Fuerza, Esfuerzo, Deformación y Desplazamiento

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DIPLOMADO EN INGENIERÍA DE DISEÑO Y ÁNÁLISIS POR COMPUTADORA.

Conceptos Básicos

Fuerza, Esfuerzo,

Deformación y

Desplazamiento

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Conceptos Básicos

Diagramas de Cuerpo Libre.

Son una herramienta necesaria en la solución de cualquier problema de análisis de esfuerzos ya que es el primer paso y el más importante dentro de la metodología de análisis.

Generalmente, un elemento estará sujeto o sostenido a otro elemento. Para el análisis, el elemento siendo analizado se aísla de sus soportes y entonces todas las fuerzas actuando sobre el elemento se muestran en el diagrama.

Después, cada tipo de fuerza y momento interno que pueda ser transmitido al elemento también se representa en el diagrama. Los valores de las fuerzas y los momentos en los soportes se determinan a partir de las ecuaciones de movimiento apropiadas de acuerdo al estado dinámico del elemento dentro de la estructura global.

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Cálculo de Reacciones (ejercicio)

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Fuerzas Concentradas

Normalmente es muy cómodo tratar con fuerzas y momentos concentrados como los mostrados en la figura 1, pero desafortunadamente, en la naturaleza todas las fuerzas son fuerzas distribuidas. Las cargas puntuales nos ayudan a simplificar el análisis. Esta suposición será válida siempre y cuando la zona de análisis esté alejada de zona de aplicación de las fuerzas y/o reacciones puntuales como se puede ver en la figura 2.

Discuta los diagramas mostrados en la figura 2.

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Fuerza Concentrada Equivalente

Fig.3

En la figura 3, se muestra el proceso para el cálculo de la fuerza y el momento netos sobre la estructura. Para simplificar este cálculo, se necesita encontrar una fuerza equivalente F_e a una distancia x_e a partir de los ejes de referencia que provoque las mismas reacciones que la carga distribuida w(x)

Notar que las verdaderas reacciones en la pared se muestran como w₁ y w₂ en la figura 3b y sus efectos están mostrados en la figura 3c. Estos son los efectos netos que buscamos en primer lugar.

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Fuerza Concentrada Equivalente (cont)

Fig.4

Examine una porción de la carga actuando en x=x₁sobre una distancia muy pequeña dx₁ como se muestra en la figura 4. La carga se puede considerar constante con magnitud w(x₁). La fuerza ejercida en dx₁ es entonces w(x₁) dx₁.

La fuerza total debida a w(x₁) desde x₁ = 0 hasta x₁ = L está dada por:

 

₁

0 w x1 dx F_e ^



^L

Y el momento total ejercido en x = 0 será:

 

₁

0 x1w x1 dx M_e ^



^L

Pero M_e = F_ex_e; así _ Me _



^L xw x dx

x ⁰

)

( Centroide del área de la

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Fuerza Concentrada Equivalente (cont)

Fig.5

Para distribuciones de fuerza simples como las mostradas en la figura 5, las integrales no son necesarias ya que se conocen tanto las áreas como los centroides de éstas áreas. Cuando la distribución no es continua (figura 6), se determinan fuerzas equivalentes para cada zona continua.

Las fuerzas equivalentes solamente se deben usar para el cálculo de reacciones. NO se deben emplear para el análisis de fuerzas internas o deflexiones.

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Esfuerzos

Esfuerzo es simplemente una fuerza internamente

distribuida en un cuerpo. Para tener una idea física de

esta idea, imagínese estar sumergido en agua a una

cierta profundidad. La fuerza que uno siente es una

presión (o esfuerzo de compresión) y no es un número

finito de fuerzas “concentradas”. Otros tipos de

distribuciones de esfuerzo pueden existir en un líquido

o en un sólido.

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Esfuerzo de Compresión

Fig.7

En la figura 7 se muestra un peso uniforme w sobre un bloque sólido. Para determinar la distribución de fuerza en la sección c-c, hacemos un corte a través de la sección y aislamos la parte superior del bloque. Si el peso del bloque es muy pequeño en comparación de las fuerzas aplicadas, entonces F=F_e=W. Sin embargo, la naturaleza no puede aplicar una fuerza concentrada F. En su lugar, esta fuerza se distribuirá a través de la superficie en forma de presión p como se muestra en la figura 7c. Como esta presión empuja a la superficie, entonces definimos a este efecto como un esfuerzo de compresión.

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Esfuerzo de Compresión (cont)

La fuerza total F es la fuerza concentrada equivalente de la fuerza distribuida p. Su análisis se realiza de manera idéntica a la vista anteriormente excepto que ahora consideraremos un área dA en lugar de una distancia dx.





A

p dA

F

₁ ₁

Si la presión o esfuerzo es uniforme sobre toda el área, entonces A

p  F

Si nos referimos a un esfuerzo y no a una presión, entonces

A

 F

 

Signo negativo para indicar compresión

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Esfuerzo de Tensión

Fig.8

En la figura 8 se muestra un peso uniforme w soldado a un bloque sólido.

Para determinar la distribución de fuerza en la sección c-c, hacemos un corte a través de la sección y aislamos la parte inferior del bloque. Si el peso del bloque es muy pequeño en comparación de las fuerzas aplicadas, entonces F=F_e=W. Si la distribución de fuerza es uniforme, entonces:

A

 F

 

(12)

Esfuerzo de Corte

Fig.9

En la figura 9, se muestra una fuerza de tensión P actuando en un ensamble. Si no existe fricción en el ensamble, entonces se presentan fuerzas tangenciales iguales en las superficies internas del perno de magnitud F=P/2. Esto genera un esfuerzo cortante 



 dA F 

 F



(13)

Componentes de Esfuerzo

Fig.10

Considere un cuerpo cualquiera sometido a la acción de varias fuerzas (figura 10). P_i son fuerzas aplicadas y R_j son posibles reacciones. Supongamos que queremos determinar el estado de esfuerzos en el punto Q. El primer paso es generar un corte a través de un plano que contenga al punto Q. La orientación de este corte es arbitraria pero se realiza generalmente en un plano conveniente que simplifique el cálculo o que permita el uso de ciertas relaciones geométricas. La figura 11 muestra el corte. Por lo general la distribución de esfuerzos no será uniforme a través de la superficie y los esfuerzos no serán normales o tangenciales a la superficie en el punto dado.

(14)

Fig.12

Considere un área muy pequeña alrededor del punto Q (figura 12). Se muestra la fuerza concentrada equivalente ( F_x) que en general no es normal ni tangencial a la superficie (el subíndice x es usado para definir la dirección normal del primer corte). Esta fuerza tiene componentes en las direcciones x,y,z definidas como  F_xx, F_xy y  F_xz. El primer subíndice indica la dirección normal a la superficie y el segundo da la dirección de la componente de fuerza. (figura 13). Estas fuerzas son realmente fuerzas distribuidas en sus direcciones respectivas. La fuerza distribuida promedio por unidad de área en la dirección x es:

Componentes de Esfuerzo (cont)

A F

_xx

xx



 



(15)

Componentes de Esfuerzo (cont)

Recordando que el esfuerzo es realmente una función de punto, obtenemos el valor de esfuerzo exacto en la dirección x en el punto Q permitiendo que el área se aproxime a cero

dA dF

A F

xx xx

xx xx A





 







 lim

0

Esta última ecuación también se puede escribir como





A xx

xx

dA

F 

Considerando ahora las direcciones y y z, tenemos las siguientes relaciones:

(16)

Fig.14

Componentes de Esfuerzo (cont)

dA dF

xz xz

xy xy





dA F

A xz xz

A xy xy







O en forma integral como:

La figura 14 muestra los esfuerzos en las tres direcciones.

(17)

Fig.15

Componentes de Esfuerzo (cont)

La figura 15 muestra las componentes de esfuerzo en cada una de las direcciones. Sobre cualquier superficie dada solamente existe un esfuerzo normal y un esfuerzo cortante. La figura 16 muestra la determinación del esfuerzo cortante neto sobre la superficie. Se puede observar que este esfuerzo cortante neto está dado por la expresión:

2

)

2

( 

_x _neto

 

_xy

 

_xz

(18)

Fig.17

Componentes de Esfuerzo (cont)

Se puede demostrar que para describir completamente el estado de esfuerzos en el punto Q, es suficiente con describir el estado de esfuerzos en tres superficies mutuamente perpendiculares. La figura 17 muestra estas tres superficies orientadas con respecto a un sistema de ejes de referencia. Si en esta figura, los lados del cubo se hacen cada vez más pequeños, los esfuerzos en las caras ocultas (figura 18) deben tener la misma magnitud y sentidos opuestos a la de los esfuerzos mostrados en las caras visibles.

(19)

Componentes de Esfuerzo (cont)

Así, el estado de esfuerzos en un punto usando tres planos mutuamente ortogonales se puede describir por nueve valores de esfuerzo distintos.

Este estado de esfuerzos se puede escribir en forma matricial, en donde la matriz de esfuerzos está dada por:

 







 









z zy

zx

yz y

yx

xz xy

x











Obsérvese que los esfuerzos normales

se acostumbran escribir sin el segundo subíndice

Ahora bien, si el elemento tiene dimensiones finitas, aunque pequeñas, los esfuerzos en las caras opuestas no necesariamente tienen el mismo valor ya que no estamos tratando más con un punto.

(20)

Fig.19

Considere los puntos Q₁ y Q₂ en la figura 19, en donde el punto Q₂ está localizado a x,

y, z del punto Q₁. Note que los esfuerzos en las caras ocultas son diferentes a los esfuerzos en las caras visibles.

Asimismo, como el elemento tiene masa, también se presentan fuerzas de cuerpo actuando en el centro de masa del elemento. Sumando momentos alrededor del eje z:

    ⁰

2 2

2 2                 

 

 y

x y z

x x z

z x y

z

y

_xy _xy _yx _yx _yx

xy

    



Componentes de Esfuerzo (cont)

(21)

Componentes de Esfuerzo (cont)

Dividiendo todos los términos por x y z obtenemos

2 2

yx yx

xy xy

 







  ^



Si hacemos x y z cada vez más pequeños, entonces _xy y _yx tenderán a cero, de manera que

yx

xy



 

Siguiendo el mismo procedimiento para los otros dos ejes tenemos que:

zy

yz



  

_zx

 

_xz

(22)

Componentes de Esfuerzo (cont)

Ya que vemos que los esfuerzos cortantes son simétricos, entonces la matriz de esfuerzos se puede escribir con seis constantes únicamente, con esto determinamos completamente el estado de esfuerzos en un punto.

 







 









z yz

zx

yz y

xy

zx xy

x











(23)

Estado de Esfuerzo Plano

Fig.20

Existen muchos problemas prácticos en donde los esfuerzos en una de las direcciones son cero, por ejemplo

_z=_yz=_zx=0. Este estado se conoce como estado de esfuerzo biaxial o esfuerzo plano.

La matriz de esfuerzos para este caso queda representada como:

 

 



 

y xy

xy x





 

Las figuras 20 y 21 muestran un elemento bajo esfuerzo plano. Es importante no perder de vista que aunque el estado de esfuerzos es plano, el elemento sigue siendo tridimensional.

(24)

Concepto de Deformación Axial

Fig.22

La figura 22 muestra un elemento sometido a esfuerzos que provocan crecimiento y/o encogimiento en las tres direcciones pero sin perder la forma de paralelepípedo rectangular.

Examinando el cambio dimensional del elemento bajo un esfuerzo normal en la dirección x, notamos que la nueva longitud en cualquier dirección es igual a la longitud original más un cambio de longitud por unidad de longitud por su longitud original, esto es:

x x

x   

_x



 '   y '   y  

_y

 y  z '   z  

_z

 z

(25)

Concepto de Deformación Axial

_x, _y, _z son los cambios en longitud por unidad de longitud en las direcciones x, y, z respectivamente y se conocen como deformaciones normales. Existe una relación directa entre las deformaciones y los esfuerzos. Esta relación está dada por la ley de Hooke que establece que para un material lineal, la deformación normal es directamente proporcional al esfuerzo normal.

E

x x

  

E es el Módulo de Elasticidad del material

Al mismo tiempo que el elemento se estira en la dirección x, también sufre contracciones en las direcciones y, z. Si el material es isotrópico estas contracciones son iguales y están dadas por:

x x

y

  E 

    

_z _x _x

E 

 

    

 Es la relación de Poisson

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Deformación Angular

Fig.23

La deformación angular causa un cambio en la forma del elemento como se aprecia en la figura 23. La deformación angular o de corte _xy está definida como: _BAD _BAD _B_'_A_'_D_'

xy   



Si el material es lineal, homogéneo e isotrópico, entonces:

xy xy

  

_yz



^yz

  

_zx

 

^zx G es el Módulo de Corte del material

(27)

Relación Deformación- Desplazamiento

Fig.24

En la figura 24 se muestra un punto Q con coordenadas x,y,z antes de ser deformado. Se crea un elemento infinitesimal a partir de Q formando el cuadrado QBCD. El elemento entonces es deformado bajo la influencia de diversos esfuerzos cambiando su posición y su forma. Las deflexiones del punto Q en las direcciones x y y se representan por u y v respectivamente.

La deflexión de cualquier punto en el cuerpo se puede describir por funciones continuas de x y de y. Esto es

) , ( x y u

u 

(28)

Relación Deformación- Desplazamiento

La deflexión del punto D en la dirección x es:

...

)

! ( 2

1 ₂

2

2  



 

 

 

 x

x x u

x u u

u_D Expansión en Serie de

Taylor

Esto es debido a que y=0 entre los puntos Q y D. De la misma forma, la deflexión vertical del punto D sería:

...

)

! ( 2

1 ₂

2

2  



 

 

 

 x

x x v

x v v

v_D

Suponiendo que x es muy pequeño, entonces x x

u u

u_D 



 

 x

x v v

v_D 



 



(29)

Relación Deformación- Desplazamiento

Procediendo de la misma manera para la deflexión del punto B y Δy

u u u_B



 

 y

y v v

v_B 



 



La deformación normal _x del segmento QD está dada por:

 

 

x u x

x x

x u x

QD QD D

Q

x 

 











 

 ' '



De la misma manera

y v

y 

 



(30)

Relación Deformación- Desplazamiento

Ahora bien, el cambio en el ángulo BQD es definido como la deformación angular o de corte en el punto Q y está dada por _xy =  + 

 

x v x

x x v



 





 



tan

 

y u y

y y u



 





 

 tan

y u x

v

xy 

 



 



Finalmente, la rotación de un segmento de línea localizado en el punto Q se determina por la cantidad de rotación de la bisectriz del ángulo BQD.



 







 



 

 y

u x v

xy 2

1

(31)

Relaciones Importantes

Relaciones Deformación- Esfuerzo para campo de esfuerzo triaxial

(32)

Relaciones Importantes

Relaciones Esfuerzo-Deformación en campo triaxial.

(33)

Relaciones Importantes

Relaciones Deformación-Esfuerzo en campo de esfuerzo biaxial

(34)

Relaciones Importantes

Relaciones Esfuerzo-Deformación en campo de esfuerzo biaxial.

(35)

Relaciones Importantes

Relaciones Deformación- Desplazamiento