CONJUNTOS NUM´
ERICOS
1.
¿M´
as n´
umeros?
Los n´umeros naturales (N) y los n´umeros cardinales (N0) son s´olo 2 ejemplos de conjuntos. Ahora, presentamos a los:
1.1. N´umeros enteros (Z)
Este conjunto incluye a todos los n´umeros cardinales y tambi´en a los n´umeros negativos, es decir,
Z={. . . ,−2,−1,0,1,2, . . .}.
En este nuevo conjunto podemos decir que existe, y tiene sentido hablar de, un orden ya que por ej. si 2 > 0 y 0 > −1 entonces podemos decir que 2>−1.
4 3 2 1 0
−1
−2
−3
−4
Ojo 1 Tambi´en se utiliza la notaci´on N=Z+
y N0 =Z+0.
Ojo 2 Tanto en este conjunto, como en todos los que se estudian en esta gu´ıa se utilizan las 4 operaciones b´asicas.
Ojo 3 La resta puede pensarse como un caso particular de la suma entre un n´umero positivo (mayor que 0) y un n´umero negativo (menor que 0), es decir, 7−4 = 7 + (−4) = 3.
Ojo 4 Cuando multiplicamos 2 n´umeros, el resultado es 1. Positivo, si ambos son del mismo signo.
2. Negativo, si son de signos distintos.
3. Cero, si alguno de los dos(o ambos) es(son) 0.
Ahora, tambi´en podemos hablar sobre n´umeros pares e impares en los n´ ume-ros enteume-ros. Extendiendo el concepto, un n´umeropares aquel que se puede escribir como el producto entre un entero y 2. Por otro lado, n´umeroimpar
es aquel que no es par. Formalmente
Pares={2x: x∈Z}. Impares={2x−1 :x∈Z}.
Ojo 6 Si se toma x= 0 podemos concluir que 2·0 = 0 y por lo tanto, 0 es un n´umero par.
1.2. N´umeros racionales (Q)
Este conjunto incluye a todos los n´umeros que pueden ser expresados como una raz´on (de ah´ı racionales), es decir, como una divisi´on entre dos n´umeros enteros. Formalmente, Q={a
b :a∈Z:b∈Zyb6= 0}.
Q={. . . ,−2, . . . ,−8
5, . . . ,−1, . . . ,0, . . . , 1
3, . . . ,1, . . . ,2, . . . , 13
6 , . . .}. Si se tiene un n´umero de la forma ab, con a, b ∈ Z
+
, entonces a se conoce comonumerador mientras queb es eldenominador. Si b > ala fracci´on se denominapropia y sia > bentonces ser´a impropia.
Ojo 7 M´as adelante, veremos que todos los n´umeros cuyos decimales son peri´odicos (despu´es de un rato se van repitiendo) pueden expresarse como fracci´on y por lo tanto, son racionales.
Ojo 8 Z es un subconjunto de los n´umeros racionales pues todo entero a= a1, es decir, puede ser expresado como fracci´on.
Ahora comienza a dificultarse la tarea de ordenar elementos de este conjunto.
4 3 2 1 0
−1
−2
−7 3
−3
−4 3
2 8 3 8 3
−13
4 −
1 2
1 3 Para ello analizaremos 3 casos,
Ejemplo 1 Ordenar de menor a mayor (creciente) los siguientes n´umeros −7 3 , 8 3, 5 3, 1 3, −4 3 , 0 3 ⇒ −7 3 < −4 3 < 0 3 < 1 3 < 5 3 < 8 3.
2. Racionales con igual numerador: para ordenarlos debemos fijarnos s´olo en el denominador. Es como tener una torta y ver si al cortarla en m´as o menos trozos quedan m´as grandes o chicas las reparticiones.
Ejemplo 2 Ordenar de mayor a menor (decreciente) los siguientes n´umeros
−124 ,12 3 ,
12 2 ,
12 6 ⇒ −
12 4 < 12 6 < 12 3 < 12 2 .
3. Racionales con distinto numerador y denominador: en este caso, te-nemos 3 opciones. Podemos amplificar para igualar el denominador o el n´umerador, o podemos multiplicar cruzado denominador de uno con numerador del otro.
Ejemplo 3 Identificar el mayor n´umero entre 3 4 y
7 5.
Primero hag´amoslo igualando el denominador. Buscamos MCM entre 4 y5 (que es 20) y una vez que lo encontramos, amplificamos
3 4 = 3 4· 5 5 = 15 20 7 5 = 7 5· 4 4 = 28 20 15 20 < 28 20 ⇒ 3 4 < 28 20.
Ahora hag´amoslo igualando el numerador. Buscamos MCM entre3 y 7 (que es 21) y una vez que lo encontramos, amplificamos
3 4 = 3 4· 7 7 = 21 28 7 5 = 7 5· 3 3 = 21 15 21 28 < 21 15 ⇒ 3 4 < 28 20.
Finalmente, hag´amoslo multiplicando cruzado. Como 3·5 = 15, 7·4 = 28 y 15<28 entonces 3
4 < 7 5.
Ojo 9 Cuando queramos multiplicar cruzado y tengamos una fracci´on ne-gativa, para que el m´etodo funcione, debemos poner el signo negativo en el numerador, es decir, −a
b =
−a
Tambi´en las operaciones b´asicas se han complicado un poco.
1. Suma y resta: Para sumar(o restar) 2 fracciones deben tener igual denominador. Para ello amplificamos igual´andolos y luego sumamos(o restamos) los numeradores luego de la amplificaci´on. Es decir,
a b ±
c d =
a·d±c·b b·d .
Ejemplo 4 3 4 + 5 6 − 2 3− −1 3 = 3 4+ 5 6− 2 3 + 1 3 = 3 4+ 5 6 +
−2 + 1
3 = 3 4+ 5 6 − 1 3 = 3 4· 3 3 + 5 6 · 2 2− 1 3· 4 4 = 9 12+ 10 12− 4 12 =
9 + 10−4
12 =
17 12. 2. Multiplicaci´on y divisi´on: Para multiplicar, multiplicamos numerador
con numerador y denominador con denominador. En el caso de dividir, invertimos la fracci´on. Es decir,
a b ·
c d =
a·c b·d
a b : c d = a b · d c =
a·d b·c.
Ejemplo 5
4 7 ·
21 2 =
4·21 7·2 =
84 14 = 6.
−5 6 : 15 24 = −5 6 · 24 15 =
(−5)·24 6·15 =
−120 90 =
−4 3 .
Ojo 10 Las fracciones tal como se pueden juntar, se pueden separar, es decir,
4 3+
3 4 =
16 + 9 12 =
25 12 =
24 + 1 12 =
24 12 +
1
12 = 2 + 1 12.
Ojo 11 Tambi´en se puede utilizar la notaci´on 2 + 1 12 = 2
1 12.
Ojo 12 La mayor´ıa de las veces es mejor simplificarantes de multiplicar. En el ejemplo anterior,
4 7 ·
21 2 =
2· 62
67 · 3· 67
62 = 4·3 = 6.
Esto se explica en el hecho que dividir y multiplicar por un n´umero no cambia en nada el resultado original, es decir a
Ojo 13 Simplicar
4 + 3
4 =
64 + 3
64 = 3,
es muy com´un y est´a mal (de hecho, p´esimo). Lo correcto ser´ıa
4 + 3
4 =
4 4+
3 4 = 1 +
3 4 = 1
3 4. 1.3. N´umeros irracionales (I ´o Q0)
En este conjunto se encuentran todos los n´umeros cuyos decimales son inf´ınitos y no peri´odicos. Es decir,
I={√2,√3, π, e, γ, . . .}.
1.4. N´umeros reales (R)
Este conjunto incluye a todos los n´umeros que hemos visto hasta el
mo-mento, es decir, incluye a los racionales e irracionales. FormalmenteR={a∈Q∪I}. Cuando operamos
Q+Q=Q. Q·Q=Q. Q+I=I.
I+I=I ´oQ. Q·I=I, siQ6= 0. I·I=I´o Q.
Ojo 14 Si a∈I, entonces a+a+. . .+a | {z }
nveces
=n·a=Q·I por lo tanto ∈I.
Sea a ∈ R. Entonces (−a) es su inverso aditivo, es decir, aquel n´umero que al sum´arselo resulta 0.
Por otro lado, que si a 6= 0 entonces
1
a es su inverso
multiplicativo, es decir, aquel n´umero que al multiplic´arselo re-sulta 1. Tambi´en suele escribirse comoa−1.
N
Z
Q
I
2.
Ejercicios
Sin calculadora. Marcar s´olo 1 alternativa.
1. Sean a, c ∈ Z y b ∈ Z+. Se sabe que en la recta num´erica, 2b est´a a la derecha dea, que a su vez, est´a a la derecha de b. Tambi´en se sabe quecest´a a la izquierda de 0. Entonces es falsoafirmar que
a) 2b > b b) c <0 c) a > b d) b >0 e) a < c
2. ¿Cu´al de los siguientes n´umeros no es irracional? a) √2
b) √3 c) e
d) 0,33333. . . e) π
3. ¿Cu´al de las siguientesnoes una equivalencia de 15 2 +
10 4 ? a) 20
2 b) 10
c) 10 2 +
10 2 d) 10
3 + 10
3 e) 30
2 − 10
2
4. Siaybson dos enteros consecutivos tales quea < b, entoncesb−aes a) −1
5. Sia, b ∈ Z y el antecesor de a es b y el sucesor de a es −9, entonces a+b=?
a) −21 b) −20 c) −19 d) −17 e) −15
6. Sia, b son dos enteros tales que sus ubicaciones en la recta num´erica son las de la figura, entonces se cumple que
a) ab <0 b) −a:b >0 c) a+b >0 d) a−b >0 e) b−a >0
0 b a
7. Sip es un n´umero entero par y q es un n´umero entero impar, enton-ces ¿cu´al(es) de las siguientes aseveraciones es (son) siempre verda-dera(s)?
I) p2 es un n´umero positivo. II) −q2 es un n´umero positivo III) (p−q)2
es un n´umero impar positivo. a) S´olo I
b) S´olo III c) S´olo I y III
d) S´olo II y III
8. Tres amigos compraron pescado; Alicia compr´o los 79 de un kilo, Carlos los 4
5 de un kilo y Mario los 9
11 de un kilo. ¿Cu´al(es) de las siguientes afirmaciones es (son)falsa(s)?
I) Alicia compr´o m´as pescado que Carlos. II) Mario compr´o m´as pescado que Carlos. III) Alicia compr´o menos pescado que Mario.
a) S´olo I b) S´olo II c) S´olo III
d) S´olo II y III e) I, II y III
9. El inverso multiplicativo de 1 2−
3 4 :
5 6 es a) −10
3 b) −5
2 c) −3
10 d) 3
10 e) 2
5
10. El inverso aditivo de−4 menos el inverso multiplicativo de 1 6 es a) −10
b) −23 6 c) −25
6 d) −2 e) 23
11. Dados los racionalesa= 39 11, b=
7 2 y c=
79
22, entonces se cumple que a) a < c < b
b) a < b < c c) b < a < c d) c < a < b e) b < c < a
12. El orden creciente de los n´umeros:a= 12 5 , b=
12 9 , c=
12 7 es a) a, b, c
b) b, c, a c) c, b, a d) a, c, b e) c, a, b
13. Y decreciente? a) a, b, c b) b, c, a c) c, b, a d) a, c, b e) c, a, b
14. El inverso aditivo del inverso multiplicativo de−1 2 es a) 2
b) −1 2 c) −2 d) 1
15. ¿Cu´al(es) de las siguientes aseveraciones es (son)siempreverdadera(s)? I) Al dividir dos n´umeros irracionales el resultado es irracional.
II) Al multiplicar un n´umero real con un n´umero racional, el producto es racional. III) Al sumar dos n´umeros irracionales, la suma es un n´umero real.
a) S´olo I b) S´olo II
c) S´olo III d) S´olo II y III e) I, II y III
16. Si√5∈I, entonces ¿cu´al de los siguientes n´umeros es racional? a) 2√5
b) √5
c) √5 +√5 +√5 d) 25√5
e) 0·√5 17. Si q = 1
2 y q
0 = √2 ¿cu´al(es) de las siguientes expresiones es (son)
n´umero(s) racional(es)? I) q·q·q0
II) q0+q0
III) q0+q.
a) S´olo I b) S´olo II
c) S´olo III d) I, II y III
18. Seansyt n´umeros enteros positivos. Se puede determinar el valor de (s+t)·(s−t) si:
(1) s=t (2) t= 10
a) (1) por s´ı sola. b) (2) por s´ı sola.
c) Ambas juntas, (1) y (2). d) Cada una por si sola, (1) ´o (2). e) Se requiere informaci´on adicional.
19. Sean a y b dos n´umeros reales. Se puede determinar si a−b a es un n´umero real si:
(1) a∈Z (2) a=b
a) (1) por s´ı sola. b) (2) por s´ı sola.
c) Ambas juntas, (1) y (2). d) Cada una por si sola, (1) ´o (2). e) Se requiere informaci´on adicional.
20. Seanpyqdos n´umeros reales. Se puede determinar sip2qes un n´umero racional si:
(1) p∈I (2) q = 0
a) (1) por s´ı sola. b) (2) por s´ı sola.
c) Ambas juntas, (1) y (2). d) Cada una por si sola, (1) ´o (2). e) Se requiere informaci´on adicional.
1 E 2 D 3 D 4 C 5 A
6 E 7 B 8 A 9 B 10 D
