ELECTROMAGNETISMO COMPUTACIONAL

ELECTROMAGNETISMO COMPUTACIONAL Resumen

Conocer la distribución de corriente en una antena permite determinar sus principales parámetros. Los procedimientos computacionales han permitido determinar la distribución de corriente en antenas con facilidad y exactitud, facilitando los procedimientos de caracterización. Este proyecto tiene por objeto desarrollar procedimientos computacionales basados en la ecuación de Pocklington, resuelta por el Método de Momentos y las ecuaciones de Maxwell resueltas por medio del Método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo.

Objetivo

Obtener la distribución de corriente en antenas usando el Método de Momentos y de distribuciones de campo en diferentes medios usando el Método de diferencias Finitas en el dominio del Tiempo.

Métodos y Materiales.

EL MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO (MDFDT) es un procedimiento de análisis computacional de campo electromagnético, que se usa en diferentes aplicaciones, como en la caracterización de difractores, antenas de microcinta y corneta, resonadores, guías de onda etc, y en el análisis de propagación en diferentes medios y materiales. El MDFDT transforma las ecuaciones diferenciales de Maxwell en ecuaciones de diferencias finitas modelándolas usando procedimientos computacionales [1], en esta forma puede analizarse cualquier dispositivo electromagnético o fenómeno de propagación. Se presentan en este trabajo los resultados del campo de radiación de una antena de 8 ranuras usando el MDFDT.

El método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo fue originalmente desarrollado por Kane S. Yee (1966) [2], implementando las derivadas espaciales del operador rotacional de las ecuaciones diferenciales de Maxwell, usando una aproximación de diferencia finita central tri-dimensional en una malla regular cartesiana. Las derivadas en tiempo se implementan en un esquema leap-frog; esto es, el campo eléctrico se calcula en un instante dado de tiempo, y a partir de él se calcula el campo magnético en el siguiente instante de tiempo, considerando todas las condiciones de frontera en el espacio de cómputo. Los fundamentos del algoritmo de Yee son:

1. Modela el campo eléctrico y magnético en tiempo y espacio usando las ecuaciones de Maxwell.

2. Centra las componentes de E y H en un espacio tridimensional de modo que cada componente de E esta rodeada por cuatro componentes de H circulantes y cada componente de H esta rodeada por cuatro componentes de E circulantes.

3. También centra las componentes de E y H en tiempo (esquema leapfrog). Todos los cálculos de E en el espacio tridimensional de interés se completan y almacenan en memoria para un tiempo particular usando los datos de H previamente almacenados en la memoria de la computadora, posteriormente todos los cálculos de H en el espacio modelado se completan y almacenan en memoria usando los datos de E calculados en el paso anterior.

Considérese una región de espacio libre de fuentes eléctricas o magnéticas, pero que puede tener materiales de cualquier tipo: conductores, dieléctricos, ferromagné-ticos, etc., las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial, que describen el medio, son:

B

t =  EJm

D

t =  HJ_e

las ecuaciones pueden expandirse, en un sistema de coordenadas rectangulares (x,y,z), en la forma (se presentan sólo dos componentes):

μ



H t

E z

E

y H

x y z

=     x

 



1





E t

H y

H

z E

x z y

=    x

 



1

Donde Ex, Ey, Ez son las componentes cartesianas de E y Hx, Hy, Hz las componentes cartesianas de H.

Por otro lado,  es la permitividad dieléctrica,  la conductividad eléctrica, μ la permeabilidad magnética y ’ la resitividad magnética., de acuerdo con la notación de Yee, cualquier función F en un punto discreto en espacio y tiempo en la rejilla, como:

F_{i j k}ⁿ_{, ,} =F i x j y k z n t(
,
,
,
)

donde
x,
y, y
z son los incrementos en espacio en las direcciones de coordenadas x, y, z y
t es el incremento en tiempo, con i, j, k y n siendo enteros.

Bajo estas consideraciones, las expresiones de diferencia finita central para las derivadas en espacio y tiempo de F en la dirección x, para un tiempo _{tn=
n t} es:

[ ]

F i x j y k z n t x

F F

x O x

i j k

n

i j k

( , , , ) n

( )

, , , ,

   

 

= 

+¹₂ ¹₂ + 2

Igualmente la derivada parcial temporal de primer orden de F, evaluada en un punto del espacio (i,j,k) fijo en intervalos de
tiempo alternados, es:

[ ]

F i x j y k z n t t

F F

t O t

i j k n

i j k

( , , , ) n

( )

, , , ,

   

 

= 

+

+¹2 1

2

2

Aplicando estas expresiones a las ecuaciones de Maxwell se obtiene el algoritmo a ser manipulado por la computadora, por ahorro de espacio se presenta aquí únicamente una de las componentes de cada campo:

  







 



   







+

+

  







+



=

+

 +

+ +

 +

+ +

z H H

y H H

t t

t E t E

n k j i y n

k j i y

n k j i z n

k j i z

k j i

k j i

k j i

n k j i x

k j i

k j i

k j i

k j i

n k j i x

12 12 12

12 2 1

12 2

1 12

) , , ( ) , , (

) , , ( ) , , (

) , , (

) , , (

) , , (

) , , (

) , , (

) , , (

) , , (

) , , (

1 ) , , (

1 2 1 2 1 2















   







 



    








+

+

  








+





=

 +

 +

 +

y E E

z E E

t t

t H t H

n k j i z n

k j i z

n k j i y n

k j i y

k j i

k j i

k j i

n k j i x

k j i

k j i

k j i

k j i

n k j i x

) , , ( ) , , (

) , , ( ) , , (

) , , (

) , , (

) , , (

) , , (

) , , (

) , , (

) , , (

) , , (

) , , (

12 12

12 12

2 1 2

1

1 2 1 2 1 2

μ

 μ

μ

 μ



con el sistema de ecuaciones, el nuevo valor de una componente del campo en cualquier punto depende únicamente de su valor anterior y de los valores anteriores de las componentes del otro campo en puntos adyacentes; las ecuaciones transformadas en diferencias finitas representan el cálculo básico en la estructura de rejilla, sin embargo es necesario definir otras características del modelado: a) la dimensión de los elementos de la rejilla, b) la fuente primaria de la energía electromagnética en la rejilla, c) la frontera de cálculo. Se presentan algunos resultados obtenidos:

Distribución de campo en una guía de onda ranurada y campo radiado a través de la ranura

Campo de dispersión en una guía de placas paralelas y patrón de dispersión para diferentes alimentadores LA ECUACIÓN DE POCKLINGTON Y EL MÉTODO DE MOMENTOS

Obtener la distribución de corriente en una antena significa conocer su comportamiento como radiador y determinar sus parámetros principales: ganancia, patrón de radiación, impedancia etc. En la actualidad se usan métodos numéricos para obtener la distribución de corriente en antenas de alambre, que permiten resolver ecuaciones diferenciales, integrales o integrodiferenciales que describen esa distribución de corriente, una de ellas es la ecuación de Pocklington para alambres de forma arbitraria. El modelo de Pocklington que se ha desarrollado para fuentes eléctricas aunque puede aplicarse a fuentes magnéticas, representa el campo eléctrico E en función de la corriente, a partir de la suposición de que la densidad de corriente en el conductor esta concentrada en un filamento equivalente sobre la superficie; el campo eléctrico en un punto se determina a partir de los potenciales eléctrico y magnético usando las relaciones clásicas obtenidas a partir de las ecuaciones de Maxwell y considerando una variación armónica con el tiempo:

V j

- t V

-  = 

=
A - A -

E 

El potencial eléctrico y el potencial magnético se definen en función de la densidad de corriente J y de la densidad de carga
 en el conductor, por lo que usando las relaciones entre el potencial magnético A y la densidad de corriente J y el potencial eléctrico V y la densidad de carga
, es posible obtener el campo en función de sus fuentes, tales relaciones son:

 ⁼ 

=



vol

jkR

R

e dv' Gdv'

) (

4 J r' J

A

^e

μ

μ



 ⁼

=



dv' G ) dv'

( 4

V 1  



_vol

jkR

R e

r'

Donde

R = r - r'

, k²=²μ representa el factor de fase y G es la función de Green dada por:

r' - r

r' - r

4

e

jk

G



=

r es el vector de posición de un punto en el espacio y r’ el vector de posición de un elemento diferencial de volumen en el conductor. La suma de las contribuciones de cada elemento de volumen producirá el campo total en el punto en el espacio. Cuando el punto en el, espacio se localiza sobre la superficie del conductor, considerado como perfecto, es posible definir la relación entre campo y densidad de corriente en cualquier posición sobre ella. Sin embargo, por el principio de reciprocidad, tal relación puede verse en dos sentidos: un punto de densidad de corriente produce un campo radiado, considerado como incidente en otro punto, generando en él un elemento de corriente; el campo radiado y el campo incidente son iguales, pero de signo contrario, de acuerdo con las condiciones de frontera para conductores perfectos, que implica que la suma de ambos es cero sobre la superficie dada por r=r_s^:

( )

⁼

( )

⁺ s

( )

s ⁼⁰ s

i s

t r E r E r

E

El procedimiento de Pocklington supone que toda la densidad de corriente se localiza sobre un filamento infinitamente delgado y el resto del volumen del conductor forma parte del espacio libre, aunque esta idea sólo es aplicable para conductores delgados en los que la distribución de corriente transversal es uniforme. Mediante el uso de los potenciales, la aplicación de las condiciones de frontera y el uso de igualdades vectoriales, la ecuación del campo queda:

ds' s' I

ˆ G j

E

ⁱ

^{= } _ 1  _ ^{ k}

²

^{s • s' +}

_s

^G _ ^

La ecuación generalizada de Pocklington puede reducirse aún más obteniendo la derivada de la función de Green, dando como resultado:

( ) ( ) ( )( )

[ ]





•

•

 + +

•





= Ids'

' 4 3

3 ' 1

E j

- ^{i 2 2 2 2 2} ₅

R R k jkR jkR

R k R

e

jkR





s s R s R s

La ecuación general de Pocklington puede usarse para cualquier geometría del alambre representada por el producto punto

s • s '

, donde s(s) es el vector unitario tangente al eje del conductor y s’(s’) el vector unitario para la curva paralela que representa el filamento de corriente, por otro lado la distancia entre ambos puntos es:

( ) ( )

[

^{' '}

]

²

[ ( )

^'

( )

^'

]

²

[ ( ) ( )

^{' '}

]

²

' xs x s y s y s z s z s

R=R =r
r =
+
+

Con la geometría del conductor definida, la ecuación debe resolverse por métodos numéricos, debido a que la corriente desconocida I, está dentro de la integral. El procedimiento que se sigue es el Método de Momentos que consiste en expresar la función desconocida en términos de una combinación lineal de funciones linealmente independientes.

La ecuación de Pocklington tiene la forma de la ecuación determinística:

Lf = g

siendo L un operador lineal (la integral), g es una función conocida (el campo eléctrico) y f es la función desconocida (la corriente) que debe ser determinada. Es posible representar a f como un conjunto de funciones dadas por {f1, f2, f3, …..} en el dominio de L, como una combinación lineal:

=

n n n

f

f 

^,

donde las
n son escalares que deben determinarse. Las fn se llaman funciones de expansión o funciones base. Substituyendo f y usando la linealidad de L se tiene:

⁼

n

n

n

Lf g



La igualdad es una aproximación; la ecuación tiene N incógnitas, por lo que se requieren N ecuaciones linealmente independientes que se obtienen tomando el producto interno con otro conjunto de funciones linealmente independientes, llamadas funciones peso,

^w

m

( ) ^s

en el dominio de L; el producto interno es usualmente una integración para cada w_m; estas consideraciones conducen a:

g

n

n

w

_m

, Lf

_n

= w

_m

,

^

En forma de matriz la ecuación puede escribirse como:

[ ] [ ] [ ]

[ ][ ] ^{l g}

g

n

r

n

=

=

^{w ,}

Lf ,

w

_{m n m}

Si la inversa de [l] existe las incógnitas n pueden obtenerse de:

[ ] [ ] ^

ⁿ

^{= l}

¹

[ ^w

^m

^{, g} ]

Un producto interno tiene las siguientes propiedades:

, 0 0

*,

, 0 0

*,

, , ,

, , , ,

=

=

>

+

= +

=

g si g

g

g si g

g

w g b w f a w bg af

w g g w

donde a y b son escalares y (*) indica complejo conjugado. Un tipo de producto interno, es:

^•

=

S

g ds w g

w ,

Como se observa las funciones w establecen la compatibilidad entre ambos miembros de la ecuación, por lo menos en los puntos m de la función integral, en general, sin embargo, siempre existirá un residuo dado por:



=

n

g

n

R w

_m

,  w

_m

, Lf

_n

Es común representar la matriz de an en la siguiente forma:

[ ] ( ) ( ) ^,

2

,

1 2

1

2 1

2 22

21

1 12

11

m n mn

N N

NN N

N

N N

v I Z

v v v

I I I

Z Z

Z

Z Z

Z

Z Z

Z

=

    









=     









   







M M

L M O M M

L L

tal que Zmn es la matriz de impedancias, In la matriz de corrientes y vm la matriz de voltajes, sus unidades son

A/m y V/m, respectivamente, la solución es:

( ) I

n

= [ Z

mn

]

¹

( ) v

m ^,

donde los elementos de Zmn se obtienen de:

( )

[ ( ) ( )( ) ] ^'

' 4 3

3 ' 1 1

5 2

2 '

2 2

2

dsds

R R k jkR jkR

R k R j w

Z

jkR

s n s

m mn

e

n

m







•

•

 + +

•







=   ^{s s R s R s}

y los elementos de voltaje son:

,

=

s I S m

m

w E ds

v

Los elementos de la matriz v_m de la ecuación representan el campo eléctrico en cada punto m de la antena, pero conocer esos valores puede ser tan complicado como conocer la distribución de corriente, así el Método de Momentos propone la presencia de una distribución de campo eléctrico conocida en el conductor. La fuente más usada para modelar la matriz de voltaje es el generador delta, que supone que el

campo eléctrico sólo es diferente de cero en el lugar donde se conecta, en una antena es el punto de alimentación, representado matemáticamente como:

( )




= 0 en otropunto i

/ _m

I S

s s s s s V

E

con V representando el fasor de voltaje de la fuente conectada en el segmento m de la estructura. El generador delta no puede diseñarse en la práctica, pero es ideal porque simplifica la solución matemática produciendo resultados con suficiente exactitud. Si la antena sólo usa una fuente conectada en el segmento m y V se selecciona como 1 Volt, la matriz puede escribirse como:

( )

 

 



 







 

 



 







=

 

 



 







 

 



 







=

0 / 0 0

2 1

M M

M M

s V

v v v v

v

N m

Considerando la impedancia de la fuente, el voltaje en el segmento m es:

Z c v

V

_m

=

_m

_m

y substituyendo en (3.10) se tiene:

,

2 1 2

1

2 1

2 1

2 2

22 21

1 1

12 11

       







=
       











       





N m m

N m

NN Nm

N N

mN mm

m m

N m

N m

v Z c v

v v

c c c c

Z Z

Z Z

Z Z

Z Z

Z Z

Z Z

Z Z

Z Z

M M

M M

L L

M O M O M M

L L

M O M O M M

L L

L L

obsérvese que el m_ésimo elemento de la matriz de voltaje está dado por:

1

,

1

Z c Z c Z v c Z

c

_m

+ K +

_{m mm}

+ K +

_{N mN}

=

_m

_m

es decir:

(

mm

)

N mN m m

m

c Z Z c Z v

Z

c

1 1

+ K + + + K + =

(3.18)

Entonces la ecuación (3.17) puede escribirse como:

     









=

     









     







+

N m

N m

NN Nm

N N

mN mm

m m

N m

N m

v v v v

c c c c

Z Z

Z Z

Z Z

Z Z

Z

Z Z

Z Z

Z Z

Z Z

M M M M

L L

M O M

O M M

L L

M O M

O M M

L L

L L

2 1 2 1

2 1

2 1

2 2

22 21

1 1

12 11

Se concluye entonces que conectar una impedancia en el elemento m es lo mismo que sumar su valor al del elemento correspondiente Z_mm de la matriz.

Para obtener la solución de la ecuación se requiere definir las funciones base y las de prueba, tanto unas como otras pueden ser cualesquier función que se desee, la selección se hace considerando los siguientes factores: simplificación del proceso de cómputo, facilidad en la aplicación, o en algunos casos, el conocimiento previo del comportamiento de la incógnita, es decir, la distribución de corriente para el caso de antenas. Aunque la selección es arbitraria, siempre se buscan funciones simples, para no complicar el código de cómputo y/o para no emplear demasiados recursos de cómputo o de tiempo; sin embargo, en la búsqueda de la exactitud e incluso de la rapidez de la solución, a veces se prefiere invertir más tiempo en la codificación, o más recursos de cómputo, De hecho la selección de las funciones base y peso establecen, a veces en sentidos contrarios, los elementos de efectividad de la solución: la exactitud, el tiempo de máquina, los recursos de cómputo y la complejidad de la codificación. Muchas veces una función específica requiere mayores recursos de cómputo para reducir el tiempo de solución o una función simple puede ser tan exacta como otra más complicada, pero usando un mayor número de segmentos, requiriendo por tanto más recursos de máquina que podrían ser comparables a los de la función complicada; bajo estas premisas el programador apela a su experiencia previa, a lo normalmente encontrado en la literatura o incluso a su conocimiento de temas afines o a la experimentación. A continuación se presentan algunos resultados para estructuras simples:

Base=Senoidal Peso=Delta

0.00E+00 2.00E-03 4.00E-03 6.00E-03 8.00E-03 1.00E-02

Número de Segmentos

|I|

95 85 75 65 55 45 35 25 15 9 5 3

Distribución de corriente para un dipolo de
/2 para diferentes segmentos.

Resistencia y reactancia en una antena de aro, comparada con otro procedimiento Resultados

Meta 1. En esta meta se planteó el análisis bibliográfico, Se consultaron una gran cantidad de libros y artículos científicos, algunos de los cuales se enlistan a continuación:

1. Edward C. Jordan, Keith G. Balmain, Ondas Electromagnéticas y Sistemas Radiantes. Paraninfo.

Madrid, 1973. Cap. IV, p.p. 124-137.

2. Constantine A. Balanis, Advanced Engineering Electromagnetics. John Wiley & Sons, Inc.

1989.

3. Wolfgang Pauli, Electrodynamics. Pauli Lectures on Physics. Dover Publications, Inc. New York 1973.

4. Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba, Cálculo Vectorial. Addison Wesley Iberoamericana, 3ª Ed. 1991.

5. Robert E. Collin, Francis J. Zucker, Antenna Theory, McGraw Hill, Inter-University Electronics Series. Part I. 1969.

6. Arnold Sommerfeld, Partial Differential Equations in Physics, Lectures on Theoretical Physics, 1949, Academic Press, Inc. London.

7. Enrique Bustamante Llaca, Modern Analysis of Alternating Current Networks. Limusa, Vol. I y Vol. II.

8. Vladimir Ivanovich Krylov, Approximate Calculation of Integrals. MacMillan, NY. 1962. p.p..

9. John D. Kraus, Ronald J. Marhefka, Antennas, For All Applications. McGraw Hill, 3^rd Ed. 2002.

10. Erwin Kreyszig, Matemáticas Avanzadas Para Ingeniería. Limusa. 1996. México D.F.,

11. H. C. Pocklington, “Electrical Oscillations in Wires”, en: Cambridge Phil. Soc. Proc. 9, October 1897. London England.

12. H. Hertz, “The Forces Of Electric Oscillations Treated According To Maxwell’s Theory” en:

Nature, Feb. 21, 1889.

13. Roger F. Harrington, Field Computations By Moment Method. Robert E. Krieger Publishing Company, Inc. 1986, Florida USA

14. Michel M. Ney, “Method of Moments as Applied to Electromagnetic Problem” en: IEEE Trans.

on Microwave Theory, Oct. 1985, Vol. MTT-33, No. 10, p.p. 972-979.

15. S. R. Singh, “Some Convergence Properties Of The Bubnov-Galerkin Method” en: Pacific Journal of Mathematics, 1976, Vol. 65, No. 1, p.p. 217-221.

16. Tapan K. Sarkar, “A note on the Choice Weighting Functions in the Method of Moments” en:

IEEE Trans. on Antennas and Propagation, April 1985, Vol. AP-33, No. 4, p.p. 436-441.

17. D. R. Wilton, C. M. Butler, “Efficient Numerical Techniques for Solving Pocklington’s Equation and their Relationships to Other Methods” en: IEEE Trans. on Antennas and Propagation, January 1976, Vol. AP-24, p.p. 83-86.

18. Tapan K. Sarkar, Antonije R. Djordjevic and Ercument Arvas, “On the Choice of Expansion and Weighting Functions in the Numerical Solution od Operator Equations” en: IEEE Trans. on Antennas and Propagation, September 1985, Vol. AP-33, No. 9, p.p. 988-996.

19. Tapan K. Sarkar, “A note on the Choice Weighting Functions in the Method of Moments” en:

IEEE Trans. on Antennas and Propagation, April 1985, Vol. AP-33, No. 4, p.p. 436-441.

20. Karl F. Warnick, Weng Cho Chew, “Error Analysis of the Moment Method” en: IEEE Antennas and Propagation Magazine, December 2004, Vol. 46, No. 6, p.p. 38-52.

21. Allen Taflove, Morris Brodwin, “Numerical Solution of Steady-State Electromagnetic Scattering Problems Using The Time- Dependent Maxwell´s Equations”, IEEE MTT, 1975.

22. David Potter, “Computational Physics”, John Wiley & Sons, 1980.

23. Jorge R. Sosa Pedroza, Lizbeth Ortega Lara, “Líneas de Transmisión y Guías de Onda”, Limusa, 1990.

24. Allen Taflove, Susan C.Hagness “Computational Electrodynamics The Finite Difference Time Domain Method”, Artech House, 2000.

25. Alberto M. Benavides C., “Análisis de Campo en Guías de Onda y Resonadores Rectangulares en el Modo TE Utilizando el Método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo”, Tesis de Maestría, Marzo 2001.

26. Kane S. Yee, “Numerical solution of initial boundary value problem involving Maxwell’s equations in isotropic media” IEEE Transactions on antennas and Propagation, vol. 14 1966, pp.

302-307.

27. Jorge Sosa Pedroza, Miguel Rojas Hernández, Alberto Benavides Cruz, “Condiciones de Frontera de Cálculo en el Método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo” Revista Científica ESIME”, Abril 2002.

28. Jorge Sosa Pedroza, Manuel Benavides, Jafeth Alonso Carreón, “Distribución de campo electromagnético en una guía usando el Método de diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo”, Reunión de Otoño de Computación y Comunicaciones, IEEE, Acapulco Gro, México, Noviembre 2003.

Meta 2. Desarrollo de software.

Se desarrolló el programa para la aplicación del Método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo usando Fortran con el que se han analizado diferentes estructuras, como guías de onda, guías de onda ranuradas, guías de onda de placas paralelas, alimentadas por reflectores planos y de esquina, los resultados se han presentado en diferentes foros tanto nacionales como internacionales, en particular para cumplir con la meta tres se analizó una antena ranurada y se compararon resultados con mediciones hechas sobre antenas ranuradas construidas por los participantes.

Se desarrolló también el programa de la solución de la ecuación de Pocklington usando el método de momentos, con lenguaje C++, igualmente los resultados de diferentes estructuras como antenas rectas, de aro y de cruz se han presentado en artículos nacionales e internacionales, en especial se puede mencionar el trabajo presentado en el IEEE International Symposium on Personal, Indoor and Mobile Radio Communications, celebrado en Atenas Grecia en Septiembre de 2007. Actualmente se desarrolla una antena nueva que hemos llamado rómbica por su forma, que ha sido simulada y que se está en la etapa de la construcción para comparar resultados, este desarrollo servirá para la titulación de una estudiante de UPIITA.

Meta 3. Antena de ranura

Se simuló una guía ranurada con diferente número de elementos, los resultados preliminares se presentaron en la Reunión de Otoño de cómputo y comunicaciones organizado por la IEEE en Acapulco en Noviembre de 2007. para efectos de comparación, de campo de radiación, se simuló una antena ranurada de 9 elementos, diseñada de acuerdo a la distribución de los polinomios de Chevychev, misma que fue construida para servir de comparación, los resultados se han presentado para su calificación en el IEEE International Caribbean Conference on Devices, Circuits and Systems que se celebrará en Agosto de 2008.

Meta 4 Antena de Espiral.

Esta meta quedó inconclusa, en parte por que el estudiante de maestría cuyo diseño estaba encomendado, tuvo problemas de salud y el análisis se quedó en la definición matemática de la estructura que habría de ser simulada resolviendo la Ecuación de Pocklington por el Método de Momentos, sin embargo se inició el análisis de la antena rómbica mencionada arriba, los resultados preliminares de patrón de radiación se presentan abajo.

Antena rómbica Patrón de radiación

Impacto.

El electromagnetismo computacional es un área poco estudiada en México, a pesar de ser una poderosa herramienta, el proyecto ha incursionado en este proceso pero apenas en algunas aplicaciones que aquí se han presentado, sin embargo el proyecto ha entusiasmado a otros profesores y estudiantes y actualmente formamos un grupo de alrededor de 8 profesores que estamos participando con unos 15 estudiantes con diferentes ideas, tales como el diseño de una cámara reflectiva que permitirá medir patrón de radiación en antenas de altas frecuencias, con la intención de sustituir las costosas y contaminantes cámaras anecoicas . Otro proyecto estárelacionado con encontrar los límites de aplicación del Método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo, ya que se pretende usarlo en estructuras nanométricas, como parte de un proyecto de doctorado. Seguiremos investigando sobre nuevas estructuras de alambre como la antena rómbica, que de acuerdo a nuestras investigaciones es una antena original.