Cálculo simbólico y gráfico con GeoGebra 4.2

(1)

Cálculo simbólico y gráfico con

GeoGebra 4.2

Agustín Carrillo de Albornoz Torres

Universidad de Córdoba Instituto GeoGebra de Andalucía

Jornadas de intercambios de experiencias:

Encuentros en Geogebra 4

(2)

Cálculo simbólico con GeoGebra

Disponible a partir de la versión 4.2.

(3)

Cálculo simbólico con GeoGebra

(4)

Cálculo simbólico con GeoGebra

(5)

Cálculo simbólico con GeoGebra

Factorización de números y polinomios.

Resolución de ecuaciones.

Resolución de sistemas de ecuaciones.

Discusión de sistemas.

Cálculo diferencial.

Cálculo integral.

Cálculo de límites.

Sumas y productos de series.

Vectores y matrices.

Resolución de ecuaciones diferenciales.

(6)

Barra de herramientas propia.

Las operaciones y resultados aparecen numerados por filas.

Vista CAS - Cálculo simbólico

(7)

Evalúa Enter

Conserva entrada Alt-Enter

Valor numérico Ctrl-Enter

Vista CAS - Cálculo simbólico

(8)

Vista CAS - Cálculo simbólico

En una fila en blanco:

= Repite la entrada previa.

) Repite la entrada previa encerrada entre paréntesis.

Barra espaciadora Repite la salida previa.

(9)

Establece el número de cifras decimales para los valores numéricos o cálculos aproximados.

Vista CAS - Cálculo simbólico

(10)

Vista CAS - Cálculo simbólico

(11)

Referencias entre filas

Estáticas:

# salida previa

#n salida fila n

## entrada previa

##n entrada fila n

Dinámicas:

$ salida previa

$n salida fila n

$$ entrada previa

$$n entrada fila n

(12)

+ - * / ^

espacio Alt - n

Operadores matemáticos

Alt – i unidad imaginaria Alt – p pi Número Pi

Alt – e Número e

(13)

Copiar y pegar expresiones

(14)

Primeras operaciones: factorizar

Factoriza(expresión, variable) Factoriza(número)

Factoriza(expresión)

(15)

Máximo común múltiplo y mínimo común divisor Divisores

MCD Máximo común divisor MCM Mínimo común múltiplo

División {cociente, resto}

Divisores

ListaDivisores

(16)

Actividad

Con ayuda de un deslizador, determina la lista de divisores de los números menores que 100 para establecer cuáles son

primos y cuales no.

(17)

Números primos

EsPrimo PrimoPrevio PrimoSiguiente

(18)

Primeras operaciones: desarrollo y sustitución

Sustituye[expresión, variable, valor]

Desarrolla Sustituye

(19)

Actividad

Aplica el teorema del resto para determinar las raíces enteras del polinomio:

Comprueba los resultados hallando la descomposición en factores del polinomio.

2 x x

2 x

x

P ( ) =

³

+

²

+ +

Asignación a una variable:

:=

a:=3x-1

(20)

Actividades

1. Determinar si 1+i, es una raíz del polinomio:

2 4

5 3 z

⁴

− z

³

+ z −

2. Comprobar que a es una raíz del polinomio p(x).

5 3

2 a = + + p ( x ) = x

⁸

− 40 x

⁶

+ 352 x

⁴

− 960 x

²

+ 576

3. Si a y b son dos números naturales consecutivos, entonces la siguiente expresión es un cuadrado perfecto.

2 2

2

b ( a b )

a + +

(21)

Resolución de ecuaciones

Raíz[polinomio]

(22)

Resolución de ecuaciones

RaízCompleja[polinomio]

(23)

Resolución de ecuaciones

Soluciones[ecuación]

(24)

Resolución de ecuaciones

Raíces[ecuación, valor inicial, valor final]

Raíz[ecuación, valor inicial, valor final]

(25)

Resolución de ecuaciones

Soluciones[ecuación]

(26)

Resolución de ecuaciones

Soluciones[ecuación]

Raíz[ecuación]

Resuelve[ecuación]

Resuelve

Soluciones[ecuación,variable]

Resuelve[ecuación,variable]

(27)

Resolución de ecuaciones

Raíz[polinomio]

(28)

Resolución de ecuaciones

Raíz[función]

(29)

Actividad

Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:

0 7

2

7

3

+ x − x − =

x x

⁴

+ x 3

²

− 4 = 0

(30)

Factorización de polinomios

Factores

Factoriza

FactorC

(31)

Raíces complejas

SolucionesC

ResoluciónC

(32)

Resolución de ecuaciones

RaízCompleja[polinomio]

(33)

Resolución numérica de ecuaciones

Resolver la ecuación polinómica x

⁶

+ x − 2 = 0

(34)

Resolución numérica de ecuaciones

Resolver la ecuación polinómica x

⁶

+ x − 2 = 0

(35)

Resolución numérica de ecuaciones

SolucionesN

ResoluciónN

SolucionesN[ ecuación, variable]

SolucionesN[ecuación, variable=valor inicial]

ResoluciónN[ ecuación, variable]

ResoluciónN[ecuación, variable=valor inicial]

(36)

Resolución de sistemas de ecuaciones

Los mismos comandos utilizados en la resolución de ecuaciones.

Soluciones[{ecuación

₁

,ecuación

₂

,…},{x, y, z, …}]

Resuelve[{ecuación

₁

,ecuación

₂

,…},{x, y, z, …}]

 

 



=

−

=

− +

=

− +

4 5

4 3 2

3 1 3

2 3

z y

x

z y

x

z y

x

(37)

La versión 5 de GeoGebra facilita la representación en 3D.

(38)

Actividad

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

 

 



= +

−

= +

−

4 3

3 2

1 3

2 z y

x

z y

x

 

 



−

=

− +

−

=

− +

+

= + +

−

2 3

3 2 2

1 t z

y x

t z y

x

t z y

x

(39)

Actividad

Discutir y resolver, según los valores del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

 

 

 +

= +

+

= +

−

= +

+

2 1 4

a z

y x

z y a x

z y x

a

(40)

Actividad

Discutir y resolver, según los valores de los parámetros a y b, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

 



=

−

= +

6 4

2 ay x

b

y

x

(41)

Aplicaciones al análisis y al cálculo. Derivadas

Desde la vista algebraica

Derivada[expresión] Derivada[expresión,variable]

Derivada[expresión,orden]

Derivada[expresión,variable,orden]

(42)

Aplicaciones al análisis y al cálculo. Derivadas

Derivada

Derivada[expresión]

Derivada[expresión,variable]

Derivada[expresión,variable,orden]

DerivadaImplícita[f(x,y)]

DerivadaImplícita[f(x,y), v dependiente, v independiente]

(43)

Integración

Integral

Integral[expresión]

Integral[expresión,variable]

Integral[expresión, valor inicial, valor final]

Integral[expresión,variable,valor inicial, valor final]

(44)

Actividad

Calcular:

dx

1

x

∫

0

∫

⁰^π⁴

^x

²

^cos ² ^x ^dx

(45)

Actividad

Calcular:

¹

x dx

∫

0

(46)

Actividad

Calcular:

⁴

x 2 x dx

0

∫

^π 2

^cos

(47)

Actividad

Hallar el área encerrada entre las dos curvas siguientes:

6 x

2

y =

9 27

2

+

= x y

(48)

Actividad

Hallar el área encerrada entre las dos curvas siguientes:

6 x

2

y =

9 27

2

+

= x y

IntegralEntre[f(x),g(x),a,b]

(49)

Cálculo de límites

Límite[función, valor]

Límite[función, variable, valor]

x x

lim x

x

−

+

−

→ 3

2 1

1 2

x

0 2

2 cos 1

x lim x

x

−

→

x

lim

3

x 2

x 



 



 +

∞

→

(50)

Límites laterales

Por la izquierda LímiteInferior

Por la derecha LímiteSuperior

(51)

Actividad

Hallar los límites laterales de la función f en el punto x = 0, siendo:

x

= f(x)

1

) 2

( +

(52)

Álgebra matricial

Definición de vectores

En la vista algebraica u=(a,b)

En la vista CAS u:=(a,b)

(53)

Álgebra matricial

Definición de matrices

En la vista algebraica

A={{a

₁₁

,a

₁₂

,…},{a

₂₁

,a

₂₂

,…},…}

En la vista CAS

A:={{a

₁₁

,a

₁₂

,…},{a

₂₁

,a

₂₂

,…},…}

¿Cuál es la diferencia entre las dos opciones anteriores?

(54)

Álgebra matricial

Operaciones con vectores

ProductoEscalar

ProductoVectorial

(55)

Actividad

Dados los vectores a y b.

Hallar k para que sean perpendiculares.

) 3 , , 1 ( k

= a 

) 1

, 2 , 2

( k

=

b  − −

(56)

Actividad

Dados los vectores a y b.

Hallar k para que sean perpendiculares.

) 3 , , 1 ( k

= a 

) 1

, 2 , 2

( k

=

b  − −

(57)

Álgebra matricial

Operaciones con matrices

(58)

Actividad

Calcula A

²

, A

³

, A

⁴

y A

⁵

.



 







 





0 1 1

1 0 1

1 1 0

=

A

(59)

Álgebra matricial

Dimensiones de una matriz Dimensión Matriz identidad de orden n: Identidad[n]

Determinante de una matriz: Determinante Inversa de una matriz: Inversa

Transpuesta de una matriz: Traspone

Rango de una matriz RangoMatriz

(60)

Actividad

Calcula el rango de la siguiente matriz:

















13 - 3 9 4 - 1

4 2

6 3 - 1

1 3

9 5 - 2

5 1

3 2 - 1

(61)

Actividad

Calcula el rango de la siguiente matriz:

















13 - 3 9 4 - 1

4 2

6 3 - 1

1 3

9 5 - 2

5 1

3 2 - 1

La forma escalonada de la matriz se obtendrá con la función

EscalonadaReducida

(62)

Agustín Carrillo de Albornoz Torres

[email protected]