4º ESO Op. B SEMEJANZA

SEMEJANZA

4º ESO Op. B

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1.- Concepto de Semejanza

Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma (no

necesariamente el mismo tamaño)

1.- Concepto de Semejanza

Dos polígonos son semejantes si tienen :

los ángulos correspondientes iguales y

los lados correspondientes proporcionales

Semejantes:

No semejantes:

1.- Concepto de Semejanza

En los polígonos semejantes, el cociente entre los lados

correspondientes es constante. Es la razón de semejanza (k)

La longitud de los lados de la figura grande se obtiene

multiplicando los de la figura pequeña por la razón de semejanza k (en este caso k=2)

1.- Concepto de Semejanza

Casos interesantes de semejanza:

a) Fotocopias ampliadas o reducidas.

Ampliación: la razón (lado nuevo / lado viejo) es >1 16/8=2  200% de ampliación

Reducción: la razón (lado nuevo / lado viejo) es < 1

8/16=0.5  50% de reducción

1.- Concepto de Semejanza

Casos interesantes de semejanza:

b) Escalas.

1:50000

1 unidad en el mapa equivale a 50000 unidades en la realidad.

2.- Áreas y volúmenes de figuras semejantes

Semejanza de longitudes: razón k

Semejanza de áreas: razón k²

Semejanza de volúmenes: razón k³

2.- Áreas y volúmenes de figuras semejantes

Razón entre los lados:

k= 6/3 = 2

Razón entre las áreas:

A

= 3

= 9cm

A

= 6

= 36cm

Razón entre los volúmenes:

V

= 3·3·1 = 9cm

V

= 6·6·2= 72cm

Razón de áreas:

36/9 =4 =2

= k

Razón de volúmenes:

72/9 =8 =2

= k

3.- Teorema de Tales

Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.

Estos triángulos se dice que están en

“posición de Tales” (un ángulo común los lados opuestos paralelos)

Si dos rectas secantes se cortan por un sistema de paralelas,

los segmentos obtenidos correspondientes son proporcionales.

3.- Teorema de Tales

4.- Criterios de semejanza de triángulos

Nos permiten saber si dos triángulos son semejantes. Se basan en la aplicación del teorema de Tales.

Dos triángulos son semejantes si tienen:

CRITERIO 1: dos pares de ángulos respectivamente iguales : α = α ´, β = β´

(Como consecuencia: γ = γ´ ⁾

CRITERIO 2: los lados proporcionales:

CRITERIO 3: dos lados proporcionales y el ángulo

comprendido entre ellos igual.

4.- Criterios de semejanza de triángulos

Animación de triángulos semejantes On - line

4.- Criterios de semejanza de triángulos

Consecuencias:

• Todos los triángulos equiláteros son semejantes.

(tienen los tres ángulos iguales, de 60º)

• Todos los triángulos rectángulos isósceles son semejantes (los lados iguales son, necesariamente, los catetos, y éstos abarcan el ángulo recto,

también igual)

• En dos triángulos semejantes, la razón del perímetro es la razón de semejanza de los lados.

• El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo cualquiera es paralelo al tercer lado, y mide la mitad que él. (al ser

semejantes, la proporción entre los lados es la misma)

a  a’= ka

b  b’ = kb  a’+b’+c’ = ka+kb+kc=k(a+b+c)

c  c’= kc Punto medio

Punto medio

4.- Criterios de semejanza de triángulos

TEOREMA DE LA ALTURA

Dado un triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las longitudes de los segmentos que determina sobre dicha hipotenusa.

Como T₁ es un triángulo rectángulo:

α+γ=90º

Como T es un triángulo rectángulo

: α+β=90º



β = γ

h

=m·n

Demostración:

 T₁ y T₂ tienen dos ángulos iguales  T₁ y T₂ son semejantes  T₂

T₁

T

h m n

h c

b  

 

h

=m·n

c.q.d.

Observa que:

b

= h

+ m

= m·n + m

= m·(n+m) = m·a c

= h

+ n

= m·n + n

= n·(m+n) = n·a

a

A este resultado se le conoce como el Teorema del Cateto, y se enuncia así:

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de dicho cateto sobre ella.

Alguna de las imágenes de esta presentación se han tomado de las siguientes páginas:

http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasB/semejanza/quincena6_contenido s_3b.htm

http://es.slideshare.net/MAPCALSD/semejanza-de-figuras-planas

https://lasmatematicasysuensenanzaenlasecundaria.wordpress.com/figuras-semejantes/

http://slideplayer.es/slide/4256147/

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