Nunca deberá contestar a unos ejercicios de una opción y a otros ejercicios de la otra opción

(1)

INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN

El alumno contestará a los cuatro ejercicios de una de las opciones (A o B) que se le ofrecen. Nunca deberá contestar a unos ejercicios de una opción y a otros ejercicios de la otra opción. En cualquier caso, la calificación se hará sobre lo respondido a una de las dos opciones. No se permite el uso de calculadoras gráficas.

Calificación total máxima: 10 puntos.

Tiempo: Hora y media.

OPCIÓN A Ejercicio 1. Calificación máxima: 3 puntos.

Dada la función:

x

x ae

e x

f( )  ·

siendo a un número real, estudiar los siguientes apartados en función de a:

a) (1,5 puntos). Hallar los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.

b) (1 punto). Estudiar para qué valor, o valores, de a la función f tiene alguna asíntota horizontal.

c) (0,5 puntos). Para a > 0, hallar el área de la región acotada comprendida entre la gráfica de f, el eje OX y las rectas x = 0, x = 2.

Ejercicio 2. Calificación máxima: 3 puntos.

Se consideran las rectas:

2 2 1

1

1 

 

x y z

r ,

2 1 2

6

5 



 

 x y z

s ,

a) (1,5 puntos). Determinar la ecuación de la recta t que corta a r y s, y que contiene al origen de coordenadas.

b) (1,5 puntos). Determinar la mínima distancia entre las rectas r y s.

Obtener, para todo número natural n, el valor de:

n n



 







 



 





1 1

1 1 1

Discutir razonadamente, en función del parámetro k, el siguiente sistema:























)1 ( 2

2 k kz y x

k z y kx

k z ky x

n MADRID / MATEMÁTICAS / JUNIO 09 / EXAMEN RESUELTO

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(2)

OPCIÓN B Ejercicio 1. Calificación máxima: 3 puntos.

Dada la función: f(x)x³ x se pide:

a) (1 punto). Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (-1, f(-1)).

b) (1 punto). Determinar los puntos de intersección de la recta hallada en el apartado anterior con la gráfica de f.

c) (1 punto). Calcular el área de la región acotada que está comprendida entre la gráfica de f y la recta obtenida en el apartado a).

Dado el sistema























5 4 2

z y x

z x



 ^,

se pide:

a) (1 punto). Discutirlo para los distintos valores del parámetro 

b) (1 punto). Resolverlo cuando el sistema sea compatible indeterminado.

c) (1 punto). Resolverlo para  = - 2.

Dados los puntos A(2, 2, 3) y B(0,2,1), hallar el punto, o los puntos, de la recta:

2 4 1

3

2 

 

 x y z

r

que equidistan de A y B.

Dados el plano ^ ^⁵^x^⁴^y^^z^⁰ y la recta

3 2 1

z y r x 

contenida en , obtener la recta s contenida en  que es perpendicular a r, y que pasa por el origen de coordenadas 0 = (0, 0, 0).

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(3)

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(4)

SOLUCIONES

OPCIÓN B ANÁLISIS

Dada la función: f(x)x³ x se pide:

a) (1 punto). Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (– 1, f(– 1)).

b) (1 punto). Determinar los puntos de intersección de la recta hallada en el apartado anterior con la gráfica de f.

c) (1 punto). Calcular el área de la región acotada que está comprendida entre la gráfica de f y la recta obtenida en el apartado a).

a) Hacemos la derivada de f(x): f’(x) = 3x² – 1; luego la pendiente de la recta tangente es m = f’(– 1) = 3 – 1 = 2

La recta tiene la forma g(x) = 2x + n. Hallamos n sabiendo que pasa por el punto (– 1, f(– 1)), de donde f(– 1) = – 1 + 1 = 0. Luego g(– 1) = 2(-1) + n = 0 → n = 2

La recta tangente es g(x) = 2x + 2

b) Los puntos de intersección de g(x) con f(x) los hallamos igualando las dos ecuaciones:

x³ – x = 2x + 2 → x³ – 3x – 2 = 0, que tiene por soluciones x = 2, y x = – 1, habiéndolo calculado por Ruffini.

f(2) = 8 – 2 = 6, f(– 1) = 2, luego los puntos de corte son: (2, 6) y (– 1, 2)

c) Para calcular la superficie hacemos la integral:

    ² ²

1 2

2 4 1

3 2

1

3

4 2 21 2 3 2 4

3 2

2 x x x u

dx dx x x dx

x x x

A             



 

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(5)

ÁLGEBRA

Dado el sistema























5 4 2

z y x

z x



 ^,

se pide:

a) (1 punto). Discutirlo para los distintos valores del parámetro 

b) (1 punto). Resolverlo cuando el sistema sea compatible indeterminado.

c) (1 punto). Resolverlo para  = – 2.

a) 

















5 1 1

4 1 1

2 1 0 1 '



M . Calculamos

1 ,

2 0

1 1

1 0 1

2      







    



 M

Estudiamos los rangos en función de los valores de :

 Para  ≠ 2,  ≠ – 1 tenemos que rag (M) = rag (M’) = 3. El sistema es compatible determinado.

 Para  = 2:





















5 1 1 2

4 1 2 1

2 1 0 1 '

M , el rango de M es 2 ya que el menor ₁¹ ₂⁰ ^⁰

Por otro lado para ver el rango de M’ calculamos sus menores:

0 1 1 5

1 2 4

1 0 2

1 5 2

1 4 1

1 2 1

5 1 2

4 2 1

2 0 1













por lo que rag(M’) = 2

El sistema será compatible indeterminado.

 Para  = -1:





















5 1 1 1

4 1 1 1

2 1 0 1 '

M el rango de M es 2 ya que el menor ₁¹ _⁰₁ ^⁰

Por otro lado para ver el rango de M’ calculamos sus menores:

0 1 1 5

1 1 4

1 0 2





 por lo que rag(M’) = 3 El sistema será incompatible.

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(6)

b) Para  = 2 el sistema es :























5 2

4 2

2 z y x

z y x

z x

El sistema inicial es equivalente a:

















 t z

z y x

z x

4 2 2

cuya solución es















 t z

t y

t x

1 2

c) Para  = -2, el sistema es compatible determinado, por lo que lo resolveremos por Cramer:





















5 1 1 2

4 1 2 1

2 1 0 1 ' M

4 3 12

1 1 2

1 2 1

1 0 1

1 1 5

1 2 4

1 0 2



 







x 6

4 24

1 1 2

1 2 1

1 0 1

1 5 2

1 4 1

1 2 1



 







y ; ₅

4 20

1 1 2

1 2 1

1 0 1

5 1 2

4 2 1

2 0 1







z ;

GEOMETRÍA

Dados los puntos A(2, 2, 3) y B(0, –2, 1), hallar el punto, o los puntos, de la recta:

2 4 1

3

2  



 x y z

r que equidistan de A y B.

Para hallar los puntos de la recta que equidistan de A y B hallamos la forma de un punto genérico de la recta r, y calculamos su distancia con A y con B, para igualarlo posteriormente:

r en forma paramétrica es:





















 2 4

3 2 z

y x

, luego un punto Pr genérico será: 23,,42

² ² ³  ²  ³ ⁴ ²  ¹⁴ ⁸ ⁵

) ,

(P A     ²   ²     ²  ²   dist _r

 2 3  2  1 4 2  14 20 17

) ,

(P B     ²   ²     ²  ²   dist _r

Igualando se obtiene: 14² 8514² 201712121 Luego el punto de la recta que equidista de A y B es Pr = ^(¹^,¹^,²⁾

Se comprueba:

11 )

2 1 ( ) 1 2 ( ) 1 ( ) , ( )

2 3 ( ) 1 2 ( ) 1 2 ( ) ,

(P A   ²   ²   ² dist P B  ²    ²   ² 

dist _r _r

n

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(7)

GEOMETRÍA

Dados el plano ^ ^⁵^x^⁴^y^^z^⁰ y la recta

3 2 1

z y r x 

contenida en , obtener la recta s contenida en  que es perpendicular a r, y que pasa por el origen de coordenadas 0 = (0, 0, 0).

Observamos que la recta r pasa también por el origen de coordenadas,

3 0 2

0 1

0   

 x y z

r Luego el punto de corte de s con r será el origen.

El vector director de r es v_r (1, 2, 3), y el vector normal del plano es n_ (5,4,1) Un vector perpendicular a v y _r n es el producto vectorial de _ v y r n :_

) 14 , 14 , 14 ( 1 4 5

3 2

1  





k j i n x v_r

 



  , que simplificado es (1, 1, –1)

En forma paramétrica tendremos que s:













 z y x

 s

r

n

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