UNIDAD N 6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS

unidad. Por lo tanto el alumno deberá completar dichos contenidos con las clases de los profesores y la bibliografía recomendada.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE LA UNIDAD.

Al finalizar la unidad se espera que el alumno logre:

a) Comprender las distintas ecuaciones de una recta en el plano y su expresión.

b) Entender el concepto cuádricas .

d) Representar gráficamente las cuadricas con centro en el origen y trasladadas

e) Comprender la importancia y utilidad de las cuádricas regladas en la aplicación en el diseño y construcción de obras arquitectonicas.

CONTENIDOS

6.1 Nociones de geometría en el espacio: representación de puntos, rectas y planos. Ecuación de una recta por dos puntos en el espacio. Ecuación general del plano. Ecuación de un plano por un punto. Paralelismo y perpendicularidad entre rectas, entre planos y entre una recta y un plano.

6.2 Definición de superficies Cuádricas. Esfera. Elipsoides. Hiperboloides de una hoja y dos hojas.

Conos.

6.3 Paraboloide elíptico e hiperbólico. Cilindros.

6.4 Cuádricas regladas: Definición. Ejemplos. Estudio de las Cuádricas CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Criterios de Evaluación Cualitativos

Siempre Casi

Siempre A veces Casi

nunca Nunca

Excelente Muy

Bueno Bueno Regular Insufi- ciente Asiste a clase.

Es puntual y respeta el horario de cursado

Participa en clases.

Cumple con las tareas

establecidas para cada Unidad Es buena su actitud y

comportamiento con los docentes y/o compañeros.

Asistencia a las clases de consulta.

Presenta en tiempo y forma los TP y ejercitaciones propuestas.

UNIDAD 6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS 1

Criterios de Evaluación

Cuantitativos

Siempre Casi

Siempre A veces Casi

nunca Nunca

10 9-8 7-6 5-4 3-0

Comprende las distintas ecuaciones de una recta en el espacio y su expresión analítica.

Resuelve correctamente los ejercicios.

Comprende las distintas

ecuaciones del plano, resuelve y grafica correctamente los

ejercicios.

Reconoce, interpreta y representa las distintas

ecuaciones de las cuádricas con centro en el origen y trasladadas.

Resuelve gráfica y analíticamente ejercicios de superficies

cuádricas.

Comprende la importancia y utilidad de las cuádricas regladas en la aplicación en el diseño y construcción de obras

arquitectónicas.

Es prolija, clara y ordenada la resolución de los ejercicios.

Plantean, modelan y resuelven problemas de cuádricas

aplicados en situaciones reales a la disciplina.

Define y clasifica correctamente los distintos conceptos aplicados en las superficies cuádricas.

Define con propiedad y emplea un vocabulario apropiado en las definiciones teóricas.

Demuestra e interpreta el

desarrollo de conceptos teóricos

UNIDAD 6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS 2

6.1- NOCIONES DE GEOMETRÍA EN EL ESPACIO

Una manera de describir la posición de un punto P en el plano, consiste en asignarle coordenadas relativas a dos ejes mutuamente ortogonales (o perpendiculares), llamados ejes x e y.

Si P es el punto de intersección de la recta x = a (perpendicular al eje x) y la recta y = b (perpendicular al eje y), entonces se dice que los elementos de la pareja ordenada (a; b) son las coordenadas cartesianas rectangulares del punto.

En el espacio de tres dimensiones se construye un sistema de coordenadas rectangulares utilizando tres ejes mutuamente ortogonales. Si consideramos tres ejes perpendiculares entre sí que se cortan en un punto común (el origen de coordenadas)

Un punto en el espacio queda perfectamente determinado por una terna ordenada (x, y, z) de números reales. Los puntos a; b y c se denominan coordenadas x; y; z de P(a; b; c) respectivamente.

Los planos coordenados xy, xz e yzpasan por el origen de coordenadas, es decir, por el punto (0, 0, 0). Los ejes x e y determinan el plano xy, los ejes x y z determinan el plano xz y los ejes y y z determinan el plano yz.

La siguiente tabla resume las coordenadas de un punto que se encuentre en un eje coordenado o en un plano coordenado.

EJES COORDENADAS PLANO COORDENADAS x

y z

(a; 0; 0) (0; b; 0) (0; 0; c)

xy xz yz

(a; b; 0) (a; 0; c) (0; b; c)

UNIDAD 6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS 3

z = 0 →es la ecuación del plano xy

y = 0 →es la ecuación del plano xz

x = 0 →es la ecuación del plano yz

Ahora bien, si: 𝑥 = 𝑎 ; 𝑦 = 𝑏; 𝑧 = 𝑐 →tendremos planos paralelos a los coordenados

UNIDAD 6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS 4

Los ángulos ; ;  son los ángulos de la dirección 𝑂𝑃̅̅̅̅, y sus cósenos se llaman directores de 𝑂𝑃̅̅̅̅.

Distancia entre dos puntos: P1(x1; y1; z1) ; P2(x2; y2; z2)

𝒅 = √(𝒙_𝟐−𝒙_𝟏)^𝟐+ (𝒚_𝟐−𝒚_𝟏)^𝟐+ (𝒛_𝟐−𝒛_𝟏)^𝟐 ECUACIÓN DEL PLANO:

Toda ecuación lineal en (x; y; z) representa un plano. Su ecuación general es:

Ax + By + Cz + D = 0 A, B y C Coeficientes directores del plano.

No nulos simultáneamente

El plano queda identificado por su recta normal “n” que tiene coeficientes A, B y C La ecuación de la familia de planos que pasa por un punto P0(x0; y0; z0) es:

A(x - x0) + B (y - y0) + C(z - z0) = 0

Supongamos que la ecuación del plano es: ax + by + cz + d = 0 con a, b, c ≠ 0. Para obtener la gráfica del plano buscamos las intersecciones del mismo con cada uno de los ejes coordenados. Para ello anulamos en la ecuación en forma simultánea dos de las variables y obtenemos el valor de la tercera.

c z d

a y d

a x d

 

 

 

Su intersección con el eje x es el punto (-d/a; 0 ,0).

Su intersección con el eje y es el punto (0; -d/b; 0).

Su intersección con el eje z es el punto (0; 0; -d/c).

Para graficar el plano se sigue los siguientes pasos:

 Se marcan los tres puntos de intersección.

 Se unen los tres puntos de intersección para formar un triángulo.

z

Q

S

0

M y

N x

UNIDAD 6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS 5

EJEMPLO:

1- Grafique el plano de ecuación x + 2y + 3z − 6 = 0.

3 2 6 2 3 6 1 6 6



















z z

y y

x

x _{x y z Punto}

0 0 2 P1

6 0 0 P2

0 3 0 P3

2-

Grafique un plano paralelo al plano coordenado xz→y=3

Dos planos Paralelos:

A1 = B1 = C1 = K A2 B2 C2

- 1: A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 → n1 (A1; B1; C1) - 2: A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 → n2 (A2; B2; C2)

UNIDAD 6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS 6

Dos planos Perpendiculares:

LA RECTA EN EL ESPACIO:

Viene definida por la intersección de dos planos:

- 1: A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0

 - 2: A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

Ecuación de la recta que pasa por los puntos P1(x1; y1; z1) y P2(x2; y2; z2):

x - x1 = y - y1 = z - z1 x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1

(u; v y w son coeficientes directores de la recta que son números cualesquiera proporcionales a los cósenos directores de la recta)

u = x2 - x1 ; v = y2 - y1 ; w = z2 - z1

Ecuación de la recta en el espacio→ x - x1 = y - y1 = z - z1 u v w

Dos rectas son Paralelas:

Dos rectas son paralelas si y sólo si sus vectores dirección también lo son.

A1.A2 + B1.B2 + C1.C2 = 0

- 1: A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 → n1 (A1; B1; C1) - 2: A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 → n2 (A2; B2; C2)

u1 = v1 = w1 = K u2 v2 w2

r1 // r2 ⇔ → u // → v

1 2

Recta en el E³

UNIDAD 6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS 7

Dos rectas son Perpendiculares:

Dos rectas son perpendiculares sí y sólo sí lo son sus vectores dirección.

a) Si la recta es Perpendicular al eje x: y - y1 = z - z1 → v w

x = x1

b) Si la recta es Perpendicular al eje y: x - x1 = z - z1 → u w

y = y1

c) Si la recta es Perpendicular al eje z: x - x1 = y - y1 → u v

z = z1

d) Si la recta es Perpendicular a los dos ejes: x = x1

y = y1  r  a los ejes x e y y = y1

z = z1  r  a los ejes y y z x = x1

z = z1  r  a los ejes x y z Recta Perpendicular a un plano:

Sean (u; v; w) las componentes o coeficientes directores de una recta; para que ésta sea perpendicular al plano de ecuación:

Ax + By + Cz + D = 0

Se ha de verificar que dichas componentes sean proporcionales a los coeficientes de (x; y; z) de la ecuación del plano que son A; B y C.

Es decir:

u1.u2 + v1.v2 + w1.w2 = 0

r1 ⊥ r2 ⇔ u ⊥ → v

u = v = w = K A B C

r (u; v; w)

⊥

n (A; B; C) La recta perpendicular (

⊥

) al plano π es paralela a la normal del plano.

n (A; B; C) r (u; v; w)



UNIDAD 6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS 8

Recta Paralela a un plano:

EJEMPLO:

1.Dada la recta que pasa por los puntos: P1



^1;2;³



y P2



^0;1;²



a) Encontrar la ecuación de la recta:

Ec. Gral de la recta que pasa por dos puntos







 











W V

U

z z

z z y y

y y x x

x x

1 2

1 1

2 1 1

2 1



 



 





2 3

3 2

1 2 1

1





 



 



 y z

x

1 3 1

2 1

1  



 



 y z

x

u₁ 1 v₁ 1 w₁ 1

b) Encontrar la ecuación de una recta paralela que pase por: P



^3;^2;1



Condición de paralelismo entre rectas

2 1 2 1 2 1

w w v v u

u  

2 1 2

2 2

3  



 



 y z

x

c) Encontrar la ecuación de una recta perpendicular que pasa por: P



1;5;3



Condición de perpendicularidad entre rectas

2

0

1 2 1 2

1

u  v v  w w 

u

En esta ecuación hay tres incógnitas, dando valores, por ejemplo, a u₂ y v₂, se puede calcular w₂.

Adoptando u₂ 1 v₂ 1; w₂ ? u . A + v . B + w . C = 0

r (u; v; w) // n (A; B; C) La recta paralela (//) al plano π es perpendicular a la normal del plano.

n (A; B; C) r (u; v; w)





Reemplazo en la ecuación de la recta los valores de las coordenadas de los puntos P1 y P2

UNIDAD 6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS 9

2

0

1 2 1 2

1

u  v v  w w 

u



   

^1.1 ^1.1^1.w2 ⁰

111.w₂ 0 21.w₂ 0  w₂ 2

2 3 1

5 1

1    

 y z

x

2. Dada la siguiente ecuación del plano 6x4y3z120 a) Gráfica aproximada.

b) Encontrar la ecuación de un plano paralelo que pase por el punto: P₁



2;1;3



c) Encontrar la ecuación de un plano paralelo que pase por el punto: P₁



2;1;3



 Gráfica:

Ecuación gral. del plano →AxByCzD0

4 3 12

6 2 12

3 4 12



















y y

x x

z

z _{x y z}

0 0 4 P1 2 0 0 P2 0 3 0 P3

 Ecuación de un plano paralelo que pase por el punto: P₁



2;1;3



Plano que pasa por un punto P₁



x₁;y₁;z₁





1



1



1



1



1

 ⁰

1

x  x  B y  y  C z  z 

A

Condición de paralelismo entre planos

1 1

1 C

C B

B A

A  

   ⁴   ³  ⁰

6 x  x

₁

 y  y

₁

 z  z

₁



 2  4  1  3  3  0

6

x  y  z  

P

2

P

1

P

3

x

y z

o

UNIDAD 6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS 10

 Encontrar la ecuación de un plano perpendicular que pase por el punto: P2



^3;^2;1



Plano que pasa por un punto P2



x2;y2;z2





₂



₂



₂



₂



₂

 0

2

x  x  B y  y  C z  z 

A

 Condición de Perpendicularidad entre planos

2

0

2

2

 B B  C C 

A A

En esta ecuación hay 3 incógnitas, dando valores, por ejemplo a A₂ y B₂, se puede calcular C₂ .

Adoptando A₂ 1 ; B₂ 1 6 . 1 + 4 . 1 + 3 . C₂= 0

6 + 4 + 3 . C₂= 0  C₂= 3

10

     ¹  ⁰

3 2 10

3     

 y z

x

6.2- SUPERFICIES CUÁDRICAS Generación de las mismas

Está definida por una ecuación de segundo grado en 3 (tres) variables. Una sección plana (corte) de una cuádrica es una cónica o una forma degenerada o límite de ésta.

 Ecuación general

Ax² + By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + K = 0 Rotación Translación

Por Rotación o Traslación de ejes, o bien por ambas transformaciones (cálculo bastante complejo que trata el “Álgebra Lineal” y que en la actualidad está en programas de computación) se analizan las diversas superficies Cuádricas surgidas de la combinación de 3; 2 o 1 término cuadrático.

Sus secciones son curvas cónicas (circunferencia, elipse, parábola o hipérbola). Pueden tener centro de simetría (esfera, cono, elipsoide, hiperboloide) o no tenerlo (cilindro, paraboloide elíptico, paraboloide hiperbólico).

La ecuación general puede tomar una de las siguientes formas:

I - Ax² + By² + Cz² = D Cuádricas con centro

II - Ax² + By² = Iz Cuádricas sin centro

Si ninguna de las constantes de las ecuaciones I ó II es nula, las ecuaciones se pueden escribir de estas dos maneras:

UNIDAD 6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS 11

SUPERFICIES

CUÁDRICAS

De la ecuación I CON CENTRO

 x²  y²  z² = 1 a² b² c²

Dependiendo de los signos que tome la ecuación, puede representar 3 superficies esencialmente distintas y simétricas con respecto al origen.

Elipsoide x² + y² + z² = 1 a² b² c²

Hiperboloide de una hoja

x² + y² - z² = 1 a² b² c²

Hiperboloide de dos hojas

x² - y² - z² = 1 a² b² c²

De la ecuación II SIN CENTRO

 x²  y² = z a² b² c

Paraboloide elíptico

x² + y² = z a² b² c

Paraboloide hiperbólico

x² - y² = z a² b² c

Algunos conceptos para tener en cuenta:

Generatriz: también podemos definir una superficie como el lugar geométrico de las posiciones sucesivas de una línea que se mueve en el espacio siguiendo una ley determinada y continua. La línea anterior recibe el nombre de generatriz.

Superficie de revolución: es aquella superficie que se obtiene al hacer girar la generatriz alrededor de un eje en la cual, todas las posiciones de la generatriz (g), forman el mismo ángulo con un eje (e), que pasa por el vértice (V).

Las dos superficies distintas que puede representar son:

UNIDAD 6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS 12

Ejemplos de superficies de revolución de cilindro, cono, hiperboloide, esfera, elipsoide, paraboloide.

Cilindro de revolución Cono de revolución Hiperboloide de una hoja de revolución

Esfera Hiperboloide de dos hojas de

revolución

Paraboloide de revolución

Superficie de no revolución: superficie en la cual no es posible definir un eje (e), que forme el mismo ángulo con todas las posiciones de la generatriz.

Las superficies cuádricas se pueden clasificar también en superficies regladas o no regladas.

UNIDAD 6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS 13

SUPERFICIES REGLADAS

Se llama superficie reglada a la superficie que cumple con la condición de que por cada uno de sus puntos pasa al menos una recta, llamada generatriz, que tiene en común con la superficie un segmento, conteniendo dicho punto.

La generatriz, se desplaza sobre una curva o varias, denominadas directrices. En función de las características y condiciones particulares de estos elementos se puede clasificar en: simplemente regladas o doblemente regladas.

Una superficie cuádrica se dice simplemente reglada si por cada uno de sus puntos pasa una recta íntegramente contenida en ella. Ejemplo: cilindros y cono.

Una superficie se dice que es doblemente reglada si por cada uno de sus puntos pasan dos generatrices rectas íntegramente contenidas en la superficie. Por ejemplo, Paraboloide hiperbólico e Hiperboloide de una hoja.

UNIDAD 6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS 14

Superficie no reglada, son las superficies generadas por una línea curva que se mueve en el espacio según una ley determinada y que actúa como generatriz de la misma. Ejemplo: esfera, elipsoides, paraboloide hiperbólico, entre otras.

Traza de una superficie: Una traza de una superficie es una línea (curva o recta) formada por la intersección de una superficie y un plano coordenado, y proporciona a la gráfica características particulares.

SUPERFICIES CUADRICAS

ESFERA

2 2 2

2

y z r

x

  

ELIPSOIDE

1 c z b y a x

2 2 2 2 2

2   

HIPERBOLOIDE DE 1 HOJA

1 c z b y a x

2 2 2 2 2

2   

HIPERBOLOIDE DE 2 HOJAS

1 c z b y a x

2 2 2 2 2

2   



PARABOLOIDE

b cz y a x

2 2 2

2  

PARABOLOIDE HIPERBOLICO

b cz y a x

2 2 2

2  

CONO RECTO

c 0 z b y a x

2 2 2 2 2

2   

CILINDRO

c

y

x

²  ² 

UNIDAD 6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS 15

Análisis de las Superficies cuádricas

Las Cuádricas se clasifican según sus formas, ecuaciones y propiedades:

ELIPSOIDE

La forma canónica de la ecuación del elipsoide con centro en el origen es: 1 c z b y a x

2 2 2 2 2

2   

Ejemplos aplicados en la Arquitectura

EDIFICIO INFOSYS. INDIA.

Arquitecto:Hafeez Contractor

CENTRO NACIONAL ARTES ESCÉNICAS - Pekín (media elipsoide) Arquitecto: Paul Andreu

Trazas sobre los planos coordenados

La figura resume las trazas en los planos coordenados y proporciona una gráfica característica.

Corte con el plano coordenado

Obtenemos la traza de:

xy (z = 0) x² + y² = 1  Elipse a² b²

xz (y = 0) x² + z² = 1  Elipse a² c²

yz (x = 0) y² + z² = 1  Elipse b² c²

x² + y² + z² = 1 a² b² c²

UNIDAD 6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS 16

Secciones con planos paralelos a los coordenados

Nota: En el análisis de las siguientes cuádricas, cortando con planos paralelos a los coordenados trabajaremos con cuádricas con centro en el origen de coordenadas.

En los cortes del elipsoide con planos paralelos a los coordenados obtenemos curvas cónicas de tipo elipse

2

1

2 2 2 2

2   

c z b

y a x

Corte paralelo al plano xy: z=k













 k z

c k b

y a

x ₂

1

2 2 2 2 2















k z

c 1 k b y a x

2 2 2

2 2 2

si

1 k c

c 0 c

1

2

k2

2 k2











 Elipses reales en planos paralelos al xy

-c<k<0 k=0→ Traza z=0 0<k<c

Si

1 k c

c 0 c

1

2

k2

2 k2











 → Elipses Puntuales

UNIDAD 6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS 17

Si

1 k c

0 c

1 c

₂

k2 2

k2











 → Elipses

Imaginarias ( no hay intersección)

Sobre el plano xz: y = k













 k y

c z b k a

x ₂

1

2 2 2 2 2













 k y

b k c

z a x

2 2 2

2 2 2

1

Si

1 k b

0 b

1 b

₂

k2 2

k2











 →Elipses en planos paralelos al xz→ recordando el concepto de valor absoluto tendremos elipses reales en el intervalo -b<k<b

-b<k<0 k=0→ Traza 0<k<b

Si

1 k b

b 0 b

1

2

k2 2

k2











  Elipses puntuales

(cuando el plano es tangente al elipsoide)

Si

1 k b

b 0 b

1

2

k2

2 k2











  Elipses Imaginarias

(no existe intersección real).

UNIDAD 6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS 18

Sobre el plano yz: x=k













 k x

c z b

y a

k ₂

1

2 2 2 2 2















k x

a 1 k c z b y

2 2 2

2 2 2

Si

1 k a

a 0 a

1

2

k2 2

k2











 Elipses reales en planos paralelos al yz

-a<k<0

k=0

0<k<a

Si

1 k a

0 a

1 a

₂

k2 2

k2











 → Elipses puntuales

Si

1 k a

0 a

1 a

₂

k2 2

k2











 → Elipses Imaginarias

Si a  b, pero a = c, el elipsoide es de revolución.

UNIDAD 6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS 19

En particular si en la ecuación del elipsoide se tiene a=b=c queda x² y² z² r² , que es la ecuación de una esfera de radio r y centro en el origen de coordenadas.

Si el centro del elipsoide es el punto P(x0; y0; z0) y sus ejes son paralelos (//) a los coordenados, la ecuación es:

(x - x0)² + (y - y0)² + (z - z0)² = 1

a² b² c² Es un Elipsoide con centro en P(x0; y0; z0).

Ejemplo:

Grafique la siguiente ecuación:

ESFERA

Definición: Una esfera es el conjunto de todos los puntos P del espacio tridimensional que equidistan de un punto fijo llamado centro (c). El radio (r) de la esfera denota una distancia fija al centro de la misma.

En el caso de que el centro (c) de la esfera fuera un punto P(x0; y0; z0) en lugar del origen. Su ecuación será:

(x - x0)² + (y - y0)² + (z - z0)² = a²

La figura resume las trazas en los planos coordenados y proporciona una gráfica

característica.

→Esta ecuación representa una esfera con centro en P(x0; y0; z0) y radio a.

Traza de la superficie Corte con el

plano coordenado

Obtenemos la traza de:

xy (z = 0) x² + y² = a²  Circunferencia xz (y = 0) x² + z² = a²  Circunferencia yz (x = 0) y² + z² = a²  Circunferencia

UNIDAD 6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS 20

Technosphere, Dubai, en los Emiratos Árabes Unidos El diseño a cargo del estudio Law Cybertecture.

Planetario Galileo Galilei Bs As Argentina

Analice la siguiente superficie cuádrica. Identifique las líneas resultantes de la intersección de la superficie con los planos paralelos a los coordenados y trace una gráfica aproximada de la superficie.

Esfera

9 z y

x² ² ² 

Se realiza la intersección de la superficie con planos paralelos a los coordenados, analizando las líneas resultantes podemos conocer con mayor aproximación la superficie.

 Intersección con planos paralelos al plano xy.

Un plano con estas características tiene una ecuación del tipo, z=k, siendo k la coordenada donde el plano corta al eje z.













k z

9 z y x

^{2 2 2}

Este sistema de ecuaciones se resuelve de las formas conocidas, en este caso lo resolvemos por sustitución, reemplazamos z=k de la segunda ecuación en la primera, se obtiene:

9 k y

x

² ² ²  .

Como k es un número real para un plano determinado, conviene agrupar las partes numéricas en el segundo miembro:

2 2

2

y 9 k

x

  

UNIDAD 6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS 21

Dependiendo del valor que tome el segundo miembro, es decir 9–k², se obtendrán circunferencias reales, puntuales o imaginarias.

 Si

9



k

² 

0

, se obtienen circunferencias reales Esto ocurre para todo k 3 (-3<k<3)

 Si

9



k

² 

0

, se obtienen circunferencias puntuales Esto ocurre para k 3



k3



 Si

9



k

² 

0

, se obtienen circunferencias imaginarias (no hay intersección con la superficie cuádrica)

Esto ocurre para todo k3 (k3 o k3)

 Intersección con planos paralelos al plano xz.

Este tendrá una ecuación del tipo y=k. Trabajando de manera similar a la intersección anterior, se obtiene:













k y

9 z y x

^{2 2 2}

9 z k

x

² ² ² 

2 2

2

z 9 k

x

  

Dependiendo del valor que tome k, será el tipo de circunferencia que se obtenga

si : 





















imaginaria ncia

Circunfere 3

k 3

puntual ncia

Circunfere 3

k

real ncia Circunfere 3

k 3

 Intersección con planos paralelos al plano yz.

Este tendrá una ecuación del tipo x=k Se trabaja en forma similar al primero.













k x

9 z y x

^{2 2 2}

9 z y

k

² ² ² 

2 2

2

z 9 k

y

  

Se obtiene una circunferencia en el plano yz; el tipo de circunferencia variará según que valores tome k

si : 





















imaginaria ncia

Circunfere k

puntual ncia

Circunfere k

real ncia Circunfere k

3 3

3 3 3

UNIDAD 6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS 22

La cuádrica analizada se denomina esfera

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA

La gráfica de una ecuación de la forma:

x² + y² - z² = 1

a² b² c² a  0; b  0; c  0

Es un Hiperboloide de una hoja con centro en el origen.

En el Hiperboloide de una hoja uno de los signo de los términos es negativo y las otros dos son de signo positivo.

Si a = b, la superficie cuádrica es el Hiperboloide de revolución de una hoja.

Las secciones paralelas al plano xy son Elipses, excepto en el caso del Hiperboloide de revolución en el que son circunferencias.

Hipérbola con eje de desarrollo en z

Hipérbola con eje de desarrollo en y

Hipérbola con eje de desarrollo en x

1 c z b y a x

2 2 2 2 2

2    ₂ 1

2 2 2 2

2   

c z b y a

x ₂ 1

2 2 2 2

2   

 c

z b y a x

UNIDAD 6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS 23

Ejemplos de Hiperboloide de una hoja aplicado a la arquitectura

CAMP ADVENTURE PARK- Dinamarca

CATEDRAL DE BRASILIA de Oscar Neimeyer

Traza de la superficie

 En este caso, analizaremos la primera de las ecuaciones. Con un plano z = x0, paralelo (//) al plano xy, corta la superficie en secciones transversales elípticas (ó circulares, si a = b). La elipse más pequeña, z0 = 0, corresponde a la traza en el plano xy.

En la figura se presenta un resumen de las trazas y una gráfica característica de la ecuación.

UNIDAD 6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS 24

x + y - z = 1

a² b² c²

Corte con el plano coordenado

Obtenemos la traza de:

xy (z = 0) x² + y² = 1  Elipse a² b²

xz (y = 0) x² - z² = 1  Hipérbola a² c²

yz (x = 0) y² - z² = 1  Hipérbola b² c²

Un método para graficar el Hiperboloide de una hoja aproximadamente es determinar el eje principal de desarrollo, que vendrá dado por el término negativo (-) de la ecuación.

Secciones con planos paralelos a los coordenados

Nota: En el análisis de las cúadricas, cortando con planos paralelos a los coordenados trabajaremos con cuádricas con centro en el origen de coordenadas.

Los cortes del Hiperboloide de una hoja por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas (hipérbolas y elipses).

Ecuación: 1

c z b y a x

2 2 2 2 2

2   

Sobre el plano xy: z=k













 k z

c k b

y a

x ₂

1

2 2 2 2 2















k z

c 1 k b y a x

2 2 2

2 2 2

Siempre

0

c

1

2

k2



 obtenemos elipses reales en planos paralelos al xy.

La elipse de menores semiejes será para z=0.

Corte con plano z=k=0 . Se obtiene la elipse de garganta

UNIDAD 6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS 25

Cortes con planos z =k para k>0

Cortes con planos z =k para k<0

Cortes sobre el plano yz: x =k















 k x

c z b y a

k ₂

1

2 2 2 2 2













 k x

a k c

z b

y

2 2 2

2 2 2

1

Dividiendo ambos términos en

2 2

a 1k , obteniendo la ecuación de una hipérbola:

















 k x

a c k

z a

b k

y 1

) 1 ( ) 1

( ₂

2 2

2

2 2 2

2

Esta hipérbola tendrá eje real y , si

2 2

a

1k >0, es decir si

k



a

.

Si -a< k <a

UNIDAD 6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS 26

Traza x=0→Si k=0

La hipérbola tendrá eje real z si

2 2

a

1k <0, es

decir si

k



a

Se tendrá asíntotas si

2 2

a

1k =0, esto

sucederá cuando

k



a

Recuerde que no existen las hipérbolas ni imaginarias ni puntuales, es decir son todas reales.

UNIDAD 6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS 27

Cortes por planos zx: y =k

La línea obtenida es una hipérbola Cortes sobre el plano zx: y =k













 k x

c z b k a

x ₂

1

2 2 2 2 2













 k x

b k c

z a x

2 2 2

2 2 2

1

Dividiendo ambos términos en ₂

2

1 b

k , obteniendo la ecuación de una hipérbola:

















 k x

b c k

z b

a k

x 1

) 1 ( ) 1

( ₂

2 2

2

2 2 2

2

Esta hipérbola tendrá eje real x , si

2 2

1 b

k >0, es decir si k b.

Si k=0

Si -b< k <b

UNIDAD 6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS 28

La hipérbola tendrá eje real z si ₂

2

1 b

k <0, es

decir si k b

Se tendrá asíntotas si ₂

2

1 b

k =0, esto sucederá

cuando k b

Grafique la siguiente cuádrica trasladada

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS

Su ecuación es de la forma:

− 𝒙

^𝟐

𝒂

^𝟐

+ 𝒚

^𝟐

𝒃

^𝟐

− 𝒛

^𝟐

𝒄

^𝟐

= 𝟏

Un método para graficar un Hiperboloide de dos hojas aproximadamente es determinar el eje principal de desarrollo, que vendrá dado por el término (+) de la ecuación.

UNIDAD 6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS 29

+𝐱^𝟐 𝐚^𝟐−𝐲^𝟐

𝐛^𝟐−𝐳^𝟐

𝐜^𝟐= 𝟏 −𝐱^𝟐

𝐚^𝟐+𝐲^𝟐 𝐛^𝟐−𝐳^𝟐

𝐜^𝟐= 𝟏 −𝐱^𝟐

𝐚^𝟐−𝐲^𝟐 𝐛^𝟐+𝐳^𝟐

𝐜^𝟐= 𝟏

Traza de la superficie

Las secciones paralelas a los planos xy e yz son Hipérbolas.

Las secciones paralelas al plano xz son Elipses; excepto en el caso del Hiperboloide de dos hojas de revolución en el que son Circunferencias.

−𝐱^𝟐 𝐚^𝟐+𝐲^𝟐

𝐛^𝟐−𝐳^𝟐 𝐜^𝟐= 𝟏

Corte con el plano coordenado

Obtenemos la traza de:

xy (z = 0) - x² + y² = 1  Hipérbola a² b²

xz (y = 0) No existe traza

xz (y  0) x² + z² = 1  Familia de Elipses a² c²

yz (x = 0) y² - z² = 1  Hipérbola b² c²

Secciones con planos paralelos a los coordenados Los cortes de un hiperboloide de ecuación: 1

c z b y a x

2 2 2 2 2

2   

 con planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas, como se demuestra a continuación

Cortes por planos z =k

El desarrollo que sigue se ha hecho utilizando la primera de las ecuaciones













 k z

c 1 k b y a x

2 2 2

2 2 2

ésta intersección da una

hipérbola con eje real x , en un plano xy, esta

hipérbola será 1

c ) 1 k ( b

y c )

1 k ( a

x

2 2 2

2

2 2 2

2 







UNIDAD 6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS 30

Corte por planos y = k

El resultado es análogo al anterior intercambiando los papeles de y y z















k y

b 1 k c z a x

2 2 2

2 2 2

esta intersección da

una hipérbola con eje real x en un plano xz, esta hipérbola será

1 ) b 1 k ( c

z )

b 1 k ( a

x

2 2 2

2

2 2 2

2 







Traza y=0→k=0

Cortes por planos yz: x =k

Se multiplica ambos miembros de la igualdad por -1 y se dejan las variables a la izquierda y las

constantes a la derecha se tiene la siguiente ecuación:















k x

a 1 k c z b y

2 2 2 2 2 2

Ecuación que representa una elipse

Si |k| > a, entonces la curva intersección resulta ser una elipse real.

X=|k| > a

UNIDAD 6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS 31

Si |k| = a, entonces la curva intersección será una

elipse puntual (el plano es tangente a la superficie).

Si |k| < a, entonces la intersección será una elipse imaginaria (no hay intersección e real entre la superficie y el plano).

x=k= 0

Grafique la siguiente cuádrica trasladada

UNIDAD 6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS 32

PARABOLOIDES

Ejemplos de paraboloide aplicado a la arquitectura

30 St Mary Axe - Londres – arquitecto: Norman Foster

Guanglian ICC Cloud Center – China-

Arquitecto: Beijing Fenghemuchen Space Design as Architects

UNIDAD 6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS 33

Su ecuación es de la forma: cz

b y a x

2 2 2

2   → La orientación del Paraboloide elíptico

dependerá de la variable que aparece lineal.

b ax y c

z₂²  ₂²  by

c z a

x₂²  ₂²  cz

b y a x

2 2 2

2  

Traza de la superficie

Tomando la ecuación cz

b y a

x₂²  ₂² 

 Las secciones obtenidas por los planos z = k son Elipses, cuyas dimensiones van aumentando a medida que el plano se aleja del plano xy.

 Las secciones correspondientes a los planos paralelos a los coordenados xz o yz son Parábolas.

 Si c  0 la cuádrica está, toda ella, por encima del plano xy.

 Si c  0 está toda ella por debajo de dicho plano xy.

En la figura se presenta un resumen de las trazas y una gráfica característica de la ecuación:

Paraboloide elíptico

cz b y a x

2 2 2

2  

UNIDAD 6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS 34

Corte con el

plano coordenado Obtenemos la traza de:

xy (z = 0) (0; 0)  Punto (Elipse puntual)

Si z  0 x² + y² = cz  sí a  b  Familia de Elipses a² b²

x² + y² = cz  sí a = b  Familia de Circunferencias a² b²

xz (y = 0) x² = cz  Parábola

a²

yz (x = 0) y² = cz  Parábola

b² Secciones con planos paralelos a los coordenados

Tomando la ecuación cz

b y a x

2 2 2

2   se obtiene:

Cortes por planos z = k













k z

ck b y a x

2 2 2 2

Si k > 0, entonces la curva

intersección resulta ser una elipse de semiejes proporcionales a a y b con

ecuación ₂

1

2 2

2

 

ck b

y ck a

x

k> 0

Si k = 0 la intersección se reduce a un punto, siendo la superficie cuádrica tangente al plano en dicho punto.

z=k= 0

Si k < 0, entonces no existe intersección.

k< 0

UNIDAD 6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS 35

Cortes por planos x = k













k x

a cz k b y

2 2 2

2

La intersección de la

superficie con el plano x=k dará siempre una

parábola de ecuación )

a . c z k ( cb

y 2

2 2

2  

Cortes por planos y = k













k y

b cz k a x

2 2 2

2

La intersección de la

superficie con el plano y=k dará siempre una

parábola de ecuación )

b . c z k ( ca

x 2

2 2

2  

y = k = 0

Ejercicio:

Analice la siguiente superficie cuádrica. Identifique las líneas resultantes de la intersección de la superficie con los planos paralelos a los coordenados y trace una gráfica aproximada de la superficie.

4z 4 y 9 x^{2 2}





 Intersección con planos paralelos al plano xy z=k, siendo k la coordenada donde el plano corta al eje z.













k z

z 4 4 y 9 x

^{2 2}

Sustituyendo la segunda ecuación en la primera:

UNIDAD 6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS 36

k

4 4 y 9

x  

Dependiendo del valor que tome el segundo miembro, es decir 4k, se obtendrán elipses reales, puntuales o imaginarias.

 Si 4k0, es decir k0, se obtienen elipses reales

 Si 4k 0, es decir k0, se obtienen elipses puntuales

 Si 4k0, es decir k0, se obtienen elipses imaginarias (no hay intersección con la superficie cuadrica)

 Intersección con planos paralelos al plano xz. Este tendrá una ecuación del tipo y=k













k y

z 4 4 y 9 x

^{2 2}

z 4 4 k 9

x²  ² 

4 z k 9 4

x²   ²



 



 



16

z k 36 x

2 2

Esta última ecuación representan parábolas en el plano xz que abrazan al eje z positivo para todo valor de k.

Cuando k=0 el vértice coincide con el origen de coordenadas y para k distinto de cero el vértice está trasladado en

16 z k

2 0 

 Intersección con planos paralelos al plano yz. Este tendrá una ecuación del tipo x=k













k x

z 4 4 y 9 x

^{2 2}

z 4 4 y 9

k²  ² 

9 z k 4 4

y²   ²



 



 



36

z k 16 y

2 2

Esta última ecuación representan parábolas en el plano yz que abrazan al eje z positivo para todo valor de k.Cuando k=0 el vértice coincide con el origen de coordenadas y para k distinto de cero el vértice está trasladado en

36 z k

2 0 

UNIDAD 6: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y CUÁDRICAS 37

Al revisar los cortes vemos que al cortar con x=k se obtiene parábola, con y=k también se tiene parábola, y con z=k se tiene una elipse; Estas líneas son las que generan el nombre de la superficie:

Paraboloide elíptico o simplemente Paraboloide

Grafique la siguiente cuádrica trasladada

PARABOLOIDE HIPERBÓLICO

PARROQUIA DE SAN FELIPE DE JESÚS Y LA ASCENSIÓN DEL SEÑOR- COLONIA LOMAS DE CUERNAVACA-FÉLIX CANDELA