pcrfitcmpom dc fotón T1°mp°dfEmfslondeFoonSenaseñalacompañantey
ticmp _. / /
_______________ __ _
__
_
_
_
\__
__
_
_
_
_
l_ .
Tiempo de Emisión del Fotón Acompañante
S
Figura 5: Se muestra de manera ilustrativa el comportamiento de la intensidad temporal conjunta en función de la longitud del cristal no lineal BBO y empatamiento de fases
tipo I.
En la Fig.5 se muestra de forma esquemática la intensidad temporal conjunta
(obte-nida a partir de la Ec.(51)) donde se han supuesto tres diferentes longitudes del cristal no lineal. El punto del extremo inferior representa el caso cuando los fotones son emi-tidos en la segunda cara del cristal no lineal y el punto del extremo opuesto representa
el caso cuando los fotones son emitidos en la primera cara del cristal no lineal.
Para este caso, la función Z (G, 6', ing; it) se puede interpretar como el perfil
tempo-ral de los fotones señal y acompañante. Cuando el cristal no lineal se encuentra en
el límite de longitud nula (L -› 0), la función Z (G,6,:t0;a:) se comporta como una función Gaussiana y la duración temporal de la pareja de fotones PDC está limitada por la duración del pulso de bombeo (por ejemplo con duración de femtosegundos). Sin
embargo, la utilización de un cristal no lineal en el límite de longitud nula se traduce en una tasa de generación de pareja de fotones prohibitivamente baja.
En las siguientes secciones se presentan técnicas específicas basadas en el desem-patamiento de la velocidad de grupo que permiten la generación de parejas de fotones
donde uno o ambos fotones están caracterizados por un paquete de onda ultra-corto sin
necesidad de recurrir a cristales no lineales en el limite de longitud nula.
Al incrementar la longitud del cristal no lineal, la intensidad temporal conjunta sufre un elongamiento en la dirección t+ haciendo que la pareja de fotones PDC sea de mayor duración temporal, lo cual es una consecuencia del desempatamiento de la velocidad de grupo entre el pulso de bombeo y la pareja de fotones PDC.
III.4
Condición de empatamiento simétrico de la
velocidad de grupo.
En esta sección se estudiará la condición de empatamiento simétrico de la velocidad de
grupo, la cual permite generar parejas de fotones que exhiben decorrelación espectral
caracterizados además por una intensidad espectral conjunta simétrica (donde se define simetría como la siguiente condición sobre la función de amplitud espectral conjunta: fff/11,018) :
f(Ws,UJi))-En este trabajo, los estados decorrelacionados de interés son aquellas cuya intensidad
espectral conjunta muestra factoribilidad, i.e., existen funciones p(w) y q(w) tales que: f fwawsl = Pfwilqfwsl- (57)
Para encontrar las condiciones que se deben satisfacer para obtener estados factori-zables, se puede proceder con un tratamiento similar al mostrado en la Secc.III.l,
31
Gaussiana. En concreto se toma la aproximación:
_ __ 2
smc m e 'VI , (58)
con fy w 0.193, (el valor de fy es tal que las dos funciones tienen el mismo ancho a la mitad
del máximo). De esta manera se llega a la siguiente condición de factorabilidad sobre el ancho de banda espectral 0 y los parámetros de desempatamiento de la velocidad de
grupo T, y T, (U'Ren et al., 2004b): 4
E + "yT,-TS = 0. (59)
Cabe resaltar que los cálculos presentados en este trabajo no recurren a la aproximación Gaussiana; sin embargo esta última es útil para identificar combinaciones de valores de los parámetros experimentales que resulten en una amplitud espectral conjunta
facto-rizable. Haciendo uso de la Ec.(31) se puede reescribir la ecuación anterior como:
É + WL2 (kg - 14,) (kg - /f;,) = 0,
(so)
donde L es la longitud del cristal XQ), 0 es el ancho espectral del haz de bombeo, ké representa la primera derivada de kp con respecto a la frecuencia evaluada en 2010,
k¡',(u : s, es la primera derivada de lt), evaluada en wo y fy .'21 0.193. Así, escogiendo apropiadamente la longitud del cristal no lineal L y el ancho de banda espectral del haz de bombeo 0 es posible hacer que se cumpla la Ec.(60).
Como se puede ver en la Ec.(60), para satisfacer la condición de factorabilidad es
necesario que los valores de TS y T,- tengan signos opuestos, es decir, que T,;T8 < 0. Dentro de los estados que satisfacen la Ec.(59) un caso especial de interés son aquellos que cumplen la condición de empatamiento simétrico de la velocidad de grupo:
ké (wo) + (wü) - 21€; (2010) = 0, (61)
la pareja de fotones PDC y del haz bombeo: la velocidad de grupo recíproca del pulso
de bombeo debe tener un valor cualquiera entre las velocidades de grupo recíprocas del fotón señal y acompañante, es decir: ki, < kg, < ó < kš, < De manera
alternativa esta condición se puede escribir como:
TS -I- T,- = 0, (62)
con lo cual se obtiene que el promedio de los inversos de las velocidades de grupo de los fotones señal y acompañante debe ser igual al inverso de la velocidad de grupo del haz de bombeo, es decir:
_ ,uSi_¡_uz_1_
t,,1=†.
(ss)
Bajo esta condición los fotones señal y acompañante se retrasan temporalmente con respecto al pulso de bombeo de manera simétrica y en direcciones opuestas (ver
Secc.III.4.2).
III.4.1 Estados simétricos sin correlaciones espectrales.
Una manera de producir estados donde los fotones señal y acompañante no exhiben correlaciones espectrales, es mediante el uso de la condición de empatamiento simétrico
de la velocidad de grupo además de imponer la condición sobre L y 0 dada por la
Ec. (60).
La condición dada por la Ec.(61) se cumple para diversos cristales y regiones espec-trales. Un ejemplo representativo de una fuente que satisface el empatamiento simétrico de la velocidad de grupo es un cristal BBC tipo Il cortado y alineado para PDC
dege-nerado centrado en 1.514 ¡im (Grice et al., 2001).
En la Fig.6 se ilustra las funciones de intensidad espectral y temporal conjunta
33
un estado factorizable y además simétrico). La Fig.6(A) muestra la función envolvente
espectral del haz de bombeo para un pulso de 15 nm de ancho de banda espectral. En
la Fig.6(B) se ilustra la función de empatamiento de fases tipo II centrado en 1.514
nm en un cristal BBO de 3.7 mm de longitud y ángulo de corte de 28.8°. El producto de las funciones anteriores genera la Fig.6(C) donde se muestra la intensidad espectral conjunta; coino se puede apreciar, el estado está libre de correlaciones espectrales.
La función de amplitud temporal conjunta para este estado se puede derivar de la Ec.(41) si tomamos T, = -T, = -T, con lo cual se obtiene que:
JE 122
J-`(t,,t,) ~ 2\/.7FTexp< - Étjro )rect< - T, T;t_). (64) En este caso, los mapas bidimensionales mostrados en la Fig.6(D)-(E), que repre-sentan a la función Gaussiana y la función rect respectivamente, están orientados
per-pendicularmente entre sí. Es decir, el mapa de la función rect es una función alineada
en el eje t+ con ancho T en la dirección t_, mientras que el de la función Gaussiana crece al movernos sobre el eje t_ y se encuentra alineada en el eje t+.
Como es posible observar en la Fig.6, la intensidad temporal conjunta para este caso está cerca de ser factorizable. Nótese que la duración temporal de ambos fotones es la misma y del orden de picosegundos. La función Gaussiana (Fig.6(D)) es
aproximada-mente del mismo ancho que el de la función rect (Fig.6(E)), haciendo que la función
de amplitud temporal conjunta que es el producto de las dos funciones anteriores tenga un perfil cuadrado (Fig.6(F)).
III.4.2
Estado con correlación espectral positiva.
Para obtener un estado que exhibe correlación espectral positiva, se debe de cumplir
1.42
ud deonda defotón
seña¡im
1.46
:is-1.54)
ong t 1.58'
1.58 1.54 1.5 1.-is 1.42 i.ss 1.54 1.5 1.46 1.42 1.58 1.54 1.5 1.46 1.42 |0ng|¡ud de onda del fotón longitud de onda del fotón longitud de onda del fotón
açompañante (um) acompañante (pm) acompañante (um) _(F› _ _ _ _ _ _
dedeemson fotón(psseña
O
,-e
-0. PO
-0 ÍEH1
-o _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ -0.3 -0.2 -0.1 o 0.1 0.2 . ¿0.2 -0.1 ç_,o.1 0.@ 0.3 -0.3 -0.2 -0.1 o 0.1 0.2 0.3
tiempo de emisión del fotón tiempo de emISIOI'\ del f0l0I1 tiempo de emisión del fotón
acompañante (ps) acompañante (ps) açompafiame (ps)
Figura 6: Intensidad espectral conjunta ((A)-(C)) y temporal conjunta exhi-bida para una pareja de fotones producida por el proceso de PDC con empatamiento de fases tipo II en un cristal BBO de 2.7 mm de longitud y ángulo de corte de 28.8”. (A) Función envolvente espectral del haz de bombeo por un pulso de 15 nm de ancho
espectral. (B) Función de empatamiento de fases centrada a 1.514 nm. (C) Intensidad
35
de contar con un ancho de banda espectral amplio y un cristal no lineal relativamente la.rgo.
En este estado, a diferencia del estado factorizable simétrico, el ancho de la función envolvente espectral del haz de bombeo es distinto del anclio de la función de empa-tainiento de fases; es por ello que la función de intensidad espectral conjunta muestra un perfil elongado con pendiente positiva. Este tipo de estados son de utilidad en el área de inetrología cuántica (Giovannetti et al., 2001) así como también para obtener cancelación de dispersión externa en todos los órdenes (Erdmann et al., 2000).
En la Fig_7 se ilustra la intensidad espectral conjunta y temporal conjunta exhibida para una pareja de fotones mostrando correlación espectral positiva.
La Fig.7(A) muestra la función envolvente espectral para un pulso de bombeo con
un ancho de banda espectral de 15nm. En la Fig.7(B) se observa la función de empa-tamiento de fases para el proceso PDC tipo II centrado en 1.514 nm en un cristal BBO de 4 cm de longitud. La Fig_7(C) ilustra la intensidad espectral conjunta en donde la pareja de fotones muestra una correlación espectral positiva. En el límite de corre-lación estricta cuando L -› oo, si el fotón acompañante ha sido detectado con frecuencia
wi = wo -i- e entonces se sabrá con certeza (aún sin detectarlo) que el fotón señal tendrá la misma frecuencia ws = wo + e. Para este caso el estado cuántico se podrá escribir
como:
sf) - / d«f<«> Iwo + «>_ ¡wo + ft
(65)
donde f(e) es un factor de peso debidamente normalizado.
La función de amplitud temporal conjunta estará dada por la misma expresión para
el estado simétrico (Ec. (64)); pero cumpliendose la condición T0 >> 1 (mientras que en el
estado decorrelacionado simétrico L y 0 están balanceados de tal manera que el ancho
de la función de empatainiento de fases es similar al ancho de la función envolvente
1.42
onda defotónña(um _ 1.46
ud de
se ong t
iƒsa 1.54 1L5 1.46 1.42 i.se 1.54 ijs 1.346 i. 42 ifsa 1.54 ifs 1.116 1.'42
longitud de onda del fotón longitud de onda del fotón longitud de onda del fotón acompañante (um) acompañante (um) acompañante (um)
óndefotónps
f-\
É '
II- o~
po deems
seña (
-1 tem
_ -2 -1 o 1 2-2 -1 o 1 2 -2 -1 0 1 2
tiempo de emisión del fotón tiempo de emisión del fotón tiempo de emisión del fotón
acompañante (ps) acompañante (ps) acompañante (ps)
37
Eii la Fig_7(F) se observa la intensidad temporal coiijuiita, eii este caso la corre-lación espectral positiva se traduce en anticorrelacióii temporal, obteniéndose un estado elongado coii pendiente negativa con ambos fotones exhibiendo una duración temporal
grande con respecto a la duración del pulso de bombeo. La función de amplitud tem-poral conjunta se obtiene del producto de una función Gaussiana (Fig.7(D)) alineada en el eje t_ y de una función rect (Fig.7(E)) que está alineada en el eje ti y con ancho T en la dirección t__
i
3 L-›o 6 L=1§,>L, V _ L=L,>L,
L=L¡
/
"bg,
\/
mpo de Emi ón
deFoónSeña
Tempora ` ¬\
\
Amptud Tie
H
.¡.,.np0 Tiempo de Emisión del Fotón Acompañante
Figura 8: Se muestra de manera ilustrativa el comportamiento de la intensidad temporal
conjunta en función de la longitud del cristal no lineal BBO y empatainiento de fases
tipo II.
Para lograr un entendimiento de la Fig_7(F), en la Fig_ (8) se muestra de forina
esqueinática el comportamiento de la intensidad temporal conjunta producida al incre-mentar la longitud del cristal BBO. Observemos nuevamente, cuando el cristal BBO está en el líniite de longitud nula (L -› 0) la duración temporal de ambos fotones estará limitada por la duración del pulso de bombeo. Nótese que esta figura es similar a la ob-tenida eii la Fig.5 para el caso L -› 0, esto es debido a que en el límite de longitud nula para el cristal no lineal, el estado está determinado completamente por las propiedades del haz de boinbeo.
las flechas.
En este caso los fotones señal y acompañante tienden a elongarse temporalmente respecto al pulso de bombeo eii direcciones opuestas de maiiera simétrica mientras
transitan por el cristal no lineal (figura izquierda de la Fig.8). Su elongación neta a la salida del cristal no lineal, depeiiderá de la posición donde fueron emitidos; para parejas de fotones emitidas en la segunda cara del cristal no lineal (que tainbién es el caso cuando L -› 0) estarán alineados con el haz bombeo y se encontrarán representados
por el extremo inferior derecho de la zona de alta probabilidad en la Fig_7(F). El extremo
izquierdo superior de la zona de alta probabilidad en la Fig_7(F) corresponde a parejas de fotones generadas en la primera cara del cristal no lineal, para las cuales el retraso temporal será máximo.
III.5
Estado factorizable con alto grado de
elon-o I
gacion espectral.
Un estado factorizable no iiecesariainente tiene que ser un estado con estructura siinétrica coino el estudiado en la Secc.III.4.l. Ctra posibilidad es un estado libre de correlaciones con un alto grado de elongación espectra.l, alineado con los ejes {v,-, 'us}_
-Para encontrar las condiciones que se deben satisfacer para obtener un estado como el descrito anteriormente, empecemos por reescribir la condición de factorabi-lidad (Ec.(60)) de la siguiente manera:
4
_ -l- af)/T, = 0. (66)
JT,
En el límite de un cristal no lineal largo (recordemos que TS y T, son proporcionales a la
longitiid L del cristal no lineal), el valor de T, es muy grande (TSU >> 1), para satisfacer
