Unidad 10: Geometría Métrica

Texto completo

(1)IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. UNIDAD 10 GEOMETRÍA MÉTRICA Si solo tenemos en cuenta las relaciones existentes entre los puntos del espacio y los vectores de V3 , la geometría restringirá su estudio a las posiciones relativas de puntos, rectas y planos. Dicha geometría es la que se conoce con el nombre de geometría afín. Ahora bien, si además consideramos el producto escalar en V3 , es posible definir distancias y ángulos. La parte de la geometría que estudia el espacio bajo este punto de vista es la que se denomina geometría métrica o euclídea.. 1. MEDIDA DE ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y PLANOS 1.1. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS. • Si dos rectas son paralelas o coincidentes forman un ángulo de 0º . • Si dos rectas son secantes determinan cuatro ángulos iguales dos a dos. Se define el ángulo. que forman las dos rectas como el menor de ellos. • Si dos rectas se cruzan, se define el ángulo que forman como el ángulo que determinan una. de ellas y la paralela a la otra que la corta.. r. El ángulo que forman dos rectas coincide con el ángulo que forman sus vectores directores u r y v si éste es agudo, o con su suplementario si es obtuso.. ∧. r. r. Por tanto, si α = r, s y v r y v s son los vectores directores de r y s respectivamente:. r r vr ⋅ v s r ∧r cos α = cos (vr , vs ) = r r ← Permite obtener el ángulo que forman r y s vr ⋅ v s. Es necesario tomar valor absoluto ya que cos α coincide, salvo el signo, con el coseno del ángulo formado por sus vectores directores. Ejemplo: Calcula el ángulo que forman las rectas r y s. ⎧x + y + 2 z = 3 x + 2 y −1 r: = = z s:⎨ 5 2 ⎩x − y − z = 1 Solución: Hallamos un vector director de r y otro de s. r Un vector director de r es vr (5, 2,1) . Para hallar un vector director de s hacemos el producto vectorial. r r r i j k r r r r r r r v s = n1 × n2 = 1 1 2 = i + 3 j − 2k ⇒ v s (1, 3,−2 ) 1 −1 −1. cosα =. 5 ⋅ 1 + 2 ⋅ 3 + 1 ⋅ (− 2). 52 + 22 + 12 12 + 32 + (− 2). Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 2. 1. =. 9 ≈ 0.439 ⇒ α = 63º 57′ 30 14 Bloque III: Geometría en el Espacio Unidad 10: Geometría Métrica.

(2) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. Observa: “Dos rectas son perpendiculares cuando lo son sus vectores directores”. Por tanto: Consecuencia: Rectas perpendiculares. r r Sean v r y v s vectores directores de las rectas r y s respectivamente. Entonces:. r r r ⊥ s ⇔ vr ⋅ vs = 0 Ejemplo 1: Las rectas r : ( x, y, z ) = (0,0,0 ) + λ (3,2,4 ) y s : ( x, y, z ) = (1,1,3) + μ (0,2,−1) son perpendiculares, puesto que sus vectores directores respectivos verifican:. r r vr ⋅ vs = (3, 2,4) ⋅ (0, 2,−1) = 0. Ejemplo 2: Determina la ecuación vectorial de la recta s que pasa por el punto P (1,0, 2 ) y. r. corta perpendicularmente a la recta r : ( x, y, z ) = (2,1,0 ) + λ (3, 2,1) . s Solución: Solo existe una recta que pasa por P y corta perpendicularmente a r. Llamemos s r a esta recta y Q al punto común a r y s. vr • Q Expresamos Q como punto genérico de la recta r: Q(2 + 3λ ,1 + 2λ , λ ). PQ. P•. El vector PQ(1 + 3λ ,1 + 2λ , λ − 2 ) , que es un vector director de s es. r. perpendicular a v r vector director de r, por tanto, su producto escalar es 0 :. r PQ⋅ vr = 0 ⇒ (1 + 3λ,1 + 2λ, λ − 2) ⋅ (3, 2,1) = 0 ⇒ 3 + 9λ + 2 + 4λ + λ − 2 = 0 ⇒ λ = − 143 31 ) . Tomamos vrs = 14 PQ(5,8,−31) como vector director de s. ⇒ PQ(145 , 74 ,− 14 La recta s es s : ( x, y , z ) = (1, 0, 2 ) + μ (5, 8,−31). 1.2. ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS Solo tiene sentido considerar el caso de dos planos secantes, ya que si son paralelos o coincidentes forman un ángulo de 0º .. El ángulo que forman dos planos secantes es el menor de los ángulos diedros que determinan.. ∧. r. r. Para obtener la medida de ese ángulo α = π 1 , π 2 utilizamos los vectores normales n1 y n2 de cada uno de los planos π 1 y π 2 :. r r n1 ⋅ n2 r ∧r cos α = cos (n1 , n2 ) = r r ← Permite obtener el ángulo que forman π 1 y π 2 n1 ⋅ n2 De nuevo hay que tomar valor absoluto ya que cos α coincide, salvo el signo, con el coseno del ángulo formado por los vectores normales a ambos planos. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 2. Bloque III: Geometría en el Espacio Unidad 10: Geometría Métrica.

(3) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. Ejemplo: Dados los planos π 1 : 3 x − y + 2 z + 1 = 0 y π 2 : 2 x + y − 5 z − 1 = 0 , determina el ángulo que forman. Solución: r r Escribimos un vector normal a π 1 , n1 (3,−1, 2 ) , y otro a π 2 , n2 (2,1, − 5) .. r. r. Calculamos el ángulo que forman n1 y n2 :. cos α =. 3 ⋅ 2 + (− 1) ⋅ 1 + 2 ⋅ (− 5). 3 + (− 1) + 2 2. 2. 2. 2 + 1 + (− 5) 2. 2. 2. =. 5 14 30. ≈ 0.244 ⇒ α = 75º 52′ 43′′. Observa: “Dos planos son perpendiculares cuando sus vectores normales lo sean”. Por tanto: Consecuencia: Planos perpendiculares r r Sean n1 y n2 vectores normales de los planos π 1 y π 2 respectivamente. Entonces:. r r π1 ⊥ π 2 ⇔ n1 ⋅ n2 = 0. Ejemplo 1: Los planos π 1 : 2 x − 3 y + z − 4 = 0 y π 2 : y + 3 z − 2 = 0 son perpendiculares,. r. r. puesto que sus vectores normales respectivos n1 (2,−3,1) y n2 (0,1, 3) verifican:. r r n1 ⋅ n2 = (2,−3,1) ⋅ (0,1, 3) = 0 ⇒ π1 ⊥ π 2. Ejemplo 2: Dados los planos π 1 : 3 x − 2 y + 5 z − 2 = 0 y π 2 : kx + 7 y + z = 0, hallar el valor de k para que sean perpendiculares. Solución: r r Los vectores normales son n1 (3,−2, 5) y n2 (k , 7,1) ; luego, para que sean. r r. ortogonales se debe cumplir n1 ⋅ n2 = 0 ⇒ (3,−2, 5) ⋅ (k , 7,1) = 0 ⇒. ⇒ 3k − 14 + 5 = 0 ⇒ k = 3. Ejemplo 3: Averigua si π 1 : 2 x + y + z + 3 = 0 es perpendicular a. π 2 : ( x, y, z ) = (3, 5, 0 ) + λ (1,1, 0 ) + μ (2,1,1) .. Solución: r Los vectores normales a π 1 y π 2 respectivamente son n1 (2,1,1) y r r r i j k r r r r r r r n2 = u × v = 1 1 0 = i − j − k ⇒ n2 (1,−1,−1) . 2 1 1. r r. Como n1 ⋅ n2 = (2,1,1) ⋅ (1,−1,−1) = 0 ⇒ π 1 es perpendicular a π 2 . 1.3. ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO Una recta puede estar incluida en un plano, ser paralela a éste o secante.. En los dos primeros casos recta y plano forman un ángulo de 0º.. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 3. Bloque III: Geometría en el Espacio Unidad 10: Geometría Métrica.

(4) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. ∧. El ángulo α = r, π entre una recta y un plano es el ángulo que forma la recta con su proyección ortogonal sobre el plano.. Si observamos el dibujo:. r r r r vr ⋅ n vr ⋅ n r∧r sen α = cos β = cos (vr , n ) = r r ⇒ sen α = r r ← Permite obtener el ángulo vr ⋅ n vr ⋅ n que forman r y π. Ejemplo 1: Calcula el ángulo que forman la recta r y el plano π .. ⎧x = 3 + k ⎪ r : ⎨ y = −2 + k ⎪z = 5 ⎩. π : 3x − 4 y + 5 z − 1 = 0. Solución: r r Un vector director de la recta es vr (1,1, 0 ) y un vector normal al plano n (3,−4, 5) .. sen α =. 1 ⋅ 3 + 1 ⋅ (− 4) + 0 ⋅ 5. 12 + 12 + 02 32 + (− 4) + 52 2. 1. =. 2 50. = 0.1 ⇒ α = 5º 44′ 21′′. Ejemplo 2: Halla el ángulo formado por el plano π : x + 2 y − z − 3 = 0 y la recta. r:. x −1 y − 2 z + 1 . = = 2 1 1. Solución: r r Vector normal del plano n (1, 2,−1) . Vector director de la recta vr (2,1,1) .. sen α =. 1⋅ 2 + 2 ⋅1 + (− 1) ⋅1. 1 + 2 + (− 1) 2. 2. 2. 2 +1 +1 2. 2. 2. =. 3 = 0.5 ⇒ α = 30º 6 6. Observa: “Una recta y un plano son perpendiculares cuando el vector director de la recta sea paralelo al vector normal del plano”. Por tanto: Consecuencia: Recta y plano perpendiculares r r Sean v r (v 1 , v 2 , v 3 ) un vector director de una recta r y n( A, B,C ) un vector normal de un plano π . Entonces:. r r r ⊥ π ⇔ v r //n. Es decir: r ⊥ π ⇔. v1 v 2 v 3 = = A B C. Ejemplo 1: La recta r : ( x, y, z ) = (2, 0,−3) + λ (− 1, 3, 5) y el plano π : x − 3 y − 5 z + 2 = 0. r. son perpendiculares, ya que el vector director vr (− 1, 3, 5) y el vector normal. r 5 −1 3 n (1,−3,−5) verifican: = = ⇒ −1 = −1 = −1 1 −3 −5. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 4. Bloque III: Geometría en el Espacio Unidad 10: Geometría Métrica.

(5) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. Ejemplo 2: Determina la ecuación continua de la recta que contiene al punto A(1, 4, 0 ) y es perpendicular al plano cuya ecuación es π : 5 x − y + z + 3 = 0. Solución: Cualquier vector normal del plano será un vector director de la recta.. x −1 y − 4 z = = . 5 −1 1 Ejemplo 3: Halla la ecuación del plano que contiene al punto A(2, 0, 3) y es perpendicular a x + 3 y −1 z = = la recta r : 1 5 1 r. r. Como n (5, − 1,1) , tomo vr (5,−1,1) . Por tanto, r :. Solución: Cualquier vector director de la recta será un vector normal del plano. r r Como vr (1,5,1) , tomo n (1, 5,1) . Así pues, el plano será π : x + 5 y + z + D = 0 .. Además A(2, 0, 3) ∈ π ⇒ 2 + 5 ⋅ 0 + 3 + D = 0 ⇒ D = −5 Por tanto, la ecuación del plano es π : x + 5 y + z − 5 = 0 .. 2. DISTANCIA ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS 2.1. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Dados A(a 1 , a 2 , a 3 ) y B (b1 , b2 , b3 ) dos puntos del espacio se define la distancia entre A y B como el módulo del vector AB :. d ( A,B) = AB =. (b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2 + (b3 − a3 )2. Verifica las siguientes propiedades: • d ( A, B ) ≥ 0 y d ( A, B ) = 0 ⇔ A = B • d ( A, B ) = d (B, A). • d ( A, B ) ≤ d ( A, C ) + d (C , B ) (Desigualdad triangular). Ejemplo 1: Calcula la distancia entre los puntos A(0, 2, 0 ) y C (7, 2,−1) . A continuación, determina el perímetro P de un cuadrado cuyos vértices consecutivos son A(0, 2, 0 ), B(3, 2,−4 ), C (7, 2,−1) y D(4, 2, 3) . Solución:. d ( A, C ) = AC =. (7 − 0)2 + (2 − 2)2 + (− 1 − 0)2. = 50 = 5 2 u.. Hallamos la distancia entre dos vértices consecutivos, por ejemplo A(0, 2, 0 ) y. B(3, 2, − 4 ) , y la multiplicamos por cuatro, ya que es un cuadrado: d ( A, B ) = AB =. (3 − 0)2 + (2 − 2)2 + (− 4 − 0)2. = 5 u ⇒ P = 4 ⋅ 5 = 20 u.. Fíjate: Para visualizar el verdadero cuadrado tendríamos que representarlo en tres dimensiones. Ejemplo 2: Calcula el perímetro del triángulo de vértices A(3,1, 0 ) , B (1, 2,−3) y C (1, 0,5) . Solución:. d ( A, B ) = AB =. (1 − 3)2 + (2 − 1)2 + (− 3 − 0 )2. d ( A, C ) = AC =. (1 − 3)2 + (0 − 1)2 + (5 − 0 )2. d (B , C ) = BC =. (1 − 1)2 + (0 − 2 )2 + (5 − (− 3))2. = 14 u. = 30 u = 68 = 2 17 u. Por tanto, P = 14 + 30 + 2 17 ≈ 17.47 u. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 5. Bloque III: Geometría en el Espacio Unidad 10: Geometría Métrica.

(6) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. Ejemplo 3: La distancia del punto P (1, 2, 3) a otro A del eje OX es 7. Hallar las coordenadas del punto A. Solución: A( x, 0, 0 ) por pertenecer al eje de abscisas.. d(P, A) = (x −1) + (0 − 2) + (0 − 3) = 7 ⇒ (x −1) +13 = 49 ⇒ (x −1) = 36 ⇒ ⇒ x − 1 = ±6 ⇒ x = 7 ó x = −5 Los puntos posibles son: A1 (7, 0, 0 ) y A2 (− 5, 0, 0 ). 2. 2. 2. 2. 2. 2.2. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA r Dada una recta r ( A, v r ) y un punto P, se define la distancia de P a r, y se escribe d ( P, r ) , como la mínima distancia de P a un punto cualquiera de r.. d ( P, r ) = d ( P, P ′) A P ′ se le llama proyección ortogonal de P sobre la recta r. Observa: Esta distancia coincide con la longitud del segmento perpendicular del punto a la recta.. Si el punto P pertenece a la recta d (P, r ) = 0 y recíprocamente. PRIMER MÉTODO: A partir de la proyección ortogonal de un punto sobre una recta 1º) Se halla el plano π perpendicular a r y que contiene a P. 2º) Se obtiene P′ como intersección de π y r. 3º) Se halla d (P, P′). Fíjate: Este método nos permite obtener P ′ y la recta perpendicular a r que contiene a P.. ⎧ x = 1 − 2λ ⎪ Ejemplo: Calcula la distancia del punto P(5,−1, 6 ) a la recta r : ⎨ y = − λ . ⎪z = 5 + λ ⎩ Obtén, además, la ecuación de la recta perpendicular a r que contiene a P. Solución: 1º) Plano π perpendicular a r y que contiene a P. r Por ser π ⊥ r , su vector director vr (− 2,−1,1) es un vector normal de π .. r. r. Tomando n = vr (− 2,−1,1) ⇒. π : −2 x − y + z + D = 0 .. Como π ha de contener al punto P, se tiene: − 2⋅ 5 − (−1) + 6 + D = 0 ⇒ D = 3 La ecuación de π es: π : −2 x − y + z + 3 = 0 . 2º) Obtención de P′ = r ∩ π . Como P′ ∈ r ⇒ P′(1 − 2λ , − λ , 5 + λ ) punto genérico de r. Pero P′ ∈ π ⇒ −2(1 − 2λ ) − (− λ ) + (5 + λ ) + 3 = 0 ⇒. Otra forma de obtener P′ = r ∩ π .. x −1 y z − 5 = = ⇒ − 2 −1 1 ⎧x − 2 y −1 = 0 ⇒ r:⎨ ⎩ x + 2 z − 11 = 0 Sistema formado por r y π . r:. ⎧x − 2 y −1 = 0 ⎪ ⇒ P′(3,1, 4 ) ⎨ x + 2 z − 11 = 0 ⎪− 2 x − y + z + 3 = 0 ⎩. − 2 + 4λ + λ + 5 + λ + 3 = 0 ⇒ λ = − 1 ′ Por tanto: P (3,1, 4 ) 3º) d (P, r ) = d (P, P′) = PP′ =. (3 − 5)2 + (1 − (− 1))2 + (4 − 6)2 =. 12 = 2 3 u.. Obtención de la recta s perpendicular a r que contiene a P:. r. Un vector director de la recta s es vs = PP′(− 2, 2,−2 ) . Por tanto:. s : ( x, y, z ) = (5,−1, 6 ) + λ (− 2, 2,−2 ) λ ∈ ℜ. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 6. Bloque III: Geometría en el Espacio Unidad 10: Geometría Métrica.

(7) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. SEGUNDO MÉTODO: Utilizando el producto vectorial (Más fácil y rápido). Sabemos que:. r r × AP v AParalelogramo = AP×vr ⎫⎪ r r r ⇒ ⋅ = × ⇒ = ⇒ v h AP v h r ⎬ r r r v r AParalelogramo = vr ⋅ h ⎪⎭. r AP × v r ⇒ d ( P, r ) = ← Distancia de un punto P a una recta r r vr Inconvenientes: No se obtiene la proyección ortogonal de P sobre r perpendicular a r que contiene a P.. ( P ′). ni la recta. Ejemplo 1: Calcula la distancia entre el punto P (2, 4,1) y la recta. r : ( x, y, z ) = (2, 3,−1) + λ (1, 2,1) .. Solución:. r A(2, 3,−1) es un punto de la recta r y vr (1, 2,1) un vector director. r r r i j k r r r r r AP(0,1, 2 ) ; AP × vr = 0 1 2 = −3i + 2 j − k ⇒ AP × vr (− 3, 2,−1). 1 2. 1. r AP × vr 9 + 4 +1 14 21 d (P, r ) = = = = u r 3 vr 1+ 4 +1 6. ⎧x − y = 0 ⎩x + y − z = 0. Ejemplo 2: Calcular la distancia del punto P (1, 3,−1) a la recta r : ⎨. Otra forma: Tomo: ⎧x = λ y=λ⇒⎨ ⎩ z = 2λ. ⎧x = λ ⎪ r : ⎨ y = λ λ ∈ ℜ. ⎪ z = 2λ ⎩ Por tanto:. A(0, 0, 0) r vr (1, 1, 2). Solución: r r r Un punto de la recta es A(0, 0, 0 ) y un vector director vr = n1 × n2 siendo n1 y. r n2 los vectores normales de los planos que definen la recta r. r r r i j k r r r r r r r vr = n1 × n2 = 1 − 1 0 = i + j + 2k ⇒ vr (1,1, 2). 1. 1. −1. r r i j r AP(1, 3,−1) ; AP × vr = 1 3 1 1. r k r r r r − 1 = 7i − 3 j − 2k ⇒ AP × vr (7,−3,−2) 2. r AP × vr 49 + 9 + 4 62 93 = = = u d (P, r ) = r 3 vr 1+1+ 4 6. Ejercicio: Sea el triángulo determinado por los puntos A(1, 4,−1) , B (0, 0,1) y C (1, 3,1) . Halla la distancia del punto B a la recta determinada por A y C. A continuación, calcula el perímetro y el área de este triángulo. Solución:. d (B, r ) =. 41. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 5. =. 205. 5. P = 21 + 5 + 10 u. u. 7. A=. 41. 2. u 2.. Bloque III: Geometría en el Espacio Unidad 10: Geometría Métrica.

(8) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. TERCER MÉTODO: Otra forma de obtener P´ Si retomamos el ejemplo del primer método: P ′ (1 − 2λ ,−λ ,5 + λ ) es un punto genérico de la recta r.. ⇒ P′P(4 + 2λ ,−1 + λ ,1 − λ ). El vector que nos interesa es perpendicular a la recta r:. r r vr ⊥ P′P ⇒ vr ⋅ P′P = 0. Por tanto:. (− 2,−1,1) ⋅ (4 + 2λ ,−1 + λ ,1 − λ ) = 0 ⇒ −2(4 + 2λ ) − 1(− 1 + λ ) + (1 − λ ) = 0 ⇒ λ = −1. ⇒ P′P(2,−2,2) y P ′(3,1, 4 ) 2 ⇒d(P, r) = d(P, P′) = P′P = 22 + (− 2) + 22 = 12 = 2. 3 u.. 2.3. DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO La distancia de un punto P a un plano π , es la mínima distancia entre P y un punto cualquiera del plano π . Se escribe d ( P, π ).. d ( P, π ) = d (P, P ′) A P ′ se le llama proyección ortogonal de P sobre el plano π . Si el punto P pertenece al plano d (P, π ) = 0 y recíprocamente. PRIMER MÉTODO: A partir de la proyección ortogonal de un punto sobre un plano 1º) Se halla la recta r perpendicular a π que contiene a P. 2º) Se calcula P′ como intersección de r y π . 3º) Se calcula d (P, P′). Fíjate: Este método nos permite obtener P ′ y la recta perpendicular a π que contiene a P. Ejemplo: Calcula la distancia del punto P (− 2, 0, 3) al plano π : 4 x + 2 y − 4 z + 3 = 0 . Obtén para ello la proyección ortogonal del punto P sobre el plano π . Solución: 1º) Recta r perpendicular a π que contiene a P. Por ser r ⊥ π , el vector normal de π será el vector director de r o uno proporcional.. ⎧ x = − 2 + 2λ r r ⎪ n = (4, 2, − 4 ) ⇒ vr (2,1, − 2 ) ⇒ r : ⎨ y = λ ⎪ z = 3 − 2λ ⎩ Otra forma de obtener P′ = r ∩ π .. r:. x + 2 y z −3 ⇒ = = 4 2 −4. ⎧x − 2 y + 2 = 0 ⇒⎨ ⎩x + z −1 = 0 Sistema formado por. 2º) Obtención de P′ = r ∩ π . Como P′ ∈ r ⇒ P′(− 2 + 2λ , λ , 3 − 2λ ) punto genérico de r. Pero P′ ∈ π ⇒ 4(− 2 + 2λ ) + 2λ − 4(3 − 2λ ) + 3 = 0 ⇒. − 8 + 8λ + 2λ − 12 + 8λ + 3 = 0 ⇒ λ = 17 18 r y π.. ⎧x − 2 y + 2 = 0 ⎪ ⎛ 1 17 10 ⎞ ⇒ P′⎜ − , , ⎟ ⎨x + z −1 = 0 ⎝ 9 18 9 ⎠ ⎪4 x + 2 y − 4 z + 3 = 0 ⎩. ⎛ 1 17 10 ⎞ , ⎟ ⎝ 9 18 9 ⎠. Por tanto: P′⎜ − ,. 3º) d (P, π ) = d (P, P′) = PP′ =. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 8. ((− 19 ) − (− 2))2 + (1718 − 0)2 + (109 − 3)2 = 51 = 17 u. 18. 6. Bloque III: Geometría en el Espacio Unidad 10: Geometría Métrica.

(9) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. SEGUNDO MÉTODO: Más fácil y rápido Basta aplicar la fórmula:. d ( P, π ) =. Ap1 + Bp2 + Cp3 + D 2 2 +2 B4 +4 C32 1A44 r. ← Distancia de un punto P a un plano π. n. siendo P ( p1 , p2 , p3 ) y π : Ax + By + Cz + D = 0 . Inconvenientes: No se obtiene la proyección ortogonal de P sobre π perpendicular a r que contiene a P.. ( P ′). ni la recta. Ejemplo 1: Calcula la distancia del punto P (− 2, 0, 3) al plano π : 4 x + 2 y − 4 z + 3 = 0 .. Solución: d (P, π ) =. Ap1 + Bp2 + Cp3 + D A + B +C 2. 2. =. 2. 4 ⋅ (− 2) + 2 ⋅ 0 − 4 ⋅ 3 + 3 4 + 2 + (− 4) 2. 2. 2. =. 17 u. 6. Ejemplo 2: Calcular la distancia del punto P (1, 5, 0 ) al plano. π : ( x, y, z ) = (3,0,2) + λ (1,3,2 ) + μ (5,1,−2) .. Solución:. x−3 1 y. 5 1 = 0 ⇒ π : 4 x − 6 y + 7 z − 26 = 0. 3. z−2 2 −2. d (P,π ) =. Ap1 + Bp2 + Cp3 + D A2 + B 2 + C 2. =. 4 ⋅1 − 6 ⋅ 5 + 7 ⋅ 0 − 26 42 + (− 6) + 72 2. =. 52. 52 101 ≈ 5.17 u. 101 101 =. 2.4. DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS La distancia entre dos rectas r y s es la mínima distancia entre un punto cualquiera de r y un punto cualquiera de s. Se escribe d (r, s ) . Caso 1º: Rectas coincidentes o secantes En este caso es claro que d (r, s ) = 0 . Ejemplo: Calcula la distancia entre la recta r : ( x, y, z ) = (2,1, 3) + λ (2,−1,1) y la recta. s : ( x, y, z ) = (− 1,−1, 4 ) + μ (1, 3,−2 ) .. Solución: En primer lugar determinamos su posición relativa. r v r (2,−1, 1)⎫ r ⎬⇒ v s (1, 3,−2 )⎭. 2 −1 1 ≠ ≠ ⇒ r y s se cortan o se cruzan. 1 3 −2. Sean A(2,1,3) ∈ r y B (− 1,−1,4 ) ∈ s ⇒ AB(− 3,−2,1). 2 r r det vr , vs , AB = − 1. (. ). 1 −3. 1 −2 Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. (. ). r r 3 − 2 = 0 ⇒ rang vr , vs , AB = 2 ⇒ r y s se cortan ⇒ 1. 9. ⇒ d (r , s ) = 0. Bloque III: Geometría en el Espacio Unidad 10: Geometría Métrica.

(10) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. Caso 2º: Rectas paralelas Si r//s, tomamos un punto de una de ellas y calculamos su distancia a la otra (distancia de un punto a una recta). Ejemplo: Hallar la distancia entre las rectas r y s, siendo:. r:. x −1 y z −1 = = 1 2 −1. s:. x −1 y −1 z −1 = = . 1 2 −1. Solución: En primer lugar determinamos su posición relativa:. r vr (1, 2,−1)⎫ 1 2 −1 = = ⇒ r y s son paralelas o coincidentes. r ⎬⇒ v s (1, 2,−1)⎭ 1 2 −1 Sea A(1, 0,1) ∈ r . Veamos si A verifica la ecuación de s. 1−1 0 −1 1−1 ≠ ≠ ⇒ A ∉ s ⇒ r y s son paralelas. 1 2 −1 Calculamos la distancia del punto B a la recta r. Sea B (1,1,1) ∈ s AB(0,1, 0 ) r r r i j k r r r r r AB × vr = 0 1 0 = −i + 0 j − k ⇒ AB × vr (− 1, 0, − 1). 1 2. −1. r AB × vr 1+ 0 +1 = = d (r , s ) = d (B, r ) = r vr 1+ 4 +1. 2 3 = u 3 6. Caso 3º: Rectas que se cruzan. Sabemos que:. [. r r VParalelepípedo = AB, vr , v s. ]. ⎫ ⎪ r r ⎬⇒ ( ) , VParalelepípedo = Abase × 1 Altura = v × v ⋅ d r s r s 23 ⎪ d (r ,s ) ⎭ r r r r ⇒ vr × vs ⋅ d (r , s ) = AB, vr , v s ⇒. [. ⇒ d (r, s ) = Caso 3: Otra forma Dadas r y s que se cruzan:. Se calcula el plano π paralelo a r que contiene a s. 2. Se calcula d (r , π ) .. d (r, s ) = d (r , π ). Nota: Para aplicar este método es necesario el apartado 2.6. Distancia entre recta y plano.. r. s. r r vr × v s. Distancia entre dos. ← rectas que se cruzan. Ejemplo: Calcula la distancia entre las rectas r y s:. ⎧x = 5 + λ ⎪ r : ⎨ y = −1 ⎪ z = 8 + 2λ ⎩. 1.. 3.. [AB , vr , vr ]. ]. ⎧ x = 4 + 3μ ⎪ s : ⎨y = 3− μ ⎪ z = 5 + 4μ ⎩. Solución: En primer lugar determinamos su posición relativa:. r vr (1, 0, 2) ⎫ 1 0 2 ≠ ≠ ⇒ r y s se cortan o se cruzan. r ⎬⇒ v s (3,−1, 4 )⎭ 3 −1 4. Sean A(5,−1, 8) ∈ r y B (4, 3, 5) ∈ s ⇒ AB(− 1, 4,−3). −1 1 3 r r r r det AB, vr , vs = 4 0 − 1 = 9 ≠ 0 ⇒ rang AB, vr , vs = 3 ⇒ r y s se cruzan.. (. ). (. −3 2 Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. ). 4. 10. Bloque III: Geometría en el Espacio Unidad 10: Geometría Métrica.

(11) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. Calculamos la distancia entre las rectas:. −1 r r AB, vr , vs = 1. [. 4 −3. ]. (Es el “mismo” determinante de antes pero. 2 = 9 ; con los vectores puestos por filas) 4. 0. 3 −1 r r j k. r i r r r r r r r vr × v s = 1 0 2 = 2i + 2 j − k ⇒ vr × v s (2, 2,−1) 3 −1 4 r r AB, vr , v s 9 d (r , s ) = r r = =3u vr × vs 4 + 4 +1. [. ]. 2.5. DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS Si los planos son coincidentes o secantes, su distancia es cero, d (π , π ′) = 0 .. Si los planos son paralelos, su distancia se calcula tomando un punto de uno de los planos y hallando su distancia al otro plano:. d (π, π ′) = d ( P, π ′), con P ∈ π utilizando cualquiera de los dos métodos que se han estudiado. Ejemplo: Halla la distancia entre los planos π : 2 x − 4 y + 4 z + 3 = 0 y π ′ : x − 2y + 2z −1 = 0 . Solución:. 2 −4 4 3 = = ≠ ⇒ Los planos π y π ′ son paralelos. 1 − 2 2 −1 Tomamos un punto del plano π . Si y = 0, z = 0 ⇒ x = − 32 . Por tanto, P (− 32 , 0, 0 ) ∈ π. Como. d (π , π ′) = d (P, π ′) =. − 32 − 2 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 − 1 1+ 4 + 4. =. 5 u 6. Nota: No obstante, existe otro sencillo método de calcular la distancia entre dos planos paralelos siempre que sus coeficientes A, B y C COINCIDAN. En caso contrario debemos igualarlos previamente:. d (π, π ′) =. D − D′ A2 + B 2 + C 2. o bien d (π, π ′) =. D − D′ r n. Ejemplo: Halla la distancia entre los planos π : x + 3 y − 6 z − 4 = 0 y. π ′ : x + 3y − 6z +1 = 0 . Solución: d (π , π ′) =. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. − 4 −1 12 + 32 + 11. ( 6). 2. =. 5 u 4 Bloque III: Geometría en el Espacio Unidad 10: Geometría Métrica.

(12) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. 2.6. DISTANCIA ENTRE RECTA Y PLANO Si la recta está incluida en el plano o si la recta y el plano son secantes, su distancia es cero, d (r , π ) = 0 .. Si la recta y el plano son paralelos, su distancia se calcula tomando un punto cualquiera de la recta y hallando su distancia al plano.. d (r, π ) = d (P, π ), con P ∈ r Ejemplo 1: Calcula la distancia de la recta r :. x −3 y −1 z + 2 al plano π : x −3y − z + 6 = 0. = = 5 2 −1. Solución: r r Estudiamos la posición relativa de r y π . Sean vr (5, 2,−1) y n (1,−3,−1) .. r r r r r r ¿ vr ⊥ n ? vr ⋅ n = (5, 2,−1) ⋅ (1,−3,−1) = 5 − 6 + 1 = 0 ⇒ vr ⊥ n ⇒ r // π o bien r ⊂ π . El punto P(3,1,−2) ∈ r ⇒ 3 − 3 ⋅1 − (− 2) + 6 = 8 ≠ 0 ⇒ P ∉ π ⇒ r //π .. 3 − 3 ⋅ 1 − (− 2) + 6. 8 8 11 = ≈ 2.41 u y r // π . 11 1+ 9 +1 11 Fíjate: Si r hubiese estado contenida en el plano π entonces d (r , π ) = 0. d (r , π ) = d (P, π ) =. =. Ejemplo 2: Halla la distancia entre la recta r : ( x, y, z ) = (2,1, 0 ) + λ (1, 4,−3) y el plano. π : x + y + 2 z − 1 = 0.. Solución: r r Sean vr (1, 4,−3) y n (1,1, 2 ) .. r r. r. r. / n ⇒ La recta y Por tanto, vr ⋅ n = (1, 4,−3) ⋅ (1,1, 2 ) = 1 + 4 − 6 = −1 ≠ 0 ⇒ vr ⊥. el plano se cortan en un punto, por tanto, d (r , π ) = 0 .. ⎧x − y − 2 = 0 y el plano π : x + y − 2z + 3 = 0. ⎩x − z − 3 = 0. Ejemplo 3: Halla la distancia entre la recta r : ⎨. Solución:. ⎧x = λ ⎧ P(0, − 2, − 3) Tomo x = λ ⇒ r : ⎪ ⎨ y = −2 + λ . Por tanto ⇒ ⎨ r ( ⎩vr 1, 1, 1) ⎪ z = −3 + λ ⎩. r r r r r r ¿ vr ⊥ n ? vr ⋅ n = (1,1,1) ⋅ (1,1, − 2) = 1 +1 − 2 = 0 ⇒ vr ⊥ n ⇒ r // π o bien r ⊂ π . El punto P(0, − 2, − 3) ∈ r ⇒ 0 − 2 − 2 ⋅ (− 3) + 3 = 7 ≠ 0 ⇒ P ∉ π ⇒ r //π .. d (r , π ) = d (P, π ) =. 0 − 2 − 2 ⋅ (− 3) + 3 1+1+ 4. =. 7 7 6 = ≈ 2.86 u 6 6. Otra forma. Posición relativa: Sistema formado por las ecuaciones de r y π : x − y = 2⎫ ⎪ x−z =3⎬⇒ x + y − 2 z = −3⎪⎭. ⎛1 − 1 0 ⎞ ⎜ ⎟ M = ⎜1 0 − 1 ⎟ ⎜1 1 − 2 ⎟ ⎝ ⎠. ⎛1 − 1 0 2 ⎞ ⎜ ⎟ 0 −1 3 ⎟ ⎜1 1 − 2 − 3 ⎟ ⎝ ⎠. (M b ) = ⎜1. rang (M ) = 2 ⎫ ⎬ ⇒ r y π son paralelos. rang (M b ) = 3⎭. Se calcula un punto de la recta. Tomo x = 0 ⇒ y = −2; z = −3 ⇒ P(0, − 2, − 3).. d (r , π ) = d (P, π ) =. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 0 − 2 − 2 ⋅ (− 3) + 3 1+1+ 4. 12. =. 7 7 6 = ≈ 2.86 u 6 6. Bloque III: Geometría en el Espacio Unidad 10: Geometría Métrica.

(13) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. 3. PLANO MEDIADOR Y PLANO BISECTOR 3.1. PLANO MEDIADOR. Se llama plano mediador de un segmento, al plano perpendicular a éste en su punto medio. Es el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de los extremos del segmento:. d ( A, P ) = d (B, P ) Ejemplo: Determina el plano mediador del segmento AB cuyos extremos son los puntos Otra forma: Calcular el plano π A(− 3,1, 0 ) y B (2, 0, 3) . que pasa por el punto. Solución: Sea P ( x, y , z ) un punto cualquiera del plano mediador π ⇒d( A, P) = d(B, P). medio de AB, y que tiene como vector r normal n = AB. Ejercicio: El mismo por este método. ⇒ AP = BP ⇒. (x + 3)2 + ( y − 1)2 + (z − 0)2 = (x − 2)2 + ( y − 0)2 + (z − 3)2 ⇒. ⇒ x2 + 6x + 9 + y 2 − 2 y + 1 + z 2 = x2 − 4x + 4 + y 2 + z 2 − 6z + 9 ⇒ ⇒ π : 10 x − 2 y + 6 z − 3 = 0 .. 3.2. PLANO BISECTOR.. Se llama plano bisector de dos planos π 1 y π 2 al lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de ambos planos:. d ( P, π 1 ) = d ( P, π 2 ) Fíjate: En realidad existen dos planos bisectores que dividen a los distintos ángulos diedros en dos partes iguales. Ejemplo: Considera los planos π 1 : 2 x + 2 y − z + 3 = 0 y π 2 : 3 x − 4 y − 5 = 0 , y determina la ecuación de sus planos bisectores. Solución:. d (P, π 1 ) = d ( P, π 2 ) ⇒. 2x + 2 y − z + 3. =. 3x − 4 y − 5. ⇒. 2 + 2 + (− 1) 3 + (− 4 ) + 0 2 x + 2 y − z + 3 3x − 4 y − 5 ⇒ = ⇒ 5 ⋅ 2 x + 2 y − z + 3 = 3 ⋅ 3x − 4 y − 5 3 5. ⎧a=b ⎪ a = b ⇒ ⎨ o bien ⎪⎩a = −b. 2. 2. 2. 2. 2. 2. De aquí obtenemos dos planos:. ⎧π : x + 22 y − 5 z + 30 = 0 10 x + 10 y − 5 z + 15 = ±(9 x − 12 y − 15) ⇒ ⎨ ⎩π ′ : 19 x − 2 y − 5 z = 0. 4. PERPENDICULAR COMÚN Se llama perpendicular común de dos rectas que se cruzan a otra recta secante a éstas y perpendicular a ambas. Fíjate: Hay infinitas rectas perpendiculares a dos rectas que se cruzan pero sólo una recta t que las corta. Procedimiento para obtener la perpendicular común t : r r adas dos rectas que se cruzan r ( A, v r ) y s (B, v s ) .. r. r. r. r. r. 1º) Calculamos w = vr × vs vector ortogonal a vr y v s .. r r 14243. r r 14243. 2º) Hallamos los planos π ( A, vr , w) y π ′(B, vs , w) . contiene a r. contiene a s. 3º) La perpendicular común viene dada por la intersección de π y π ′.. Por tanto, expresamos ésta con sus ecuaciones implícitas, a partir de las ecuaciones de π y π ′.. r. r. r. Fíjate: w = vr × vs es un vector director de la perpendicular común t. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 13. Bloque III: Geometría en el Espacio Unidad 10: Geometría Métrica.

(14) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. Ejemplo 1: Halla la perpendicular común a las rectas r : ( x, y, z ) = (2, 3,1) + λ (1, 2,−1) y. s : ( x, y, z ) = (2,1,1) + μ (− 13,−2, 5) .. Solución: r r r 1º) Calculamos w vector ortogonal a vr y v s .. r r r i j k r r r r r r r vr × vs = 1 2 − 1 = 8i + 8 j + 24k ⇒ vr × vs (8, 8, 24) − 13 − 2 5 r r r En lugar de este vector, tomamos w(1,1, 3) proporcional a vr × v s . r r r r 2º) Calculamos π ( A, vr , w) y π ′(B, v s , w) . 14243 14243 contiene a r. contiene a s. ⎫ ⎪ 2 1 = 0 ⇒ π : 7 x − 4 y − z − 1 = 0 ⎪ 3º) Perpendicular común t: π : y −3 ⎪⎪ z −1 −1 3 ⎧7 x − 4 y − z − 1 = 0 ⎬ ⇒ t:⎨ x − 2 − 13 1 ⎩x − 4 y + z + 1 = 0 ⎪ ↑ π ′ : y − 1 − 2 1 = 0 ⇒ π ′ : x − 4 y + z + 1 = 0⎪ Perpendicu lar común a r y s ⎪ z −1 5 3 ⎪⎭ x−2. 1 1. Otra forma: El siguiente ejemplo nos muestra una variante del anterior, que va a permitir abordar el problema del cálculo de la perpendicular común desde otro punto de vista: Ejemplo 2: Sabiendo que las rectas r : x = y = z. se cruzan, halla los. puntos P y Q , de r y s respectivamente, que están a mínima distancia. Solución:. P s. Q. y. ⎧x = 1 + μ ⎪ s : ⎨y = 3+ μ ⎪z = −μ ⎩. r. ⎧x = λ ⎧ A(0,0,0 ) ⎪ Como r : x = y = z ⇒ r : ⎨ y = λ ⇒ ⎨ r ; ⎩vr (1,1,1) ⎪z = λ ⎩ Punto genérico de r : P(λ , λ , λ ) Punto genérico de s : Q(1 + μ ,3 + μ ,− μ ). ⎧x = 1 + μ ⎧ B (1,3,0 ) ⎪ s : ⎨ y = 3 + μ ⇒ ⎨r ⎩vr (1,1,−1) ⎪z = −μ ⎩. Sea t la perpendicular común a r y s. P y Q están situados en t , es decir, P = r ∩t y Q = s ∩t . Por tanto un vector director de t , PQ(1 + μ − λ ,3 + μ − λ ,− μ − λ ), verifica:. r r PQ ⊥ vr ⇒ PQ ⋅ vr = 0⎫⎪ (1 + μ − λ ,3 + μ − λ ,−μ − λ ) ⋅ (1,1,1) = 0 ⎫ ⎬ ⎬⇒ r r PQ ⊥ vs ⇒ PQ ⋅ vs = 0 ⎪⎭ (1 + μ − λ ,3 + μ − λ ,− μ − λ ) ⋅ (1,1,−1) = 0⎭ 1 + μ − λ + 3 + μ − λ − μ − λ = 0 ⎫ − 3λ + μ = −4⎫ ⇒ ⎬⇒ ⎬ ⇒ λ = 1; μ = −1. 1 + μ − λ + 3 + μ − λ + μ + λ = 0⎭ − λ + 3μ = −4⎭. Con lo que los puntos buscados son P (1,1,1, ); Q(0,2,1). Además PQ(− 1, 1, 0 ).. La perpendicular común t, a r y s, viene dada por t : ( x, y, z ) = (1,1,1) + α (−1,1, 0).. Fíjate: d (r , s ) = d (P, Q ) , por tanto este método permite calcular fácilmente la distancia. entre dos rectas que se cruzan: d (r , s ) = d (P, Q ) = PQ = Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 14. (−1)2 + 12 + 02. = 2 u.. Bloque III: Geometría en el Espacio Unidad 10: Geometría Métrica.

(15) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. 5. SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO A UN PLANO. Ejemplo: Halla el punto simétrico de P (1, 0,1) respecto del plano π : x − y + z = 1. 1º) Se halla la recta r que pasa por P y es perpendicular a π .. ⎧x = 1 + λ r r ⎪ Tomo vr = n (1,−1,1) ⇒ r : ⎨ y = −λ ⎪z = 1 + λ ⎩. 2º). Se obtiene el punto de corte M de π y r. M ∈ r ⇒ M (1 + λ , − λ , 1 + λ ) punto genérico de r.. M ∈π ⇒ 1 + λ − (− λ ) + 1 + λ = 1 ⇒ 3λ = −1 ⇒ λ = − 13 ⇒ M ( 23 , 13 , 23 ) P′( x, y, z ) es el simétrico de P respecto a M (M es el punto medio. 3º). de PP′ ).. ⎛ x +1 y z +1⎞ ⎛ 2 1 2 ⎞ ⎛1 2 1⎞ , , ⎜ ⎟ = ⎜ , , ⎟ ⇒ P′⎜ , , ⎟ ⎝ 2 2 2 ⎠ ⎝3 3 3⎠ ⎝ 3 3 3⎠. 6. SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO A UNA RECTA. Ejemplo: Determina el punto simétrico de P (− 3,1,−7 ) respecto de la recta. x +1 y − 3 z +1 = = . 1 2 2 1º) Se halla el plano π que contiene a P y es perpendicular a r. r r Tomo n = vr (1, 2, 2) ⇒ x + 2y + 2z + D = 0 ⇒ −3 + 2 −14+ D = 0 ⇒ D =15 Por tanto, π : x + 2 y + 2 z + 15 = 0 . 2º) Se obtiene el punto de corte M de r y π . ⎧ x = −1 + λ ⎪ r : ⎨ y = 3 + 2λ . Como M ∈ r ⇒ M (− 1 + λ , 3 + 2λ , − 1 + 2λ ) Punto genérico de la recta r ⎪ z = −1 + 2λ ⎩ r:. 3º). M ∈π ⇒ −1+ λ + 2(3 + 2λ) + 2(−1+ 2λ) +15= 0 ⇒ ⇒−1+ λ + 6 + 4λ − 2 + 4λ +15= 0 ⇒9λ +18= 0 ⇒λ = −2 ⇒M(−3,−1,−5) El punto P′( x, y , z ) es el simétrico de P respecto a M. ⎛ x − 3 y +1 z − 7 ⎞ , , ⎜ ⎟ = (− 3,−1,−5) ⇒ P′(− 3,−3,−3) 2 2 ⎠ ⎝ 2. 7. RECTA QUE SE APOYA SOBRE OTRAS DOS 7.1. RECTA QUE SE APOYA EN OTRAS DOS Y QUE PASA POR UN PUNTO Para determinar la ecuación de la recta s que se apoya en otras dos r y s que pasa por un punto P: 1º) Se obtiene el plano π 1 que contiene a r y a P.. 2º) Se obtiene el plano π 2 que contiene a s y a P.. 3º) La recta buscada t viene dada por la intersección de π 1 y π 2 . 7.2. RECTA QUE SE APOYA EN OTRAS DOS Y QUE ES PARALELA A UNA DADA Para determinar la ecuación de la recta s que se apoya en otras dos r1 y r2 y que es paralela a r otra recta t ( vt es un vector director de la recta t):. r r 2º) Se obtiene el plano π 2 que contiene a r2 y a vt (paralelo a t). 3º) La recta buscada s viene dada por la intersección de π 1 y π 2 .. 1º) Se obtiene el plano π 1 que contiene a r1 y a vt (paralelo a t).. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 15. Bloque III: Geometría en el Espacio Unidad 10: Geometría Métrica.

(16) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. Ejemplo: Determina la ecuación de la recta que pasa por P(1,−1,2 ) y se apoya en:. r: Solución:. x −1 y z +1 = = −2 1 3. s:. x y−2 z−2 = = 2 −1 3. ⎧ B(0,2,2 ) s : ⎨v ⎩v s (2,−1,3) 1º) Plano π 1 que contiene a r1 y a P. ⎧ A(1,0,−1) r : ⎨r ⎩vr (− 2,1,3). x −1 − 2. AP(0, − 1,3) ⇒ π 1 : y. 1. z +1. 3. 0 − 1 = 0 ⇒ π 1 : 3x + 3 y + z − 2 = 0 3. 2º) Plano π 2 que contiene a r2 y a P.. x. 2. 1. z−2. 3. 0. BP(1, − 3,0 ) ⇒ π 2 : y − 2 − 1 − 3 = 0 ⇒ π 2 : 9 x + 3 y − 5 z + 4 = 0 3º) Ecuación de la recta buscada:. ⎧3x + 3 y + z − 2 = 0 t:⎨ ⎩9 x + 3 y − 5 z + 4 = 0. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 16. Bloque III: Geometría en el Espacio Unidad 10: Geometría Métrica.

(17)