MATEMÁTICAS 1.º ESO. somoslink. SOLUCIONES AL LIBRO DEL ALUMNO Unidad 8. Lenguaje algebraico

MATEMÁTICAS 1.º ESO

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SOLUCIONES AL LIBRO DEL ALUMNO

Unidad 8. Lenguaje algebraico

Unidad 8. Lenguaje algebraico

SOLUCIONES PÁG. 155

1 Expresa las siguientes frases en lenguaje numérico:

a. La diferencia entre siete y dos. → 7 – 2 b. El producto de cuatro por tres. → 4 · 3 c. La mitad de treinta más catorce. → 30 14

2 +

d. El cuadrado de cinco más ocho. → (5 + 8)² 2 Escribe en lenguaje ordinario.

a. 2 · x – 5

El doble de un número menos cinco unidades.

b. 3 · (x + y)

El triple de la suma de dos números.

c. – 1 2 x

La mitad de un número menos uno.

d. x²– y²

La diferencia de los cuadrados de dos números.

e. x · y

El producto de dos números.

f. x + 3 = 9

La suma de un número más tres es nueve.

3 Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados:

a. Un número menos cinco unidades.

x – 5

b. La suma de tres números.

x + y + z

c. El cubo de un número.

x³

d. El cuádruple de un número es igual a veinte.

4x = 20

e. La suma de un número más su tercera parte.

3 x+ x

f. El cuadrado de un número menos su mitad.

x² – 2 x

4 Si un lápiz cuesta x euros, expresa:

a. El precio de cinco lápices.

5 · x

b. El precio de un bolígrafo que cuesta 1 € más que el precio de dos lápices.

2x + 1

5 Expresa en lenguaje algebraico el perímetro de un triángulo isósceles cuyo lado desigual mide el doble que los otros dos lados.

P = x + x + 2x = 4x

6 ¿Cómo expresarías el perímetro de un rectángulo de base b y altura h?

P = 2 · b + 2 · h

7 Al abrir su hucha, Ignacio ha contado x monedas de 20 cts. e y monedas de 50 cts. Expresa:

a. El dinero que tiene Ignacio en monedas de 20 cts. y en monedas de 50 cts.

De 20 céntimos → 20 · x. De 50 céntimos → 50 · y b. El dinero total que tiene en su hucha.

En total→ 20 · x + 50 · y

8 Asocia en tu cuaderno cada expresión en lenguaje ordinario con su expresión algebraica.

a. El doble de un número más su cuadrado. → 2x + x²

b. El doble del cuadrado de la diferencia de dos números. → 2 · (x – y)² c. El cuadrado de la suma de un número y el cuádruple de otro. → (m + 4n)² d. La suma del doble de dos números. → 2x + 2y

e. La suma de los cuadrados de dos números más uno. → x² + y² + 1 f. La mitad de un número más el cubo de otro número. →. a

2 + b³ SOLUCIONES PÁG. 157

9 Indica cuántos términos tiene cada una de las siguientes expresiones algebraicas:

a. 5x + 2 → 2 b. x + y + z²→ 3 c. –x² + 2xy³ + 4 → 3 d. 2 4

2

x+ y → 2

10 Escribe, en cada caso, una expresión algebraica que tenga:

a. Tres términos de coeficientes –4, 3 y 2.

Respuesta abierta. Por ejemplo: –4x + 3y² + 2x³y b. Dos términos, uno de ellos con parte literal a³.

Respuesta abierta. Por ejemplo: 5a³ + 2b

c. Dos términos, una sola incógnita, x, y un valor numérico en x = 3 igual a 2.

Respuesta abierta. Por ejemplo: x² – 7 11 Copia en tu cuaderno y completa:

12 Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones para x = 2:

a. 3x – 4 → 3 · 2 – 4 = 2

b. 5x² + 7x → 5 · (2)² + 7 · 2 = 20 + 14 = 34

c. 6 · (3 – 2x) → 6 · (3 – 2 · 2) = 6 · (3 – 4) = 6 · (–1) = – 6 d. –2 8

4 x x

+ → –2 ·2 8 4 · 2

+ = 4 1 8 2=

5x³ – 2y² + 3xy

Términos 5x³ –2y² 3xy

Coeficiente 5 –2 3

Parte literal x³ y² xy

13 Determina el valor numérico de la expresión algebraica 5a³ – 2a para los siguientes valores:

a. a = 3 → 5 · 3³ – 2 · 3 = 5 · 27 – 6 = 135 – 6 = 129

b. a = –2 → 5 · (–2)³ – 2 · (–2) = 5 · (–8) – (–4) = –40 + 4 = –36 c. a = 4 → 5 · 4³ – 2 · 4 = 5 · 64 – 8 = 320 – 8 = 312

d. a = 1

2 → 5 · 1 3

2

  

  – 2 · 1

2 = 5 · 1

8 – 1 = 5

8 – 1 = 5 – 8 3 8 =–8

14 Indica cuál de los siguientes números es el valor numérico de la expresión 7x³ + 3x² – 4 para x = –1:

a. –14 b. 6 c. –8 d. –6

7 · (–1)³ + 3 · (–1)² – 4 = 7 · (–1) + 3 · 1 – 4 = –8 El c.

15 Si a = 2 y b = –3, calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas:

a. a² + 2ab + b²→ 2² + 2 · 2 · (–3) + (–3) ² = 4 – 12 + 9 = 1 b. (a + b)²→ [2 + (–3)]² = (–1)² = 1

c. a² – 2ab + b²→ 2² – 2 · 2 · (–3) + (–3) ² = 4 + 12 + 9 = 25 d. (a + b) · (a – b) → [2 + (–3)] · [2 – (–3)] = –1 · 5 = –5

16 Halla el valor numérico de las siguientes expresiones para a = 4 y b = –2:

a. 2a³ – 4ab → 2 · 4³ – 4 · 4 · (– 2) = 2 · 64 + 32 = 160 b.

4 – 2 2

a b

b → ^{4 – 2·4}

( )

2

−

− = 256 – 2· 4

−2 = 248

124 2 =−

−

c. a² + 3b³ – 5b → ⁴² + 3 · (–2)³ – 5 · (–2) = 16 – 24 + 10 = 2 d. (a² – b)³→ ^{[42 – (–2)]3} = (16 + 2)³ = 18³ = 5 832

17 Expresa en lenguaje algebraico el siguiente enunciado: «la suma del cuadrado de un número y la tercera parte de ese número».

Si el número es 9, ¿cuál es el valor numérico de la expresión algebraica?

x² + 3

x . Si x = 9 → 9² + 9

3 = 81 + 3 = 84 18 Actividad resuelta.

19 Si a² + b = 5, calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas:

a. 2 · (a² + b) = 2 · 5 = 10 b. a² + b – 1 = 5 – 1 = 4 c. (a² + b)³ = 5³ = 125 d. (a² + b) · c = 5c

20 Encuentra los valores de x en las siguientes expresiones para que su valor numérico sea 0:

a. 3x – 12

3x – 12 = 0 ⇒ 3x = 12 ⇒ x = 1 2 3 = 4 b. x² – 4

x² – 4 = 0 ⇒ x² = 4 ⇒ x = 4= ±2

c. 3 2

x

3 2

x = 0 ⇒ 3x = 0 ⇒ x = 0

d. 2 5 x +

5 2

x + = 0 ⇒ 1 0 5

x+ = 0 ⇒ x + 10 = 0 ⇒ x = –10 21 Dado el siguiente polígono:

a. Expresa su perímetro en lenguaje algebraico.

(19 + x) cm

b. ¿Cuál es su valor si x = 6 cm?

19 + 6 = 25. Su valor es 25 cm.

22 En una granja hay x gallinas e y conejos.

a. Expresa en lenguaje algebraico el número de patas de las gallinas y de los conejos.

Patas de las gallinas: 2x.

Patas de los conejos: 4y.

b. Si x = 124 e y = 96, ¿cuántas patas de gallinas y conejos hay?

Patas de las gallinas: 2 · 124 = 248 Patas de los conejos: 4 · 96 = 384

SOLUCIONES PÁG. 159

23 Indica cuáles de las siguientes expresiones son monomios:

a. 4x²y³→ Sí b. –5x³ + 3y²→ No c. 2x + 1 → No d. 3

5n² → Sí e. a²bc³→ Sí f. x³ – 2x + 7 → No

24 Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y completa:

Monomio Coeficiente Parte literal Grado

8x²y⁴ 8 x²y⁴ 6

a²bc² 1 a²bc² 5

–2x⁵ –2 x⁵ 5

–ab –1 ab 2

25 ¿Cuáles de los siguientes monomios son semejantes a 8x³y²? a. 12x³y²→ Sí

b. –3y²x³→ Sí c. –x³y² → Sí d. 5x³z² → No e. 1

6 x²y²→ No f. x³y²z → No

26 Escribe tres monomios semejantes para cada uno de estos monomios:

a. 7a⁵→ Respuesta abierta. Por ejemplo: 5a⁵, –2a⁵,³ 7a⁵ b. –3x²y → Respuesta abierta. Por ejemplo: 2x²y, –4x²y, x²y c. –2

3m⁴n² → Respuesta abierta. Por ejemplo: m⁴n², 6m⁴n², −¹ 2 m⁴n² d. a³b⁵c² → Respuesta abierta. Por ejemplo: –a³b⁵c², 3a³b⁵c², 7a³b⁵c² e. –5

7 a⁵b² → Respuesta abierta. Por ejemplo: 9a⁵b², –a⁵b², 8a⁵b²

f. –5m³y³z³ → Respuesta abierta. Por ejemplo: m³y³z³, 7m³y³z³, –8m³y³z³ 27 Ordena los siguientes monomios de menor a mayor, según su grado:

2xy³, –3x³y², 7

2y, 6x³, x²yz³ 7

2y < 6x³ < 2xy³ < –3x³y² < x²yz³

28 Escribe un monomio que cumpla cada una de las siguientes condiciones:

a. Tiene coeficiente 1 y la parte literal es x⁴. → x⁴

b. Tiene coeficiente 4 y grado 5. → Respuesta abierta. Por ejemplo: 4x²y³ c. Tiene coeficiente 3

4 y es semejante a 2x³y². → 3 4x³y²

29 Clasifica las siguientes expresiones algebraicas en monomios, binomios, trinomios o polinomios:

a. –3x³ + 4x² + 5x – 8 → Polinomio b. 4x³ – 6x → Binomio

c. 2x³yz³→ Monomio

30 Indica el grado de los siguientes polinomios:

a. –9x⁶ + 4x³ + 2x + 5 → 6 b. a²b – 3ab⁴ + 5a³ – 1 → 5 c. 5n⁷ + 4n⁸ – 2n⁹ → 9 d. –xy + xy² – x²y² → 4

31 Escribe un polinomio que tenga:

a. Grado 3 y dos incógnitas. → Respuesta abierta. Por ejemplo: 3x²y + 5xy + 7 b. Tres términos, grado 5 y que carezca de término independiente. →

Respuesta abierta. Por ejemplo: x⁵ + 2x² – 5x

SOLUCIONES PÁG. 161 32 Opera mentalmente.

a. 3a + 4a = 7a b. 5b – 3b = 2b c. 8x² + 4x² = 12x² d. –2y – 3y = –5y e. –5x + 5x = 0 f. x³ + 5x³ = 6x³

g. 2x²y² + 9x²y² = 11x²y² h. 6

5 m³ – 8

5 m³ = –2 5m³

33 Efectúa las siguientes sumas y restas de monomios:

a. 4x + 5x + 7x = 16x b. 2a² – 6a² + 4a² = 0 c. 3xy + 9xy – 5xy = 7xy d. 2b – b – 7b = –6b e. a²b³ + a²b³ – a²b³ = a²b³ f. –4n³ + 6

5n³ + 2n³ = 6

4 2

5

 

− + +

 

 · n³ = 20 6 10 5

− + +

 

 

  · n³ = –4 5n³ 34 Suprime los paréntesis y reduce.

a. 4x + (3x – x) = 4x + 3x – x = 6x b. 5y – (2y + 2y) = 5y – 2y – 2y = y

c. 2x² – (3x² + 8x²) = 2x² – 3x² – 8x² = –9x² d. –3a³ – (2a³ – 7a³) = –3a³ – 2a³ + 7a³ = 2a³ e. 5xy + (–2xy – 3xy) = 5xy –2xy – 3xy = 0

f. 4n² – 2n² – (5n² – n²) = 4n² – 2n² – 5n² + n² = –2n² 35 Actividad resuelta.

36 Copia en tu cuaderno y asocia cada expresión con su expresión reducida.

Expresión

Expresión reducida 5x – x + x² 6x² – 3x + 1 x² + 3x – 4x² + x x² + 4x 3x² – 5 + 2x + 5 3x² + 2x –4x² + 3x² – x + 4x² –3x² + 3x 1 + x² – 3x + 5x² 3x² – x 6x – 3x² – 2x – x –3x² + 4x 37 Reduce las siguientes expresiones:

a. 2a² – 5

3 a + a – 3a² – 6a² = (2 – 3 – 6) a² + 5 3 1

 

− + 

  = –7a² – 2 3a b. –4ab² – 3ab² + 2a²b + 5a²b = (–4 – 3)ab² + (2 + 5)a²b = –7ab² + 7a²b c. 5m⁴ – 2n⁴ – 5m⁴ + 3n⁴ = (5 – 5)m⁴ + (– 2 + 3)n⁴ = n⁴

d. x²y⁴ + 3y⁴x² – 4x²y⁴ – 3x²y⁴ = (1 + 3 – 4 – 3)x²y⁴ = –3x²y⁴ e. 3y² + 4y² – 5x – 8x = (3 + 4)y² + (–5 – 8)x = 7y² – 13x

38 Elimina los paréntesis y simplifica todo lo posible.

a. (7x + 2x) – (5x + 8x) = 7x + 2x – 5x – 8x = –4x b. (4y² – y²) + (6y² – 9y²) = 4y² – y² + 6y² – 9y² = 0 c. (3x² – 2x) + (5x² – 6x) = 3x² – 2x + 5x² – 6x = 8x² – 8x d. (1 – 5n³) – (4n³ + 1) = 1 – 5n³ – 4n³ – 1 = –9n³

e. (2xy – 3x) – (xy + 9x) = 2xy – 3x – xy – 9x = xy – 12x

f. (–3y + 4) – (7 – 5y) + (5 + 6y) = –3y + 4 – 7 + 5y + 5 + 6y = 8y + 2

39 Copia en tu cuaderno y encuentra el valor de las letras mayúsculas para que las siguientes igualdades sean ciertas:

a. 8x² – Ax² = 5x² A = 3

b. 6a + 5a + Ba = 15a B = 4

c. 3n⁴ – Cn² + 5n⁴ + 2n² = 8n⁴ C = 2

d. 2x²y + 7xy + Dxy – Ex²y = 8x²y + 12xy D = 5, E = –10

e. 4y³ + (5y³ – Fy³) = 7y³ F = 2

f. 5b – (Gb – 8b) = –7b G = 20

40 Reduce todo lo posible.

a. 6x – [2x + 3 – (5x – 1 – 3x)] = 6x – 2x – 3 + (5x – 1 – 3x) = 4x – 3 + 5x – 1 – 3x =

= 6x – 4

b. –4x² + 5x – [– (8x² – x) + 2x²] = –4x² + 5x + (8x² – x) – 2x² = –4x² + 5x + 8x² – x – – 2x² = 2x² + 4x

c. 7y³ – [3x² – (4y³ – 2x²)] = 7y³ – 3x² + (4y³ – 2x²) = 7y³ – 3x² + 4y³ – 2x² = 11y³ – 5x² 41 Expresa el recorrido entre los puntos A y B. Da el resultado lo más reducido

posible.

AB = 3x + 2y + 2z

SOLUCIONES PÁG. 163

42 Multiplica los siguientes monomios:

a. 5 · 2x² = 10x² b. 4x² · 3x³ = 12x⁵ c. –2

3a³ · (–7a³) = 14 3 a⁶ d. x² · (–3x³) = –3x⁵ e. 8y · 3y = 24y² f. –5

3 b² · 4

5b⁵ = –4 3b⁷

43 Efectúa las siguientes multiplicaciones:

a. 3 · 4x = 12x b. –6b² · 8 = –48b² c. 5x² · (–6x) = –30x³ d. –12n⁴ · (–7n⁴) = 84n⁸ e. –2a³ · 5a⁴ = –10a⁷ f. 9x³ · x² = 9x⁵

44 Realiza las siguientes multiplicaciones de monomios:

a. 10x²y⁴ · 3xy = (10 · 3) · x² ·x · y⁴ · y = (10 · 3) · x^{2 + 1} · y^{4 + 1} = 30x³y⁵ b. 2ab² · (–4a²b) = [2 · (–4)] a² · a · b · b² = [2 · (–4)] · a^{2 + 1} · b^{2 + 1} = –8a³b³ c. –5x² · 3 ⁴

2y

 

− 

  = 3 5· 2

  

− − 

 

 

  · x²y⁴ = 15 2 x²y⁴

d. –xy² · 2x³ = (–1 · 2) x · x³ · y² = (–1 · 2) · x^{3 + 1}· y² = –2x⁴y² e. x³ · (–4x²y³) = –4 · x² · x³ · y³ = –4 · x^{2 + 3}· y³ = –4x⁵y³ f. 7

2a²b² · 4

3 ab³c² = 7 4 ·

2 3 · a² · a · b² · b³ · c² = 7 4 ·

2 3 · a^{2 + 1} · b^{2 + 3} · c² = 14 3 a³b⁵c² 45 Copia en tu cuaderno y encuentra el valor de R para que las igualdades sean

correctas.

a. 5x² · R = 15x³→ R = 3x b. R · (–4a²) = –12a⁵→ R = 3a³ c. R · 2y³ = –8y³→ R = –4 d. 3xy · R = 6x²y → R = 2x

e. R · (–5x²y³) = 20x⁴y⁴ → R = – 4x²y f. 9b² · R = 9b⁵ → R = b³

46 Calcula los siguientes productos:

a. 2 · (5x + 1) = 2 · 5x + 2 = 10x + 2

b. (4a – 2) · (–3) = 4a · (–3) + (–2) · (–3) = –12a + 6 c. 4 · (x² + 6) = 4 · x² + 4 · 6 = 4x² + 24

d. –2 · (7y⁴ + 5y³) = –2 · 7y⁴ + (–2) · 5y³ = –14y⁴ – 10y³ e. (2x² – 3x) · 5 = 5 · 2x² – 5 · 3x = 10x² – 15x

f. –6 · (b³ + b²) = –6 · b³ + (–6) · b² = –6b³ – 6b² 47 Realiza estas operaciones:

a. 4x · (3x² + 5x) = 4x · 3x² + 4x · 5x = 12x³ + 20x² b. 2x² · (x – 3) = 2x² · x – 2x² · 3 = 2x³ – 6x² c. –a · (–4a – 1) = –a · (–4a) – (–a) · 1 = 4a² + a d. 2xy · (3y² – 4x) = 2xy · 3y² – 2xy · 4x = 6xy³ – 8x²y

e. (2x²y + 5xz²) · (–6x³) = 2x²y · (–6x³) + 5xz² · (–6x³) = –12x⁵y – 30x⁴z² f. (2a – 3b) · 5a² = 2a · 5a² – 3b · 5a² = 10a³ – 15a²b

48 Copia en tu cuaderno y encuentra el valor de las letras mayúsculas para que las igualdades sean correctas.

a. 3 · (A + B) = 6x + 9x³ 3A + 3B = 6x + 9x³⇒

3 3

3A 6 A 2

3B 9 B 3

x x

x x

=   =

⇒

=   = b. C · (5x³ – 3x²) = 25x⁴ – 15x³

C =

( ) ( )

( )

4 3 2 2

3 2 2

5 5x – 3 25 – 15 (25 – 15 )

5 – 3 5

5 – 3 5 – 3

x x x x x x

x x

x x = x x = =

c. x²yz³ · (D + E) = x²y⁴z⁵ + x³y²z⁴ D + E =

2 4 5 3 2 4

2 3 2 3

x y z x y z

x yz + x yz ⇒ D + E = y z^{3 2}+xyz ⇒ D = y³z², E = xyz d. 12a²b³ : F = –2ab²

2 3

12 2

F –2

a b = ab ⇒ F=

2 3 2

12 –2

a b

ab ⇒ F = –6ab e. G : 5ab²c⁶ = 3

5 bc

2 6

5 G ab c =3

5

bc ⇒ G = ^{3· 5}

(

)

5 ab c bc

=

3 7

15 5

ab c = 3ab³c⁷

49 Actividad resuelta.

50 Expresa como suma de monomios el perímetro de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 2 y 5 unidades menos, respectivamente, que su hipotenusa.

P = x + (x – 2) + (x – 5) = 3x – 7

51 Realiza las siguientes divisiones de monomios:

a. 15x² : 3 = 15 2

3

x = 5x²

b. –12a²b : 4 = –12 2

4

a b = –3a²b

c. 9x³ : 3x² =

3 2

9 3 x

x = 3x d. –20x⁵ : (–4x²) =

5 2

–20 –4

x

x = 5x³ e. 2y⁴ : 3y² =

4 2

2 3 y y = 2

3y² f. –4x⁶ : 8x³ =

6 3

–4 8

x

x = –1 2x³ 52 Divide los monomios.

a. 4x³y² : 2x³y =

3 2 3

4 2

x y

x y = 2y b. –10a²b : 5a²b =

2 2

–10 5

a b a b = –2 c. –21x⁴y² : (–3x²y) =

4 2 2

21 3

x y x y

−

− = 7x²y d. 3a³b : 2a³ =

3 3

3 2

a b a = 3

2b e. 5x⁵y³ : 4x³y⁴ =

5 3 3 4

5 4

x y x y =

5 2

4 x

y f. 8x²y⁴z³ : (–2x⁴y³z) =

2 4 3 4 3

8

2 z

x y z

− x y =

2 2

4yz x

−

53 Divide y simplifica.

a. 3

2x³ : 3x² =

3 2

3 6 x x = 1

2x b. –3

5 x⁴ : 6 5x =

15 4

30 x x

− = 1 ³ 2x

− c. –2

3x²y³ : 4 ² 9 xy

 

− 

  =

2 3 2

18 12

x y xy = 3

2xy d. 7x³y : 14

3 xy

 

− 

  = 21 3

14 x y xy

− = 3 ² 2x

−

54 Resuelve estas potencias de monomios:

a. (x³)² = x³ · x³ =x⁶

b. (–2a⁵)³ = (–2)³ · a⁵ · a⁵ · a⁵ = –8a¹⁵

c. (–3x²y³)⁴ = (–3)⁴ · x²y³ · x²y³ · x²y³ · x²y³ = 81x⁸y¹² d.

1 3

4ab

 

 

  = 1 3

4

  

  · ab · ab · ab = 1 64a³b³

SOLUCIONES PÁG. 165

55 Indica si las siguientes expresiones son igualdades numéricas:

a. 3 + 4 + 5 = 7 – 2 + 4

12 ≠ 9 → No es una igualdad.

b. 2 · (5 – 1) = 2 · 5 – 2 8 = 8 → Sí es una igualdad.

c. –7 + 3 · 5 = 4 · 2

8 = 8 → Sí es una igualdad.

d. (8 – 3) · 5 = 8 · 5 – 3

25 ≠ 37 → No es una igualdad.

56 Determina si estas igualdades algebraicas son identidades o ecuaciones:

a. x + y + z = z + y + x → Identidad b. x · y – z = x – y · z → Ecuación c. a · (b + c) = a · b + a · c → Identidad d. a : b = b : a → Ecuación

e. a⁰ = 1 → Identidad f. x² = (–x)² → Identidad

57 Expresa los siguientes enunciados como ecuaciones:

a. La suma de dos números es 13. → x + y = 13

b. El doble de un número es igual al triple de otro. → 2x = 3y c. El cuadrado de un número es 16. → x² = 16

d. El producto de dos números es 24. → x · y = 24 e. La mitad de un número es 8. →

2 x = 8

58 Indica, para las siguientes ecuaciones, sus miembros, sus términos, su grado y sus incógnitas:

a. x + 2 = 1

1.^er miembro: x + 2; 2.º miembro: 1; términos: x, 2, 1; grado: 1; incógnitas: x

b. 4x² – 5x + 1 = –3x + 2

1.^er miembro: 4x² – 5x + 1; 2.º miembro: –3x + 2; términos: 4x², –5x, 1, –3x, 2;

grado: 2; incógnitas: x c. 3y – 5 = 4x

1.^er miembro: 3y – 5; 2.º miembro: 4x; términos: 3y, –5, 4x; grado: 1; incógnitas:

x, y

d. a²b + 3 = a

1.^er miembro: a²b + 3; 2.º miembro: a; términos: a²b, 3, a; grado: 3; incógnitas:

a, b

59 Busca, por tanteo, la solución o soluciones de las siguientes ecuaciones y clasifícalas según el número de soluciones:

a. x + 5 = 8

x = 3, ecuación compatible determinada.

b. x² = 25

x = 5 y x = –5, ecuación compatible determinada.

c. x +1 = –8

No tiene solución, ecuación incompatible.

60 Indica qué ecuaciones son equivalentes.

a. x + 3 = 5 c. 4x = –8 e. 2x + 7 = 3 b. 1 – x = –1 d.

3

x = 6 f.

2

x – 1 = 4

Son equivalentes la a. y la b., pues ambas tienen por solución x = 2.

Son equivalentes la c. y la e., pues ambas tienen por solución x = –2.

61 Actividad resuelta.

62 Comprueba si x = 2 es solución de alguna de estas ecuaciones:

a. x – 5 = x + 3

2 – 5 ≠ 2 + 3 ⇒ –3 ≠ 5 ⇒ No es solución.

b. 3x² – 2 = 5x

3 · 2² – 2 ≠ 5 · 2 ⇒ 10 = 10 ⇒ Sí es solución.

c. 4x = 5 – 3x

4 · 2 ≠ 5 – 3 · 2 ⇒ 8 ≠ 6 ⇒ No es solución.

d. x = x²

2 ≠ 2² ⇒ 2 ≠ 4 ⇒ No es solución.

63 Construye ecuaciones que cumplan estas condiciones:

a. Ser de grado dos y tener dos incógnitas.

Respuesta abierta. Por ejemplo: 3x² + 2y = 1

b. Ser de grado tres y tener dos términos en cada uno de los miembros.

Respuesta abierta. Por ejemplo: 2x³ +4x = –5x² + 3 c. Ser de grado uno, tener una incógnita y solución 3.

Respuesta abierta. Por ejemplo: 2x + 4 = 10

d. Ser de grado dos, tener dos términos y carecer de solución.

Respuesta abierta. Por ejemplo: x² = – 4

SOLUCIONES PÁG. 167

64 Resuelve las siguientes ecuaciones:

a. x + 4 = 12

x = 12 – 4 ⇒ x = 8 b. x – 8 = 15

x = 15 + 8 ⇒ x = 23 c. 2 + x = –3

x = –3 – 2 ⇒ x = –5 d. x – 7 = 5

x = 5 + 7 ⇒ x = 12 e. 3 = x + 4

x = 3 – 4 ⇒ x = –1 f. 0 = x – 6

x = 6 g. 1 + x = 1

x = 1 – 1 ⇒ x = 0 h. 10 – x = 2

x = 10 – 2 ⇒ x = 8 i. –4 – x = 1

–x = 1 + 4 ⇒ x = –1 – 4 ⇒ x = –5 j. x + 3

4 = 5 4 x = 5

4 – 3

4 ⇒ x = 2 1 4= 2 k. x – 1

2= 2 5 x = 2

5 + 1

2 ⇒ x = 4 5 10

+ = 9 10 l. x + 3 = 5

6 x = 5

6 – 3 ⇒ x = 5 18 13

6 6

− =−

65 Resuelve las ecuaciones.

a. 3x + 1 = 2x + 4

3x + 1 = 2x + 4 ⇒ 3x – 2x = 4 – 1 ⇒ x = 3 b. 5x – 2 = 4x + 6

5x – 2 = 4x + 6 ⇒ 5x – 4x = 6 + 2 ⇒ x = 8 c. 4x – 5 = 3x – 8

4x – 5 = 3x – 8 ⇒ 4x – 3x = – 8 + 5 ⇒ x = – 3 d. 8x + 3 = 9x – 4

8x + 3 = 9x – 4 ⇒ 8x – 9x = –4 –3 ⇒ –x = –7 ⇒ x = 7 e. 7 + 2x = 1 + x

7 + 2x = 1 + x ⇒ 2x – x = 1 – 7 ⇒ x = –6 f. –3 + 4x = 5x + 2

–3 + 4x = 5x + 2 ⇒ 4x – 5x = 3 + 2 ⇒ –x = 5 ⇒ x = –5 66 Halla la solución de estas ecuaciones:

a. 4x = 12

x = 12 4 = 3

b. 6 x = 2 x = 2 · 6 = 12 c. 3x = 0

x = 0 d. –8x = –56

x = 56 8

−

− = 7 e. 0,5x = –35

x =–35 0,5 = −70 f. 3

x = 5 4 x = 5 · 3

4 = 15 4

67 Resuelve las siguientes ecuaciones:

a. 2x – 6 = 0 2x = 6 ⇒ x = 6

2 ⇒ x = 3 b. –5x + 1 = 11

–5x = 11– 1 ⇒ x = 10 5 x 2

− ⇒ = − c. 4

x + 5 = 3

4

x = 3 – 5 ⇒ x = – 2 · 4 ⇒ x = –8 d. 4 + 3x = –2

3x = –2 – 4 ⇒ x = 6 3 x 2

− ⇒ = − e. 8x = 6x – 12

8x −6x = –12 ⇒ 2x = –12 ⇒ x = −6 f. 2

x – 1 = 7

2

x = 7 + 1 ⇒ x = 2 · 8 ⇒ x = 16

68 Halla la solución de las siguientes ecuaciones:

a. 5x + 3 = 2x – 6

5x – 2x = – 6 – 3 ⇒ 3x = –9 ⇒ x = 9 3 x 3

− ⇒ =−

b. 2x – 1 = 4x – 5

2x – 4x = – 5 + 1 ⇒ –2x = – 4 ⇒ x = 2 c. 4 + x = –x – 8

4 + x = –x – 8 ⇒ x + x = –8 – 4 ⇒ 2x = –12 ⇒ x = 12 2 6

− =−

d. 3x + 2 = x + 1 3x – x = 1 – 2 ⇒ 2x = –1 ⇒ x = 1

−2

e. –6x – 2 = x + 5

–6x – x = 5 + 2 ⇒ –7x = 7 ⇒ x = –1 f. 4x + 9 = 3x + 15

4x – 3x = 15 – 9 ⇒ x = 6 g. 12 – 7x = 4x – 10

–7x – 4x = – 10 – 12 ⇒ – 11x = –22 ⇒ x = 22 11 = 2 h. 8 + 6x = –3x – 4

6x + 3x = –4 – 8 ⇒ 9x = –12 ⇒ x = 12

− 9 = 4

−3 69 Resuelve estas ecuaciones:

a. 7x + 4 – 2x = 5 – x + 11

7x – 2x + x = 5 – 4 + 11 ⇒ 6x = 12 ⇒ x = 12 2 = 2 b. –4x + 5 = 3x – 1 + 2x – 3

–4x – 3x – 2x = – 1 – 5 – 3 ⇒ – 9x = –9 ⇒ x = 9 9 =1 c. 2 + 6x – 2x = –8 + 2x

6x – 2x – 2x = –8 – 2 ⇒ 2x = –10 ⇒ x = 10 2

− =–5 d. –x – 12 + 5x = 9 – 10x + 7

–x + 5x + 10x = 9 + 7 + 12 ⇒ 14x = 28 ⇒ x = 28 14 = 2

SOLUCIONES PÁG. 169

70 Obtén la solución de estas ecuaciones:

a. x + 5 · (x – 6) = 4 · (x – 1)

x + 5x – 30 = 4x – 4 ⇒ 6x – 30 = 4x – 4 ⇒ 6x – 4x = –4 + 30 ⇒ 2x = 26 ⇒

⇒ x = 13

b. 3 – (2x + 4) = 2 · (x – 5)

3 – 2x – 4 = 2x – 10 ⇒ –2x – 2x = –10 – 3 + 4 ⇒ –4x = –9 ⇒ x = 9 4 c. –7x + 2 = 3 · (1 – 2x) + 5 · (–3 – x)

–7x + 2 = 3 – 6x – 15 – 5x ⇒ –7x + 6x + 5x = 3 – 2 – 15 ⇒ 4x = –14 ⇒

⇒ x = 14

− 4 = − 7 2

d. –(5x – 4) – 2x = –3 · (x – 1) + 1

–5x + 4 – 2x = –3x + 3 + 1 ⇒ –5x – 2x + 3x = 3 + 1 – 4 ⇒ –4x = 0 ⇒ x = 0 e. 4 · (x + 2) – 3x = 2 · (6x – 1) + 10

4x + 8 – 3x = 12x – 2 + 10 ⇒ x – 12x = 8 – 8 –11x = 0 ⇒ x = 0 71 Resuelve las siguientes ecuaciones con paréntesis:

a. 3 · (x – 2) + 5 = x + 7

3x – 6 + 5 = x + 7 ⇒ 3x – x = 7 + 6 – 5 ⇒ 2x = 13 – 5 ⇒ x = 4 b. –(x + 4) = 4x + 3

–x – 4 = 4x + 3 ⇒ –x – 4x = 4 + 3 ⇒ – 5x = 7 ⇒ x = 7

−5

c. –2 · (6 – x) + 3 = 1

–12 + 2x + 3 = 1 ⇒ 2x = 1 + 12 – 3 ⇒ x = 5 d. x + 9 = 4 · (x – 3)

x + 9 = 4x – 12 ⇒ x – 4x = – 12 – 9 ⇒ –3x = –21 ⇒ x = 7 e. 3x = 2 · (4x – 2) – 5x

3x = 8x – 4 – 5x ⇒ 3x + 5x – 8x = –4 ⇒ 0 = – 4. Sin solución.

f. 11 = 7 · (2 + x)

11 = 7 · (2 + x) ⇒ 11 = 14 + 7x ⇒ 11 – 14 = 7x ⇒ –3 = 7x ⇒ x = 7

−3 g. 0 = 8 – 3 · (x + 1)

0 = 8 – 3x – 3 ⇒ 3x = 8 – 3 ⇒ 3x = 5 ⇒ x =5 3 h. 5 · (2x – 4) + 12 = 10x – 8

10x – 20 + 12 = 10x – 8 ⇒ 10x – 10x = –8 + 20 – 12 ⇒ 0 = 0. Infinitas soluciones.

72 Indica si la siguiente ecuación tiene por solución x = 3:

4 · (2x – 7) + 9 = –3x + 11 + x

4 · (2 · 3 – 7) + 9 = –3 · 3 + 11 + 3 ⇒ 4 · (–1) + 9 = –9 + 11 + 3 ⇒ 5 = 5 Sí es solución.

73 Resuelve las ecuaciones.

a. 3x – 1 = 4x – 3

3x – 4x = – 3 + 1 ⇒ –x = –2 ⇒ x = 2 b. 4

5 5

x+ =x – 7 10 4 2 7

5 10

x+ = x− ⇒ 10 · (x + 4) = 5 · (2x – 7) ⇒ 10x + 40 = 10x – 35 0x = –75 Sin solución.

c. 2

1 15 12

x − x

− =

( )

15 2

15 12

x x

− −

= ⇒ 15 2

15 12

x x

− + = ⇒ 12 · (15 2)− +x = 15x ⇒

⇒ 12 · (17 – x) = 15x ⇒ 204 – 12x = 15x ⇒ 204 = 15x + 12x ⇒ 204 = 27x ⇒

⇒ x = 204 27 = 68

9

d. 2 4 8

3 5

x+ = x+

5 · (x + 2) = 3 · (4x + 8) ⇒ 5x + 10 = 12x + 24 ⇒ 5x – 12x = 24 – 10 ⇒

⇒ –7x = 14 ⇒ x = –2 e. 3 3

4 2

x + =2x – 1 3 6

4

x+ = 2x – 1 ⇒ 3x + 6 = 4 · (2x – 1) ⇒ 3x + 6 = 8x – 4 ⇒ 4 + 6 = 8x – 3x ⇒

⇒ 10 = 5x ⇒ x = 2

f. 5x + 2 – 3x – 1 = 3

5x – 3x = 3 – 2 + 1 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1

g. 2 4 4

5 10 15

x + x − =

2 4 4

5 10 15

x + x− = ⇒ 4 4 4

10 15

x x+ − = ⇒ 5 4 4

10 15

x− = ⇒ 15 · (5x – 4) = 40 ⇒

⇒ 75x – 60 = 40 ⇒ 75x = 100 ⇒ x = 100 75 = 4

3

h. 5 3 2

– 0

12 18 9

x+ + x− +x = m.c.m. (12, 18, 9) = 36

( ) ( ) ( )

3 · 5 2 · 3 4 · 2

– 0

36 36 36

x+ x− +x

+ = ⇒ 3x + 15 + 2x – 6 – 8 – 4x = 0 ⇒

⇒ 3x + 2x – 4x = –15 + 6 + 8 ⇒ x = –1

i. 2 8 3

15 10

x x

− + = +x +

2 8 10 3

15 10

x x x

− + = + + ⇒ 10 · (–2x + 8) = 15 · (11x + 3) ⇒

⇒ –20x + 80 = 165x + 45 ⇒ 185x = 35 ⇒ x = 35 185 = 7

37

j. 7 1

6 2 8

x x

x +

+ = −

7 6 16 1 13 15

6 8 6 8

x+ x = − −x ⇒ x = −x ⇒ 104x = (15 – x) · 6 ⇒ 104x = 90 – 6x ⇒

⇒ 110x = 90 ⇒ x = 90 110 = 9

11

74 Resuelve las siguientes ecuaciones con paréntesis y denominadores:

a. ^{2· 3}

(

)

5 x

− x

= + 5 4

6 2

x− = +x ⇒ 6x – 2 = 5x + 20 ⇒ 6x – 5x = 20 + 2 ⇒ x = 22 b. ^5·

(

)

4 2

x+ x

=

5 15

4 2

x+ = x ⇒ 2 · (5x + 15) = 4x ⇒ 10x + 30 = 4x ⇒ 10x – 4x = – 30 ⇒

⇒ x = –30 6 = –5 c. ^2·

(

) (

)

6 4

x x

− + − −

=

2 4 3

6 4

x x

− − =− + ⇒ 4 · (–2x – 4) = 6 · (–x + 3) ⇒ –8x – 16 = –6x + 18 ⇒

⇒ –8x + 6x = 18 + 16 ⇒ –2x = 34 ⇒ x = –17

d. ^{3 5·}

(

)

8 4

x

x +

+ = −2 3 5 1 5

8 4

x + x+ = −2 ⇒ 3 10 30 8 2

x+ x+ =− ⇒ 13x + 30 = –16 ⇒ x = –46 13

SOLUCIONES PÁG. 171

75 Si le restas a un número su triple, obtienes –24. ¿De qué número se trata?

Sea x el número.

x – 3x = –24 ⇒ –2x = –24 ⇒ x = 12 El número es 12.

76 El doble de un número es igual a su mitad menos 15 unidades. Averigua qué número es.

Sea x el número.

2x = 2

x – 15 ⇒ 2x = 30 2

x− ⇒ 4x = x – 30 ⇒ 3x = –30 ⇒ x = –10

El número es –10.

77 Si a un número se le añade su tercera parte da 200. ¿Qué número es ese?

Sea x el número.

3

x + x = 200 ⇒ 4 3

x = 200 ⇒ 4x = 600 ⇒ x = 150

El número es 150.

78 Un número más su doble más su mitad da 91. ¿Qué número es?

Sea x el número.

x + 2x + 2

x = 91 ⇒ 2 4 2

x + x+x = 91 ⇒ 7x = 182 ⇒ x = 26

El número es 26.

79 La suma de tres números consecutivos es 159. ¿Cuáles son los números?

Sea x el primero de ellos.

x + (x + 1) + (x + 2) = 159 ⇒ 3x + 3 = 159 ⇒ 3x = 156 ⇒ x = 52 Los números son 52, 53 y 54.

80 Halla tres números pares consecutivos cuya suma sea 168.

Sea el primero 2x.

2x + (2x + 2) + (2x + 4) = 168 ⇒ 6x + 6 = 168 ⇒ 6x = 162 ⇒ x = 27 Si x = 27 ⇒ 2x = 54

Los números son 54, 56 y 58.

81 Tres bolígrafos y cinco lápices cuestan 11 €. Si el bolígrafo vale el doble que un lápiz, ¿cuánto cuestan un bolígrafo y un lápiz?

El lápiz cuesta x y el bolígrafo 2x.

3 · (2x) + 5x = 11 ⇒ 6x + 5x = 11 ⇒ x = 1 Un lápiz cuesta 1 € y un bolígrafo cuesta 2 €.

82 Mónica tiene 7 años más que su hermano Alberto. Si entre los dos tienen 31 años, ¿cuál es la edad de cada hermano?

Sea x la edad de Alberto.

x + (x + 7) = 31 ⇒ 2x + 7 = 31 ⇒ x = 24 2 =12 Alberto tiene 12 años y Mónica 19 años.

83 Ana tiene el doble de CD de música que Pablo, y Pablo, el triple que Jesús.

Si en total tienen 40 CD entre todos, ¿cuántos CD tiene cada uno?

Sea x el número de CD que tiene Jesús. Pablo tiene el triple: 3x. Ana tiene el doble que Pablo: 2 · 3x.

x + 3x + 2 · 3x = 40 ⇒ 4x + 6x = 40 ⇒ 10x = 40 ⇒ x = 4 3x = 12

6x = 24

Jesús tiene 4 CD, Pablo 12 CD y Ana 24 CD.

84 En mi barrio están construyendo una piscina municipal de forma rectangular cuyo perímetro es de 150 m. Si el largo mide el doble que el ancho, ¿cuáles son las dimensiones de la piscina?

Sea x el ancho y 2x el largo.

2 · (x + 2x) = 150 ⇒ 2x + 4x = 150 ⇒ 6x = 150 ⇒ x = 25 Tiene 25 m de ancho y 50 m de largo.

85 La mitad de los alumnos de una clase estudian Inglés; la tercera parte, Francés, y el resto, que son 5 alumnos, Alemán.

a. ¿Cuántos alumnos hay en la clase?

2

x + 5 3

x + =x ⇒ 3 2 30 6

x+ x+ = x ⇒ 5x + 30 = 6x ⇒ x = 30

Son 30 alumnos.

b. ¿Cuántos estudian Inglés y Francés?

2 x =30

2 = 15

3 x =30

3 = 10

15 alumnos estudian inglés y 10 francés.

86 Verónica tiene 47 plantas en su jardín. Si hay 8 jazmines más que rosales, y 6 geranios menos que rosales, ¿cuántas plantas tiene de cada tipo?

Sea x el número de rosales.

x + (8 + x) + (x – 6) = 47 ⇒ 3x + 2 = 47 ⇒ 3x = 45 ⇒ x = 15

8 + x = 8 + 15 = 23 x – 6 = 15 – 6 = 9

Tiene 23 jazmines, 15 rosales y 9 geranios.

87 Al comienzo de curso, Tomás se compró 10 cuadernos y 4 carpetas. Si pagó 32 € por todo y la carpeta cuesta 1 € más que el cuaderno, ¿cuánto cuesta un cuaderno? ¿Y una carpeta?

Sea x el precio del cuaderno.

10x + 4 · (x + 1) = 32 ⇒ 10x + 4x + 4 = 32 ⇒ 14x = 28 ⇒ x = 2 El cuaderno cuesta 2 € y la carpeta 3 €.

88 Actividad resuelta.

89 En un garaje hay 107 vehículos y 364 ruedas entre coches y motos.

¿Cuántos coches y motos hay?

Sea x el número de coches.

( )

4x+2 · 107−x =364 ⇒ 4x+214−2x=364 ⇒ 2x=364−214 ⇒ 2x =150 ⇒

⇒ x = 75

107 – x = 107 – 75 = 32 Hay 75 coches y 32 motos.

90 En un triángulo, cada ángulo mide 10° más que el anterior. ¿Cuánto miden los tres ángulos?

Nota: recuerda que la suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a 180°.

Sea x la amplitud del menor ángulo.

x + x + 10 + x + 20 = 180 ⇒ 3x + 30 = 180 ⇒ 3x = 150 ⇒ x = 50 Los ángulos miden 50º, 60º y 70º.

SOLUCIONES PÁG. 172

1. Halla el valor numérico de las expresiones algebraicas y comprueba tu respuesta con Wiris.

a. –4a³ + 3a² – a para a = –3

–4 · (–3)³ + 3 · (–3)² – (–3) = –4 · (–27) + 3· 9 + 3 = 108 + 37 + 3 = 138 b. –2x²y + 3x – 2y² para x = 2, y = –1

–2 · 2² · (–1) + 3 · 2 – 2 · (–1)² = 8 + 6 – 2 = 12

2. Realiza las siguientes operaciones con monomios y comprueba la solución con Wiris:

a. –4x² + 5x² – 3x² (–4 + 5 – 3) x² = – 2x² b. –3a³b² · 4a²b

(–3 · 4) · a³ · a² · b² · b = –12a⁵b³ c. 12a³b² : 2ab⁵

3 2 5

12 2

a b

ab = 6a b^{2 −3}=

2 3

6a b d. (–2x²y)³

(–2x²y)³ = (–2x²y) · (–2x²y) · (–2x²y) = –8x⁶y³

3. Identifica si las siguientes igualdades son identidades o ecuaciones:

a. (x + 3)² = x² + 9 Ecuación

b. 3 · (5x – 2) = 15x – 6 Identidad

4. Resuelve las ecuaciones y comprueba la solución con Wiris:

a. –2x + 7x – 3 · (4x + 2) = 3 – (x – 9)

–2x + 7x –12x – 6 = 3 – x + 9 ⇒ 5x –12x + x = 3 + 9 + 6 ⇒ –6x = 18 ⇒ x = –3 b. 3

5 2 1

2 3

x x

+ = x+ −

3 10 6 3

2 3

x+ = x+ −x ⇒ 3 · (3x + 10) = 2 · (7x – 3) ⇒ 9x + 30 = 14x – 6 ⇒

⇒ 30 + 6 = 14x – 9x ⇒ 36 = 5x ⇒ 36 x = 5

SOLUCIONES PÁG. 173

1 ¿Cuál es la diferencia entre un monomio y un polinomio?

Un polinomio es la suma de varios monomios.

2 Define grado de un monomio y grado de un polinomio.

El grado de un monomio es la suma de los exponentes de la parte literal. El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus monomios.

3 ¿Cuál es la diferencia entre ecuación e identidad? Pon un ejemplo de cada una de ellas.

Una identidad es una igualdad algebraica que es cierta para cualquier valor de sus letras, mientras que una ecuación solo es cierta para ciertos valores de sus letras.

Respuesta abierta.

4 ¿Puede tener un monomio grado cero? Justifica tu respuesta.

Sí. Los monomios de grado cero son números y no tienen parte literal.

5 ¿Todos los monomios tienen parte literal?

No, los números son monomios y no tienen parte literal.

6 ¿Cómo se llama a un polinomio compuesto por la suma de dos monomios?

¿Y por tres?

Binomio. Trinomio.

7 Define valor numérico de un polinomio.

Es el número que se obtiene al sustituir las incógnitas por valores determinados y realizar las operaciones indicadas en el polinomio.

8 ¿El valor numérico de un polinomio es único? Justifica tu respuesta con un ejemplo.

No es único, pues para cada valor de sus letras se obtiene un valor numérico distinto. Respuesta abierta.