REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD PEDAGOGICA EXPERIMENTAL
LIBERTADOR
INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO NÚCLEO ACADÉMICO TRUJILLO
Matrices
Autor: ANTONIO APONTE
Transformaciones lineales
Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en Algebra Lineal. ´
Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir, con la operación y la acción) de estos espacios.
Una transformación lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un elemento de un sub espacio, para transformarlo en un elemento de otro sub-espacio. En ocasiones trabajar con vectores es muy sencillo ya que pueden ser fácilmente interpretados dentro de un contexto gráfico, lamentablemente no siempre ocurre y es necesario transformar a los vectores para poderlos trabajar más fácilmente. Por otra parte, trabajar con sistemas lineales es mucho más sencillo que con sistemas no lineales, ya que se puede utilizar una técnica llamada superposición, la cual simplifica de gran manera gran variedad de cálculos, por lo que es de gran interés demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede lograrse demostrando que estas operaciones forman una transformación lineal.
Codominio. Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:
Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo o campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para todo par de vectores u y v pertenecientes a V y para todo escalar k perteneciente a K, se satisface que: donde k es un escalar.
La particularidad de una transformación lineal es que preserva las operaciones de suma de vectores y producto de un escalar por un vector.
Son aplicaciones lineales los operadores usados en la formulación matemática de la mecánica cuántica.
Algunas transformaciones lineales (Aclaración: Ov es el vector nulo del dominio y Ow es el vector nulo del codominio)
Transformación lineal nula Transformación lineal identidad Homotecias con
Si |k| > 1 se denominan dilataciones Si |k| < 1 se denominan contracciones Ver artículo sobre Homotecias
Propiedades de las transformaciones lineales
Núcleo (kernel) e imagen [editar]Si es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera: Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.
El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:
dado que Dados
Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. Nulidad (T) = dim(ker(T) O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.
La imagen de toda transformación lineal es un sub-espacio del codominio.
El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen. rg(T) = dim(Im(T))
Transformación Lineal Singular y No Singular y espacios vectoriales sobre el mismo campo y una transformación lineal de en . Entonces, es no singular si: X
En caso contrario es singular.
Teorema de las dimensiones dim (ker(V)) + dim (Im(V)) = dim (V)
Demostración: Tomando los espacios isomorfos muy conocidos, V / ker(T) y Im(T) (la demostración que son isomorfos, es trivial), se sabe que sus dimensiones son iguales. Por definición, la dimensión de V / ker(T) es: dim(V / ker(T)) = dim(V) − dim(ker(T)) Pero como V / ker(T) y Im(T) son isomorfos, entonces dim(ker(T)) = dim(Im(T)) reemplazando, queda: dim(Im(T)) = dim(V) − dim(ker(T)),dim(Im(T)) + dim(ker(T)) = dim(V)
Teorema fundamental de las transformaciones lineales
Sea B = {v1,v2,v3,...vn} base de V y C = {w1, w2, w3,...wn} un conjunto de n vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una única transformación lineal. Para todo
Clasificación de las transformaciones lineales
Monomorfismo: Si es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo.
Epimorfismo: Si es sobreyectiva (exhaustiva).
Isomorfismo: Si es biyectiva (inyectiva y exhaustiva).
Matriz asociada a una transformación lineal Sea una transformación lineal es posible encontrar una matriz asociada a una transformación lineal
Desarrollo:
Si V y W son espacios de dimensión finita, y se eligen bases en estos espacios, entonces toda transformación lineal de V a W puede ser representada como una matriz. Por otro lado, toda matriz real m por n determina una transformación lineal de esta forma f(x) = Ax
Sea una base de V. Entonces todo vector v en V está determinado de manera única por los coefientes en: Si f: V → W es una transformación lineal,
Lo cual implica que está completamente determinada por los valores Ahora es una base de W. Se puede representar cada f (vj) como
Entonces la función f está enteramente determinada por los valores ai,j.. Si se trata de transformaciones de generalmente se usa la base canónica.
Si se cambian las bases, entonces la matriz será distinta, pero representará la misma transformación lineal.
Función lineal como propiedad de los sistemas generales Una función es lineal cuando cumple todas estas propiedades:
Si aplicamos una entrada u1(x) obtenemos una salida particular y1(x) Si aplicamos una entrada u2(x) obtenemos una salida particular y2(x)
Entonces si aplicamos u3(x)=c1u1(x)+c2u2(x) obtenemos una salida y3(x)=c1y1(x)+c2y2(x) para todos los pares de entradas u1(x) y u2(x) y para todos los pares de constantes c1 y c2.
Transformación lineal nula
Se escribe T: V → W para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una función con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen. 2. Se escriben indistintamente Tv y T (v). Denotan lo mismo; las dos fases se leen “T de v”. Eso es análogo a la notación funcional f(x), que se lee “f de x”. 3. Muchas de las definiciones y teoremas se cumplen también para los
espacios vectoriales complejos (espacios vectoriales en donde los escalares
son números complejos).
Sean V y W espacios vectoriales. Una transformación lineal de V en W es una función T: V →W, que satisface las siguientes propiedades: 1. T (u + v) = T(u) + T(v), Ʉu, v Є V 2. T(av) = aT(v), Ʉ a Є R, Ʉv Є V
Se dice, respectivamente, que T preserva la suma y el producto por escalares.
En caso de que V = W la transformación lineal T : V→V también recibe el
nombre de operador lineal sobre V.
Ejemplo Si V y W son espacios vectoriales, entonces la aplicación T: V → W tal que T(v) = para todo v Є V es una transformación lineal. Esta se llama la transformación nula. En efecto, esta es una transformación lineal ya que:
T(u + v) = = + = T(u) + T(v),
T(av) = = a = aT(v).
Ejemplo Si V es un espacio vectorial, la aplicación id: V → V tal que id(v) = v es una transformación lineal llamada identidad de V.
Núcleo e imagen de una transformación lineal
Objetivos. Definir el núcleo y la imagen de una transformación lineal, probar que son subespacios (del dominio y del contradominio respectivamente), ver la relación con las propiedades inyectiva y suprayectiva, conocer algunos ejemplos.
Luego en otras clases vamos a estudiar, como construir bases en el núcleo y en la imagen, y como están relacionadas sus dimensiones.
Requisitos. Transformación lineal, imagen de un conjunto bajo una aplicación, preimagen de un conjunto bajo una aplicación, funciones inyectivas, funciones suprayectivas.
Definición (imagen de una transformación lineal). Sean V; W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T 2 L (V; W). La imagen de T se define
como el conjunto de todos los valores de la aplicación T: im(T) : = { w ∈ W : ∃v ∈ Vtal que w = T (v) } .
Definición (núcleo de una transformación lineal). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L (V, W). El núcleo (kernel, espacio nulo) de T se define como la preimagen completa del vector nulo:
Ker (T ) := { x ∈ V : T (x) = 0W }.
Proposición (núcleo de una transformación lineal es un subespacio vectorial del dominio). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W ).
Entonces ker(T ) es un subespacio de V .
Proposición (imagen de una transformación lineal es un subespacio vectorial del codominio). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W).Entonces im(T ) es un subespacio de W .
Parte de demostración. Se aplica el criterio de subespacio. Se demuestra que el conjunto im(T ) es cerrado bajo la adición y bajo la multiplicación por escalares, además contiene al vector cero.
Mostremos que el conjunto im(T ) es cerrado bajo la adición. Sean w1, w2 ∈ im(T).
Por la definición de la imagen, existen v1, v2 ∈ V tales que w1 = T (v1), w2 = T (v2). Por la linealidad de T,
T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2) = w1 + w2.
Logramos encontrar un vector x = v1 + v2 tal que T (x) = w1 + w2. Por la definición de la imagen, esto implica que w1 + w2 ∈ im(T ).
Ejemplo
0V →W : V → W está definida mediante la fórmula
∀v ∈ V0V →W (v) = 0W.
Es fácil ver que ker (0V →W ) = V , im(0V →W ) = {0W }.
Ejemplo (núcleo e imagen de la transformación identidad). La transformación identidad I: V → V está definida mediante la fórmula
I (v) = v ∀v ∈ V.
Obviamente ker (I ) = {0}, im(I ) = V .
Ejemplo Sea tal que
Entonces T es lineal, ya que y por otro lado, Por lo tanto, vemos que
Esta transformación recibe el nombre de la transformación cero y se denota como
Ejemplo Sea tal que
Entonces T es lineal, ya que
Esta transformación recibe el nombre de la transformación identidad de V en V, y se denota como
Transformación lineal nula Transformación lineal identidad
Una homotecia es una transformación afín que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. En general una homotecia de razón diferente de 1 deja un único punto fijo, llamado centro.
La homotecia es la transformación que hace corresponder a todo punto A de una figura otro punto A´ (homólogo de A) alineado con A y con centro de homotecia O dado que forma que:
Donde K es una constante distinta de cero, llamada razón de homotecia. Si los puntos homólogos están en distintos lados del centro de homotecia esta se denomina Inversa; en caso contrario recibe el nombre de Directa.
Propiedades de una transformación lineal Propiedad 1
La imagen del vector nulo del dominio 0V es el vector nulo del codominio 0w:
T(0V)=0w Demostración:
T(0V)=T(0.v)=0.T(v)=0.w=0W
Donde hemos expresado a 0V0V como el producto del escalar 00 por cualquier vector del espacio vectorial VV, hemos usado la segunda condición que debe cumplir una transformación lineal, y finalmente hemos vuelto a usar la propiedad de espacios vectoriales sobre el producto del escalar 0 por cualquier vector.
Propiedad 2
T(–v)=–T(v) Demostración:
T(–v)=T(–1.v)=–1.T(v)=–T(v)
La justificación de los pasos dados en la demostración es similar a la anterior.
Propiedad 3
Consideremos rr vectores del espacio vectorial VV: v1,v2,…,vr∈V
Tomemos una combinación lineal en el dominio:
α1v1+α2v2+α3v3+...+αrvr
Donde αi∈Rαi∈R.
Si aplicamos la transformación lineal FF de VV a WW, teniendo en cuenta las propiedades enunciadas en la definición, resulta:
F(α1v1+α2v2+α3v3+...+αrvr)=α1F(v1)+α2F(v2)+…+αrF(vr)
Es decir que una transformación lineal “transporta” combinaciones lineales de VV a WW, conservando los escalares de la combinación lineal.
Ejemplo 1
Analizar si la siguiente función es una transformación lineal:
transformacion lineal - es tl o no es tl
Controlemos primero que el transformado del 0V0V sea el 0W0W. Ésta es una condición necesaria: si no se cumpliera, no sería transformación lineal. Como T((0,0,0))=(0,0)T((0,0,0))=(0,0), la función dada es “candidata” a ser transformación lineal. Para demostrar que es una transformación lineal tenemos que comprobar las condiciones dadas en la definición.
Condición 1: T(u+v)=T(u)+T(v)∀u,v∈V Tomemos dos vectores de R3R3 u=(u1,u2,u3)
u=(u1,u2,u3) Veamos si
T(u+v)=T(u)+T(v)
Primero hacemos la suma de uu y vv:
suma de vectores u y v en una transformacion lineal
Y ahora aplicamos TT:
T(u+v)=(u1+v1+u3+v3,u2+v2–2u3–2v3)
se cumple condicion 1 de transformaciones lineales
T(u+v)=T(u)+T(v)
En conclusión: se cumple la primera de las condiciones.
Nos faltaría la otra propiedad.
Condición 2: T (k.v)=k.T(v)∀v∈V,∀k∈R
T (k.v)=T ((kv1,kv2,kv3))=(kv1+kv3,kv2–2kv3) =k.(v1+v3,v2–2v3)=k.T(v)
Teorema de la Dimensión: Si T: V® W es una Transformación Lineal de un Espacio Vectorial V de dimensión finita, a un Espacio Vectorial W, entonces:
Nulidad (T) + Rango (T) = Dim V
Dim (NT (T) ) + dim (Rec (T) ) = dim (dominio T) Demostración:
Consultar con el Docente de la cátedra, pues la misma es evaluada en el examen final.
Ejemplo para práctica: Sea la Transformación Lineal T: ® definido por T (x) = A.x siendo :
a) Determine una base para el Núcleo de T. b) Determine una base para el Recorrido de T. c) Verifique el Teorema de la dimensión.
Teorema fundamental de las transformaciones lineales
Este teorema, conocido también como “Teorema de existencia y unicidad de una transformación lineal”, dice lo siguiente:
Sean los espacios vectoriales VV y W, sea B={v1,v2,…,vn}una base de VB={v1,v2,…,vn} vectores cualesquiera (iguales o distintos) de WW. Entonces existe una única transformación lineal que verifica:
T (v1)=w1T(v2)=w2…T(vn)=wn
Para demostrarlo habría que demostrar que esa transformación existe, que es única, y que es lineal.
LA MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en Álgebra Lineal. Se trata de funciones entre N-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir, con la operación y la acción) de estos
espacios, en pocas palabras, una transformación es una función que opera en vectores.
Ejemplo 1
Sea TT la siguiente transformación lineal: T: R2→R3|T ((x,y))=(x+2y,x–y,y)
T: R2→R3|T ((x,y))=(x+2y,x–y,y)
¿Existirá una matriz AA que multiplicada por (x,y)(x,y) dé por resultado (x+2y,x–y,y)(x+2y,x–y,y)? Para esto vamos a escribir los vectores como columna:
A. (xy)=⎛⎝⎜x+2yx–yy⎞⎠⎟ A. (xy)=(x+2yx–yy)
¿Cuál debería ser el tamaño de la matriz?
Matriz asociada a una transformación lineal
Efectuando el producto de matrices, podemos obtener los coeficientes de AA :
Matriz asociada a una transformación lineal 2
Encontramos una matriz que realiza la transformación lineal. Se conoce como la matriz estándar de la transformación lineal.
Notemos que la transformación va de R2R2 a R3R3, y que el orden de la matriz es 3×23×2.
