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Principio de Inducci´ on Matem´ atica

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Academic year: 2021

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UNSL MATEMATICA DISCRETA 2018

TRABAJO PRACTICO

Principio de Inducci´ on Matem´ atica

1. Verificar que cada ecuaci´ on es verdadera para todo n P N.

(a) 1  2 2  3 3  4    npn 1q  n pn 1qpn 2q 3 . (b) ° n

i 1 i pi!q  pn 1q!  1.

(c) 1 2  2 2 3 2     p1q n 1 n 2  p1q

n 1

2 n pn 1q . (d) ° n

j 1 j 3  

n pn 1q 2

2

.

(e) 1 1 3 3 1 5 5 1 7    p2n1qp2n 1q 1  2n 1 n .

2. Utilizar los resultados probados en los items (a) y (b) del ejercicio 1 anterior para calcular las siguientes sumas

(a) 1  2 2  3 3  4    42  43.

(b) ° 100 i 1 i pi!q.

3. Probar por inducci´ on matem´ atica que si θ P R,

sen pθ nπq  p1q n sen pθq.

4. Utilizar el principio de inducci´ on para verificar cada desigualdad (a) 2n 1 ¤ 1 357p2n1q

2 462n para n ¥ 1.

(b) 1 357p2n1q

2 462n ¤ ? n 1 1 para n ¥ 1.

(c) 2n 1 ¤ 2 n para n ¥ 3.

(d) p1 xq n ¥ 1 nx para x ¥ 1 y n ¥ 1.

5. Utilizar los resultados probados en los items (a) y (b) del ejercicio 4 para calcular una fracci´ on menor y una fracci´ on mayor que la siguiente:

1  3  5  7  9  11  13  15  17  19  21  23  25 2  4  6  8  10  12  14  16  18  20  22  24 . 6. Usar la suma geom´ etrica para probar que si 0   r   1,

r 0 r 1 r 2    r n   1 1  r , para todo entero no negativo n.

7. Probar las siguientes afirmaciones

(a) 7 n  1 es divisible entre 6 para todo n P N.

(b) 6  7 n  2  3 n es divisible entre 4 para todo n P N.

(c) 3n 7n  2 es m´ultiplo de 8 para todo n P N.

(d) 9 |pn 3 pn 1q 3 pn 2q 3 q, para todo n P N.

8. Experimentar con valores pequeos de n y deducir una f´ ormula para cada una de las siguientes expresiones. Luego, usar inducci´ on para verificar la f´ ormula hallada.

(a) 1 1 2 2 1 3    n pn 1q 1 . (b) 2 6 18    2  3 n1 .

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UNSL MATEMATICA DISCRETA 2018

9. Dados n ceros y n unos distribuidos de cualquier manera alrededor de un c´ırculo (como los n´ umeros en un reloj), demostrar, por inducci´ on sobre n, que es posible comenzar en alg´ un n´ umero y proceder en sentido horario alrededor del c´ırculo hasta la posici´ on inicial, de tal modo que en cualquier punto durante el ciclo se hayan visto al menos la misma cantidad de ceros que de unos.

10. Considerar la funci´ on proposicional

P pnq : npn  1q 41 es un n´umero primo.

Sabiendo que dicha funci´ on da una proposici´ on verdadera al menos cuando n es un n´ umero en- tero positivo menor o igual que 40 ¿permite el principio de inducci´ on matem´ atica asegurar que la proposici´ on “Para todo n´ umero entero positivo n, P pnq”es verdadera?

11. Considerar la funci´ on proposicional

P pnq : 3 5    p2n 1q  pn 1q 2 .

Demostrar que el paso inductivo del principio de inducci´ on matem´ atica se satisface pero el paso base falla.

12. Considerar la sucesi´ on c 1 , c 2 , . . . definida por las ecuaciones

c 1  0, c n  c t

n2

u n 2 para n ¡ 1.

(a) Calcular c 1 , . . . , c 5 .

(b) Probar que c n   4n 2 para todo n´ umero entero n ¥ 1.

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