= 0, y(0) = 1. Señale el valor máximo que toma la función y(·) en el intervalo [0, 1].

(1)

AMPLIACI ÓN DE MATEM ÁTICAS. ETSI INFORM ÁTICA. Septiembre 2007. Original.

C´odigos

½ Plan nuevo gesti´on 54205. Plan nuevo sistemas 53205. Modelo de examen Plan antiguo gesti´on 41205. Plan antiguo sistemas 40205. A

1. Dada la ecuaci´on diferencial y

⁰

+ y + y

²

= 0, y(0) = 1. Señale el valor máximo que toma la función y(·) en el intervalo [0, 1].

(a) 1 (b) 2e − 1 (c) 3 (d) Ninguna de las anteriores

2. Sean los conjuntos A = {(x, y) ∈ R

²

: x

²

≤ y} y B = {(x, y) ∈ R

²

: x

²

+ y

²

≤ 2}. Señale el área del conjunto intersección C = A ∩ B.

(a) √

2 +

¹₂

√

2π (b) (2 + 3π)/6

(c) √

2 (d) Ninguna de las anteriores

3. Sea la ecuaci´on diferencial y

⁰⁰

+ 7y = −5, y(0) = 0, y

⁰

(0) = 0. Entonces

(a) y(π) = 1 (b) y(π) = 0 (c) y(π) = 1/7 (d) Ninguna de las anteriores 4. Hallar la soluci´on general de la ecuaci´on x(2x

²

+ y

²

)dx + y(x

²

+ 2y

²

)dy = 0.

(a) x

⁴

2 + x

²

y

²

2 − y

⁴

2 = C, C constante (b) x

⁴

2 + x

²

y

²

2 + y

⁴

2 = C, C constante (c) x

⁴

2 − x

²

y

²

2 − y

⁴

2 = C, C constante (d) Ninguna de las anteriores 5. Sean las funciones F (x, y) = (x

²

− y

²

+ 7x, x

³

+ 3y

²

− 6y), g(x) = (a cos x, cos

²

x) siendo

a ∈ R. Se˜nale el valor de a para que se verifique D(F ◦ g)(π/2)(7) = µ 49

0 ¶ .

(a) a = −1 (b) a = 6 (c) a = −7 (d) Ninguna de las anteriores 6. Sea la funci´on f (x, y) = x

²

+ y. Hallar el valor m´aximo que alcanza f en el recinto

S = {(x, y) ∈ R

²

: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 + x

²

− 2x}.

(a) 0 (b) 1 (c) 3 (d) Ninguna de las anteriores

7. Sea f (x, y) = x

³

− y

³

x

²

+ y

²

si (x, y) 6= (0, 0), f (0, 0) = 0. Se˜nale la respuesta correcta.

(a) D

_(1,2)

f (0, 0) = −7/5 (b) D

_(1,2)

f (0, 0) = 1/5

(c) D

_(1,2)

f (0, 0) = 2/5 (d) Ninguna de las anteriores 8. Sea P

₁

(x, y) el polinomio de Taylor de grado 1 de la funci´on ln(

^x_y

) en el punto (1, 1). Hallar

el valor m´aximo que alcanza P

₁

en el recinto S = {(x, y) ∈ R

²

: y = x

²

, 0 ≤ x ≤ 1}

(a) 1/6 (b) 1/4 (c) 1/2 (d) Ninguna de las anteriores

9. Sea A

_r

= {(x, y) ∈ R

²

: x

²

+ y

²

≤ r

²

r

²

+ e

^r

} y sea A = S

r∈[0,1]

A

_r

.

(a) int(A) = {(x, y) ∈ R

²

: x

²

+ y

²

≤ 1/e} (b) int(A) = ∅ (c) int(A) = {(x, y) ∈ R

²

: x

²

+ y

²

< 1/(1 + e)} (d) Ninguna de las anteriores 10. Sea I = R

₄

0

³R

₂

√x

(1/ p

x + y

²

)dy

´

dx. Se¯nale la respuesta correcta.

(a) I = 4( √

2 + 1) (b) I = 4( √

2 − 1) (c) I = √

2 (d) Ninguna de las anteriores

(2)

AMPLIACI ÓN DE MATEM ÁTICAS. ETSI INFORM ÁTICA. SOLUCIONES

PLANES NUEVO Y ANTIGUO. SISTEMAS Y GESTI ´ON. SEPTIEMBRE DE 2007. MODELO A.

1. La ecuaci´on y⁰+ y + y² = 0 es claramente de Bernoulli, luego realizamos el cambio estandar z = 1

y, z⁰ = −1

y² (1)

Sustituyendo el cambio obtenemos la ecuaci´on lineal

z⁰− z − 1 = 0.

La solución de esta ecuación se calcula fácilmente como z(x) = Ke^x+ 1 donde K es una constante arbitraria.

Deshaciendo el cambio, de (1) obtenemos que la soluci´on viene dado por y(x) = 1

Ke^x− 1. (2)

Finalmente como la condici´on inicial viene dada por y(0) = 1 se calcula K a trav´es de (2) como

−1 = 1 K − 1,

de lo que se obtiene que K = 2. Por tanto la funci´on soluci´on viene dada por y(x) = 1

2e^x− 1 que claramente es una función decreciente en [0, 1] y que por tanto tomará el valor máximo en el extremo inferior x = 0, es decir el valor y(0) = 1/(2 − 1) = 1. Luego la respuesta correcta es la (a).

2. El conjunto intersecci´on viene dado por

C = {(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1, x²≤ y ≤p

2 − x²}, por tanto su area se puede hallar como valor de la integral

Z ₁

−1

dx

Z ^√_2−x2

x²

1dy.

Calculando se obtiene Z ₁

−1

dx

Z ^√_2−x2

x²

1dy = Z ₁

−1

p2 − x²dx − Z ₁

−1

x²dx = 1 +1 2π − 2

3 = 2 + 3π 6 , donde se ha aplicado el cambio x =√

2 sen t, dx =√

2 cos tdt a la primera integral, es decir Z ₁

−1

p2 − x²dx = Z ^π

4

−π 4

√2p

1 − sen²t√

2 cos tdt = Z ^π

4

−^π₄

21 + cos 2t 2 dt =

Z ^π

4

−^π₄

(1 + cos 2t)dt = 1 +1 2π, y calculado directamente la segunda Z ₁

−1

x²dx = x³/3¯

¯¹

−1 = 2/3.

Luego la respuesta correcta es la (b).

3. Considerando y⁰⁰+ 7y = −5, y(0) = 1, y⁰(0) = 0. Como la ecuación carácteristica de esta ecuación es r²+ 7 = 0, con soluciones complejas ±√

7i, la ecuación homogénea tiene como solución general

y(x) = C₁cos(√

7x) + C₂sen (√

7x), C_i constantes para todo i.

Por otro lado es inmediato comprobar que y_p(x) = −5/7 es una soluci´on particular de la completa. Por tanto la soluci´on general toma la forma

y(x) = C₁cos(√

7x) + C₂sen (√

7x) − 5/7.

La constantes C_i se calculan sustituyendo la condiciones iniciales,y(0) = 1, y⁰(0) = 0, es decir resolviendo el sistema

y(0) = C₁− 5/7 = 0 y⁰(0) =√

7C₂= 0

¾ , luego C₁ = 5/7, C₂ = 0. Y por tanto la soluci´on viene dada por

y(x) = 5/7(cos(√

7x) − 1).

Claramente y(π) = 5/7(cos(√

7π) − 1) es distinto a 1, 0, 1/7 y por tanto (d) es la respuesta correcta.

(3)

4. La ecuaci´on x(2x²+ y²)dx + y(x²+ 2y²)dy = 0 es exacta ya que se cumple la condici´on de las derivadas cruzadas, es decir

∂(x(2x²+ y²))

∂y = 2xy = ∂(y(x²+ 2y²))

∂x .

Por tanto existe una funci´on potencial F ,

∂F

∂xdx + ∂F

∂ydy = 0

que determina la solución general de la ecuación F (x, y) = C. Cálculemos F . Como

∂F

∂x = x(2x²+ y²), integrando respecto a x F (x, y) = x⁴

2 + y²x²

2 + ϕ(y) en donde ϕ es una funci´on de y que vamos a determinar.

Derivando F respecto de y, ^∂F_∂y = yx²+ ϕ⁰(y) = y(x²+ 2y²), e igualando el resultado yx²+ ϕ⁰(y) = y(x²+ 2y²).

Simplificando obtenemos ϕ⁰(y) = 2y³ y por tanto ϕ(y) = y⁴

2 . Luego la soluci´on general viene dada por x⁴

2 +y²x² 2 +y⁴

2 = C, y por tanto la respuesta correcta es la b).

5. Aplicando la regla de la cadena se tiene

D(F ◦ g)(π

2) = DF (g(π

2)) ◦ Dg(π

2) (3)

Operando

DF (g(π

2)) = DF (0, 0) =

µ 2x + 7 −2y 3x² 6y − 6

¶¯¯

¯¯

(x,y)=(0,0)

=

µ 7 0 0 −6

¶

, (4)

Dg(π 2) =

µ −a sen x

−2 cos x sen x

¶¯¯

¯¯

(x,y)=(0,0)

= µ −a

0

¶

. (5)

Luego de (3), (6) y (7) se tiene que D(F ◦ g)(π

2)(7) =

·µ 7 0 0 −6

¶ µ −a 0

¶¸

7 =

µ −7a 0

¶ 7 =

µ −49a 0

¶

y por tanto se tiene que µ

−49a 0

¶

= µ 49

0

¶

si y solamente si a = −1.

Luego la respuesta correcta es la (a).

6. Para todo (x, y) ∈ S se tiene que

f (x, y) = x²+ y ≤ 2x²− 2x + 1.

Como (x, y) ∈ S implica necesariamente que x ∈ [0, 1], entonces, definiendo la funci´on polin´omica h como h(x) = 2x²+ 2x²− 2x + 1, se tiene que

f (x, y) ≤ h(x) ≤ max

x∈[0,1]h(x). (6)

La función polinómica h alcanza su máximo en X = 0, x = 1 y su valor es

h(0) = h(1) = 1. (7)

Por tanto de (6) y (7) se deduce que 1 es cota superior de f en el recinto f f (x, y) ≤ 1 para todo (x, y) ∈ S.

La funci´on alcanza dicho valor ya que (0, 1) ∈ S, f (0, 1) = 0 + 1 = 1, luego concluimos que 1 es el valor m´aximo de f en S y por tanto la respuesta correcta es la (b).

(4)

7. Aplicando la definici´on de derivada direccional D_(1,2)f (0, 0) = lim

t

f (t, 2t) − f (0, 0)

t = t³− 8t³

t(t²+ 4t²) = t³− 8t³

t³+ 4t³ = −7t³ 5t³ = −7

5 , luego la respuesta correcta es la (a).

8. Sea f (x, y) = ln(x

y). Como

f (1, 1) = 0, D₁f (1, 1) = 1

x

¯¯

(x,y)=(1,1)

= 1, D₂f (1, 1) = −1

y

¯¯

(x,y)=(1,1)

= −1, el polinomio de Taylor viene dado por P₁(x, y) = (x − 1) − (y − 1) = x − y.

Por otro lado como para todo (x, y) ∈ S, y = x²

x − y = x − x²,

Maximizar el polinomio P₁(x, y) en S es equivalente a maximizar la funci´on polin´omica h(x) = x − x² en [0, 1].

Del análisis dicha función se obtiene fácilmente que la función alcanza su máximo en 1

2 con valor h(1

2) = 1 4, luego la respuesta correcta es la (b).

9. El conjunto A es la uni´on de bolas conc´entricas con centro (0, 0) y radio r²

r²+ e^r con r ∈ [0, 1], luego dicho conjunto vendrá dado por la bola que tiene el radio máximo, es decir el valor máximo que toma la función h(r) = r²

r²+ e^r en el intervalo [0, 1]. La funci´on h es creciente en [0, 1] con el que m´aximo se alcanza en el punto r = 1 con valor

h(1) = 1 1 + e. Luego el conjunto A coincide con la bola de radio 1

1 + e, con lo que el interior viene dado por todos los puntos del conjunto exceptuado su frontera {(x, y) ∈ R² : x²+ y²= 1

1 + e}, es decir int(A) = {(x, y) ∈ R² : x²+ y² < 1

1 + e}.

Luego la respuesta correcta es la (c).

10. La integración se simplifica cambiando el orden de integración. De esta manera el recinto de integración S esta dado por

S = {(x, y) ∈ R²: 0 ≤ x ≤ 4, √

x ≤ y ≤ 2} = {(x, y) ∈ R² : 0 ≤ x ≤ y², 0 ≤ y ≤ 2}.

Por tanto Z ₄

0

µZ ₂

√x

(1/p

x + y²)dy

¶ dx =

Z ₂

0

ÃZ _y2

0

(1/p

x + y²)dx

! dy,

Calculemos ahora la integral mediante el segundo miembro de la igualdad R₂

0

³R_y2

0 (1/p

x + y²)dx

´

dy =R₂

0

(x+y²)

−1/2+1

¯¯

¯^y

2

0 dy =R₂

0 2¡

(2y²)^1/2− (y²)^1/2¢ )dy =

= 2R₂

0(√

2y − y)dy = 2√

2 y² 2

¯¯

2 0

− 2 y² 2

¯¯

2 0

= 4(√ 2 − 1), luego la respuesta correcta es la b).