es una uni´ on numerable de rect´ angulos abiertos

Todo conjunto abierto en el plano

es una uni´ on numerable de rect´ angulos abiertos

Objetivos. Demostrar que todo conjunto abierto en el plano es una uni´on numerable de rect´angulos abiertos. Se supone que la topolog´ıa del plano est´a inducida por la m´etrica euclidiana.

Requisitos. Bola en un espacio m´etrico, producto cartesiano de dos conjuntos, la distan- cia entre un punto y un conjunto.

Dados x ∈ R² y A ⊆ R², denotemos por d⁰(x, A) la “distancia m´ınima” del punto x al conjunto A:

d⁰(x, A) := inf

a∈Ad(x, a).

Sabemos que si A es cerrado y x /∈ A, entonces d⁰(x, A) > 0.

M´as a´un, sabemos que si x, y ∈ R², Z ⊆ R², entonces d⁰(x, Z) ≤ d(x, y) + d⁰(y, Z).

1 Observaci´on. El conjunto vac´ıo se puede representar como una uni´on numerable de rect´angulos vac´ıos, por ejemplo

∅ = [

j∈N

(7, 6) × (4, 4).

Este caso trivial est´a exclu´ıdo de la siguiente proposici´on.

2 Proposici´on (los conjuntos abiertos en el plano euclidiano en t´erminos de rect´angulos abiertos). Sea A un conjunto abierto en R², A 6= ∅. Entonces existe una sucesi´on de rect´angulos abiertos (a_k, b_k) × (c_k, d_k)

k∈N tal que A = [

k∈N

(a_k, b_k) × (c_k, d_k).

Demostraci´on. El caso A = R² es simple:

R² = [

k∈N

(−k, k) × (−k, k).

Consideramos el caso A 6= R². El conjunto A∩Q²es numerable. Elegimos una numeraci´on (p_k)_k∈N de este conjunto:

{p_k: k ∈ N} = A ∩ Q².

Estructura de conjuntos abiertos en el plano, p´agina 1 de 2

Como pk ∈ R/ ² \ A y R²\ A es cerrado, tenemos que d⁰(pk, R²\ A) > 0. Denotemos este n´umero por ρ_k:

ρ_k := d⁰(p_k, R²\ A) = inf

q∈R²\Ad(p_k, q) > 0.

Representamos cada punto p_k como ((p_k)₁, (p_k)₂). Construimos los siguientes cuadrados abiertos alrededor de los puntos p_k:

R_k :=



(p_k)₁− ρ_k

√2, (p_k)₁+ ρ_k

√2



×



(p_k)₂− ρ_k

√2, (p_k)₂+ ρ_k

√2

 . Vamos a demostrar que

A = [

k∈N

R_k.

Es f´acil ver (¡ejercicio!) que B

 pk,ρ_k

2



⊆ Rk⊆ B(pk, ρk).

Por lo tanto, R_k ⊆ A para cada k en N, y [

k∈N

R_k ⊆ A.

Falta demostrar la contenci´on inversa. Sea a ∈ A, a = (a1, a2), y sea δ := d⁰(a, R²\ A).

Como a /∈ R² \ A, y R² \ A es cerrado, tenemos δ > 0. Usando la densidad de Q en R encontramos b₁, b₂ ∈ Q tales que

|b₁− a₁| < δ 4√

2, |b₂ − a₂| < δ 4√

2. Pongamos b = (b₁, b₂). Entonces

d(a, b) < δ 4

y por lo tanto b ∈ A. Como b ∈ A ∩ Q², existe un ´unico k en N tal que b = p^k. Notemos que

d⁰(a, R²\ A) ≤ d(a, p_k) + d⁰(p_k, R²\ A), de donde

ρk = d⁰(pk, R²\ A) ≥ d⁰(a, R²\ A) − d(a, pk) > δ −δ 4 > δ

2. Como d(a, p_k) < δ/4, concluimos que

a ∈ B

 p_k,δ

4



⊆ B p_k,ρ_k

2

⊆ R_k.

Estructura de conjuntos abiertos en el plano, p´agina 2 de 2