Potencias = = 3 4

(1)

Potencias

Las potencias son una manera de expresar el producto de un número por sí mismo una cantidad determinada de veces. Esto resulta especialmente útil para el cálculo de operaciones que de otro modo resultarían muy laboriosas. También son imprescindibles en la descomposición de números de factores primos.

Por ejemplo

2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25

3 · 3 · 3 · 3 = 34

Una potencia tiene la siguiente estructura:

𝟓

𝟑

La Base es el número que se repite y el Exponente es el número de veces que hay que multiplicarlo por sí mismo.

Veamos la utilidad de las potencias en la descomposición de números en factores primos:

Ejemplo: Descomposición en factores primos del número 144: 540 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 = 22 _{· 3}3_{· 5}

Exponente

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I. Propiedades de las potencias

1. 𝑎1 = 𝑎 ∀ 𝑎 ∈ ℜ 2. 1𝑚 = 1 ∀ 𝑚 ∈ ℜ 3. 𝑎𝑚 · 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚 +𝑛 ∀ 𝑎, 𝑚, 𝑛 ∈ ℜ 4. 𝑎𝑚: 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 ∀ 𝑎, 𝑚, 𝑛 ∈ ℜ 5. 𝑎𝑚 · 𝑏𝑚 = (𝑎 · 𝑏)𝑚 ∀ 𝑎, 𝑚, 𝑛 ∈ ℜ 6. 𝑎𝑚: 𝑏𝑚 = (𝑎: 𝑏)𝑚 ∀ 𝑎, 𝑚, 𝑛 ∈ ℜ 7. 𝑎0 = 1 ∀ 𝑎 ∈ ℜ 8. 𝑎𝑚 𝑛 = 𝑎𝑚 ·𝑛 ∀ 𝑎, 𝑚, 𝑛 ∈ ℜ 9. 𝑎−𝑚 = 1_𝑎 𝑚 ∀ 𝑎 ∈ ℜ y 𝑎 ≠ 0

Las propiedades 1 y 2 son triviales y no requieren mayor demostración. Pero vamos a detenernos en las demás ya que su entendimiento y asimilación en profundidad es imprescindible para un buen resultado en el aprendizaje.

 El producto de dos potencias con la misma base y distintos exponentes es una potencia de igual base y como exponente la suma de los exponentes iniciales o expresado de otro modo:

𝑎𝑚 _{· 𝑎}𝑛 _{= 𝑎}𝑚+𝑛

Por ejemplo:

25_{· 2}3 _{= 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 2}8 _{= 2}5+3

 El cociente de dos potencias con la misma base y distintos exponentes es una potencia de igual base y como exponente la resta de los exponentes iniciales o expresado de otro modo:

𝑎𝑚_{: 𝑎}𝑛 _{= 𝑎}𝑚−𝑛 Por ejemplo: 25 23 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 2 · 2 · 2 = 22 = 25−3

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 El producto de dos potencias con distinta base e igual exponente es una potencia de igual exponente y como base el producto de las bases iniciales o expresado de otro modo:

𝑎𝑚 _{· 𝑏}𝑚 _{= (𝑎 · 𝑏)}𝑚

Por ejemplo:

33_{· 2}3 _{= 3 · 3 · 3 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 · 3 · 2 · 3 · 2 = (3 · 2)}3 _{= 6}3

 El cociente de dos potencias con distinta base e igual exponente es una potencia de igual exponente y como base el cociente de las bases iniciales o expresado de otro modo:

𝑎𝑚_{: 𝑏}𝑚 _{= (𝑎: 𝑏)}𝑚 Por ejemplo: 102 52 = 10 · 10 5 · 5 = 10 5 · 10 5 = 2 · 2 = 22 = 10 5 2

 Demostremos ahora la propiedad número 7 que se enuncia de la siguiente manera:

𝑎0 _{= 1}

Demostración:

Por una lado tenemos la siguiente división de potencias 𝑎𝑏

𝑎𝑏 = 𝑎𝑏−𝑏 = 𝒂𝟎

Y por otro lado sabemos que un número entre si mismo siempre es 1: 𝑎𝑏

𝑎𝑏 = 𝟏

Con lo que queda demostrada la propiedad.

 La propiedad número 8 es de sencilla comprobación. A esta propiedad se le denomina potencia de potencia.

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 La ultima propiedad es quizás la que más cuesta dominar por ello haremos especial hincapié en ella.

Empecemos por enunciarla:

𝑎−𝑚 ₌1

𝑎

𝑚

Vamos a demostrarla mediante un ejemplo para facilitar la explicación:

Primero empecemos con un cociente de potencias de igual base y distinto exponente. Fijaros en que el exponente del numerador es mayor que el de

denominador

33

35 = 33−5= 𝟑−𝟐

Por otro lado desarollando las potencias obtenemos: 33 35 = 3 · 3 · 3 3 · 3 · 3 · 3 · 3= 1 3 · 3= 1 3· 1 3 = 𝟏 𝟑 𝟐

Por lo que podemos concluir que: 𝟑−𝟐 ₌𝟏

𝟑

𝟐

De manera general podemos decir que una potencia de exponente negativo es igual al inverso de la base elevado a exponente positivo:

Recordemos que dos números son inversos entre si si al multplicarlos entre si el resultado es 1. Mientras que el opuesto es el número cambiado de signo. Por ejemplo:

El inverso de 3 es 1₃ porque 3 ·1₃= 3₃= 1 mientras que el opuesto es -3. El inverso de 4₇ es 7₄ porque 4₇·7₄=4·7_7·4 = 1

Otra cosa importante es que una potencia de base positiva nunca puede dar un número negativo.

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II. Signo de una potencia

Anteriormente se ha señalado que una potencia de base positiva nunca va a poder ser negativa pero ¿qué ocurre con las potencias de base negativa?

Tenemos que distinguir dos casos:

1) Base negativa y exponente par: si multiplicamos un número negativo un número par de veces el resultado es positivo.

−2 2 _{= −2 · −2 = 4}

2) Base negativa y exponente impar: si multiplicamos un número negativo un número impar de veces el resultado es negativo.

−2 3 _{= −2 · −2 · −2 = −8}

III. Usos

Como se dijo anteriormente el principal uso de las potencias es la simplificación del cálculo con números complicado.

Ejemplos:

1) Empecemos con el cálculo de la siguiente fracción: 24 · 45 · 9

12 · 75

Lo primero que debemos hacer es la descomposición en factores primos de los números que conforman la fracción:

24 = 23_{· 3 45 = 3}2 _{· 5 12 = 2}2_{· 3 75 = 3 · 5}2

Por lo que sustituyendo y multiplicando las potencias con igual base en el numerador y en el denominador obtenemos la siguiente expresión:

24 · 45 · 9 12 · 75 = 23_{· 3 · 3}2_{· 5} 22_{· 3 · 3 · 5}2 = 23 _{· 3}5_{· 5} 22 _{· 3}2_{· 5}2

(6)

Ahora podemos agrupar las potencias con igual base y restar sus respectivos exponentes:

21_{· 3}3_{· 5}−1

Y por último aplicando la propiedad de las potencias con exponente negativo el resultado es el siguiente:

2 · 3 ·1 5=

𝟐 · 𝟑 𝟓 2) Calculemos las siguiente operaciones:

2 3 2 2 · 3 2 −3 : 2 3 −2 = 2 3 4 · 2 3 3 : 2 3 −2 = 2 3 7 : 2 3 −2 = 2 3 3 1 5 2 · (−4)2 ₌1 5 2 · (4)2 ₌𝟒 𝟓 𝟐

(7)

Test

1) Calcula el valor de la siguiente potencia:

−1 2 −2 = a. 2 b. 1 c. 4 d. -4

2) Calcula la siguiente operación en forma de potencia:

4 · 9 · 18 63_{· 3} a. -1 b. 2₃ c. 3₂ d. 1

3) EL valor de la siguiente potencia es:_{2 −2}42 ₄= a. 𝟏_𝟐 b. 2 c. −1₂ d. -2 4) 𝟐𝟑+ 𝟐𝟑 a. 2 b. 4 c. 26

(8)

5) _𝟓𝟑_−𝟏𝟎 = a. -5 b. 5 c. 3₅ d. 5₃ 6) −𝟕 𝟑· −𝟏_𝟕 −𝟏 = a. -1 b. 1 c. 𝟕𝟒 d. −74 7) − −𝟐 𝟑 = a. -2 b. 2 c. 1₂ d. 8 8) 𝟔𝟐 −𝟐 = a. ₆1₄ b. -₆1₄ c. -6 d. 1 9) 𝟐_𝟓 𝟐: 𝟓_𝟐 = a. 2₅ 3 5

(9)

c. 5 d. 2

10) ¿Es lo mismo −𝟐𝟐 y −𝟐 𝟐?

a. No, el primero vale 2 y el segundo -2 b. No, el primero vale -2 y el segundo 2 c. Sí, ambos valen -2

d. Sí, ambos valen 2.

Respuestas: