C´ alculo por inducci´ on de algunos determinantes

Determinantes

problemas te´oricos adicionales

Los problemas auxiliares de estas tareas adicionales no son muy dif´ıciles y corresponden al nivel obligatorio de conocimientos. Los problemas principales de estas tareas adicionales son m´as complicados y no se incluyen en los ex´amenes.

Deducir la propiedad aditiva de otras propiedades

En esta tarea se supone que f : (R²)² → R es una funci´on que cumple con las siguientes propiedades:

1. f (a, a) = 0 para cualquier a ∈ R².

2. f (λa, b) = λf (a, b) para todos a, b ∈ R² y todo λ ∈ R.

3. f (a, b + λa) = 0 para todos a, b ∈ R² y todo λ ∈ R.

4. f (a, λb) = λf (a, b) para todos a, b ∈ R² y todo λ ∈ R.

5. f (a + λb, b) = 0 para todos a, b ∈ R² y todo λ ∈ R.

6. f (e₁, e₂) = 1.

Hay que demostrar que f (a, b) = Det(a, b) para cualesquiera a, b ∈ R².

Problemas auxiliares

1. Demuestre que f (a, 0₂) = 0 para cualquier a ∈ R² y f (0₂, b) = 0 para cualquier b ∈ R². 2. Sean a, b, c ∈ R², a 6= 0₂, b = λa con alg´un λ ∈ R. Demuestre que

f (a, b + c) = f (a, b) + f (a, c).

3. Sean a, b, c ∈ R² tales que a y b son linealmente independientes. Muestre que c es una combinaci´on lineal de a y b y pruebe la f´ormula

f (a, b + c) = f (a, b) + f (a, c).

Problemas principales

4. Demostrar que f (a, b) = Det(a, b) para cualesquiera a, b ∈ R².

C´ alculo por inducci´ on de algunos determinantes

Problemas auxiliares

6. Calcule uno por uno los siguientes determinantes:

D₁(a) = deta, D₂(a) =    

a 1 1 1

, D₃(a) =      

a 1 1 1 1 0 1 0 1

, D₄(a) =        

a 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1

        .

7. Usando propiedades de determinantes exprese D₄(a) en t´erminos de D₃(b), donde b depende de a.

8. Ejercicio l´ogico sobre variables libres y ligadas. Para cada una de las siguientes dos afirmaciones determine si esta es correcta o falsa o no est´a determinada:

A: ∀x ∈ Z ∀y ∈ Z x + y = 5.

B: ∀x ∈ Z ∃y ∈ Z x + y = 5.

C: ∀x ∈ Z x + y = 5.

Problemas principales

9. Deducci´on de una f´ormula recursiva. Usando propiedades de determinantes ex- prese D_n(a) en t´erminos de D_n−1(. . .), donde “. . .” es una expresi´on dependiente de a.

10. Escriba bien la afirmaci´on que va a demostrar por inducci´on:

∀n ∈ {1, 2, . . .}

| {z }

?

.

11. Escriba bien la demostraci´on por inducci´on.

Determinantes de matrices antitriangulares superiores

Problemas auxiliares

12. Calcule sgn(ψ_n) para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, donde ψ₁ = 1

1



, ψ₂ = 1 2 2 1



, ψ₃ = 1 2 3 3 2 1



, ψ₄ = 1 2 3 4 4 3 2 1

 , . . . Indicaci´on: no es muy f´acil adivinar la f´ormula correcta para sgn(ψ_n). En este ejercicio no se trata de adivinar una f´ormula, sino calcular bien sgn(ψn) para todos estos valores particulares de n.

13. Escriba la definici´on de ψ₅ con una f´ormula:

∀k ∈ {1, . . . , 5} ψ₅(k) :=

| {z }

?

. Escriba la definici´on general de ψ_n:

∀k ∈ {1, . . . , n} ψn(k) :=

| {z }

?

.

14. Signo de ψ_n (cuatro casos). Cada n´umero n ∈ {1, 2, . . .} se puede escribir como n = 4q + r con q ∈ Z y r ∈ {0, 1, 2, 3}. Calcule sgn(ψn) para el caso r = 0, luego para r = 1, r = 2 y r = 3.

15. Recuerde el lema (la f´ormula) sobre el determinante de una matriz con un rengl´on casi nulo y apl´ıquelo al siguiente determinante:

A1,1 B1,1 B1,2 B1,3

A_2,1 B_2,1 B_2,2 B_2,3 A_3,1 B_3,1 B_3,2 B_3,3

A4,1 0 0 0

        .

16. Calcule los siguientes determinantes:

detA1,1,    

A_1,1 A_1,2 A_2,1 0

    ,

A_1,1 A_1,2 A_1,3 A_2,1 A_2,2 0 A_3,1 0 0

      ,

A_1,1 A_1,2 A_1,3 A_1,4 A_2,1 A_2,2 A_2,3 0 A3,1 A3,2 0 0

       ,

A_1,1 A_1,2 A_1,3 A_1,4 A_1,5 A_2,1 A_2,2 A_2,3 A_2,4 0 A_3,1 A_3,2 A_3,3 0 0 A_4,1 A_4,2 0 0 0

        .

Problemas principales

17. Escriba la permutaci´on ψ₄ como un producto de transposiciones simples, es decir, transposiciones de la forma τ_i,i+1. Indicaci´on: primero mueva el elemento que tiene valor 4 a su lugar adecuado, se necesitan 3 transposiciones simples para hacerlo.

18. Explique c´omo factorizar ψn en un producto de transposiciones simples y calcule el n´umero de elementos en este producto.

19. Deduzca una f´ormula para sgn(ψ_n).

20. ¿Cu´ando A_i,jest´a en la antidiagonal de la matriz A?. En otras palabras, ¿qu´e condici´on deben satisfacen los ´ındices i y j para que A_i,j est´e en la antidiagonal de la matriz A?.

21. Escriba de manera formal la definici´on de matriz antitriangular superior.

22. Determinante de una matriz antitriangular superior. Deduzca una f´ormula general para el determinante de matrices antitriangulares superiores.

Matrices adjuntas cl´ asicas

de matrices triangulares superiores

Problemas auxiliares 23. Sea A ∈ ut₂(F):

A = A_1,1 A1,2

0 A_2,2

 .

¿Cu´ando es invertible la matriz A?. En el caso si A es invertible calcule adj(A) y A⁻¹.

24. Sea A ∈ ut₃(F):

A =





A_1,1 A_1,2 A_1,3 0 A_2,2 A_2,3 0 0 A_3,3



.

¿Cu´ando es invertible la matriz A?. En el caso si A es invertible calcule adj(A) y A⁻¹.

25. Sea A ∈ utn(F). Recuerde la f´ormula para det(A).

26. Sea A ∈ ut₅(F). Calcule bA_2,2, bA_2,4 y bA_3,4.

Problemas principales

27. Sean A ∈ ut_n(F) y p ∈ {1, . . . , n}. Calcule bA_p,q.

28. Sean A ∈ utn(F), p, q ∈ {1, . . . , n}, p < q. Demuestre que bAp,q = 0.

29. Sea A ∈ UTn(F), es decir, sea A una matriz triangular superior con entradas dia- gonales no nulas. Demuestre que A⁻¹ ∈ UT_n(F) y calcule las entradas diagonales de A⁻¹.

Derivada de la funci´ on determinante

Problemas auxiliares

30. Sean A, B ∈ M₂(R). Definimos la funci´on f : R → R mediante la f´ormula f (t) := det(A + tB).

1. Escriba f (t) de manera expl´ıcita usando la definici´on del determinante 2 × 2.

2. Escriba f (t) como un polinomio de t. Exprese los coeficientes de este polinomio como determinantes de ciertas matrices.

3. Calcule f⁰(t) y f⁰(0).

31. Supongamos que para cada par de ´ındices (j, k), donde j, k ∈ {1, 2}, est´a dada una funci´on derivable F_j,k: R → R. Definimos f : R → R mediante la regla

f (t) :=

F_1,1(t) F_1,2(t) F_2,1(t) F_2,2(t)

    .

Calcule f⁰(t). Exprese la respuesta en t´erminos de ciertos determinantes.

Problemas principales

32. Sea B ∈ M_n(R). Definimos la funci´on f : R → R mediante la f´ormula f (t) := det(I_n+ tB),

donde I_n es la matriz identidad n × n. Muestre que la funci´on f es derivable y calcule su derivada.

33. Sean A, B ∈ M_n(R). Definimos la funci´on f : R → R mediante la f´ormula f (t) := det(A + tB).

Muestre que la funci´on f es derivable y calcule su derivada.

34. Supongamos que para cada par de ´ındices (j, k), donde j, k ∈ {1, . . . , n}, est´a dada una funci´on derivable F_j,k: R → R. Definimos la funci´on f : R → R mediante la siguiente regla:

f (t) := deth

F_j,k(t)in j,k=1.

En otras palabras, f (t) el determinante de la matriz cuya (j, k)-´esima entrada es Fj,k(t).

Muestre que la funci´on f es derivable y calcule f⁰(t).