2. T e m a: NÚMERO, ÁLGEBRA Y VARIACIÓN. Número

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ESCUELA SECUNDARIA GENERAL NO. 12

2. T e m a: NÚMERO, ÁLGEBRA Y VARIACIÓN. Número

Números, números y más números.

Los números tienen una historia. Los primeros números, llamados números naturales, surgieron por la necesidad de contar y de saber cuántos objetos había en un grupo.

Los números naturales, también llamados cardinales (1,2,3,4,5, …), son los más sencillos y son aplicables a las sumas y restas de cantidades enteras; como personas, animales y objetos en donde se obtiene nuevamente cantidades enteras. Otra operación en la que también es posible sumar cantidades enteras y obtener enteros es la multiplicación. Pero cuidado con la división, pues mientras que 10 dividido entre 2 es igual a 5, vemos que 2 dividido entre 10 es igual a ¹

5.

En esta oportunidad; aprenderemos y usaremos técnicas para determinar el mínimo común múltiplo (mcm) y máximo común divisor (MCD)

- Uso de técnicas para determinar el mcm y el MCD.

Saber que un número divide a otro exactamente o que es múltiplo de otro, es útil para resolver algunos problemas …

Los divisores de un número son los que lo dividen exactamente, es decir, con los que el cociente (resultado de la división) es entero y el residuo es 0

Los números que tienen exactamente dos divisores, 1 y el mismo número, se llaman números primos.

Los números que tiene más de dos divisores se llaman números compuestos.

El número 1 solamente tiene un divisor. No es ni primo ni compuesto.

Todo número es múltiplo de sus divisores y divisor de sus múltiplos.

Te explico

Qué vamos a aprender:

• Usa técnicas para determinar el mcm y el MCD.

- Mínimo común múltiplo (mcm) y máximo común divisor (MCD)



Periodo de realización:

18 al28 de Octubre 2021 Materiales:

Ficha de trabajo, libreta de apuntes, Libro de texto.

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Mínimo común múltiplo (mcm)

Al número más pequeño que es múltiplo común de dos números a y b se le llama mínimo común múltiplo de a y b, y se representa como mcm.

Ejemplo: mcm de 4 y 6 es 12 Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, … Múltiplos de 6: 6, 12,18, 24, 30, 36, 42, …

Este número es útil para resolver algunos problemas como:

¿Cuánto mide de lado el cuadrado de menor tamaño que se puede hacer con losetas de 20 cm x 30 cm?

Máximo común divisor (MCD)

Al número mayor que es divisor común de dos números a y b se le llama Máximo Común Divisor de a y b, y se representa como MCD.

Ejemplo: MCD de 4 y 6 es 2 Divisores de 4: 1, 2, 4 Divisores de 6: 1, 2, 3, 6 Este número es útil para resolver algunos problemas como:

Se van a preparar bolsas con golosinas-dulces- para los invitados de una fiesta. Se tienen 24 chocolates, 36 barritas de caramelo y 60 paletas. Se quiere que las bolsas sean iguales entre sí, es decir que no haya una, por ejemplo, con más chocolates que otra. También se desea que no sobren golosinas.

¿Cuántas bolsas se podrán preparar con la mayor cantidad posible de golosinas?

Procedimiento para calcular el Máximo Común Divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números:

El Máximo Común Divisor (MCD) es el mayor de los divisores comunes de varios números.

Para calcularlo, se descompone cada uno de los números en factores primos. Señalando los factores comunes primos que dividan a todos y cada uno de los números.

El MCD es el resultado de multiplicar los factores primos comunes marcados.

En el caso de que no se repita ningún factor que divida a todos y cada uno de los números, el M.C.D.

de esos números es 1, y se dice que los números son “primos entre sí”.

Por ejemplo, el 18 y el 25 son primos entre sí. El MCD es: 1.

El Mínimo Común Múltiplo (mcm) es el menor de los múltiplos comunes de varios números.

Para calcularlo, se descompone cada uno de los números en factores primos.

El mcm es el resultado de multiplicar los factores comunes y los no comunes.

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Ejemplo 1: Calcular el MCD y mcm de 36, 60 y 72 36 60 72 2 Máximo Común Divisor 18 30 36 2 MCD: 2 x 2 x 3 = 12

9 15 18 2

9 15 9 3 mínimo común múltiplo 3 5 3 3 mcm:

1 5 1 5 2 x 2 x 2 x 3 x 2 x 5 = 240

1

Ejemplo 2: Calcular el MCD y mcm de 4, 20 y 12 4 20 12 2 Máximo Común Divisor 2 10 6 2 MCD: 2 x 2 = 4

1 5 3 3

5 1 5 mínimo común múltiplo 1 mcm: 2 x 2 x 3 x 5 = 60

-

El MCD es útil para reducir o simplificar una fracción: ¹²

20

=

^{12 ÷ 𝟒}

20 ÷ 𝟒

=

³

4

(El MCD de 12 y 20 es 4; por esa razón al simplificar de divide 12 entre 4 y 20 entre 4)

- El mcm es útil para obtener el denominador común de fracciones equivalentes al sumar o restar fracciones con diferente denominador.

3 4+10

20+ 4 12=

(El mcm de los denominadores 4,12 y 20 es 60; para obtener fracciones equivalentes con un mismo denominador igual a 60, se divide el mcm 60 que será el denominador común entre el dominador de cada fracción y el resultado se multiplica por el numerador, el producto obtenido será el numerador de la fracción. De esta manera se obtiene una fracción equivalente. El procedimiento se repite con cada una de las fracciones; al final se suman o restan las fracciones equivalentes obtenidas)

60 ÷ 4 x 3 = 15 x 3 = 45 60 ÷ 20 x 10 = 3 x 10 = 30

60 ÷ 12 x 4 = 5 x 4 = 20

3 4 + 10 20 + 4

12 = 𝟒𝟓

𝟔𝟎 + 𝟑𝟎

𝟔𝟎 + 𝟐𝟎

𝟔𝟎 = 𝟗𝟓

𝟔𝟎

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PROBLEMAS RESUELTOS DE APLICACIÓN: Calcular mínimo común múltiplo (mcm) y máximo común divisor (MCD) según se solicite:

Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 6:30 de la tarde los tres coinciden. Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos siguientes.

(Se convirte el minuto a su equivalente en segundos:

I minuto = 60 segundos) 12 18 60 2

6 9 30 2 3 9 15 3

1 3 5 3 mínimo común múltiplo 1 5 5 mcm: 2 x 2 x 3 x 3 x5 = 180

1

Se convierte los 180 segundos a minutos:

180 ÷ 60 = 3 minutos

Si el faro se encendió a las 6:30, de la tarde;

entonces volverá a encender a las 6:33 de la tarde.

En una bodega hay 3 toneles-barriles de gel antibacterial, cuyas capacidades son:

250 l, 360 l, y 540 l. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas- botellones iguales.

Calcular las capacidades máximas de estas garrafas-botellones para que en ellas se pueda envasar el gel antibacterial contenido en cada uno de los toneles-barriles, y el número de garrafas-botellones que se necesitan.

250 360 540 2 Capacidad de las garrafas-botellones = 10 litros.

Número de botellones del Barril 1 = 250 ÷ 10 = 25 Número de botellones del Barril 2 = 360 ÷ 10 = 36 Número de botellones del Barril 3 = 540 ÷ 10 = 54 Número de botellones = 25 + 36 + 54 = 115 125 180 270 2 Máximo Común Divisor

125 90 135 2 MCD: 2 x 5 = 10 125 45 135 3

125 15 45 3 125 5 15 3 125 5 5 5 25 1 1 5

5 5

1

Unos turistas van a la ciudad de Campeche cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado los dos en Campeche. ¿Dentro de cuantos días volverán a coincidir los dos a la vez en la ciudad de Campeche?

Los turistas volverán a coincidir en la ciudad de Campeche en 72 días

18 24 2 9 12 2 9 6 2

9 3 3 mínimo común múltiplo 3 1 3 mcm: 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 72

1

.

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La superficie del desayunador de una cocina, que se quiere cubrir con ladrillos tiene 2.5 m de largo y 1.50 m de ancho.

Calcula la medida del lado de cada ladrillo y el número de ladrillos, de tal manera que el número de ladrillos que se coloque sea mínimo y que no sea necesario cortar ninguno.

Se convierte la unidad de medida: metros a centímetros 2.5 m = 250 cm

1.5 m = 150 cm

- Se calcula el MCD para saber la medida por lado de cada ladrillo:

MCD de: 250 y 150 = 50 cm mide por lado.

- Se calcula el área de la superficie que se quiere cubrir con ladrillos:

A = L · A = (250) · (150) = 37500 cm²

250 150 2 - Se calcula el área de cada ladrillo:

A L = L ∙ L = L² = 50² = 2500 cm²

- Para saber la cantidad de ladrillos que se necesitan; se divide el área de la superficie del desayunador de la cocina entre el área de cada ladrillo:

37500 cm² ÷ 2500 cm²= 15 ladrillos.

125 75 3 Máximo Común Divisor 125 25 5 MCD: 2 x 5 x 5 = 50 cm

25 5 5

5 1 5

1

Para reforzar tus conocimientos, revisa los siguientes videos:

Nombre del Video: Mínimo común múltiplo MCM explicación completa Canal: Matemáticas profe Alex

Link: https://www.youtube.com/watch?v=Hxkb3i85qDw Nombre del Video: Máximo Común Divisor MCD

Canal: Matemáticas profe Alex

Link: https://www.youtube.com/watch?v=JoHfq8hswmY Para aprender más

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Actividad # 1

Nombre: ________________________________________________________ Tercer grado. Grupo: _____

Considerando la información revisada en la sección: Te explico. Realiza lo que se te solicita:

Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas que impliquen el cálculo del mínimo común múltiplo (mcm), empleando el producto de los factores primos.

1. Se desea envasar el contenido de un tanque de líquido para limpieza en garrafones de la misma capacidad. ¿Cuál es la cantidad mínima de líquido que debe tener el tanque, de tal manera que se puedan utilizar garrafones de 4, de 10 o de 12 litros y que no sobre líquido y los garrafones se llenen completamente? ____________________________________

____________________________________________________

2. En una línea de transporte de pasajeros, un autobús A sale de la terminal cada 1 ½ hora; un autobús B sale cada 2 horas y un autobús C, cada 2 ½ horas. Si salieron al mismo tiempo los tres autobuses a las 7 de la mañana del día lunes, ¿a qué hora y día vuelven a coincidir sus salidas? __________________________________________

__________________________________________________

3. Una sirena toca cada 450 segundos, otra cada 250 segundos y una tercera cada 600 segundos. Si a las 4 de la mañana han coincidido tocando las tres, ¿A qué hora volverán a tocar otra vez juntas?

____________________________________________________________

Manos a la obra

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Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas que impliquen el cálculo del Máximo Común Divisor (MCD), empleando el producto de los factores primos.

4. Se quiere cortar dos tablones de madera, uno de 48 cm y el otro de 60 cm, en tablas de la mayor longitud posible y que midan lo mismo, sin que sobre madera de ninguno de los tablones.

a) ¿Cuánto medirá cada una de las partes? _____________

________________________________________________

b) ¿Cuántas tablas se pueden sacar? ___________________

________________________________________________

5. Se desea cubrir con azulejos cuadrados una pared de una cocina que mide 210 cm de ancho por 300 cm de alto. Si se quiere que los azulejos sean lo más grande posible y que no haya que romper ninguno, ¿cuál debe ser la medida por lado de los azulejos? ________________________

6. Elsa está organizando una fiesta de cumpleaños, por lo que su mamá le compró paletas y chocolates para hacer bolsitas de dulces. Compró 140 paletas y 120 chocolates. Para que rindan los dulces que compró, quiere obtener la mayor cantidad de bolsitas posible para repartirlas entre sus invitados, los cuales espera que sean más de 15.

¿Cuántos dulces de cada tipo habrá en cada bolsa?

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Actividad # 2

Nombre: ________________________________________________________ Tercer grado. Grupo: _____

Para reforzar tus conocimientos y recuperando la información revisada en la sección: Te explico y Para aprender más. Realiza lo que se te solicita:

Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas. Apóyate con los ejemplos resueltos de la sección: Te explico

1. Cierto planeta A tarda 150 días en completar una órbita completa alrededor de su sol. Otro planeta B del mismo sistema solar lo hace en 225 días. Si cierto día ambos planetas están alineados con el sol,

¿cuánto tardarán en volver a estarlo? _____________

2. Un autobús A hace su recorrido cada 8 días y otro autobús B lo hace cada 10 días. Si coinciden en su salida en la central de autobuses el día 20 de noviembre, ¿cuándo volverán a coincidir? _______

3. Carmen tiene un reloj despertador que suena cada 60 minutos, otro reloj despertador que suena cada 150 minutos y un tercero que suena cada 360 minutos. A las 6 de la mañana los tres relojes suenan al mismo tiempo.

¿A qué hora volverán a sonar otra vez juntos?

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Repaso y practico

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4. Se requiere embaldosar-cubrir con ladrillos un patio de 1 620 cm de largo por 980 cm de ancho con ladrillos cuadrados lo más grandes posibles y enteros.

¿Cuál será la longitud del lado de cada ladrillo? ____________________

_____________________________________________________________

5. Una fracción de cartulina mide 100 cm por 45 cm y se quiere dibujar en ella una cuadrícula del mayor tamaño posible cada cuadrado.

¿Cuál debe ser la medida de cada cuadrado de la cuadrícula? _______________

6. De un pliego rectangular de foami que mide 96 cm de largo por 72 cm de ancho, se quiere cortar cuadrados de la mayor superficie posible.

¿Cuál debe ser la longitud del lado de los cuadrados? _____________________

¿Cuántos cuadrados se pueden obtener? _______________________________

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A manera de autoevaluación que le permita reflexionar sobre lo aprendido y lo que falta por aprender;

rellene los círculos de los aspectos en los que se cumplió.

o Logré usar técnicas para determinar el mcm y el MCD

o Empleé el mínimo común múltiplo (mcm) y máximo común divisor (MCD) en la resolución de problemas.

o Reforcé mis conocimientos consultando la información en mi libro de texto.

o Realicé los ejercicios de la ficha de manera autónoma.

o Resolví los ejercicios de la ficha con ayuda.

o Tuve oportunidad de profundizar sobre el tema con el apoyo de los videos.

o Reflexioné sobre la importancia del estudio para el aprendizaje de las matemáticas.

Pirámide del Aprendizaje

Conociendoesta información podemos aprender cómo desarrollar la inteligencia. Comienza a transmitir tu conocimiento. Ya sabes que un 95% de lo que aprendemos es lo que enseñamos a otros.

Asignatura: Matemáticas 3.

Profesor. David Fernando Díaz Cambranis

Los trabajos se enviarán en formato PDF al correo electrónico:

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En caso de tener duda o requerir algún apoyo específico, enviar mensaje de WhatsApp al número

9967309226

. Horario de atención: Lunes a viernes de 8:00 a 1500 hrs.

Lo que aprendí