Matrices docx

(1)

VECTORES.

Un vector renglón de n componentes se define como un conjunto ordenado de n números y se escribe: (x1, x2,. . . xn)

Vector columna de n componentes es un conjunto ordenado de n números y se escribe:

(

xx1₂ x₃

⋮

x_n

)

Componentes de un vector. X1 recibe el nombre de primera componente del vector. En general xk es la k-esima componente del vector.

En aras de la simplicidad, a menudo nos referimos a un vector renglón de n componentes como vector renglón o vector. De manera análoga, se utiliza el término vector columna para denotar un vector columna de n-componentes. Todo vector cuyos componentes sean cero se llama vector cero.

Ejemplos: (2, 3) es un vector renglón o 2-vector

(

−21

5

)

es un vector columna o bien un 3-vector

(

00 0

)

Es un vector columna y además es vector cero.

La palabra ordenado que aparece en la definición de vector es esencial. Dos vectores cuyas componentes sean iguales pero escritas en diferente orden no son iguales

Suma de vectores. Sean a=

(

a₁ a2 ⋮ ⋮

a_n

)

y b=

(

b₁ b2 ⋮ ⋮

b_n

)

a+b=

(

a₁+b₁

a2+b2 ⋮ ⋮

a_n+b_n

)

Ejemplo:

(

12 3

)

+

(

−6

7 5

)

=

(

−5

9 8

)

(2)

Al trabajar con vectores a los números se les llama escalares.

Multiplicación de un vector pora=

(

a₁ a2 ⋮ ⋮

a_n

)

r un escalar: Sean a=

(

a₁ a2 ⋮ ⋮

a_n

)

un vector y α un escalar, entonces el

producto aα está dado por: αa=

(

αa1

αa₂

⋮ ⋮

αa_n

)

Es decir que la multiplicación de un escalar por un vector consiste en

multiplicar cada una de las componentes por el escalar

Producto escalar de dos vectores. Sean a=

(

a₁ a2 ⋮

an

)

y b =

(

b₁ b2 ⋮

bn

)

El producto escalar de a y b denotado por a∙b está

dado por: a1b1 + a2b2 + ………+anbn Debe de considerarse que ambos vectores deben de tener el mismo número de elementos y el resultado del producto será un escalar.

Teorema: Sean a, b, y c n-vectores y sean α y β escalares. Entonces:

1. a + 0 (vector 0)= a

2. 0a = 0 (adviértase que el cero a la izquierda es el número cero, mientras que el cero a la derecha es el vector cero).

3. a + b = b + a (ley de conmutatividad).

4. (a + b) + c = a + (b + c) (ley de la asociatividad).

5. α(a + b) = αa + αb (ley de distribución de la multiplicación por un escalar). 6. (α + β)a = αa + βa

7. (αβ)a = α(βa)

(3)

1. Sean a=

(

−3

1 4

)

b=

(

5

−4

7

)

y c=

(

2 0

−2

)

Calcule lo siguiente:

a. a + b e. 2a – 5b i. 3a-2b + 4c

b. 3b f. -3b +2c j. 3b -7c +2a

c. -2c g. 0c

d. b + 3c h. a + b + c

2. Sean a=(3, -1, 4, 2), b= (6, 0, -1, 4) y c = (-2, 3. 1. 5). Calcule:

a. a + c e. b – a f. 4c

b. -2b g. a + b + c h. c - b +2a

c. 2a – c i. 3a – 2b + 4c j. 4b – 7a

3. Sea a =

(

a₁ a₂

⋮

a_n

)

y 0 el vector cero de n componentes. Demuestre que a + 0 = a y 0a=0

4. Sean a=

(

a₁ a₂

⋮

a_n

)

b=

(

b₁ b₂

⋮

b_n

)

y c =

(

c₁ c₂

⋮

c_n

)

Calcule (a + b ) + c y a + (b + c) y haga ver que son iguales.

MATRICES.

Una matriz A de m x n es un arreglo rectangular de mn números acomodados o dispuestos en m renglones y n columnas:

A=

[

a

₁₁

a

21

⋮

a

_i₁

⋮

a

_m₁

a

₁₂

… a

₁_j

… a

₁_n

a

22

⋮

a

_i₂

⋮

a

_m₂

…

¿

a

2j

⋮

a

_ij

⋮

a

_mj

… a

₂_n

¿

⋮

… a

_¿

¿

…

⋮

a

mn

]

El símbolo m x n se lee m por n. A menos que se diga lo contrario siempre

(4)

El vector renglón (ai1, ai2….ain) se le llama renglón i al vector columna

(

a₁_j a₂_j

⋮

a_mj

)

, se le llama vector columna j. La

componente ij - ésima de A denotada como aij, es el número que aparece en el i-ésimo renglón y la j-ésima columna.

Si A es una matriz de m x n con m = n se le llama matriz cuadrada. Una matriz de m x n en la que todas las componentes son cero se llama matriz cero de m x n

Ejemplos:

A =

[

1 3_{4 2}

]

2 x 2 matriz cuadrada. A =

[

−1 3

4 0 1 −2

]

3 x 2 A =

[

−₃1 4 1_{0 2}

]

2 x 3 A=

[

1 6 −2

3 1 4

2 −6 5

]

3 x 3 Cuadrada.

[

0 0 0 0_{0 0 0 0}

]

2 x 4 Matriz cero.

Tamaño.- El tamaño de una matriz es una descripción de los números de renglones y columnas que tiene. Se dice que una matriz es de m x n (que se lee de m por n) si tiene m renglones y n columnas

Componentes.- La componente 1,2 es el número que se encuentra en el primer renglón y segunda columna. Ejemplo: Encuentre los componentes: (1,2), (3,1) y (2,2) de:

[

12 −63 54

7 4 0

]

La componente (1,2) es el número que se encuentra en el renglón 1 y columna 2 = 6 La componente (3,1) es el número que se encuentra en el renglón 3 y columna 1 = 7 La componente (2,2) es el número que se encuentra en el renglón 2 y columna 2 = -3

Matrices iguales.- Dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y sus elementos correspondientes son

iguales.

Matrices iguales y distintas: ¿Son iguales las siguientes matrices?

[

42 −13 05

]

y

[

1+3 1 2+3

1+1 1−4 6−6

]

Si las dos matrices son iguales.

[

−2 0

1 3

]

y

[

0 −2

(5)

Suma o Adición de matrices. Sean A y B dos matrices de m x n. Entonces la suma de A y B es la matriz A+B de m x n dada por:

A + B =

[

a₁₁+b₁₁ a₁₂+b₁₂ … a₁_n+b₁_n

a₂₁+b₂₁

⋮

a_m₁+b_m₁

a₂₂+b₂₂

⋮

a_m₂+b_m₂

…

⋮

…

a₂_n+b₂_n

⋮

a_mn+b_mn

]

Es decir, A + B es la matriz m x n que se obtiene de sumar las

componentes de A y B, la suma de matrices está definida si ambas matrices son del mismo tamaño Ejemplo:

[

2 4 −6 7

1 3 2 1

−4 3 −5 5

]

+

[

0 1 6 −2

2 3 4 3

−2 1 4 4

]

=

[

2 5 0 5 3 6 6 4

−6 4 −1 9

]

Multiplicación de matrices por un escalar. Si A=(aij) es una matriz de m x n y si α es un escalar, entonces αA es

una matriz de m x n dada por:

αA=

₍

α a_ij

₎

=

[

α a11 α a12 … α a1n

α a₂₁ α a₂₂ … α a₂_n

⋮

α a_m₁

⋮

α a_m₂

⋮

…

⋮

α a_mn

]

Dicho en otras palabras αA es la matriz que se obtiene de multiplicar cada una de las componentes de A por α. Ejemplo:

Sea A=

[

1 −3 4 2

3 1 4 6

−2 3 5 7

]

Entonces 2A=

[

2 −6 8 4

6 2 8 12

−4 6 10 14

]

−1

3 A=

[

−1

3 +1 − 4 3

−2

3

−1 −1

3

−4

3 −2

+2

3 −1

−5

3

−7

3

]

0A=

[

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

]

Sean A, B y C matrices de m x n y α un escalar. Entonces: 1. A + 0(matriz cero) = A

(6)

3. A + B = B + A (Ley de la conmutatividad de la adición matricial).

4. (A + B) + C = A + (B + C) (Ley de la asociatividad de la adición matricial). 5. α(A + B)=αA + αB (Ley de distribución de la multiplicación por un escalar). 6. 1A = A.

Ejercicios de autoevaluación.

1) ¿Cuál de las siguientes aseveraciones es cierta para la matriz:

[

1₇ 2 3

−1 0

]

a. Es una matriz cuadrada.

b. Si se multiplica por el escalar – 1, el producto es:

[

−1 −2 −3

−7 1 0

]

c. Es una matriz de 3 x 2.

d. Es la suma de

[

3 1 4_{7 2 0}

]

y

[

−₀2 1 1_{1 0}

]

2) ¿ Cuál de los incisos es 2A – 4B si A=(2 0 0) y B=(3 1)?

a. (-8 -4) b. (5 0 1) c. (16 -4 0)

d. Esta operación no se puede realizar.

3) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta cuando se encuentra la diferencia (resta) de dos matrices?

a. Las matrices deben ser del mismo tamaño. b. Las matrices deben ser cuadradas.

c. Las matrices deben ser ambas vectores renglón o vectores columna? d. Una matriz debe ser un vector renglón y la otra un vector columna. 4) ¿Cuáles serían los elementos de la segunda columna de la matriz B si

[

3 −4 0

2 8 −1

]

+B=

[

0 0 0 0 0 0

]

? a. -2, -8, 1

b. 4, -8 c. 2,8, -1 d. -4, 8

(7)

A=

[

1 −1 1

0 0 3 4 2 0

]

y C=

[

1 0 0 0 1 0 0 0 1

]

a. -3, 2, 6 b. 0, -2, 9 c. 3, -2, 6 d. 0, 2, -9

Problemas:

1. Sea A=

[

−2 0

1 4

−7 5

]

B =

[

1 3 2 5

−1 2

]

y C=

[

−2 1

4 6

−7 3

]

a. 3A f. -7A + 3B

b. A +B g. A + B + C

c. A – C h. C – A – B

d. 2C – 5A i. 2A – 3B + 4C

e. 0B (0 es el cero escalar) j. 7C – B +2A

k. Halle una matriz D tal que 2A + B – D sea la matriz cero de 3 x 2

l. Encuentre una matriz E tal que A + 2B – 3C + E Sea la matriz cero de 3 x 2

2) Sea A=

[

1 −1 2

3 4 5 0 1 −1

]

B =

[

0 2 1 3 0 5 7 −6 0

]

y C=

[

0 0 2 3 1 0 0 −2 4

]

Calcule:

a) A – 2B b) 3A – C c) A + B + C d) 2A – B + 2C e) C – A – B f) 4C – 2B + 3A

(8)

Producto escalar: sean a =

(

a₁ a₂

⋮

a_n

)

y b =

(

b₁ b₂

⋮

b_n

)

dos vectores. Entonces el producto escalar de a y b denotado por:

a·b está dado por a·b = a1b1+a2b2+…..anbn

A este producto escalar de dos vectores también se le llama producto punto y obsérvese que es un escalar, es decir, es un número. Para poder realizar este producto es necesario que a y b tengan el mismo número de componentes.

Ejemplo: Sea a = (2, -3, 4, -6) y b=

(

1 2 0 3

)

Calcule a·b

a·b = (2)(1)+(-3)(2)+(4)(0)+(-6)(3)=-22

Producto de dos matrices. Sea A= (aij) una matriz de m x n y sea B = (bij) una matriz de n x p. entonces el

producto de A y B es la matriz C = (cij) de m x p tal que

cij = (renglón i de A)·(columna j de B)

dicho de otra manera, el elemento iésimo de AB es igual al producto punto del i-ésimo renglón de A y la j-ésima columna de B. Si se desarrolla se obtiene:

cij = ai1bij + ai2b2j + …….+ainbnj

Dos matrices se pueden multiplicar sólo si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de renglones de la segunda. De otra manera, los vectores del i-ésimo renglón de A y la j-ésima columna de B no tendrán el mismo número de componentes, y el producto no estará definido

Ejemplo: Si A=

[

1 3

−2 4

]

y B=

[

3 −2

5 6

]

A es una matriz de 2 x 2, B es una matriz de 2 x 2 por lo que C= AB es también una matriz de 2 x 2. Así c11 = (primer renglón de A) x (primera columna de B).

c11 = (1 x 3)+(3 x 5) = 18 c12 = (1 x -2)+(3x6)= 16

(9)

C =

[

18 16_{14 28}

]

En general, los productos de matrices no son conmutativos. Dicho de otra forma en general AB≠BA. A veces sucede que AB=BA, pero estas son excepciones (generalmente ocurre con matrices cuadradas).

Sean A =

[

2 0_{4 1} −₅3

]

y B =

[

7 −1 4 7

2 5 0 −4

−3 1 2 3

]

Se observa que A es una matriz de 2 x 3 y B es una matriz de 3

x 4, como el número de columnas de A (3) es igual al número de renglones de B (3) el producto está definido y C = AB será una matriz de 2(reglones de A) x 4(columnas de B).

c11 = (2x7)+(0x2)+(-3x-3)=23 c21 =(4x7)+(1x2)+(5x-3)=15 c12 =(2x-1)+(0x5)+(-3x1)= -5 c22 =(4x-1)+(1x5)+(5x1)=6 c13 =(2x4)+(0x0)+(-3x2)=2 c23 =(4x4)+(1x0)+(5x2)=26 c14 =(2x7)+(0x-4)+(-3x3)=5 c24 =(4x7)+(1x-4)+(5x3)=39

Así que C= AB =

[

23₁₅ −₆5 _{26 39}2 5

]

Ley de la asociatividad de la multiplicación matricial. Sean A = aij una matriz de n x m, B=bij de m x p y C=cij una matriz de p x q Entonces es válida la ley de asociatividad:

A(BC) = (AB)C

Donde ABC es una matriz de n x q. Ejemplo: sea A=

[

1₀ −₂3

]

, B=

[

2₃ −₁1 4₅

]

y C=

[

0 −2 1

4 3 2

−5 0 6

]

Dado que A es de 2 x 2, B de 2 x 3 y C 3 x 3 el producto ABC será una matriz de 2 x 3.

AB=

[

−₆7 −₂4 −₁₀11

]

, (AB)C =

[

39 2 −81

−42 −6 70

]

BC=

[

−24 −7 24

−21 −3 35

]

, A(BC)=

[

39 2 −81

−42 −6 70

]

Por lo que se demuestra que (AB)C = A(BC).

Ejercicios de autoevaluación:

1) ¿De las siguientes afirmaciones, cual es cierta para la multiplicación de matrices A y B? a. Se puede realizar sólo si A y B son matrices cuadradas

b. Cada elemento cij es el producto de aij y bij. c. AB = BA

(10)

2) ¿Cuál de los siguientes sería el tamaño de la matriz producto AB si se multiplica la matriz A de 2 x 4 por la matriz B de 4 x 3

a. 2 x 3 b. 3 x 2 c. 4 x 4

d. Este producto no se puede calcular.

3) Indique cuál de los siguientes enunciados es correcto para las matrices A y B si AB es un vector columna.

a. B es un vector columna b. A es un vector renglón. c. A y B son matrices cuadradas.

d. El número de renglones de A debe ser igual al número de columnas de B.

4) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el producto AB es cierta si A es una matriz de 4 x 5? a. B debe tener cuatro renglones y el resultado tendrá cinco columnas.

b. B debe tener cinco columnas y el resultado será una matriz cuadrada. c. B debe tener cuatro columnas y el resultado tendrá cinco renglones. d. B debe tener cinco renglones y el resultado tendrá cuatro renglones. Problemas:

1. Sean A=

[

3 0

−1 5

]

, B=

[

4 −2 1

0 2 3

]

, C=

[

1 2 3 4 5 6

]

, D=

[

0 −3

−2 1

]

, E=

[

4 2

]

, F=

[

−1

2

]

. Calcule lo siguiente: a. A+2D.

b. 3D-2A c. B-C d. B-CT e. AB f. BD g. D+BC h. BT_B i. E(AF) j. F(DF)

(11)

a.

[

2 3

−1 2

][

4 1 0 6

]

b.

[

3₁ −₄2

][

−₁5 6₃

]

c.

[

1₁ −₁1

][

−₂1 0₃

]

d.

[

−4 5 1

0 4 2

]

[

3 −1 1

5 6 4 0 1 2

]

e.

[

7₂ 1 4

−3 5

]

[

1 6 0 4

−2 3

]

f.

[

1 6 0 4

−2 3

]

[

7 1 4 2 −3 5

]

g.

[

1 4_{3 0} −₄2

]

[

0 1_{2 3}

]

h.

[

2 −3 5

1 0 6 2 3 1

]

[

1 4 6

−2 3 5

1 0 4

]

i.

[

1 4 0 2

]

[

3 −6

2 4 1

−2

0 3

]

Matriz identidad. La matriz identidad In de n x n es la matriz de n x n tal que los elementos de su diagonal

principal son iguales a 1, y los elementos que están fuera de la diagonal principal son iguales a 0. Es decir:

In = (bij) donde bij =

Ejemplo:

I3 =

[

1 0 0 0 1 0 0 0 1

]

Teorema: sea A una matriz cuadrada de n x n. entonces AIn = InA = A

(12)

Dicho en otras palabras, In conmuta con toda matriz n x n y las deja inalteradas después de cada multiplicación por la derecha o por la izquierda.

Inversa de una matriz. Sean A y B matrices de n x n. suponga que AB = BA = I

Entonces a B se le llama inversa de A y se escribe A-1_{se tiene entonces que:} AA-1_{= A}-1_{A = I}

Si A tiene inversa entonces se dice que A es invertible, si una matriz no es invertible se le llama singular, si

una matriz es invertible su inversa es única.

Sean A y B dos matrices invertibles de n x n. Entonces AB es invertible y (AB)-1_{= B}-1_A-1

Forma escalonada reducida por renglones y pivote. Una matriz se encuentra en la forma escalonada reducida

por renglones si se cumplen las siguientes condiciones:

1) Todos los renglones (si los hay) cuyos elementos son todos ceros aparecen en la parte inferior de la

matriz.

2) El primer número diferente de cero (comenzando por la izquierda) en cualquier renglón cuyos

elementos no todos son cero es 1

3) Si dos renglones sucesivos tienen elementos distintos de cero, entonces el primer 1 en el renglón de

abajo está más hacia la derecha que el primer 1 en el renglón de arriba.

4) Cualquier columna que contiene el primer 1 en un renglón tiene ceros en el resto de sus elementos.

El primer número diferente de cero en un renglón ( si lo hay) se llama pivote para ese renglón.

Ejemplos:

[

1 0 0 0 1 0 0 0 1

]

[

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

]

[

1 0 0 5_{0 0 1 2}

]

[

1 0_{0 1}

]

[

1 0 2 5 0 1 3 6 0 0 0 0

]

Forma escalonada por renglones: Una matriz está en forma escalonada por renglones si se cumplen las

condiciones 1, 2, y 3

Matrices equivalentes por renglones. Supóngase que la matriz A se puede transformar en la matriz B mediante

operaciones elementales de renglón. Entonces se dice que A y B son equivalentes. Operaciones elementales por renglones:

1. Multiplicar o dividir todo un renglón por el mismo escalar 2. Sumar o restar dos renglones

Procedimiento para calcular la inversa de una matriz: 1. Escríbase la matriz aumentada (A|I)

(13)

3. Decídase si A es invertible:

a. Si A se puede reducir a la matriz identidad I, entonces A-1 _{será la matriz que aparezca a la} derecha de la barra vertical.

b. Si la reducción por renglones de A lleva a un renglón de ceros a la izquierda de la barra vertical, entonces A no es invertible.

Ejemplo: sea A =

[

2₁ −₃4

|

1 0_{0 1}

]

R1/2

[

1 −2

1 3

|

1/2 0

0 1

]

R2 – R1

[

1 −2

0 5

|

1 2 0

−1

2 1

]

R2 /5

[

1 −2

0 1

|

1 2 0

−1

10 1 5

]

R1 + 2R2

[

1 0 0 1

|

3 10

2 5

−1

10 1 5

]

A-1₌

[

10

3

2

5 −

1

10

1

5 ]

A=

[

2 4 6 4 5 6 3 1 −2

]

Escribir I junto a A.

[

2 4 6

4 5 6 3 1 −2

|

(14)

R1 /2

[

1 2 3 4 5 6 3 1 −2

|

1

2 0 0 0 1 0 0 0 1

]

R2 – 4R1, R3 – 3R1

[

1 2 3 0 −3 −6

0 −5 −11

|

1

2 0 0

−2 1 0 −3

2 0 1

]

-1/3R2

[

1 2 3

0 1 2

0 −

5 −

11 |

1

2 0 0

2

3 −

1

3

0 −

3

2 0 1

]

R3 + 5R2, R1 -2R2

[

1 0 −1

0 1 2 0 0 −1

|

−5 6 2 3 0 2 3 −1 3 0 11 6 −5

3 1

]

-R3

[

1 0

−

1

0 1 2

0 0 1

|

−

5

6

2

3

0

2

3 −

1

3

0 −

11

6

5

3 −

1

]

R2 -2R3, R1 + R3

[

1 0 0 0 1 0 0 0 1

|

−16

6 7 3 −1 13 3 −11 3 2 −11 6 5 3 −1

]

A-1₌1 6

[

−16 14 −6

26 −22 12

−11 10 −6

]

(15)

a.-

[

2 1_{3 2}

]

b.-

[

−₂1 6

−12

]

c.-

[

0 1

1 0

]

d.-

[

1 1 3 3

]

e.-

[

3 2 1 0 2 2 0 0 −1

]

f.-

[

1 1 1 0 1 1

0 0 1

]

g.-

[

1 6 2

−2 3 5

7 12 −4

]

h.-

[

2 −1 4

−1 0 5

19 −7 3

]

i.-

[

1 2 3 1 1 2 0 1 2

]

j.-

[

1 1 1 1 1 2 −1 2

1 1 −1 3 2 3 1 2

]

Transpuesta de una matriz. Sea A = (aij ) una matriz de m x n. Entonces la transpuesta de A que se escribe At es

la matriz n x m que se obtiene de intercambiar los renglones y las columnas de A.

Ejemplo: A =

[

2 3_{1 4}

]

At₌

[

2 13 4

]

B =

[

2 3 1

−1 4 6

]

B

t ₌

[

2 −1

3 1

4 6

]

Matriz simétrica. Una matriz cuadrada A es simétrica si At_{= A. Ejemplo:}

A =

[

1 2_{2 3}

]

At ₌

[

1 2 2 3

]

B =

[

1 −4 2

−4 7 5

2 5 0

]

Bt₌

[

1 −4 2

−4 7 5

2 5 0

]

Matriz triangular superior y matriz triangular inferior. Se dice que una matriz cuadrada es triangular superior (inferior), si todos los elementos situados por debajo (arriba) de la diagonal principal son cero. Ejemplo:

Triangular superior:

[

2 −3 5

0 1 6 0 0 2

]

Triangular inferior:

[

2 0 0

−3 1 0

5 6 2

]

Problemas: obtenga la matriz transpuesta de las siguientes matrices:

a.-

[

1 2 3

−1 0 4

1 5 5

]

b.-

[

1 2 3

2 4 −5

3 −5 7

]

c.-

[

1 0 1 0_{0 1 0 1}

]

d.-

[

2 −1

2 4 1 1