Espectro del operador de Laplace sobre variedades de Riemann

RESUMEN

En la tesis se estudia el espectro del operador de Laplace sobre variedades de Riemann.

Cada geodésica periódica estable sobre una variedad de Riemann da origen a una serie espectral para el operador de Laplace. En la tesis se calcula la asintótica de los valores propios de esta serie. Es decir se calculan los valores propios λ_n con precisión O(1).

Para variedades compactas con curvatura negativa todas las geodésicas son no estables. Fue demostrado que en este caso cada geodésica periódica también genera una serie de valores propios. Para esta serie de valores propios λ_n se calculó la asintótica con precisión

O( λ_n ).

In the thesis the spectrum of Laplace Operator over a Riemann manifold is studied.

Each periodic stable geodesic over a Riemann manifold generates some spectral series for Laplace operator. The thesis provides asymptotic of eigenvectors from this series. The asymptotic of eigenvalues λ_n has precision O(1). The asymptotic of eigenfuctions related with eigenvalues _λnis consider also.

All periodic geodesics over compact manifold with negative curvature are not stable.

Therefore in this case the obtained asymptotic of eigenvalues is not precise. It is proved that in the case of compact manifold with negative curvature every periodic geodesic also generates some series of eigenvalues λ_n, and its asymptotic was obtained with precision O( λ_n ).

iii

Introducción

La asintótoca semiclásica de los problemas espectrales H(x, −ih_h→+0 ∂

∂x)Ψ_j = Eψ_j, (1)

para diferentes hamiltonianos H. Se usan en mecánica cuántica para encon- trar el espectro de las energías de los sistemas. También las características es- pectrales tienen aplicaciones en la teoría de la elasticidad, electromagnetismo, etcetera. Las funciones propias son las formas de las vibraciones y los valores propios correspondientes con correspondientes frecuencias.

En los problemas mecánicos y de electricidad se considera el problema espec-

tral X3

i,j=1

∂

∂x_jαij(x)∂Ψ

∂x_i = λΨ, x ∈ Ω, (2)

con diferentes condiciones de frontera Ψ|_∂Ω= 0 o ∂Ψ

∂ν + σΨ|_∂Ω= 0 (3)

∂Ψ

∂ν =X

i,k

α_ikx_k∂u

∂xi

, (4)

−

→ν = {x₁, . . . , x_n}, ν normal a ∂Ω. Si ponemos h = ^√1_λ → 0 el problema 3 se reduce al problema 1.

Otros problemas surgen cuando se consideran vibraciones de las superficies que corresponden a los problemas mecánicos para cúpulas, etc. Estos prob- lemas están relacionados con el espectro del operador de Laplace sobre var- iedades.

Hay dos acercamientos exitosos para este problema; uno es el método de V.

P. Maslow [7] y otro el método de V. M. Babic [2].

En las publicaciones de V. M. Babic, V.V. Kucherenko [5], V. P. Maslow [8] y otros se considera el método W KB con fase compleja que produce las soluciones concentradas alrededor de las geodésicas estables.

El problema clásico de calcular las funciones propias para el operador de Laplace sobre la esfera es un ejemplo del problema bajo consideración para la esfera Sⁿ⊂ Rⁿ⁺¹ en la cual todas sus geodésicas son estables.

En el capítulo 1 recordamos las propiedades de variedades de Riemann in- dispensables para las construcciones asintóticas posteriores.

En el capítulo 2 se presenta el método de Babic para la construcción de la asintótica.

En el capítulo 3 aplicamos los resultados generales para la asintótica de los valores y funciones propias del operador de Laplace sobre S². En este capítulo las funciones propias con soporte alrededor de la geodésica fuerón calculados por distintos métodos: el de Babic y por nosotros usando el espectro del oscilador. El espectro así obtenido por estos diferentes métodos coinciden.

También se estimó las funciones de .^aproximación"se acercan a las funciones propias. Es interesante que para cualquier geodésica sobre S² existe una función propia tal que su soporte con precisión O(^√1_λ) está alrededor de esta geodésica.

v

Índice general

Introducción iii

1. Variedades Diferenciales y Curvas 1

1.1. Definiciones Básicas . . . 1

1.2. Plano de Lobachevski . . . 7

1.3. Grupo de Isometrías . . . 17

1.4. Conexiones Afines . . . 21

1.5. Curvatura . . . 24

1.6. Operador de Laplace-Beltrami sobre variedades de Riemann . 25 2. Eigenfunciones Concentradas en la Vecindad de una Geodési- ca Cerrada 31 2.1. Formulación del Problema y Derivación de la Ecuación Parabóli- ca . . . 31

2.2. Ecuación de Jacobi para la Geodésica l . . . 40

2.3. Aproximación de Orden Cero . . . 50

3. Caso de la Esfera 57 3.1. Introducción . . . 57

3.2. Geodésicas de la Esfera . . . 57

3.3. Valores Propios del Operador ∆S . . . 57

3.3.1. Polinomios Armónicos y Funciones Esféricas . . . 59

3.4. Caso particular de dimensión 3 . . . 65

3.4.1. Ecuación de Legendre [13] . . . 65

3.4.2. Fórmulas de recurrencia para los polinomios de Legendre 67 3.4.3. Ortogonalidad de los polinomios de Legendre . . . 68

3.4.4. Ceros de los polinomios de Legendre . . . 68

3.4.5. Ortogonalidad de las funciones esféricas . . . 69

3.4.6. Desarrollo asintótico de los valores propios y de las fun- ciones propias del operador de Laplace sobre la esfera S² . . . 69 3.4.7. Las funciones propias y valores propios del operador ˆaˆa⁺ 75 3.5. Asintótica del Operador de Laplace por medio de multipli-

cadores de Floquet . . . 77 3.6. Aproximación de las funciones propias . . . 80

Bibliografía 82

Índice 84

1

Capítulo 1

Variedades Diferenciales y Curvas

1.1. Definiciones Básicas

A menos que se afirme lo contrario consideraremos a X un espacio topológico localmente compacto y segundo numerable. Tal espacio se dice localmente euclidiano de dimensión n ∈ N si para todo x ∈ X existe un homeomorfismo de una vecindad abierta de x en un abierto de Rⁿ. Al par (U, φ) donde U ⊂ X es abierto y φ : U → Rⁿ es homeomorfismo se le llama carta.

Definición 1.1.1. Una colección {(Uλ, φλ)}λ∈Λ es un atlas de clase C^∞ de X si cumple las siguientes condiciones:

1. X =S

λ∈ΛUλ.

2. φ_λ : U_λ → Rⁿ es un homeomorfismo de un abierto en X a un abierto de Rⁿ.

3. ∀λ, γ¡

φ_γ◦ φ⁻¹_λ : φ_λ(U_λ∩ U_γ) → φ_γ(U_λ∩ U_γ)¢

es de clase C^∞.

Definición 1.1.2. Un espacio topológico X localmente euclidiano de dimen- sión n con un atlas de clase C^∞ se dice que es una variedad de dimensión n.

Ejemplos de tales espacios son la esfera Sⁿ, el espacio proyectivo real RPⁿ, el espacio proyectivo complejo CPⁿ, etcetera [3].

Ejemplo 1.1.1. Consideremos la esfera 2 dimensional de radio R, S_R² = {(x, y, z) ∈ R³|x²+ y²+ z² = R²}, tal conjunto es una variedad de dimension 2. Construyamos un atlas para él por medio de la proyección estereográfica.

Consideremos S_R²⁺ = {(x, y, z) ∈ S_R²|z > −²} con 0 < ² < R y S_R²⁻ = {(x, y, z) ∈ S_R²|z < ²} con 0 < ² < R. Tales conjuntos son abiertos y a continuación construiremos mapas que harán de tales conjuntos un par de cartas las cuales a su vez serán un atlas diferenciable para nuestra variedad.

Tales mapas surgen de manera natural al observar que podemos proyectar una esfera sobre el plano complejo (tal construcción se hace en Rⁿ). Existen varias formas de llevar a cabo tal proyección. Estudiemos la siguiente: consideremos S_R²⁻ y consideremos la carta local para este conjunto abierto. Denotemos N = (0, 0, 1), el polo norte de nuestra esfera. La recta que pasa por este punto y un punto P = (x, y, z) de S²⁻ interseca al plano R² en el punto U = (x⁰, y⁰, 0).

La razón λ = −−→

NU/−−→

NP , en coordenadas toma la forma de las siguientes ecuaciones:

−−→NU = λ−−→

NP x⁰ = λx y⁰ = λy

−R = λ (z − R)

de aquí podemos despejar λ y expresar x⁰ y y⁰ en términos de x, y, z, de esta manera tenemos una carta (S²⁻, φN) donde φN(x, y, z) = (_R−z^x ,_R−z^y ).

Es necesario, sin embargo, demostrar que tal función es un difeomorfismo sobre su contradominio. Claramente tal función es infinitamente diferenciable sobre su dominio sólo resta encontrar su inversa. Para calcular su inversa la manera más fácil de calcularla es despejando x, y y z de las ecuaciones anteriores, obteniendo

x = x⁰ λ y = y⁰ λ λ = Rλ − 1

λ .

De aquí tenemos sólo que encontrar una expresión para λ en términos de x⁰ y y⁰. Sustituyendo las ecuaciones anteriores en la ecuación de la esfera

1.1. Definiciones Básicas 3

obtenemos

x⁰²+ y⁰²

λ² + R²(λ − 1)² λ² = R² de donde obtenemos

λ = x⁰²+ y⁰²+ R² 2R² . De lo cual concluimos que

φ⁻¹_N (x⁰, y⁰) =

µ 2Rx⁰

x⁰²+ y⁰²+ R², 2Ry⁰

x⁰²+ y⁰²+ R², Rx⁰²+ y⁰²− R² x⁰²+ y⁰²+ R²

¶

es tal función y que es infinitamente diferenciable sobre el contradominio de φ. De la misma manera se construye la correspondiente carta (S²⁺, φS), donde S = (0, 0, −1) es el polo sur de nuestra esfera.

Para nuestros fines estudiaremos variedades de dimensión 1,2 y 3. Tales como curvas y superficies en R³ y R⁴. Para ello necesitamos definir algunos conceptos acerca de tales variedades.

Definición 1.1.3. Una curva en X es un mapa γ : [a, b] → X, a < b, a, b ∈ R.

Definición 1.1.4. Una función f : M^m → Nⁿ, con M^m y Nⁿ variedades diferenciales de clase C^∞ de dimensión m y n respectivamente se dice difer- enciable de clase C^∞ en x ∈ M^m si hγ◦ f ◦ h⁻¹_λ ∈ C^∞ donde (U, hλ)es una carta local para x ∈ M^m y (U, h_γ) es una carta local para f (x) ∈ Nⁿ. Tal función es diferenciable de clase C^∞ en M^m si y sólo si f es de clase C^∞ para todo x ∈ M^m.

Cuando se estudian curvas y superficies es necesario considerar ciertas propiedades locales en tales variedades.

Definición 1.1.5. La longitud de una curva γ(t) ∈ Rⁿ del γ(a) a γ(t)se

define como Z _b

a

ph ˙γ(t), ˙γ(t)idt

donde ˙γ(t) = (^dx_dt¹, . . . ,^dx_dtⁿ). Donde h , i es el producto canónico de Rⁿ, i.e.

h(a₁, . . . , a_n), (b₁, . . . , b_n)i = P_n

i=1a_ib_i.

Definición 1.1.6. Sea f : M^m → Nⁿ una función diferenciable y x = (x¹, . . . , x^m) ∈ M^m, m ≤ n en una carta local y y = f (x) = (y¹, . . . , yⁿ) ∈ Nⁿ en coordenadas locales. Se dice que f es una inmersión si Rang(^∂f_∂xjⁱ) = m y submersión si Rang(^∂f_∂xⁱj) = n. Si f es difeomorfismo sobre f (M^m), M^m es una subvariedad de Nⁿ.

Ahora consideremos una subvariedad de R³de dimensión 2, tal variedad se llama superficie de dimensión 2. Sobre una variedad se pueden definir vec- tores con propiedades similares a las usuales en Rⁿ. Tales objetos se definen como sigue [3]:

Definición 1.1.7. Un campo vectorial sobre M^m es una función diferenciable T : M^m → Rⁿ con valor en p, T = (T¹(p), . . . , T^m(p)) ∈ Rⁿ, tal que cumple la siguiente regla de cambio de coordenadas: Si (x¹, . . . , x^m) y (y¹, . . . , y^m) son coordenadas locales en p ∈ M^m, y (T¹(p), . . . , T^m(p)) y (T⁰¹(p), . . . , T^0m(p)) las coordenadas T con respecto de tales coordenadas respectivamente entonces satisfacen la siguiente ecuación

Tⁱ =X

j

dyⁱ

dx^jT^0j. (1.1)

Se puede demostrar que el conjunto de todos los vectores sobre una variedad M^mes otra variedad T M^mllamada el haz tangente o espacio tangente de M^m (ver [12]). El espacio vectorial de los vectores tangentes en el punto p ∈ M^m se denomina el plano tangente en p y se denota como T M_p^m. De esto se tiene la siguiente definición:

Definición 1.1.8. La variedad

T M^m = {(p, v) ∈ Mⁿ× Rⁿ|v es un vector tangente en p}

se denomina espacio tangente de M^m.

Definición 1.1.9. Una k forma diferencial α es una función que a cada p ∈ M^m asigna un elemento del conjunto Λ^k_p(M^m)^∗ de k formas en el espacio tangente en p, T M_p^m, tal que en coordenadas locales es diferenciable.

Cuando tenemos funciones diferenciables entre variedades ellas inducen cier- tas funciones, pullback y pushforward, sobre el espacio tangente y los espacios de k formas sobre las variedades.

1.1. Definiciones Básicas 5

Definición 1.1.10. Sea f : M^m → Nⁿ una función diferenciable entre var- iedades. Se define f_∗ : T M^m → T Nⁿ como f_∗(v)_i = _∂x^∂fivⁱ. Tal mapeo es llamado la derivada de f o pushforward en teoría de categorías. Donde v es un vector tangente en p y f∗(v) es uno tangente en f (p) ∈ Nⁿ.

Definición 1.1.11. Sea f : M^m → Nⁿ una función diferenciable entre variedades. Sea ω una k forma diferencial sobre Nⁿ, a través de f se con- struye la k forma f_∗ω sobre M^m, llamada el pullback de f , definida como F_∗ω(v₁, . . . , v_k) = ω(f^∗v₁, . . . , f^∗v_k).

Ahora introduzcamos un término muy importante para el estudio de var- iedades y su topología.

Definición 1.1.12. Un haz vectorial de dimensión k, es un par de variedades diferenciales M y E y una suprayección π : E → M que satisfacen:

1. π⁻¹(p) =: E_p está dotado de una estructura de espacio vectorial de dimensión k, tal espacio se denomina la fibra de E sobre p.

2. Existe una cubierta abierta para M, {Uλ}λ∈Λ y para cada λ ∈ Λ un difeomorfismo φ_λ : π⁻¹(U_λ) → U_λ× R^k tales que el siguiente diagrama

π⁻¹(U_λ)

π

H##H HH HH HH H

φλ //U_λ× R^k

π1

zzvvvvvvvvv

U_λ conmuta.

3. La restricción de φ_λ a la fibra E_p es un isomorfismo de espacios vecto- riales φ_λ : E_p → R^k.

Con tal definición se puede definir un campo vectorial sobre M a través del concepto de sección de un haz vectorial.

Definición 1.1.13. Sea π : E → M un haz vectorial sobre M. Una sec- ción de π es una función ξ : M → E tal que ξ ◦ π = 1_M. Una sección se dice continua (respectivamente diferenciable) si ξ es una función continua (respectivamente diferenciable).

Ejemplo 1.1.2. El haz o espacio tangente T M =F

p∈MTpM de una variedad es claramente un haz vectorial sobre M con la topología de union disjunta.

Con tal concepto se observa que un campo vectorial sobre M no es más que una sección diferenciable sobre el haz tangente.

Teniendo en cuenta estas definiciones podemos generalizar la de inmersión, sumersión y encaje entre variedades.

Definición 1.1.14. Sea f : M^m → Nⁿ una función diferenciable. Se dice que f es una inmersión si f_∗ es inyectiva y submersión si f_∗ es suprayectiva.

Si f es una inmersión y difeomorfismo sobre f (M^m), f se llama encaje (embedding) y M^m una subvariedad de Nⁿ o un encaje f (M^m) (embedded) en Nⁿ.

De aquí en adelante se hará uso de la convención de índices repetidos, es decir si dos subíndices o superíndices se repitan se indicará que se suma sobre ellos. Así en nuestra definición anterior se escribe

yⁱ = dyⁱ dx^jx^j

para indicar lo mismo. La definición anterior difiere de las usadas común- mente, sin embargo no es difícil demostrar que tales definiciones son equiv- alentes y la única razón por la cual hacemos uso de tal definición es por cuestiones de comodidad y claridad en su uso.

Es útil definir tensores, una manera fácil y usual de hacerlo es la siguiente:

Definición 1.1.15. Sea M^m una variedad diferenciable. Una función difer- enciable de M^m en R^s+t, que en un sistema coordenado (x₁, . . . , x_n) adquiere la forma T = {T_i^j₁¹_,...,i^,...,j_r^t(p)}, define un tensor de orden (t, r) y rango t + s, si en cualquier otro sistema de coordenadas (y₁, . . . , y_n), en el cual se representa como T⁰ = {T^{0 j}_i1,...,i^1,...,j_r^t(p)}, obedece al cambio de coordenadas

T_i^j₁¹_,...,i^,...,j_r^t(p) = dy^j1

dx^k1 · · · dy^jt dx^kt

dxⁱ¹

dy^l1 · · ·dx^ir

dy^lr T^{0 k}_j1,...,j^1,...,k_t^r(p). (1.2) Esta definición afirma aún más; que cada tensor está definido como la clase de equivalencia de la relación que relaciona dos de tales funciones si y sólo si en coordenadas locales se cumple (1.2).

1.2. Plano de Lobachevski 7

Ejemplo 1.1.3. Consideremos la esfera y sobre ella definamos su métrica inducida por R³. Esto es, consideremos v un vector tangente a S² en un punto p. Consideremos coordenadas esféricas sobre en R³. De esta manera

x = r cos φ sen θ y = r sen φ sen θ z = r cos θ, donde

r ≥ 0 0 ≤ φ < 2π 0 ≤ θ ≤ π.

De esta manera, ya que g^R_ij³ = I, considerada como una 2-forma, en coorde- nadas esféricas:

g₁₁ = 1 g₂₂ = r² g33 = r²sen²φ así sobre la esfera tal métrica tiene la forma:

g₁₁^S = 1 g₂₂^S = sen²φ.

1.2. Plano de Lobachevski

Con todo la estudiado anteriormente estamos en condiciones de definir los objetos sobre los cuales se centrará nuestra atención en los siguientes capítulos.

Definición 1.2.1. Una variedad Riemaniana o de Riemann esta constituida por una variedad diferenciable M y para cada p ∈ M un producto escalar h , i_p definido positivo sobre T_pM, el espacio tangente en p, i.e. una forma bilineal no degenerada definida positiva. El cual varia diferenciablemente con p en el siguiente sentido: Si X y Y son vectores diferenciables en M, la función p → hX, Y i_p es diferenciable en M. Tal producto es usualmente llamado una métrica Riemaniana sobre M. En el caso de que tal producto no sea definido positivamente se dice que tal métrica es indefinida.

Cuando estudiamos geometría de superficies en R³, se define una métri- ca, en coordenadas locales como la matriz g_ij = ^∂x_∂u^k

i

∂x^k

∂uj en coordenadas uⁱ, i = 1, 2, donde la superficie está dada por las funciones xⁱ = xⁱ(u₁, u₂), i = 1, 2, 3, (u1, u2) ∈ Ω, con Ω un abierto en R². Queremos ver el hecho de que tales cantidades, y en general cualquier matriz, es un tensor. Para ello consideremos dos sistemas de coordenadas y una 2-forma, en el caso gener- al de que la forma está definida sobre una variedad de dimensión n. Sean η = (η¹, . . . , ηⁿ) y ξ = (ξ¹, . . . , ξⁿ) dos vectores tangentes en coordenadas x’s. Por (1.1) se sigue que si definimos

hη, ξi := g_ijηⁱξ^j (1.3)

en coordenadas x, después de una transformación de coordenadas xⁱ 7→ yⁱ, se obtiene que

η⁰ⁱξ^0jg_ij^(y)= g_ij∂x^k

∂yⁱ

∂x^l

∂y^jηⁱξ^j (1.4)

donde η⁰ⁱξ^0j son las coordenadas de los vectores η y ξ en el sistema local de coordenadas y, es decir g_ij es un 2-vector covariante sobre la variedad. De lo anterior se sigue la siguiente proposición

Proposición 1.2.1. Sea M una variedad de Riemann de dimensión n. En- tonces los g_ij son las componentes de un tensor y por lo tanto son invariantes bajo cambios suaves de coordenadas, en el sentido de que obedece las ecua- ciones (1.4).

Demostración. Inmediato de lo anterior.

Cuando quitamos la restricción de que la 2-forma sea definida positiva se obtiene una métrica indefinida.

Un ejemplo de una variedad con una métrica indefinida es el espacio pseudo-Euclidiano de índice s denotado por Rⁿ_s, que es Rⁿ con el producto hξ, ζi =P_s

i=1ξⁱζⁱ−P_n

i=sξⁱζⁱ, donde ξ = (ξ¹, . . . , ζⁿ) y ζ = (ζ¹, . . . , ζⁿ) son vectores en un punto de Rⁿ_s.

Consideremos un espacio pseudo-Euclidiano Rⁿ_s de índice s. En Rⁿ puede definirse la esfera Sⁿ⁻¹como aquellos puntos que distan ρ =p

hx, xi ≥ 0 del origen. En un espacio pseudo-Euclidiano podemos hacer lo mismo donde ρ no necesariamente tiene que ser positivo, puede ser imaginario o incluso

1.2. Plano de Lobachevski 9

Figura 1.1: Cono.

cero. Tal conjunto es llamado una pseudoesfera de índice s y es denotada por S_sⁿ⁻¹ [3].

Consideremos el espacio pseudo-Euclidiano de R³₁, con coordenadas (t, x, y) en términos de las cuales la métrica pseudo-Euclidiana toma la forma dl² = dt²− dx²− dy². (1.5) Consideremos el siguiente conjunto (Fig. 1.2)

t²− x²− y² = R²,

donde nuestra pseudoesfera toma la forma

t = ρ cosh χ (1.6)

x = ρ senh χ cos ϕ (1.7)

y = ρ senh χ sen ϕ (1.8)

Figura 1.2: pseudoesfera donde

0 ≤ϕ < π (1.9)

χ ∈ R (1.10)

t ∈ R⁺ (1.11)

En tal pseudoesfera ρ = R y ρ = −R corresponden a los hiperboloides superior e inferior respectivamente.

En tales coordenadas la métrica (1.5) toma la forma

dl² = −ρ(dχ² + senh² χdϕ²) + dρ² (1.12) ya que ρ es constante (= R) en la hoja superior del hiperboloide, y la métrica inducida por ((1.5)) es

−dl² = R²(dχ²+ senh² χ dϕ²). (1.13)

1.2. Plano de Lobachevski 11

Figura 1.3: Proyección Pseudoestereográfica

De esta manera la forma cuadrática que induce esta métrica es definida negativa, de esta manera la pseudoesfera anterior es una superficie.

De manera similar al caso de la esfera podemos definir la proyección estereográfica de esta pseudoesfera sobre el plano. Definimos los polos norte y sur de tal representacion por los puntos (R, 0, 0) y (−R, 0, 0) respectivamente.

Esto se deduce observando la siguiente figura 1.3, de esta manera si f (P ) es la imagen de P bajo tal proyección mapea la pseudoesfera en el círculo x²+ y² < R. Dado un punto en la pseudoesfera P con coordenadas (t, x, y) con t > 0, y el punto proyectado f (P ) sobre el plano tiene coordenada (u, v) dadas tal que [3]

x

u = 1 + R

R , (1.14)

y

v = 1 + R

R (1.15)

por lo tanto

x = u(1 + t

R), (1.16)

y = v(1 + t

R). (1.17)

Ahora sustituyendo (1.16) y (1.17) en la ecuación de la pseudoesfera t²−x²−y² = R², y resolviendo la ecuación cuadrática resultante para valores positivos de t, obtenemos

t = −R µ

1 + 2R² u²+ v²− R²

¶

. (1.18)

Por lo tanto

x = u 2R²

u²+ v²− R², (1.19)

y = v 2R²

u²+ v²− R². (1.20)

Las ecuaciones (1.18),(1.19) y (1.20) nos dan las coordenadas de cualquier punto en nuestra superficie en términos de los parámetros u y v. Ahora ex- presamos la métrica inducida en términos de estas coordenadas, (u, v). De

1.2. Plano de Lobachevski 13

todo lo anterior se tiene que

t = R cosh χ, (1.21)

x = R senh χcosϕ, (1.22)

y = R sinh χsinϕ. (1.23)

De estas ecuaciones y ((1.18)), con r = u²+ v², cosh χ = −

µ

1 + 2r² (r²− R²)

¶

de esta manera

senh χ dχ = 4R²r (r²− R²)dr.

Mientras que las fórmulas anteriores implican que

senh²χ = x²+ y²

R² (1.24)

= 4R²r²

(R²− r²)², (1.25)

de esta manera se tiene que

−dl² = 4R² (R²− r²)²

¡dr²+ r²dφ¢

, (1.26)

= 4R²

(R²− u²− v²)²

¡du²+ dv²¢

. (1.27)

Sin considerar el signo obtenemos

dl² = R²(dχ²+ senh²χdφ²) (1.28) Definición 1.2.2. La métrica definida en (1.28) sobre la mitad superior de la pseudoesfera 1.2 es llamada la métrica de Lobachevski[3].

Más adelante veremos que esta es sólo una de varias maneras de definir tal métrica. Cada una de ellas tiene su uso particular para distintas áreas de las matemáticas. Tal modelo es llamado el modelo de Poincaré para la

geometría de Lobachevsky. Más adelante se demuestra que esta variedad con tal métrica tiene curvatura negativa. A lo largo de esta tesis mostraremos diversas variedades de este tipo y que además serán compactas. Antes de profundizar más en esto, tenemos que plantear el problema principal de este trabajo, lo cual haremos en la siguiente sección.

Definición 1.2.3. Para cualquier R > 0 fijo:

(MODELO HIPERBÓLICO) H_Rⁿ es la hoja superior τ > 0 del hiper- boloide de dos hojas en Rⁿ⁺¹ definido en coordenadas (ξ¹, . . . , ξⁿ, τ ) por la ecuación

τ²− |ξ|² = R², con la métrica

h¹_R= ι^∗m,

donde ι : H_Rⁿ → Rⁿ⁺¹ es la inclusión, y m es la métrica de Minkowski sobre Rⁿ⁺¹, i.e m_i,ß = 1 si i = 1, 2, . . . , n, m_n+1,n+1 = −1 y m_i,j = 0 si i 6= j.

(MODELO DE POINCARÉ DE LA ESFERA SÓLIDA) B_Rⁿ es la bola en Rⁿ con centro en el origen de radio R, con la métrica dada en coordenadas (u¹, . . . , uⁿ) por

h²_R= 4R⁴(du¹)²+ . . . + (duⁿ)² (R²− |u|²)² .

(MODELO DE POINCARÉ DEL SEMIPLANO SUPERIOR) U_Rⁿes el semiplano superior de Rⁿ definido en coordenadas por (x¹, . . . , xⁿ⁻¹, y), con y > 0 por la métrica

h³_R= R²(dx¹)²+ . . . + (dxⁿ⁻¹)²+ dy²

y² .

Definición 1.2.4. Una función entre dos variedades de Riemann f : M^m → Nⁿ se llama isometría si g_M = f^∗g_N.

Proposición 1.2.2. Para cualquier R > 0 fijo, las tres variedades definidas en la definición 1.2.3 son isométricas mutuamente[6].

1.2. Plano de Lobachevski 15

Demostración. Comencemos escribiendo un difeomorfismo π : H_Rⁿ → B_Rⁿ

del hiperboloide a la bola, el cual llamaremos la proyección estereográfica hiperbólica, y la cual resulta ser una isometría entre las métricas correspon- dientes.

Sea S ∈ Rⁿ⁺¹ el punto S = (0, . . . , −R). Para cualquier punto P = (ξ¹, . . . , ξⁿ, τ ) ∈ H_Rⁿ ⊂ Rⁿ⁺¹, π(P ) = u ∈ B_Rⁿ, donde U = (u, 0) ∈ Rⁿ⁺¹ es el punto de intersección de la linea que une los puntos S y P interseca el hiperplano τ = 0. El punto U está caracterizado por el hecho de que |SU| = λ |P U | con λ > 0 o lo que es equivalente

uⁱ = λξⁱ, (1.29)

R = λ(τ + R), (1.30)

de donde se deduce que

λ = R

(τ + R). (1.31)

Resolviendo tales ecuaciones obtenemos π(P ) = u = Rξ

R + τ y calculando λ en términos de u¹ obtenemos

λ = 1 2

µ

1 −|u|² R²

¶

= R² − |u|² 2R² y de (1.29) junto con

τ = R(1 − λ) λ obtenemos la inversa de π:

π⁻¹(u) = (ξ, τ ) = Ã

2R²u

R²− |u|², RR²+ |u|² R²− |u|²

! .

Ahora mostraremos que (π⁻¹)^∗h¹_R = h²_R. Como antes, sea V = (V_ξ¹, . . . , V_ξⁿ, V_τ) ∈ T_qB_Rⁿ y calculemos

(π⁻¹)^∗h¹_R(V, V ) = h¹_R(π_∗⁻¹V, π⁻¹_∗ V ) = m(π_∗⁻¹V, π_∗⁻¹V ),

y calculando obtenemos

(π⁻¹_∗ Vξ)^j = V_ξ^j∂π_i⁻¹

∂u^j

= 2R²V^j

R²− |u|² +4R²u^jhV, ui

(R²− |u|²)², i = 1, . . . , n, π_∗⁻¹Vτ = 4R³hV, ui

(R²− |u|²)², m(π⁻¹_∗ V, π_∗⁻¹V ) =

Xn j=1

¡(π^−1∗V_ξ)^j¢₂

− (π^−1∗V_τ)²,

= 4R⁴|V |² (R²− |u|²)²,

= h²_R(V, V ).

Ahora construyamos la isometría entre B_Rⁿ y U_Rⁿ. Para este propósito es útil primero que nada considerar el caso cuando la dimensión es 2. Para tal caso es simple si identificamos el plano R² con el plano complejo C.

En tal caso es bien sabido que tal transformación esta dada por medio de una transformación de Möbius, llamada la Transformación de Cayley. Tal transformación κ : C → C cumple con

R 7→ −iR

−iR 7→ 0 iR 7→ ∞

y mapea B_R² sobre U_R². Después de sustituir y simplificar se obtiene κ(ω) = −iRω + iR

ω − iR. (1.32)

En coordenadas tal función tiene la forma κ(u, v) =

µ 2R²

|u|²+ (v − R)², R R²− |u|²− v²

|u|²− (v − R)²

¶

= (x, y) (1.33) Tal función se puede generalizar a los casos de dimensión más alta. Donde las |u| juega el papel de "parte real"de (|u|, v) ∈ B² ⊂ C y v la "imaginaria".

1.3. Grupo de Isometrías 17

De esta manera obtenemos que la función (1.33) tiene sentido y cumple lo necesario. Calculando su inversa encontramos

κ⁻¹(x, y) = (u, v) =

µ 2R²x

|x|²+ (y + R)², R|x|² + |y|²− R²

|x|²+ (y + R)²

¶

, (1.34) de esta manera κ es un difeomorfismo, tal función se llama la Transformación de Cayley Generalizada. De todo esto, de igual manera que el primer caso, se obtiene κ^∗h³_R = h²_R.

1.3. Grupo de Isometrías

Consideremos una variedad de Riemann M. Sabemos que los conjuntos de homeomorfismos y difeomorfismos de M forman dos grupos, el último con- tenido en el primero. Sin embargo es común, cuando se trabaja con variedades de Riemann, trabajar con transformaciones que “conservan las distancias”, en el sentido que los pullbacks de la métrica bajo tales transformaciones son invariantes en espacio de vectores tangentes a M. Teniendo esto en cuenta tenemos la siguiente

Definición 1.3.1. Sean M y N dos variedades de Riemann. Una función diferenciable φ : M → N se llama isometría si en cada p ∈ M se cumple que g_ij(p)uⁱv^j = g_ij(φ(p))φ_∗(u)ⁱφ_∗(v)^j (1.35) lo cual es equivalente a

gkp(y) = gij(x(y))∂xⁱ(u)

∂y^k

∂x^j(y)

∂y^p , (1.36)

donde x = φ(y) en coordenadas locales.

Consideremos ahora el conjunto de todas las isometrías de M sobre si misma. Es fácil demostrar que tal conjunto es un grupo bajo la composición (el cual generalmente es no conmutativo ya que la multiplicación de matri- ces no lo es) y cuya identidad es la identidad como función. Tal grupo se denomina el grupo de isometrías de M.

El grupo de isometría de una variedad de Riemann M está dotado naturalmente de una topología en el espacio de funciones. Ejemplos:

1. Consideremos la variedad de dimensión 1 con la métrica usual g11 = 1, entonces un difeomorfismo f es una isometría si (df /dx)² = 1 es decir f (x) = x + b o f (x) = −x + b con b ∈ R. Este ejemplo es virtualmente el único en el cual podemos especificar todo el grupo de isometrías de una variedad diferencial a un nivel ciertamente elemental.

2. Ahora consideremos el plano R² con la métrica canónica. Tales trans- formaciones siempre son lineales, utilizaremos tal hecho sin demostrar- lo aquí. Con la métrica canónica g_ij = δⁱ_j una isometría A, tiene que cumplir con AA^T = I, con I la matriz identidad. Esta última definición es equivalente a la del grupo ortogonal O(2), el cual consiste de matri- ces 2 × 2,

µ cosφ sinφ

−sinφ cosφ

¶

(rotaciones propias) y

µ cosφ sinφ sinφ −cosφ

¶

(rotaciones impropias). El grupo de transformaciones propias SO(2) es en realidad un subgrupo invariante de O(2) y el de impropias no. Por lo tanto O(2)/SO(2) es isomorfo a Z₂.

3. Por último estudiemos el grupo de isometrías del Plano de Lobachevski.

Para tal tarea consideremos el modelo Poincaré del plano superior con la métrica antes definida para el caso 2-dimensional. Es decir consider- aremos al Plano de Lobachevski como el semiplano superior complejo con la métrica

dzd¯z

(z − ¯z)². (1.37)

El grupo de isometrías contiene el grupo de transformaciones de Möbius:

az+b

cz+d, con ad − bc 6= 0[9].

Proposición 1.3.1. La transformación ω = ^az+b_cz+d mapea el plano supe- rior en sí mismo si y sólo si (a, b, c, d) = ρ(a⁰, b⁰, c⁰, d⁰), donde a⁰,b⁰,c⁰,d⁰ ∈ R, ρ ∈ C:i.e. todos los coeficientes a,b,c,d son proporcionales a la cuadrúpeda de numeros reales (a⁰, b⁰, c⁰, d⁰) y ad − bc > 0.

Demostración. Supongamos que tales cuadrúpedas son proporcionales.

Entonces sólo tenemos que demostrar que si z pertenece al semiplano

1.3. Grupo de Isometrías 19

superior entonces Im ω es positiva. Es decir:

ω = (az + b)(cz + d)

|cz + d|²

= ac(zz) + bd

|cz + d|² +adz + bcz

|cz + d|² , Im ω = ad − bc

|cz + d|²Im z > 0, ya que por hipótesis Im z > 0 y ad − bc > 0.

Recíprocamente bajo las hipótesis del teorema encontremos un ρ que cumpla con las conclusiones. Si z = z, entonces ω = ω y para cualquiera arbitrario x ∈ R obtenemos

az + b

cz + d = az + b cz + d. Para x = 0,_d^b = _d^b = λ, λ ∈ R. Cuando x → ∞,

a c = a

c = µ, µ ∈ R, b = λd, a = µc, para x = 1,

a + b

c + d = a + b

c + d = ρ, ρ ∈ R, µc + λd = ρc + ρd, (µ − ρ)c = (ρ − λ)d.

En el caso de posición general, es decir, cuando µ−ρ 6= 0, ρ−λ 6= 0 obtenemos c = ξd, ξ ∈ R. De esta manera, todos los números a, b, c y d están sobre una misma linea recta. Multiplicando por un factor complejo podemos rotar esta linea hasta hacerla coincidir con el eje real y el lemma queda demostrado.

De este resultado y lo mencionado con anterioridad obtenemos el sigu- iente lema[9].

Lema 1.3.1. Cualquier transformación ω = ^az+b_cz+d tal que a, b, c y d ∈ R y ad − bc > 0 es una isometría del Plano de Lobachevski.

Demostración. Nosotros obtenemos dω = ad − bc

(cz + d)²dz, dωdω

ω − ω = dzdz z − z que es lo pedíamos.

Ya que tenemos que ad − bc > 0, podemos, sin perdida de generalidad, suponer ad − bc = 1.

Proposición 1.3.2. El grupo de isometrías del Plano de Lobachevski, denotado por Iso(L₂), contiene un grupo isomorfo al grupo SL(2, R)/Z₂, es decir al grupo cociente SL(2, R) de matrices 2 × 2 con coeficientes reales y determinante +1 con respecto al subgrupo Z₂ que consiste de las transformaciones E y −E, E la identidad(el grupo de todas las isometrías es isomorfo a dos copias de tal subespacio de transforma- ciones de Möbius.)

Demostración. Consideremos ω = ^az+b_cz+d, con a, b, c y d reales y ad − bc = 1. Sabemos que el conjunto de isometrías de una variedad for- ma un grupo, es más el conjunto definido anteriormente también lo es (por composición de funciones). Ahora construyamos una función φ : SL(2, R) → Ω, donde el grupo Ω es el conjunto de todas las trans- formaciones de Möbius ω = ^az+b_cz+d con ad−bc = 1, tal que a cada

µa b c d

¶

le asocia la transformación ω = ^az+b_cz+d. Claramente tal función es un ho- momorfismo de grupos, más aún es un epimorfismo. De ad − bc = 1 se sigue que φ(g) = φ(−g), es decir Kerφ ⊇ Z2 = {E, −E}. Aho- ra probemos que tal contención es una igualdad. Sea φ(g) = φ(g⁰), es decir

az + b

cz + d = a⁰z + b⁰ c⁰z + d⁰, por lo tanto

b

b⁰ = λ, a a⁰ = c

c⁰ = µ, a + b

c + d = a⁰ + b⁰

c⁰+ d⁰, b = λb⁰, d = λd⁰,

a = µa⁰, c = µc⁰, µa⁰d⁰+ λb⁰c⁰ = µc⁰b⁰ + λd⁰a⁰, (µ − λ)(a⁰d⁰− b⁰c⁰) = 0, µ = λ, a⁰d⁰ − b⁰c⁰ = 1.

1.4. Conexiones Afines 21

De esta manera _a^a0 = _b^b0 = _c^c0 = _d^d0 = λ, es decir, g⁰ = λg, λ = ±1, g⁰ = ±g, que es lo requerido.

1.4. Conexiones Afines

Cuando se estudian vectores y funciones definidas en R³, surge el con- cepto de derivada a lo largo de una dirección determinada por un vector.

Tal concepto es deseable tenerlo para vectores, y en general para tensores en una variedad M, de tal manera que el resultado nos devuelva un tensor.

Sin embargo tal concepto no tiene sentido en el caso general de una variedad (se sabe que para una variedad en general la derivada usual de un vector en cierta dirección no resulta ser un vector). Para ello se introduce el concep- to de derivada covariante de vectores definidos sobre una variedad con una conexión afín. El tratamiento que presentamos a continuación es elemental en el sentido de que damos una expresión para la derivada de un vector a lo largo de otro sin profundizar en el concepto general de conexión y haces principales sobre una variedad diferenciable.

Definición 1.4.1. Una Conexión o Derivación Covariante ∇ está definida sobre una variedad M si sobre cada carta suave de coordenadas existe un conjunto de funciones suaves Γⁱ_jk que obedecen el cambio de coordenadas

Γⁱ_j⁰0k⁰ = ∂xⁱ⁰

∂xⁱ

∂x^j

∂x^j0

∂x^k

∂x^k0Γⁱ_jk+ ∂²x^k0

∂x^j∂x^k

∂xⁱ

∂xⁱ⁰

∂x^j

∂x^j0, (1.38) y

(∇T )ⁱ_j¹₁^,...,n_,...,jp^k_;α= ∂

∂x^α

³

T_jⁱ₁¹_,...,j^,...,n_p^k

´ +

Xk s=1

T_jⁱ₁¹_,...,j^,...,is_p^=q,...,nkΓⁱ_qα^s − Xp

s=1

T_jⁱ₁¹_,...,j^,...,n_s^k_=q,...,jpΓ^q_jsα

con T_jⁱ₁¹_,...,j^,...,n_p^k un tensor.

Más generalmente esta definición es equivalente a que exista un mapa

∇ : Ξ(M) × Ξ(M) → Ξ(M)

Con la siguiente notación ∇(X, Y ) = ∇_XY y donde Ξ(M) son secciones del haz tangente de M o lo que es lo mismo campos vectoriales sobre M. Con

tal notación se dice que ∇XY es la derivada de Y en la dirección de X. De esta manera obtenemos una derivada sobre campos vectoriales infinitamente diferenciables. Tal función debe cumplir las siguientes propiedades:

1. ∇_XY es lineal en la variable X sobre C^∞(X) :

∇_{f X1+gX2}Y = f ∇_X1Y + g∇_X2Y para todos f, g ∈ C^∞(M).

2. ∇_XY es lineal en la variable Y sobre R, en general sobre el campo de definición del haz;

∇X(aY1+ bY2) = a∇XY1+ b∇XY2, para todos a, b ∈ R.

3. ∇ cumple con la regla de derivación siguiente:

∇_Xf Y = f ∇_XY + (Xf )Y

Tal definición se puede generalizar a cualquier haz fibrado vectorial con base M.

Cabe mencionar que tal operación no es un tensor, pero que nos da un tensor para cada pareja. Con tal definición se sabe que los símbolos de Christoffel Γ^k_ij están definidos de la siguiente manera:

∇_eie_j =X

k

Γ^k_ije_k

para un sistema de vectores base en nuestro espacio tangente[6].

Cuando trabajamos con variedades de Riemann obtenemos una conex- ión determinada de manera natural por la métrica de Riemann. Para enten- der tal objeto debemos antes entender lo que es una conexión simétrica. Una conexión ∇ se dice simétrica si su tensor torsión τ (X, Y ) = ∇_XY − ∇_YX − [X, Y ] es cero, es decir que

∇_XY − ∇_YX = [X, Y ].

Dada una métrica sobre una variedad M se define de manera natural una conexión invariante por dicha métrica. Lo cual significa una conexión ∇, o lo que es equivalente Γ^k_ij, de tal manera que

∇_XhY, Zi = h∇_XY, Zi + hY, ∇_XZi lo cual es equivalente a

∇gij ≡ 0.

De esta manera se tiene la siguiente