Funciones. Características y Operaciones 1

(1)

Funciones. Características y Operaciones

1◦Bachillerato Ciencias Sociales

Departamento de Matemáticas

I.E.S. Virgen del Puerto - PLASENCIA

Curso 2014/15

(2)

1

Introducción Definiciones

Ejemplos de funciones

2

Características de las funciones Dominio y recorrido Simetría

Ejemplos de simetría Puntos de corte con los ejes Monotonia

Máximos y mínimos Periodicidad

3

Transformación de funciones

Desplazamientos según el eje Y Desplazamientos según el eje X Reflexión por el eje Y

Reflexión por el eje X

4

Operaciones con funciones

5

Composición de funciones

6

Función inversa

7

Problemas Propuestos

8

Personajes en la Historia Euler y Dirichlet

9

Bibliografía

10

Créditos

J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Funciones I Curso 2014/15 2 / 35

(3)

Introducción

Ir a Índice

1| Introdu ión

(4)

Una función real de variable real, que designamos por f (x), es una aplicación ( o relación) que asocia a cada número real x, un único número real y = f (x). Las funciones las expresamos como:

f : IR −→ IR x −→ y = f (x)

A x se le llama variable independiente y a la y variable dependiente. También se dice que f (x) es la imagen de x.

(5)

Introducción Definiciones

Función real de variable real

Una función real de variable real, que designamos por f (x), es una aplicación ( o relación) que asocia a cada número real x, un único número real y = f (x). Las funciones las expresamos como:

f : IR −→ IR x −→ y = f (x)

A x se le llama variable independiente y a la y variable dependiente. También se dice que f (x) es la imagen de x.

Ejemplo de función

(6)

Una función real de variable real, que designamos por f (x), es una aplicación ( o relación) que asocia a cada número real x, un único número real y = f (x). Las funciones las expresamos como:

f : IR −→ IR x −→ y = f (x)

A x se le llama variable independiente y a la y variable dependiente. También se dice que f (x) es la imagen de x.

Ejemplo de función Esto no es una función. ¿Por qué?

(7)

Introducción Ejemplos de funciones

Recordemos algunas funciones:

Función lineal: Su expresión analítica es f (x) = mx + n. Representa una linea recta de

pendiente m y ordenada en el origen n.

(8)

pendiente m y ordenada en el origen n.

Función cuadrática: Su expresión analíticas es f (x) = ax

²

+ bx + c. Representa una parábola de vértice V = ( −b

2a , − b

²

− 4ac

4a ) y que es un mínimo si a > 0 y un máximo si a < 0.

(9)

Recordemos algunas funciones:

Función lineal: Su expresión analítica es f (x) = mx + n. Representa una linea recta de pendiente m y ordenada en el origen n.

Función cuadrática: Su expresión analíticas es f (x) = ax

²

+ bx + c. Representa una parábola de vértice V = ( −b

2a , − b

²

− 4ac

4a ) y que es un mínimo si a > 0 y un máximo si a < 0.

Función racional: Su expresión analítica es f (x) = P(x)

Q (x) , donde P(x) y Q(x) son

polinomios.

(10)

pendiente m y ordenada en el origen n.

Función cuadrática: Su expresión analíticas es f (x) = ax

²

+ bx + c. Representa una parábola de vértice V = ( −b

2a , − b

²

− 4ac

4a ) y que es un mínimo si a > 0 y un máximo si a < 0.

Función racional: Su expresión analítica es f (x) = P(x)

Q (x) , donde P(x) y Q(x) son polinomios.

Funciones irracionales: Su expresión analítica es f (x) = pg(x), donde g (x) es una función

ⁿ

cualquiera.

(11)

Recordemos algunas funciones:

Función lineal: Su expresión analítica es f (x) = mx + n. Representa una linea recta de pendiente m y ordenada en el origen n.

Función cuadrática: Su expresión analíticas es f (x) = ax

²

+ bx + c. Representa una parábola de vértice V = ( −b

2a , − b

²

− 4ac

4a ) y que es un mínimo si a > 0 y un máximo si a < 0.

Función racional: Su expresión analítica es f (x) = P(x)

Q (x) , donde P(x) y Q(x) son polinomios.

Funciones irracionales: Su expresión analítica es f (x) = pg(x), donde g (x) es una función

ⁿ

cualquiera.

Funciones exponenciales: Su expresión analítica es f (x) = a

^g(x)

, donde a es un número real

positivo y distinto de 1, y g (x) un función cualquiera.

(12)

pendiente m y ordenada en el origen n.

Función cuadrática: Su expresión analíticas es f (x) = ax

²

+ bx + c. Representa una parábola de vértice V = ( −b

2a , − b

²

− 4ac

4a ) y que es un mínimo si a > 0 y un máximo si a < 0.

Función racional: Su expresión analítica es f (x) = P(x)

Q (x) , donde P(x) y Q(x) son polinomios.

Funciones irracionales: Su expresión analítica es f (x) = pg(x), donde g (x) es una función

ⁿ

cualquiera.

Funciones exponenciales: Su expresión analítica es f (x) = a

^g(x)

, donde a es un número real positivo y distinto de 1, y g (x) un función cualquiera.

Funciones logarítmicas: Su expresión analítica es f (x) = log

a

g(x), donde a es un número real positivo y distinto de 1, y g (x) un función cualquiera.

(13)

Recordemos algunas funciones:

Función lineal: Su expresión analítica es f (x) = mx + n. Representa una linea recta de pendiente m y ordenada en el origen n.

Función cuadrática: Su expresión analíticas es f (x) = ax

²

+ bx + c. Representa una parábola de vértice V = ( −b

2a , − b

²

− 4ac

4a ) y que es un mínimo si a > 0 y un máximo si a < 0.

Función racional: Su expresión analítica es f (x) = P(x)

Q (x) , donde P(x) y Q(x) son polinomios.

Funciones irracionales: Su expresión analítica es f (x) = pg(x), donde g (x) es una función

ⁿ

cualquiera.

Funciones exponenciales: Su expresión analítica es f (x) = a

^g(x)

, donde a es un número real positivo y distinto de 1, y g (x) un función cualquiera.

Funciones logarítmicas: Su expresión analítica es f (x) = log

a

g(x), donde a es un número real positivo y distinto de 1, y g (x) un función cualquiera.

Funciones trigonométricas: Son la función seno, coseno y tangente. Tienen la expresión

analítica f (x) = sin g (x), f (x) = cos g (x) y f (x) = tan g (x), respectivamente, siendo g (x)

una función cualquiera.

(14)

pendiente m y ordenada en el origen n.

Función cuadrática: Su expresión analíticas es f (x) = ax

²

+ bx + c. Representa una parábola de vértice V = ( −b

2a , − b

²

− 4ac

4a ) y que es un mínimo si a > 0 y un máximo si a < 0.

Función racional: Su expresión analítica es f (x) = P(x)

Q (x) , donde P(x) y Q(x) son polinomios.

Funciones irracionales: Su expresión analítica es f (x) = pg(x), donde g (x) es una función

ⁿ

cualquiera.

Funciones exponenciales: Su expresión analítica es f (x) = a

^g(x)

, donde a es un número real positivo y distinto de 1, y g (x) un función cualquiera.

Funciones logarítmicas: Su expresión analítica es f (x) = log

a

g(x), donde a es un número real positivo y distinto de 1, y g (x) un función cualquiera.

Funciones trigonométricas: Son la función seno, coseno y tangente. Tienen la expresión analítica f (x) = sin g (x), f (x) = cos g (x) y f (x) = tan g (x), respectivamente, siendo g (x) una función cualquiera.

(15)

Recordemos algunas funciones:

Función lineal: Su expresión analítica es f (x) = mx + n. Representa una linea recta de pendiente m y ordenada en el origen n.

Función cuadrática: Su expresión analíticas es f (x) = ax

²

+ bx + c. Representa una parábola de vértice V = ( −b

2a , − b

²

− 4ac

4a ) y que es un mínimo si a > 0 y un máximo si a < 0.

Función racional: Su expresión analítica es f (x) = P(x)

Q (x) , donde P(x) y Q(x) son polinomios.

Funciones irracionales: Su expresión analítica es f (x) = pg(x), donde g (x) es una función

ⁿ

cualquiera.

Funciones exponenciales: Su expresión analítica es f (x) = a

^g(x)

, donde a es un número real positivo y distinto de 1, y g (x) un función cualquiera.

Funciones logarítmicas: Su expresión analítica es f (x) = log

a

g(x), donde a es un número real positivo y distinto de 1, y g (x) un función cualquiera.

Funciones trigonométricas: Son la función seno, coseno y tangente. Tienen la expresión analítica f (x) = sin g (x), f (x) = cos g (x) y f (x) = tan g (x), respectivamente, siendo g (x) una función cualquiera.

Un estudio detallado de estas funciones lo haremos en el próximo tema, Funciones II.

(16)

Ir a Índice

2|

Cara terísti as

de las fun iones

(17)

Características de las funciones Dominio y recorrido

Dominio y recorrido

Sea la función y = f (x). Llamamos:

Dominio de f al conjunto de valores x para los que f (x) está definida. Se representa por Dom f.

Recorrido o imagen de f al conjunto de valores que toma la función. Se representa por Im f.

(18)

Sea la función y = f (x). Llamamos:

Dominio de f al conjunto de valores x para los que f (x) está definida. Se representa por Dom f.

Recorrido o imagen de f al conjunto de valores que toma la función. Se representa por Im f.

Veamos los dominios de algunas funciones:

Funciones lineal y cuadrática, f (x) = mx + n y f (x) = ax

²

+ bx + c : El dominio es todo IR. En general, para cualquier función polinómica, el dominio es todo IR.

(19)

Dominio y recorrido

Sea la función y = f (x). Llamamos:

Dominio de f al conjunto de valores x para los que f (x) está definida. Se representa por Dom f.

Recorrido o imagen de f al conjunto de valores que toma la función. Se representa por Im f.

Veamos los dominios de algunas funciones:

Funciones lineal y cuadrática, f (x) = mx + n y f (x) = ax

²

+ bx + c : El dominio es todo IR. En general, para cualquier función polinómica, el dominio es todo IR.

Función racional, f (x) = P(x)

Q(x) : El dominio es todo IR, excepto los valores que anulan el

denominador; es decir Domf = IR − {Q(x) = 0}.

(20)

Sea la función y = f (x). Llamamos:

Dominio de f al conjunto de valores x para los que f (x) está definida. Se representa por Dom f.

Recorrido o imagen de f al conjunto de valores que toma la función. Se representa por Im f.

Veamos los dominios de algunas funciones:

Funciones lineal y cuadrática, f (x) = mx + n y f (x) = ax

²

+ bx + c : El dominio es todo IR. En general, para cualquier función polinómica, el dominio es todo IR.

Función racional, f (x) = P(x)

Q(x) : El dominio es todo IR, excepto los valores que anulan el denominador; es decir Domf = IR − {Q(x) = 0}.

Funciones irracionales, f (x) = pg(x): Si n es par, el dominio de f se obtiene poniendo la

ⁿ

condición g (x) ≥ 0. Es decir Domf = {x ∈ IR : g(x) ≥ 0}. Si n es impar el dominio de f (x) es el dominio de g (x).

(21)

Dominio y recorrido

Sea la función y = f (x). Llamamos:

Dominio de f al conjunto de valores x para los que f (x) está definida. Se representa por Dom f.

Recorrido o imagen de f al conjunto de valores que toma la función. Se representa por Im f.

Veamos los dominios de algunas funciones:

Funciones lineal y cuadrática, f (x) = mx + n y f (x) = ax

²

+ bx + c : El dominio es todo IR. En general, para cualquier función polinómica, el dominio es todo IR.

Función racional, f (x) = P(x)

Q(x) : El dominio es todo IR, excepto los valores que anulan el denominador; es decir Domf = IR − {Q(x) = 0}.

Funciones irracionales, f (x) = pg(x): Si n es par, el dominio de f se obtiene poniendo la

ⁿ

condición g (x) ≥ 0. Es decir Domf = {x ∈ IR : g(x) ≥ 0}. Si n es impar el dominio de f (x) es el dominio de g (x).

Función exponencial, f (x) = a

^g(x)

: El dominio de f (x) es el dominio de g (x).

(22)

Sea la función y = f (x). Llamamos:

Dominio de f al conjunto de valores x para los que f (x) está definida. Se representa por Dom f.

Recorrido o imagen de f al conjunto de valores que toma la función. Se representa por Im f.

Veamos los dominios de algunas funciones:

Funciones lineal y cuadrática, f (x) = mx + n y f (x) = ax

²

+ bx + c : El dominio es todo IR. En general, para cualquier función polinómica, el dominio es todo IR.

Función racional, f (x) = P(x)

Q(x) : El dominio es todo IR, excepto los valores que anulan el denominador; es decir Domf = IR − {Q(x) = 0}.

Funciones irracionales, f (x) = pg(x): Si n es par, el dominio de f se obtiene poniendo la

ⁿ

condición g (x) ≥ 0. Es decir Domf = {x ∈ IR : g(x) ≥ 0}. Si n es impar el dominio de f (x) es el dominio de g (x).

Función exponencial, f (x) = a

^g(x)

: El dominio de f (x) es el dominio de g (x).

Funciones logarítmicas, f (x) = log

a

g (x): El dominio es Domf = {x ∈ IR : g(x) > 0}.

(23)

Dominio y recorrido

Sea la función y = f (x). Llamamos:

Dominio de f al conjunto de valores x para los que f (x) está definida. Se representa por Dom f.

Recorrido o imagen de f al conjunto de valores que toma la función. Se representa por Im f.

Veamos los dominios de algunas funciones:

Funciones lineal y cuadrática, f (x) = mx + n y f (x) = ax

²

+ bx + c : El dominio es todo IR. En general, para cualquier función polinómica, el dominio es todo IR.

Función racional, f (x) = P(x)

Q(x) : El dominio es todo IR, excepto los valores que anulan el denominador; es decir Domf = IR − {Q(x) = 0}.

Funciones irracionales, f (x) = pg(x): Si n es par, el dominio de f se obtiene poniendo la

ⁿ

condición g (x) ≥ 0. Es decir Domf = {x ∈ IR : g(x) ≥ 0}. Si n es impar el dominio de f (x) es el dominio de g (x).

Función exponencial, f (x) = a

^g(x)

: El dominio de f (x) es el dominio de g (x).

Funciones logarítmicas, f (x) = log

a

g (x): El dominio es Domf = {x ∈ IR : g(x) > 0}.

Funciones seno y coseno, f (x) = sin g (x) y f (x) = cos g (x) : El dominio de f (x) es el

dominio de g (x).

(24)

Sea la función y = f (x). Llamamos:

Dominio de f al conjunto de valores x para los que f (x) está definida. Se representa por Dom f.

Recorrido o imagen de f al conjunto de valores que toma la función. Se representa por Im f.

Veamos los dominios de algunas funciones:

Funciones lineal y cuadrática, f (x) = mx + n y f (x) = ax

²

+ bx + c : El dominio es todo IR. En general, para cualquier función polinómica, el dominio es todo IR.

Función racional, f (x) = P(x)

Q(x) : El dominio es todo IR, excepto los valores que anulan el denominador; es decir Domf = IR − {Q(x) = 0}.

Funciones irracionales, f (x) = pg(x): Si n es par, el dominio de f se obtiene poniendo la

ⁿ

condición g (x) ≥ 0. Es decir Domf = {x ∈ IR : g(x) ≥ 0}. Si n es impar el dominio de f (x) es el dominio de g (x).

Función exponencial, f (x) = a

^g(x)

: El dominio de f (x) es el dominio de g (x).

Funciones logarítmicas, f (x) = log

a

g (x): El dominio es Domf = {x ∈ IR : g(x) > 0}.

Funciones seno y coseno, f (x) = sin g (x) y f (x) = cos g (x) : El dominio de f (x) es el dominio de g (x).

Función tangente, f (x) = tan g (x): El dominio es todo IR excepto los valores g (x) =

^π₂

+ kπ, con k = 0, ±1, ±2, ±3, · · · .

(25)

Características de las funciones Simetría

Simetría de una función

Una función es simétrica respecto del eje Y o par si verifica que para todo x ∈ Domf , es:

f (x) = f (−x)

Función par

(26)

Una función es simétrica respecto del eje Y o par si verifica que para todo x ∈ Domf , es:

f (x) = f (−x)

Una función es simétrica respecto del origen o impar si verifica que para todo x ∈ Domf , es:

f (x) = −f (−x)

Función par Función impar

(27)

Características de las funciones Simetría

Simetría de una función

Una función es simétrica respecto del eje Y o par si verifica que para todo x ∈ Domf , es:

f (x) = f (−x)

Una función es simétrica respecto del origen o impar si verifica que para todo x ∈ Domf , es:

f (x) = −f (−x)

Función par Función impar

Nota: Hay funciones que no son ni par ni impar.

(28)

(29)

Características de las funciones Ejemplos de simetría

Veamos ejemplos de simetría:

f(x) = x

²

− 1: hallamos f (−x) y −f (−x).

f (−x) = (−x)

²

− 1 = x

²

− 1

(30)

f (−x) = (−x)

²

− 1 = x

²

− 1

−f (−x) = − x

²

− 1 = −x

²

+ 1

(31)

Veamos ejemplos de simetría:

f(x) = x

²

− 1: hallamos f (−x) y −f (−x).

f (−x) = (−x)

²

− 1 = x

²

− 1

−f (−x) = − x

²

− 1 = −x

²

+ 1

(32)

f (−x) = (−x)

²

− 1 = x

²

− 1

−f (−x) = − x

²

− 1 = −x

²

+ 1

Vemos que es par pues f (x) = f (−x) y no es impar pues f (x) 6= −f (−x).

(33)

Veamos ejemplos de simetría:

f(x) = x

²

− 1: hallamos f (−x) y −f (−x).

f (−x) = (−x)

²

− 1 = x

²

− 1

−f (−x) = − x

²

− 1 = −x

²

+ 1

Vemos que es par pues f (x) = f (−x) y no es impar pues f (x) 6= −f (−x).

f(x) = x

x

²

+ 1 : hallamos f (−x) y −f (−x).

(34)

f (−x) = (−x)

²

− 1 = x

²

− 1

−f (−x) = − x

²

− 1 = −x

²

+ 1

Vemos que es par pues f (x) = f (−x) y no es impar pues f (x) 6= −f (−x).

f(x) = x

x

²

+ 1 : hallamos f (−x) y −f (−x).

f (−x) = −x

(−x)

²

+ 1 = − x x

²

+ 1

(35)

Veamos ejemplos de simetría:

f(x) = x

²

− 1: hallamos f (−x) y −f (−x).

f (−x) = (−x)

²

− 1 = x

²

− 1

−f (−x) = − x

²

− 1 = −x

²

+ 1

Vemos que es par pues f (x) = f (−x) y no es impar pues f (x) 6= −f (−x).

f(x) = x

x

²

+ 1 : hallamos f (−x) y −f (−x).

f (−x) = −x

(−x)

²

+ 1 = − x x

²

+ 1

−f (−x) = −

− x

x

²

+ 1

= x

x

²

+ 1

(36)

f (−x) = (−x)

²

− 1 = x

²

− 1

−f (−x) = − x

²

− 1 = −x

²

+ 1

Vemos que es par pues f (x) = f (−x) y no es impar pues f (x) 6= −f (−x).

f(x) = x

x

²

+ 1 : hallamos f (−x) y −f (−x).

f (−x) = −x

(−x)

²

+ 1 = − x x

²

+ 1

−f (−x) = −

− x

x

²

+ 1

= x

x

²

+ 1

(37)

Veamos ejemplos de simetría:

f(x) = x

²

− 1: hallamos f (−x) y −f (−x).

f (−x) = (−x)

²

− 1 = x

²

− 1

−f (−x) = − x

²

− 1 = −x

²

+ 1

Vemos que es par pues f (x) = f (−x) y no es impar pues f (x) 6= −f (−x).

f(x) = x

x

²

+ 1 : hallamos f (−x) y −f (−x).

f (−x) = −x

(−x)

²

+ 1 = − x x

²

+ 1

−f (−x) = −

− x

x

²

+ 1

= x

x

²

+ 1

Vemos que no es par pues f (x) 6= f (−x) y es impar pues f (x) = −f (−x).

(38)

f (−x) = (−x)

²

− 1 = x

²

− 1

−f (−x) = − x

²

− 1 = −x

²

+ 1

Vemos que es par pues f (x) = f (−x) y no es impar pues f (x) 6= −f (−x).

f(x) = x

x

²

+ 1 : hallamos f (−x) y −f (−x).

f (−x) = −x

(−x)

²

+ 1 = − x x

²

+ 1

−f (−x) = −

− x

x

²

+ 1

= x

x

²

+ 1

Vemos que no es par pues f (x) 6= f (−x) y es impar pues f (x) = −f (−x).

f (x) = x − 1: hallamos f (−x) y −f (−x).

(39)

Veamos ejemplos de simetría:

f(x) = x

²

− 1: hallamos f (−x) y −f (−x).

f (−x) = (−x)

²

− 1 = x

²

− 1

−f (−x) = − x

²

− 1 = −x

²

+ 1

Vemos que es par pues f (x) = f (−x) y no es impar pues f (x) 6= −f (−x).

f(x) = x

x

²

+ 1 : hallamos f (−x) y −f (−x).

f (−x) = −x

(−x)

²

+ 1 = − x x

²

+ 1

−f (−x) = −

− x

x

²

+ 1

= x

x

²

+ 1

Vemos que no es par pues f (x) 6= f (−x) y es impar pues f (x) = −f (−x).

f (x) = x − 1: hallamos f (−x) y −f (−x).

f (−x) = (−x) − 1 = −x − 1

(40)

f (−x) = (−x)

²

− 1 = x

²

− 1

−f (−x) = − x

²

− 1 = −x

²

+ 1

Vemos que es par pues f (x) = f (−x) y no es impar pues f (x) 6= −f (−x).

f(x) = x

x

²

+ 1 : hallamos f (−x) y −f (−x).

f (−x) = −x

(−x)

²

+ 1 = − x x

²

+ 1

−f (−x) = −

− x

x

²

+ 1

= x

x

²

+ 1

Vemos que no es par pues f (x) 6= f (−x) y es impar pues f (x) = −f (−x).

f (x) = x − 1: hallamos f (−x) y −f (−x).

f (−x) = (−x) − 1 = −x − 1

−f (−x) = − (−x − 1) = x + 1

(41)

Veamos ejemplos de simetría:

f(x) = x

²

− 1: hallamos f (−x) y −f (−x).

f (−x) = (−x)

²

− 1 = x

²

− 1

−f (−x) = − x

²

− 1 = −x

²

+ 1

Vemos que es par pues f (x) = f (−x) y no es impar pues f (x) 6= −f (−x).

f(x) = x

x

²

+ 1 : hallamos f (−x) y −f (−x).

f (−x) = −x

(−x)

²

+ 1 = − x x

²

+ 1

−f (−x) = −

− x

x

²

+ 1

= x

x

²

+ 1

Vemos que no es par pues f (x) 6= f (−x) y es impar pues f (x) = −f (−x).

f (x) = x − 1: hallamos f (−x) y −f (−x).

f (−x) = (−x) − 1 = −x − 1

−f (−x) = − (−x − 1) = x + 1

(42)

f (−x) = (−x)

²

− 1 = x

²

− 1

−f (−x) = − x

²

− 1 = −x

²

+ 1

Vemos que es par pues f (x) = f (−x) y no es impar pues f (x) 6= −f (−x).

f(x) = x

x

²

+ 1 : hallamos f (−x) y −f (−x).

f (−x) = −x

(−x)

²

+ 1 = − x x

²

+ 1

−f (−x) = −

− x

x

²

+ 1

= x

x

²

+ 1

Vemos que no es par pues f (x) 6= f (−x) y es impar pues f (x) = −f (−x).

f (x) = x − 1: hallamos f (−x) y −f (−x).

f (−x) = (−x) − 1 = −x − 1

−f (−x) = − (−x − 1) = x + 1

Vemos que no es par pues f (x) 6= f (−x) y no es impar pues f (x) 6= −f (−x).

(43)

Características de las funciones Puntos de corte con los ejes

Para calcular los puntos de corte, si los hubiere, procedemos del siguiente modo:

(44)

tienen ordenada igual a cero (y = f (x) = 0). Tenemos, por tanto, que sustituir la y por cero y resolver la ecuación que queda. Los valores obtenidos nos da los valores de la o las abscisas de los puntos de corte.

(45)

Para calcular los puntos de corte, si los hubiere, procedemos del siguiente modo:

Eje X : Como podemos ver en la gráfica, los puntos en que una función corta al eje X , tienen ordenada igual a cero (y = f (x) = 0). Tenemos, por tanto, que sustituir la y por cero y resolver la ecuación que queda. Los valores obtenidos nos da los valores de la o las abscisas de los puntos de corte.

Eje Y : Como podemos ver en la gráfica, el punto en que una función corta al eje Y , tienen

abscisa igual a cero (x = 0). Tenemos, por tanto, que sustituir la x por cero y calcular el

valor de y . Sólo hay un punto de corte con el eje Y .

(46)

tienen ordenada igual a cero (y = f (x) = 0). Tenemos, por tanto, que sustituir la y por cero y resolver la ecuación que queda. Los valores obtenidos nos da los valores de la o las abscisas de los puntos de corte.

Eje Y : Como podemos ver en la gráfica, el punto en que una función corta al eje Y , tienen abscisa igual a cero (x = 0). Tenemos, por tanto, que sustituir la x por cero y calcular el valor de y . Sólo hay un punto de corte con el eje Y .

Ejemplo: f(x) = x

²

+ x − 2 Eje X : Hacemos y = 0 y nos queda la ecuación 0 = x

²

+ x − 2 que tiene como soluciones x = 1 y x = −2. Los puntos de corte son entonces P

1

= (1, 0) y P

2

= (−2, 0).

(47)

Para calcular los puntos de corte, si los hubiere, procedemos del siguiente modo:

Eje X : Como podemos ver en la gráfica, los puntos en que una función corta al eje X , tienen ordenada igual a cero (y = f (x) = 0). Tenemos, por tanto, que sustituir la y por cero y resolver la ecuación que queda. Los valores obtenidos nos da los valores de la o las abscisas de los puntos de corte.

Eje Y : Como podemos ver en la gráfica, el punto en que una función corta al eje Y , tienen abscisa igual a cero (x = 0). Tenemos, por tanto, que sustituir la x por cero y calcular el valor de y . Sólo hay un punto de corte con el eje Y .

Ejemplo: f(x) = x

²

+ x − 2 Eje X : Hacemos y = 0 y nos queda la ecuación 0 = x

²

+ x − 2 que tiene como soluciones x = 1 y x = −2. Los puntos de corte son entonces P

1

= (1, 0) y P

2

= (−2, 0).

Eje Y : Hacemos x = 0 y nos queda

y = 0

²

+ 0 − 2 = −2 y el punto de corte

es P

3

= (0, −2)

(48)

(49)

Características de las funciones Monotonia

La monotonía es el estudio del crecimiento y decrecimiento de las funciones. Así tenemos:

Crecimiento y decrecimiento de una función

Una función es creciente en un intervalo, si para cualquier par de puntos a y b del intervalo, con a < b, se cumple que f (a) < f (b).

Función creciente

(50)

Crecimiento y decrecimiento de una función

Una función es creciente en un intervalo, si para cualquier par de puntos a y b del intervalo, con a < b, se cumple que f (a) < f (b).

Una función es decreciente en un intervalo, si para cualquier par de puntos a y b del intervalo, con a < b, se cumple que f (a) > f (b).

Función creciente Función decreciente

(51)

Características de las funciones Monotonia

La monotonía es el estudio del crecimiento y decrecimiento de las funciones. Así tenemos:

Crecimiento y decrecimiento de una función

Una función es creciente en un intervalo, si para cualquier par de puntos a y b del intervalo, con a < b, se cumple que f (a) < f (b).

Una función es decreciente en un intervalo, si para cualquier par de puntos a y b del intervalo, con a < b, se cumple que f (a) > f (b).

Función creciente Función decreciente

Nota: cuando estudiemos la derivada veremos como calcular los intervalos de crecimiento y

decrecimiento.

(52)

cumple f (x) < f (x

0

).

(53)

Características de las funciones Máximos y mínimos

Una función f (x) tiene un máximo relativo en un punto de abscisa x

0

si existe un intervalo centrado en x

0

, (x

0

− ε, x

⁰

+ ε) con ε > 0, tal que para cualquier punto x del intervalo se cumple f (x) < f (x

0

).

Se dice que x

0

es un máximo absoluto cuando para cualquier valor x del dominio de f (x) se

cumple f (x) < f (x

0

).

(54)

cumple f (x) < f (x

0

).

Se dice que x

0

es un máximo absoluto cuando para cualquier valor x del dominio de f (x) se cumple f (x) < f (x

0

).

Una función f (x) tiene un mínimo relativo en un punto de abscisa x

0

si existe un intervalo centrado en x

0

, (x

0

− ε, x

⁰

+ ε) con ε > 0, tal que para cualquier punto x del intervalo se cumple f (x) > f (x

0

).

(55)

Características de las funciones Máximos y mínimos

Una función f (x) tiene un máximo relativo en un punto de abscisa x

0

si existe un intervalo centrado en x

0

, (x

0

− ε, x

⁰

+ ε) con ε > 0, tal que para cualquier punto x del intervalo se cumple f (x) < f (x

0

).

Se dice que x

0

es un máximo absoluto cuando para cualquier valor x del dominio de f (x) se cumple f (x) < f (x

0

).

Una función f (x) tiene un mínimo relativo en un punto de abscisa x

0

si existe un intervalo centrado en x

0

, (x

0

− ε, x

⁰

+ ε) con ε > 0, tal que para cualquier punto x del intervalo se cumple f (x) > f (x

0

).

Se dice que x

0

es un mínimo absoluto cuando para cualquier valor x del dominio de f (x) se

cumple f (x) > f (x

0

).

(56)

cumple f (x) < f (x

0

).

Se dice que x

0

es un máximo absoluto cuando para cualquier valor x del dominio de f (x) se cumple f (x) < f (x

0

).

Una función f (x) tiene un mínimo relativo en un punto de abscisa x

0

si existe un intervalo centrado en x

0

, (x

0

− ε, x

⁰

+ ε) con ε > 0, tal que para cualquier punto x del intervalo se cumple f (x) > f (x

0

).

Se dice que x

0

es un mínimo absoluto cuando para cualquier valor x del dominio de f (x) se cumple f (x) > f (x

0

).

Nota: cuando estudiemos la derivada veremos como calcular los máximos y los mínimos.

(57)

Características de las funciones Periodicidad

Una función f (x) es periódica de período T , con T > 0, si se verifica que para todo x ∈ Domf , es f (x) = f (x + kT ) con k = 0, ±1, ±2, ...

Las funciones periódicas más características son las funciones trigonométricas: f (x) = sin x,

f (x) = cos x, f (x) = tan x.

(58)

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3|

Transforma ión

de fun iones

(59)

Transformación de funciones Desplazamientos según el eje Y

Sea la función y = f(x) y k un número positivo. Entonces la gráfica de la función y = f(x) + k se

obtiene trasladando y = f(x) verticalmente hacia arriba k unidades.

(60)

Sea la función y = f(x) y k un número positivo. Entonces la gráfica de la función y = f(x) − k se obtiene trasladando y = f(x) verticalmente hacia abajo k unidades.

(61)

Transformación de funciones Desplazamientos según el eje Y

Sea la función y = f(x) y k un número positivo. Entonces la gráfica de la función y = f(x) + k se obtiene trasladando y = f(x) verticalmente hacia arriba k unidades.

Sea la función y = f(x) y k un número positivo. Entonces la gráfica de la función y = f(x) − k se obtiene trasladando y = f(x) verticalmente hacia abajo k unidades.

Como ejemplo, sea la función f(x) = 1

x

²

+ 1 . Entonces, si k = 1, tenemos:

(62)

Sea la función y = f(x) y k un número positivo. Entonces la gráfica de la función y = f(x) − k se obtiene trasladando y = f(x) verticalmente hacia abajo k unidades.

Como ejemplo, sea la función f(x) = 1

x

²

+ 1 . Entonces, si k = 1, tenemos:

f (x) + 1 = 1 x

²

+ 1 + 1 f (x) − 1 = 1

x

²

+ 1 − 1

(63)

Transformación de funciones Desplazamientos según el eje X

Sea la función y = f(x) y k un número positivo. Entonces la gráfica de la función y = f(x + k) se obtiene trasladando y = f(x) horizontalmente hacia la izquierda k unidades.

Sea la función y = f(x) y k un número positivo. Entonces la gráfica de la función y = f(x − k) se

obtiene trasladando y = f(x) horizontalmente hacia la derecha k unidades.

(64)

Sea la función y = f(x) y k un número positivo. Entonces la gráfica de la función y = f(x − k) se obtiene trasladando y = f(x) horizontalmente hacia la derecha k unidades.

Como ejemplo, sea la función f(x) = x

³

. Entonces, si k = 1, tenemos:

(65)

Transformación de funciones Desplazamientos según el eje X

Sea la función y = f(x) y k un número positivo. Entonces la gráfica de la función y = f(x + k) se obtiene trasladando y = f(x) horizontalmente hacia la izquierda k unidades.

Sea la función y = f(x) y k un número positivo. Entonces la gráfica de la función y = f(x − k) se obtiene trasladando y = f(x) horizontalmente hacia la derecha k unidades.

Como ejemplo, sea la función f(x) = x

³

. Entonces, si k = 1, tenemos:

(66)

Sea la función y = f(x) y k un número positivo. Entonces la gráfica de la función y = f(x − k) se obtiene trasladando y = f(x) horizontalmente hacia la derecha k unidades.

Como ejemplo, sea la función f(x) = x

³

. Entonces, si k = 1, tenemos:

f (x + 1) = (x + 1)

³

f (x − 1) = (x − 1)

³

(67)

Transformación de funciones Reflexión por el eje Y

Sea la función y = f(x). Entonces la gráfica de la función y = f(−x) es la simétrica de y = f(x)

respecto del eje Y .

(68)

Como ejemplo, sea la función f(x) = e

^x

. Entonces tenemos:

(69)

Transformación de funciones Reflexión por el eje Y

Sea la función y = f(x). Entonces la gráfica de la función y = f(−x) es la simétrica de y = f(x) respecto del eje Y .

Como ejemplo, sea la función f(x) = e

^x

. Entonces tenemos:

f (−x) = e

^−x

(70)

(71)

Transformación de funciones Reflexión por el eje X

Sea la función y = f(x). Entonces la gráfica de la función y = −f(x) es la simétrica de y = f(x) respecto del eje X .

Como ejemplo, sea la función f(x) = e

^x

. Entonces tenemos:

(72)

Como ejemplo, sea la función f(x) = e

^x

. Entonces tenemos:

−f (x) = −e

^x

(73)

Operaciones con funciones

Ir a Índice

4| Opera iones

on fun iones

(74)

(75)

Sean las funciones f (x) y g (x) con dominios Dom f y Dom g . Definimos las siguientes operaciones:

La suma de funciones f y g es otra función, f + g , tal que para cualquier x que pertenezca

al dominio de ambas funciones, se cumple que (f + g )(x) = f (x) + g (x). Además,si

x ∈ Dom f y x ∈ Dom g, entonces x ∈ Dom (f + g) = Dom f ∩ Dom g .

(76)

La suma de funciones f y g es otra función, f + g , tal que para cualquier x que pertenezca al dominio de ambas funciones, se cumple que (f + g )(x) = f (x) + g (x). Además,si x ∈ Dom f y x ∈ Dom g, entonces x ∈ Dom (f + g) = Dom f ∩ Dom g .

El producto de funciones f y g es otra función, f · g, tal que para cualquier x que pertenezca al dominio de ambas funciones, se cumple que (f · g)(x) = f (x) · g(x) . Además,si

x ∈ Dom f y x ∈ Dom g, entonces x ∈ Dom (f · g) = Dom f ∩ Dom g .

(77)

Sean las funciones f (x) y g (x) con dominios Dom f y Dom g . Definimos las siguientes operaciones:

La suma de funciones f y g es otra función, f + g , tal que para cualquier x que pertenezca al dominio de ambas funciones, se cumple que (f + g )(x) = f (x) + g (x). Además,si x ∈ Dom f y x ∈ Dom g, entonces x ∈ Dom (f + g) = Dom f ∩ Dom g .

El producto de funciones f y g es otra función, f · g, tal que para cualquier x que pertenezca al dominio de ambas funciones, se cumple que (f · g)(x) = f (x) · g(x) . Además,si

x ∈ Dom f y x ∈ Dom g, entonces x ∈ Dom (f · g) = Dom f ∩ Dom g . El cociente de funciones f y g es otra función, f

g , tal que para cualquier x que pertenezca al dominio de ambas funciones, se cumple que f

g

(x) = f (x)

g(x) , con g (x) 6= 0.

(78)

La suma de funciones f y g es otra función, f + g , tal que para cualquier x que pertenezca al dominio de ambas funciones, se cumple que (f + g )(x) = f (x) + g (x). Además,si x ∈ Dom f y x ∈ Dom g, entonces x ∈ Dom (f + g) = Dom f ∩ Dom g .

El producto de funciones f y g es otra función, f · g, tal que para cualquier x que pertenezca al dominio de ambas funciones, se cumple que (f · g)(x) = f (x) · g(x) . Además,si

x ∈ Dom f y x ∈ Dom g, entonces x ∈ Dom (f · g) = Dom f ∩ Dom g . El cociente de funciones f y g es otra función, f

g , tal que para cualquier x que pertenezca al dominio de ambas funciones, se cumple que f

g

(x) = f (x)

g(x) , con g (x) 6= 0.

(79)

Sean las funciones f (x) y g (x) con dominios Dom f y Dom g . Definimos las siguientes operaciones:

La suma de funciones f y g es otra función, f + g , tal que para cualquier x que pertenezca al dominio de ambas funciones, se cumple que (f + g )(x) = f (x) + g (x). Además,si x ∈ Dom f y x ∈ Dom g, entonces x ∈ Dom (f + g) = Dom f ∩ Dom g .

El producto de funciones f y g es otra función, f · g, tal que para cualquier x que pertenezca al dominio de ambas funciones, se cumple que (f · g)(x) = f (x) · g(x) . Además,si

x ∈ Dom f y x ∈ Dom g, entonces x ∈ Dom (f · g) = Dom f ∩ Dom g . El cociente de funciones f y g es otra función, f

g , tal que para cualquier x que pertenezca al dominio de ambas funciones, se cumple que f

g

(x) = f (x)

g(x) , con g (x) 6= 0.

Operaciones con funciones

Dadas las funciones f (x) = √ x y g (x) = x − 1, hallar las funciones f + g, f · g y f

g , así como

sus dominios.

(80)

La suma de funciones f y g es otra función, f + g , tal que para cualquier x que pertenezca al dominio de ambas funciones, se cumple que (f + g )(x) = f (x) + g (x). Además,si x ∈ Dom f y x ∈ Dom g, entonces x ∈ Dom (f + g) = Dom f ∩ Dom g .

El producto de funciones f y g es otra función, f · g, tal que para cualquier x que pertenezca al dominio de ambas funciones, se cumple que (f · g)(x) = f (x) · g(x) . Además,si

x ∈ Dom f y x ∈ Dom g, entonces x ∈ Dom (f · g) = Dom f ∩ Dom g . El cociente de funciones f y g es otra función, f

g , tal que para cualquier x que pertenezca al dominio de ambas funciones, se cumple que f

g

(x) = f (x)

g(x) , con g (x) 6= 0.

Operaciones con funciones

Dadas las funciones f (x) = √ x y g (x) = x − 1, hallar las funciones f + g, f · g y f

g , así como sus dominios.

Solución.-

Suma: (f + g )(x) = f (x) + g (x) = √ x + x − 1 y Dom (f + g) = Dom f ∩ Dom g = [0, ∞).

(81)

Sean las funciones f (x) y g (x) con dominios Dom f y Dom g . Definimos las siguientes operaciones:

La suma de funciones f y g es otra función, f + g , tal que para cualquier x que pertenezca al dominio de ambas funciones, se cumple que (f + g )(x) = f (x) + g (x). Además,si x ∈ Dom f y x ∈ Dom g, entonces x ∈ Dom (f + g) = Dom f ∩ Dom g .

El producto de funciones f y g es otra función, f · g, tal que para cualquier x que pertenezca al dominio de ambas funciones, se cumple que (f · g)(x) = f (x) · g(x) . Además,si

x ∈ Dom f y x ∈ Dom g, entonces x ∈ Dom (f · g) = Dom f ∩ Dom g . El cociente de funciones f y g es otra función, f

g , tal que para cualquier x que pertenezca al dominio de ambas funciones, se cumple que f

g

(x) = f (x)

g(x) , con g (x) 6= 0.

Operaciones con funciones

Dadas las funciones f (x) = √ x y g (x) = x − 1, hallar las funciones f + g, f · g y f

g , así como sus dominios.

Solución.-

Suma: (f + g )(x) = f (x) + g (x) = √ x + x − 1 y Dom (f + g) = Dom f ∩ Dom g = [0, ∞).

Producto: (f · g)(x) = f (x) · g(x) = (x − 1) · √ x y Dom (f · g) = Dom f ∩ Dom g = [0, ∞).

(82)

La suma de funciones f y g es otra función, f + g , tal que para cualquier x que pertenezca al dominio de ambas funciones, se cumple que (f + g )(x) = f (x) + g (x). Además,si x ∈ Dom f y x ∈ Dom g, entonces x ∈ Dom (f + g) = Dom f ∩ Dom g .

El producto de funciones f y g es otra función, f · g, tal que para cualquier x que pertenezca al dominio de ambas funciones, se cumple que (f · g)(x) = f (x) · g(x) . Además,si

x ∈ Dom f y x ∈ Dom g, entonces x ∈ Dom (f · g) = Dom f ∩ Dom g . El cociente de funciones f y g es otra función, f

g , tal que para cualquier x que pertenezca al dominio de ambas funciones, se cumple que f

g

(x) = f (x)

g(x) , con g (x) 6= 0.

Operaciones con funciones

Dadas las funciones f (x) = √ x y g (x) = x − 1, hallar las funciones f + g, f · g y f

g , así como sus dominios.

Solución.-

Suma: (f + g )(x) = f (x) + g (x) = √ x + x − 1 y Dom (f + g) = Dom f ∩ Dom g = [0, ∞).

Producto: (f · g)(x) = f (x) · g(x) = (x − 1) · √ x y Dom (f · g) = Dom f ∩ Dom g = [0, ∞).

Cociente: f g

(x) = f (x) g(x) =

√ x

x − 1 y Dom f g

= [0, ∞) − 1.

(83)

Composición de funciones

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5| Composi ión

de fun iones

(84)

Dadas dos funciones f y g , se llama función compuesta de f y g , y se representa como (g ◦ f ) , a la función:

(g ◦ f )(x) = g[f (x)]

(85)

Composición de funciones

Dadas dos funciones f y g , se llama función compuesta de f y g , y se representa como (g ◦ f ) , a la función:

(g ◦ f )(x) = g[f (x)]

Nota I.- Observa que la composición de f con g hace que la variable independiente de g pase a

ser f (x).

(86)

Dadas dos funciones f y g , se llama función compuesta de f y g , y se representa como (g ◦ f ) , a la función:

(g ◦ f )(x) = g[f (x)]

Nota I.- Observa que la composición de f con g hace que la variable independiente de g pase a ser f (x).

Nota II .- Observa que se escribe y lee de derecha a izquierda, (g ◦ f ): f compuesto con g.

(87)

Composición de funciones

Dadas dos funciones f y g , se llama función compuesta de f y g , y se representa como (g ◦ f ) , a la función:

(g ◦ f )(x) = g[f (x)]

Nota I.- Observa que la composición de f con g hace que la variable independiente de g pase a ser f (x).

Nota II .- Observa que se escribe y lee de derecha a izquierda, (g ◦ f ): f compuesto con g.

Como ejemplo, sean las funciones f (x) = x

²

− 1 y g(x) = 3x + 1. Vamos a determinar (g ◦ f )(x)

y (f ◦ g)(x).

(88)

Dadas dos funciones f y g , se llama función compuesta de f y g , y se representa como (g ◦ f ) , a la función:

(g ◦ f )(x) = g[f (x)]

Nota I.- Observa que la composición de f con g hace que la variable independiente de g pase a ser f (x).

Nota II .- Observa que se escribe y lee de derecha a izquierda, (g ◦ f ): f compuesto con g.

Como ejemplo, sean las funciones f (x) = x

²

− 1 y g(x) = 3x + 1. Vamos a determinar (g ◦ f )(x) y (f ◦ g)(x).

f compuesto con g , (g ◦ f )(x): de la definición de composición tenemos (g ◦ f )(x) = g[f (x)] = 3 · f (x) + 1 = 3 · (x

²

− 1) + 1 = 3x

²

− 2 Observa que f (x) pasa a ser la variable independiente de g .

(89)

Composición de funciones

Dadas dos funciones f y g , se llama función compuesta de f y g , y se representa como (g ◦ f ) , a la función:

(g ◦ f )(x) = g[f (x)]

Nota I.- Observa que la composición de f con g hace que la variable independiente de g pase a ser f (x).

Nota II .- Observa que se escribe y lee de derecha a izquierda, (g ◦ f ): f compuesto con g.

Como ejemplo, sean las funciones f (x) = x

²

− 1 y g(x) = 3x + 1. Vamos a determinar (g ◦ f )(x) y (f ◦ g)(x).

f compuesto con g , (g ◦ f )(x): de la definición de composición tenemos (g ◦ f )(x) = g[f (x)] = 3 · f (x) + 1 = 3 · (x

²

− 1) + 1 = 3x

²

− 2 Observa que f (x) pasa a ser la variable independiente de g .

g compuesto con f , (f ◦ g)(x): de la definición de composición tenemos

(f ◦ g)(x) = f [g(x)] = [g (x)]

²

− 1 = [3x + 1]

²

− 1 = (9x

²

+ 6x + 1) − 1 = 9x

²

+ 6x

Ahora es g (x) quien pasa a ser la variable independiente de f .

(90)

Ir a Índice

6| Fun ión

inversa

(91)

Función inversa

Composición de funciones

Dada una función f (x) se llama función inversa de f , y la representamos como f

⁻¹

, a la función que verifica:

f ◦ f

⁻¹

= f

⁻¹

◦ f = x

(92)

Dada una función f (x) se llama función inversa de f , y la representamos como f

⁻

, a la función que verifica:

f ◦ f

⁻¹

= f

⁻¹

◦ f = x

Nota I.- No todas las funciones tienen inversa. Sólo tienen inversa las funciones llamadas inyectivas , que son funciones en las que cada elemento de Im f es imagen de uno y sólo un elemento de Dom f . Un ejemplo de función no inyectiva son las funciones pares, aunque hay otras.

(93)

Función inversa

Composición de funciones

Dada una función f (x) se llama función inversa de f , y la representamos como f

⁻¹

, a la función que verifica:

f ◦ f

⁻¹

= f

⁻¹

◦ f = x

Nota I.- No todas las funciones tienen inversa. Sólo tienen inversa las funciones llamadas inyectivas , que son funciones en las que cada elemento de Im f es imagen de uno y sólo un elemento de Dom f . Un ejemplo de función no inyectiva son las funciones pares, aunque hay otras.

Nota II.- Las gráficas de f y de f

⁻¹

son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante.

(94)

Dada una función f (x) se llama función inversa de f , y la representamos como f

⁻

, a la función que verifica:

f ◦ f

⁻¹

= f

⁻¹

◦ f = x

Nota I.- No todas las funciones tienen inversa. Sólo tienen inversa las funciones llamadas inyectivas , que son funciones en las que cada elemento de Im f es imagen de uno y sólo un elemento de Dom f . Un ejemplo de función no inyectiva son las funciones pares, aunque hay otras.

Nota II.- Las gráficas de f y de f

⁻¹

son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante.

¿Cómo hallamos, si existe, la función inversa?. Veamos dos ejemplos. La primera, la función f (x) = 3x − 1 , que tiene inversa. La segunda, la función f (x) = x

²

+ 1, que no tiene inversa.

(95)

Función inversa

Composición de funciones

Dada una función f (x) se llama función inversa de f , y la representamos como f

⁻¹

, a la función que verifica:

f ◦ f

⁻¹

= f

⁻¹

◦ f = x

Nota I.- No todas las funciones tienen inversa. Sólo tienen inversa las funciones llamadas inyectivas , que son funciones en las que cada elemento de Im f es imagen de uno y sólo un elemento de Dom f . Un ejemplo de función no inyectiva son las funciones pares, aunque hay otras.

Nota II.- Las gráficas de f y de f

⁻¹

son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante.

¿Cómo hallamos, si existe, la función inversa?. Veamos dos ejemplos. La primera, la función f (x) = 3x − 1 , que tiene inversa. La segunda, la función f (x) = x

²

+ 1, que no tiene inversa.

f (x) = 3x − 1 : Primero despejamos la x, es decir, x = y + 1

3 . Observamos que al despejar

obtenemos un único valor para cada x, y por tanto la función es inyectiva.

(96)

Dada una función f (x) se llama función inversa de f , y la representamos como f

⁻

, a la función que verifica:

f ◦ f

⁻¹

= f

⁻¹

◦ f = x

Nota I.- No todas las funciones tienen inversa. Sólo tienen inversa las funciones llamadas inyectivas , que son funciones en las que cada elemento de Im f es imagen de uno y sólo un elemento de Dom f . Un ejemplo de función no inyectiva son las funciones pares, aunque hay otras.

Nota II.- Las gráficas de f y de f

⁻¹

son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante.

¿Cómo hallamos, si existe, la función inversa?. Veamos dos ejemplos. La primera, la función f (x) = 3x − 1 , que tiene inversa. La segunda, la función f (x) = x

²

+ 1, que no tiene inversa.

f (x) = 3x − 1 : Primero despejamos la x, es decir, x = y + 1

3 . Observamos que al despejar obtenemos un único valor para cada x, y por tanto la función es inyectiva.

(97)

Función inversa

Composición de funciones

Dada una función f (x) se llama función inversa de f , y la representamos como f

⁻¹

, a la función que verifica:

f ◦ f

⁻¹

= f

⁻¹

◦ f = x

Nota I.- No todas las funciones tienen inversa. Sólo tienen inversa las funciones llamadas inyectivas , que son funciones en las que cada elemento de Im f es imagen de uno y sólo un elemento de Dom f . Un ejemplo de función no inyectiva son las funciones pares, aunque hay otras.

Nota II.- Las gráficas de f y de f

⁻¹

son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante.

¿Cómo hallamos, si existe, la función inversa?. Veamos dos ejemplos. La primera, la función f (x) = 3x − 1 , que tiene inversa. La segunda, la función f (x) = x

²

+ 1, que no tiene inversa.

f (x) = 3x − 1 : Primero despejamos la x, es decir, x = y + 1

3 . Observamos que al despejar obtenemos un único valor para cada x, y por tanto la función es inyectiva.

Ahora intercambiamos la x y la y , es decir, y = x + 1

3 , y la función obtenida es la inversa;

esto es, f

⁻¹

(x) = x + 1

3 .

(98)

Dada una función f (x) se llama función inversa de f , y la representamos como f

⁻

, a la función que verifica:

f ◦ f

⁻¹

= f

⁻¹

◦ f = x

Nota I.- No todas las funciones tienen inversa. Sólo tienen inversa las funciones llamadas inyectivas , que son funciones en las que cada elemento de Im f es imagen de uno y sólo un elemento de Dom f . Un ejemplo de función no inyectiva son las funciones pares, aunque hay otras.

Nota II.- Las gráficas de f y de f

⁻¹

son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante.

¿Cómo hallamos, si existe, la función inversa?. Veamos dos ejemplos. La primera, la función f (x) = 3x − 1 , que tiene inversa. La segunda, la función f (x) = x

²

+ 1, que no tiene inversa.

f (x) = 3x − 1 : Primero despejamos la x, es decir, x = y + 1

3 . Observamos que al despejar obtenemos un único valor para cada x, y por tanto la función es inyectiva.

Ahora intercambiamos la x y la y , es decir, y = x + 1

3 , y la función obtenida es la inversa;

esto es, f

⁻¹

(x) = x + 1 3 .

Y comprobamos si el resultado es correcto aplicando la definición:

(f ◦ f

⁻¹

)(x) = f [f

⁻¹

(x)] = 3 · f

⁻¹

(x) − 1 = 3 · x + 1 3 − 1 = x (f

⁻¹

◦ f )(x) = f

⁻¹

[f (x)] = f (x) + 1

3 = (3x − 1) + 1

3 = x

(99)

Función inversa

f (x) = x

²

+ 1: Primero despejamos la x, es decir, x

²