Tema 7: Métodos de diferencias finitas

Tema 7: Métodos de diferencias finitas

Métodos de diferencias finitas aplicado a problemas de valores de frontera

Aunque los métodos del disparo pueden emplearse en los problemas lineales y no lineales de valores de frontera , a menudo presentan problemas de instabilidad.

Los métodos que involucran diferencias finitas para resolver problemas de valores de frontera consisten en reemplazar cada una de las derivadas en la ecuación diferencial por una aproximación discreta apropiada, para obtener un sistema de ecuaciones algebraico simultaneo.

Aproximaciones discretas para x' =dx/dt y x'' = d²x/dt².

Seleccionamos N>0 y dividimos [a,b] en N subintervalos iguales en longitud, h, donde h=(b-a)/N. Se tiene t₀=a y t_N=b. Expandiendo la función x(t) en un polinomio de Taylor de grado 3 alrededor de t_i, y evaluando en t_i+1=t_i+h y t_i-1=t_i-h, se tiene:

asumiendo que x⁽⁴⁾∈C⁴[x_i-1,x_i+1].

, ),

24 ( )

6 ( )

2 ( )

( )

( )

(

⁽⁴⁾ ₁

4 3

2

1 +

+ +

+

=

_i

+ ′

_i

+ ′′

_i

+ ′ ′′

_i

+

_{i i}

<

_i

<

_i

i

h x t t

t h x

t h x

t x h t

x t

x ξ ξ

, ),

24 ( )

6 ( )

2 ( )

( )

( )

(

⁽⁴⁾ ₁

4 3

2

1 i i i i i i i i

i

h x t t

t h x

t h x

t x h t

x t

x

₋

= − ′ + ′′ − ′ ′′ + ξ

⁻ ₋

< ξ

⁻

<

(1)

(2)

Sumando los desarrollos (1) y (2), eliminando los términos que contienen las derivadas de orden impar, y después de una manipulación algebraica se tiene

Esta fórmula se conoce como fórmula de diferencia centrada de orden 2 para x''(t_i).

De manera similar, restando las expresiones (1) y (2) pero considerando el error al nivel de h³ se llega:

Para ambas aproximaciones, (3) y (4), el error local es de tipo O(h²).

( ) ( ^{( ) ( )} ) ^.

) 24 (

) ( 2 ) 1 (

)

(

^{(4) (4)}

2

1 2 1

− +

−

+

− + − +

′′

_i

=

_{i i i}

h x

_i

x

_i

t x t

x t

h x t

x ξ ξ

Usando el teorema del valor medio, garantiza que existe ξ_i∈(t_i-1,t_i+1) con

( ) ^{( ) .}

) 12 (

) ( 2 ) 1 (

)

(

⁽⁴⁾

2

1

2 i 1 i i i

i

h x

t x t

x t

h x t

x ′′ =

₊

− +

₋

− ξ

⁽³⁾

( ) ^{( ) , ( , ) .}

) 6 ( )

2 ( ) 1

(

_{1 1}

2

1

1 − − +

+

− − ′ ′′ ∈

′

_i

=

_{i i}

h x

_{i i}

t

_i

t

_i

t x t

h x t

x η η

⁽⁴⁾

Esta fórmula se conoce como fórmula de diferencia centrada de orden 2 para x'(t_i).

Observación.

Más puntos pueden ser usados para obtener precisión de orden mayor, por ejemplo, expandiendo x(t_i-2h), x(t_i-h), x(t_i+h), x(t_i+2h) se puede obtener el esquema

( ( ) 8 ( ) 8 ( ) ( ) ) ( ).

(5)

12 ) 1

( x t

₂

x t

₁

x t

₁

x t

₂

O h

⁴

t h

x ′

_i

= −

_i+

+

_i+

−

_i−

+

_i−

+

La fórmula (5) se conoce como fórmula de diferencia centrada de orden 4 para x'(t_i).

h t t

h x t

h x t

h x t

h x t

x h t

x h t

x

+ = + ′ + ′′ + ′ ′′ + + ( ξ

⁺

), < ξ

⁺

< +

) 24 24 (

) 6 (

) 2 (

) ( )

( )

(

⁽⁵⁾

5 )

4 ( 4 3

2

t h

t h x

t h x

t h x

t h x

t x h t

x h t

x

− = − ′ + ′′ − ′ ′′ + + ( ξ

⁻

), − < ξ

⁻

<

) 24 24 (

) 6 (

) 2 (

) ( )

( )

(

⁽⁵⁾

5 )

4 ( 4 3

2

h t

t h x

t h x

t h x

t x h t

x h t

x h t

x

( ), 2

15 ) 4

3 ( ) 2

3 ( ) 4

( 2

) ( 2 ) ( ) 2

(

⁽⁵⁾

5 )

4 ( 4 3

2

′′ + ′ ′′ + + < < +

′ + +

=

+ η

⁺

η

⁺

t h

t h x

t h x

t h x

t x h t

x h t

x h t

x

− = − ′ + ′′ − ′ ′′ + − ( η

⁻

), − 2 < η

⁻

<

15 ) 4

3 ( ) 2

3 ( ) 4

( 2

) ( 2 ) ( ) 2

(

⁽⁵⁾

5 )

4 ( 4 3

2

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

0 0 0

a⋅(i)+b⋅(ii)+c⋅(iii)+d⋅(iv)=

Se plantea el sistema

3 0 2 3

2 24 24

3 0 4 3

4 6 6

0 2

2 2 2

= +

+ +

=

− +

−

= +

+ +

d b c

a

d b c

a

d b c

a

0 16

16

0 8

8

0 4

4

= +

+ +

=

− +

−

= +

+ +

d c

b a

d c

b a

d c

b a

⇒

d c

a

b = + 8 − 8

0 8

24 2

0 4

12 2

= +

+

=

− +

d c

a

d c

a

⇓

0 8

24 2

0 4

12 2

= +

+

=

− +

d c

a

d c

a

0 8

24 2

0 8

24 4

= +

+ +

= +

−

−

d c

a

d c

a − 2 a + 16 d = 0 d = a 8

⇒ ⇒ ⇒

0 8

24 2

0 4

12 2

= +

+

=

− +

d c

a

d c

a

0 8

24 2

0 8

24 4

= +

+

=

− +

d c

a

d c

a 6 a + 48 d = 0 c = − a 8

⇒ ⇒ ⇒

d c

a

b = + 8 − 8

^⇒

b = − a

Tomando a=1, b=-1, c=-1/8, d=1/8, y llevando a cabo la cuenta a⋅(i)+b⋅(ii)+c⋅(iii)+d⋅(iv)

En algunos casos no es necesario usar diferencias centradas, por ejemplo,

(6)

En la dinámica de fluido computacional, por ejemplo, hay buenas razones físicas para usar diferencias hacia adelante porque la información se propaga

predominantemente en la dirección del flujo de fluidos, "upwind".

( ^{3 ( ) 4 ( ) ( )} ) ^{( )}

2 ) 1

( x t x t

₁

x t

₂

O h

²

t h

x ′

_i

=

_i

−

_i−

+

_i−

+

son las fórmula de diferencia hacia adelante y diferencia hacia atrás para x'(t_i).

Observación.

) ( 8 2

2 1 8 ) 1

2 8 (

) 1 2 8 (

) 1 (

)

( t h x t h x t h x t h h x h x h x h x O h

⁵

x + − − − + + − = ′ + ′ − ′ − ′ +

) ( )

2 (

) (

8 ) (

8 ) 2 (

12 h x ′ = − x t + h + x t + h − x t − h + x t − h + O h

⁵

) ( )

2 12 (

) 1 3 (

) 2 3 (

) 2 2 12 (

1 ) 1

( x t h x t h x t h x t h O h

⁴

t h

x  +



 



 − + + + − − + −

′ =

⇒

⇒

( ^{3 ( ) 4 ( ) ( )} ) ^{( )}

2 ) 1

( x t x t

₁

x t

₂

O h

²

t h

x ′

_i

= −

_i

+

_i+

−

_i+

+

La tabla siguiente contiene los respectivos coeficientes para aproximar las derivadas de una función por diferencias finitas centradas, para varios órdenes de precisión:

Orden derivada

Orden

precisión -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

1

2 -1/2 0 1/2

4 1/12 -2/3 0 2/3 -1/12

6 -1/60 3/20 -3/4 0 3/4 -3/20 1/60

2

2 1 -2 1

4 -1/12 4/3 -5/2 4/3 -1/12

6 1/90 -3/20 3/2 -49/18 3/2 -3/20 1/90

3

2 -1/2 1 0 -1 1/2

4 1/8 -1 13/8 0 -13/8 1 -1/8

6 -7/240 3/10 -169/120 61/30 0 -61/30 169/120 -3/10 7/240

4

2 1 -4 6 -4 1

4 -1/6 2 -13/2 28/3 -13/2 2 -1/6

6 7/240 -2/5 169/60 -122/15 91/8 -122/15 169/60 -2/5 7/240

Estará multiplicado por 1/h^w , con w el orden de la derivada.

La tabla contiene los respectivos coeficientes para aproximar las derivadas de una función por diferencias finitas hacia adelante, para varios órdenes de precisión:

Orden derivada

Orden

precisión 0 1 2 3 4 5 6

1

1 -1 1

2 -3/2 2 -1/12

3 -11/6 3 -3/2 1/3

2

1 1 -2 1

2 2 -5 4 -1

3 35/12 -26/3 19/2 -14/3 11/12

3

1 -1 3 -3 1

2 -5/2 9 -12 7 -3/2

3 -17/4 71/4 -59/2 49/2 -41/4 7/4

4

1 1 -4 6 -4 1

2 3 -14 26 -24 11 -2

3 35/6 -31 137/2 -242/3 107/2 -19 17/6

Estará multiplicado por 1/h^α , con α el orden de la derivada.

Como una manera de introducir los conceptos básicos del método de diferencias

finitas, vamos a utilizar dicho método para resolver numéricamente los problemas con valor en la frontera de la forma:

En el caso del pvf (7), aparecen las derivadas x' y x'', para las cuales se pueden usar aproximaciones de segundo orden centradas (obtenidas a partir del teorema de

Taylor) dadas por las ecuaciones (4) y (3) respectivamente.

Las dos ideas fundamentales de este método son:

i. discretización del intervalo de tiempo [a,b]

ii. "discretización" de las derivadas que aparecen en la ecuación, mediante el uso de aproximaciones para dichas derivadas

. ,

) ( , )

( ),

, ,

( t x x x a x b a t b

f

x ′′ = ′ = α = β ≤ ≤

En cuanto a la partición del intervalo de tiempo, ésta se define de manera uniforme (pudiera no serlo, en realidad; pero, en este caso, es necesario dar aproximaciones para x' y x'' un poco más complicadas que las de (3) y (4)). Entonces

1 , ,

1 0

, +

= − +

≤

≤ +

= n

a h b

n i ih

a t

_i

de modo que la partición uniforme de [a,b] es:

a = t

₀

< t

₁

< L < t

_n

< t

_n+1

= b .

(7)

(8)

Si se denota por y_i al valor aproximado de x(t_i), entonces la versión discreta del pvf (7) es:

En este nuevo problema, las incógnitas son y₁, y₂, …, y_n y hay n ecuaciones a

resolver. Si f involucra a los y_i de forma no lineal, estas ecuaciones serán no lineales y, en general, serán difíciles de resolver.

( )

β α

=

≤

≤

−

= +

−

=

+

− +

+

−

1

1 1

1 2 1

0

1 )), 2 (

, 1 , ( 1 2

n

i i

i i i

i i

y

n i y

h y y

t f y

y h y

y

(9)

Caso de pvf lineal.

Supongamos que se quiere resolver el pvf

. ,

) ( , )

( ),

( t x a x b a t b

x ′′ = ρ = α = β ≤ ≤

(10)

Discretizando el dominio [a,b] en n+2 puntos igualmente espaciados separados por h=(b-a)/(n+1).

Reescribiendo la ecuación (10) como una ecuación en diferencias finitas en t_i:

Como y₀ y y_n+1 son conocidos, la ecuación (11) es equivalente a un sistema de n ecuaciones lineales en las incógnitas y_i, 1≤i≤n. En el caso de n=4 se tiene

(11)

En general para n arbitrariamente grande, la estructura de la ecuación (12) es la misma; el vector de la derecha es h²ρ(t_i) para todo excepto i=1 e i=n, el cual tiene sustraído y₀ e y_n+1 respectivamente. La matriz de dimensión n×n del lado izquierdo de (12) tiene sus elementos diagonal igual a -2, y los elementos por encima y por debajo iguales a 1, y todos los otros elementos iguales a 0. Esta es una matriz tridiagonal. La solución del sistema de ecuaciones tridiagonal es mucho más sencillo que el caso general, donde los métodos de eliminación de Gauss, descomposición LU o

descomposición en valores singulares son requeridos para obtener la solución.

. 1

), 2 (

2

1

1

t i n

h

y y

y

i i

i

i₋

− +

₊

= ≤ ≤

ρ

.

(12)

) (

) (

) ( ) (

2 1

0 0

1 2

1 0

0 1

2 1

0 0

1 2

5 4

2

3 2

2 2

0 1

2

4 3 2 1

 

 







 

 







−

−

=



 









 









 









 







−

−

−

−

y t

h

t h

t h

y t

h

y y y y

ρ

ρ

ρ

ρ

Supongamos que f en el pvf (7) es lineal en x y x', es decir f tiene la forma

La ecuación en diferencias finitas en t_i para (13) es

.

(13)

) ( )

( )

( )

, ,

( t x x r t q t x p t x

f ′ = + + ′

donde p_i=p(t_i), q_i=q(t_i) y r_i=r(t_i), 1≤i≤n. Así, el sistema discreto en los y_i es ahora un sistema lineal de n ecuaciones, que puede escribirse como:

. 1

), ( )

2 ( )

2 (

_{1 1}

2

1

1

q t y r t i n

h y t y

h p

y y

y

i i

i i

i i i

i

i

− + + ≤ ≤

+ =

−

_{+ + −}

−

β α

=

≤

≤

−

= +

− + +

+

−

−

=

+

+

−

1

2 1

2 1

0

1 , 2 )

1 1 ( )

2 ( 2 )

1 1 (

n

i i

i i

i i

i

y

n i r

h y

hp y

q h y

hp

y

(14)

Usando la notación siguiente

) 2

2 (

1 1 hp

₁

i n

a

_i

= − −

_i+

≤ ≤ ) 1

(

2 h

²

q i n

d

_i

= +

_i

≤ ≤

) 1 1

2 (

1 + 1 ≤ ≤ −

−

= hp i n

c

_{i i}

) 1

2

(

n i r

h

b

_i

= −

_i

≤ ≤

el sistema lineal queda así

(15)

Este es un sistema tridiagonal, el cual puede ser resuelto por eliminación Gaussiana adaptada a este tipo de matrices. Se sabe que la eliminación Gaussiana sin pivoteo funciona en este tipo de sistema lineal siempre que la matriz tridiagonal sea diagonal dominante. Este es el caso si h es suficientemente pequeño y q_i>0, ya que así

 

 

 









 

 

 









−

−

=

 

 

 









 

 

 









 

 

 









 

 

 









−

−

−

−

−

β α

n n

n

n n

n n

n n

n

c b

b b b

a b

y y

y y y

d a

c d

a c d

a

c d

a

c d

1 3 2

0 1

1 3 2 1

1 1

1 3 3

3

2 2

2

1 1

M M

O O

O

2 . 1 1 2

1 1 2 2

2 + h

²

q

_i

≡ + h

²

q

_i

> = + hp

_i

+ − hp

_i

La última igualdad es valida ya que, al ser h pequeño entonces la cantidad ½hp_i es pequeña como para que |½hp_i|≤1 y así ambas cantidades 1±½hp_i son no negativas.

Por lo tanto, se supone que q_i >0 y que h es suficientemente pequeño como para que

|½hp_i|<1 (esto para todo i).

Ejemplo. Retomando el ejemplo 7 del capitulo 6, es decir, el pvf

vamos a tomar n=9 (n+1 subintervalos) de modo que h=0.1, para aplicar el método de diferencias finitas, y tenemos el mismo espaciado que en el ejemplo 7 del tema 6.

, 2 1

, 2 ) 2 ( , 1 ) 1 ( )) ,

sin(ln(

2 2

2

2

+ = = ≤ ≤

′ +

−

′′ = x x t

t x t

x t x t

t xp sol error 1.000, 1.000000, 1.000000, 0.0000000000 1.100, 1.092601, 1.092629, 0.0000287998 1.200, 1.187043, 1.187085, 0.0000417569 1.300, 1.283337, 1.283382, 0.0000454478 1.400, 1.381402, 1.381446, 0.0000438821 1.500, 1.481120, 1.481159, 0.0000391549 1.600, 1.582360, 1.582392, 0.0000325892 1.700, 1.684989, 1.685014, 0.0000249925 1.800, 1.788882, 1.788898, 0.0000167388 1.900, 1.893921, 1.893929, 0.0000083851 2.000, 2.000000, 2.000000, 0.0000000001

Aquí, los resultados son mucho menos exactos que los obtenidos en el ejemplo 7 del tema 6. Esto se debe a que el método empleado en ese ejemplo incluía un método de RK con un error de truncamiento O(h⁴), mientras que el método de DF usado aquí presenta un error de orden O(h²).

Observación. Si se quiere obtener un método de DF con mayor precisión, podemos usar la serie de Taylor de quinto orden para aproximar x''(t_i) y x'(t_i) con un error de truncamiento que involucra el término h⁴. Sin embargo, este proceso requiere emplear el uso de mas puntos en las fórmulas de aproximación para x''(t_i) y x'(t_i).

Esto da origen a tener problemas en i=0 y en i=n. Más aún, el sistema resultante de ecuaciones análogas a (15) no presenta la forma tridiagonal, y su solución requiere una labor de cálculo mucho mayor.

( ^{( ) 8 ( ) 8 ( ) ( )} ) ^{( ).}

12 ) 1

( x t

₂

x t

₁

x t

₁

x t

₂

O h

⁴

t h

x ′

_i

=

_i+

+

_i+

−

_i−

+

_i−

+

( ^{( ) 16 ( ) 30 ( ) 16 ( ) ( )} ) ^{( ).}

12 ) 1

( x t

₂

x t

₁

x t

₁

x t

₁

x t

₂

O h

⁴

t h

x ′′

_i

= −

_i+

+

_i+

+

_i−

+

_i−

−

_i−

+

Caso no lineal.

Para el caso del problema no lineal general con valor de frontera

. ,

) ( , )

( ),

, ,

( t x x x a x b a t b

f

x ′′ = ′ = α = β ≤ ≤

El método de diferencias finitas se parece al que se aplicó a los pvf lineales. Sin

embargo, aquí el sistema de ecuaciones no será lineal y, por lo mismo, se requiere un proceso iterativo para resolverlo.

Supondremos que f satisface las condiciones siguientes:

(i) f y las derivadas parciales f_x y f_x' son continuas en

{ ^{( t , x , x ) / a t b , x , x R} } ^;

D = ′ ≤ ≤ ′ ∈

(ii) f_x(t,x,x')≥δ en D, para algún δ>0;

(iii) existan las constantes k y L con

. ) , , ( max

) , , (

max

, , ) ( , , )

(

f t x x L f t x x

k

_x

D x x x t

D x x

t

′ = ′

=

_′

′∈

′∈

y

Esto garantiza que, conforme al teorema (5) del tema 6, exista una solución única.

por la fórmula adecuada de diferencias centradas (3) y (4). Esto nos da

Discretizando el dominio [a,b] en n+2 puntos igualmente espaciados separados por h=(b-a)/(n+1). Así, [a,b] queda dividido en n+1 subintervalos iguales cuyos extremos se encuentran en t_i=a+ih, para i=0,1,…,n+1. Suponer que la solución exacta tiene una cuarta derivada acotada nos permite reemplazar x''(t_i) y x'(t_i) en

)) ( ), ( , ( )

( t

_i

f t

_i

x t

_i

x t

_i

x ′′ = ′

. 1

2 , ,

2 ,

_{1 1}

2

1

1

i n

h y y y

t h f

y y

y

_{i i}

i i i

i

i

 ≤ ≤



 



 −

+ =

−

_{+ + −}

−

Así, el sistema discreto en los y_i es ahora el sistema no lineal de n ecuaciones siguiente:

β α

=

≤

≤

 =



 



 −

+ −

−

=

+

− +

+

−

1

1 1

2

1 1

0

1 , 2 0

, 2 ,

n

i i

i i i

i i

y

n h i

y y y

t h f

y y

y

y

El sistema no lineal de n ecuaciones obtenido con este método

tiene una solución única siempre y cuando h<2/L (véase Keller H.B., Numerical methods for two-point boundary-value problems, 1968, Blaisdell Waltham Mass).

2 0 ,

, 2

, 2 0

, ,

2

, 2 0

, , 2

, 2 0

, , 2

2 1 1

2 1

1 2

1 2

2 3

2 2 2

3 2

1

2 1 1 2

2 1

=

 −



 



 −

+ +

−

 =



 



 −

+

− +

−

 =



 



 −

+

− +

−

=

 −



 



 −

+

−

−

−

−

−

−

−

−

β β α α

h y y

t f h y

y

h y y y

t f h y

y y

h y y y

t f h y

y y

h y y

t f h y

y

n n

n n

n

n n

n n

n n

n

L

₍₁₆₎

Escribiendo (16) como F(y₁,…y_n)=(0,…,0)^t, donde F es una función ℜⁿ→ℜⁿ con funciones coordenadas las dadas por el lado izquierdo de cada una de las

ecuaciones en (16).

Se genera una sucesión de iteraciones que converge a la

solución del sistema (16), a condición de que la aproximación inicial se acerque lo suficiente a la solución y de que la matriz jacobiana, JF, del sistema no sea singular.

La matriz jacobiana es tridiagonal con el ij-ésimo elemento

donde y₀=α y y_n+1=β.

( )

{

n^{k t}

}

k

k

y y

y

₁^{( )}

,

₂^{( )}

, K ,

^{( )}

( )

{ ^y

¹⁽⁰⁾

^{, y}

²⁽⁰⁾

^{, K , y}

^{n(0) t}

}

( y

₁

, y

₂

, K , y

_n

)

^t

,

( ^{y y y}

_n

)

JF

₁

,

₂

, K ,

 





 







−

= +

 =



 



 −

−

−

=

 =



 



 −

+

=

−

 =



 



 −

+

−

=

− +

′

− +

− +

′

, 1 ,

, 1 1

2 , ,

2 , 1

, , , 1 2 ,

, , 2

, , , 2 1

2 , ,

2 , 1 )

, , (

1 1

1 2 1

1 1

1

n j

y j

h i y y y

t h f

n j

y j h i

y y y

t f h

n j

y j

h i y y y

t h f

y y

JF

i i

i i x

i i

i i x

i i

i i x

ij n

K K

K K

Ahora aplicamos el método de Newton para sistemas no lineales para aproximar la solución de este sistema, es decir,

[ ⁽

^{( 1)}

⁾ ]

¹

⁽

^{( 1)}

^).

) 1 ( )

( − − − −

−

=

^{k k k}

k

y JF y F y

y

[ ⁽

^{( 1)}

⁾ ]

¹

⁽

^{( 1)}

^).

) 1 ( )

( − − − −

−

=

^{k k k}

k

y JF y F y

y

El método de Newton para el sistema F(y₁,…y_n)=(0,…,0)^t

), (

) ,

)(

( y

^(k−1)

v

₁

v

_n ^t

= − F y

^(k−1)

JF K

. , , 2 , 1

)

,

1 ( )

(

y v i n

y

_i^k

=

_i^k−

+

_i

= K

y seguidamente calcular y^(k) como

requiere que en cada iteración del sistema se calculen v₁,…v_n a partir del sistema

Ejemplo 10. Considerar el pvf no lineal del ejemplo 9 del tema 6

. 3 1

3 , ) 43

3 ( , 17 )

1 ( ),

2 32 8 (

1

2

≤

≤

=

′ =

− +

′′ = t x x x x t

x

Para aplicar el método de DF, hay que discretizar el dominio [1,3] en n+2 puntos

igualmente espaciados separados por h=(3-1)/(n+1). Así, [1,3] queda dividido en n+1 subintervalos iguales cuyos extremos se encuentran en t_i=1+ih para i=0,…,n+1.

Ahora, usar las fórmulas de diferencias finitas centradas (3) y (4), es decir

( ) ^{( 32 2 ( )).}

8 2 1

1

1 1

2 1

2

y

_i+1

− y

_i

+ y

_i+

= + t

_i

− y

_i

y

_i+

− y

_i−

h

Se puede demostrar que este método no lineal de DF es de orden O(h²).

Así, el sistema discreto en los y_i es

3 0 ) 43 3

( 43 2

2 1 8 32

2

0 )

2 ( 2 1

8 32 2

0 )

2 ( 2 1

8 32 2

0 17 )

17 2 (

2 1 8 32

2

1 2

2 1

2 1

2 1 2

1 2

1

1 3

2 2

2 2

3 2

1 2

2 1 2

1 2

2 1

1

=

 −



 



 + − −

+ +

−

=

 =



 



 + − −

+

− +

−

=

 =



 



 + − −

+

− +

−

=

=

 −



 



 + − −

+

−

=

−

−

−

−

−

−

−

−

n n

n n

n n

n n

n n

n n

n n

y h y

h t y

y f

y y

h y h t

y y

y f

y y

h y h t

y y

y f

y h y

h t y

y f

M

_{… …}

Escribiendo el sistema anterior como F(y₁,…y_n)=(f₁, …,f_n) ^t=(0,…,0)^t, donde F es una función ℜⁿ→ℜⁿ con funciones coordenadas las dadas por el lado izquierdo de cada una de las ecuaciones.

El sistema no lineal obtenido con este método es el siguiente

43 3

1 , ) 2 (

8 1 8 32

1 2

17

1

1 1

2 2

1 1

0

=

≤

 ≤



 



 + − −

+ =

−

+

− +

+

−

n

i i

i i

i i

i

y

n i y

y h y

h t

y y

y

y

El jacobiano de F, JF, es la siguiente matriz tridiagonal



































 



− −

 +



 



− +

−



 



− +

 −



 



− −

 +



 



− +

−



 



− +

 −



 



− −

 +



 



− +

−



 



− +

 −



 



− −

+

−

−

−

−

3 ) (43 2

1 2 8

2 1 1 8

2 1 1 8

) 2 (

1 2 8

2 1 1 8

2 1 1 8

) 2 (

1 2 8

2 1 1 8

2 1 1 8

) 17 2 (

1 2 8

1 2

2

1 2

2 2

1 2

2 2

1 3 2

2 2

1 2

2 2

n n

n n

n n

h y y h

h h

h y y h

h y y h

h h

hy y h

h y y h

h h

hy y h

h h

O O

O

Las derivadas parciales de F



 



− −

+

∂ =

∂ ( 17)

2 1

2 8 ₂

2

1

1 y

h h

y

f 



 



− +

−

∂ =

∂

1 2

2 1

2 1

1 8 y

h h

y f



 



− +

−

∂ =

∂

2 2

1 2

2 1

1 8 y

h h

y

f 



 



− +

−

∂ =

∂

2 2

3 2

2 1

1 8 y

h h

y

 f



 



− −

+

∂ =

∂ ( )

2 1

2 8 _{3 1}

2

2

2 y y

h h

y f



 



− +

−

∂ =

∂

−

−

−

1 2

2 1

2 1

1 8 _n

n

n y

h h

y

f 



 



− +

−

∂ =

∂

−

−

1 2

1

2 1

1 8 _n

n

n y

h h

y

 f



 



− −

+

∂ =

∂

−

−

− ( )

2 1

2 8 ₂

2

1 1

n n n

n y y

h h

y f



 



− +

−

∂ =

∂

−

n n

n y

h h

y f

2 1 1 8

2

1



 



− −

+

∂ =

∂

− ) 3

(43 2

1

2 8 ₁

2

n n

n y

h h

y f

… … …

JF=