Análisis de Sistemas No Lineales

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Análisis de Sistemas No Lineales

Introducción

Dr. Fernando Ornelas Tellez

Universidad Michoacana de San Nicolas de Hidalgo Morelia, Michoacán

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Contenido

1 Introducción a los Sistemas No Lineales

Introducción

Linealidad y principio de superposición Fenómenos no lineales

Modelos de SNL: continuo y discreto, forzado y no forzado, autónomo y no autónomo

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Outline

Introducción

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Introducción

Ingeniería de Control

Es el diseño de un sistema (controlador) que actúa sobre otro sistema (planta o proceso) con una finalidad de lograr un objetivo. Así, en ingeniería de control, se diseñan sistemas de control que dirigen o regulan el comportamiento de la salida de una planta o proceso mediante sus elementos de entrada.

–

Proceso y Sistema

Un proceso es una secuencia de operaciones para obtener un fin determinado (e.g. proceso químico), mientras que un sistema es un concepto más general, siendo un conjunto de operadores o

componentes que actúan relacionados de tal manera que realizan una tarea como una unidad completa.

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Intro.

Sistema Dinámico

Es un sistema cuyo estado evoluciona con el tiempo.

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Intro.

Modelo Matemático de un Sistema Dinámico

Es un conjunto de ecuaciones que representan con cierto grado exactitud la dinámica del sistema físico. El modelo se describe generalmente como un operador entre las entradas y salidas del sistema, o como un conjunto de ecuaciones diferenciales (caso continuo) y/o en diferencias (caso discreto).

–

Representación en Espacio de Estado

El ente matemático para la representación de los sistemas dinámicos a estudiar será el de su representación en espacio de estados. Note que para sistemas dinámicos no lineales, no es posible su representación en el dominio de la frecuencia, como lo es para sistemas lineales.

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Representación en Espacio de Estados

Necesidad de Análisis en Espacio de Estados

Los sistemas modernos de control son altamente complejos debido a:

Múltiples entradas y salidas Sistemas variantes en el tiempo Dinámica no lineal

Las últimas dos características no pueden ser analizadas fácilmente por los métodos clásico o incluso imposibles de analizar.

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Definición de Estado y Vector de Estado

Definition

Estado.Es el conjunto más pequeño de variables (variables de estado) tal que con el conocimiento de éstas en t = t0 y el

conocimiento de la entrada u para t ≥ t0, se puede determinar por

completo el comportamiento futuro del sistema dinámico.

–

Definition

Vector de estado.Si se necesitan n variables de estado para describir el comportamiento del sistema, estas variables son los componentes del vector x ∈ Rn.

Un espacio de estados de dimensión n, está compuesto de n ecuacio-nes diferenciales deprimer ordenque pueden ser lineales o no lineales y variantes en el tiempo.

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Representación en Espacio de Estados

La representación de un espacio de estados con n estados y m en-tradas de un sistema no lineal se describe como

˙ x1 = f1(x1, x2, . . . , xn, u1, u2, . . . , um, t) ˙ x2 = f2(x1, x2, . . . , xn, u1, u2, . . . , um, t) .. . ˙ xn = fn(x1, x2, . . . , xn, u1, u2, . . . , um, t)

donde xi es el estado, con i = 1, ..., n; uj son las variables de

entra-da, con j = 1, ..., m y fi son funciones (generalmente diferenciables)

no lineales. O bien, de forma vectorial x =

x1 x2 · · · xn T , u = u1 u2 · · · un T y f (x, u, t) = f1(x , u, t) f2(x , u, t) · · · fn(x , u, t) T . La salida se puede definir como

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Ejemplo

Representación en Espacio de Estados

Example

Determine la representación en función de trasferencia y en espacio de estados de la siguiente ecuación diferencial.

dny d tn + an−1 dn−1y d tn−1 + · · · + a1 d y d t + a0y = b0u

donde ai y bj son constantes con i = 1, ..., n, j = 1, ..., m; y es la

salida del sistema y u es la variable de entrada. Considere condiciones iniciales cero. Defina el vector de estado x.

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Aspectos Importantes del Espacio de Estados y Dominio de

la Frecuencia (Laplace)

¿Es posible obtener la función de transferencia de un sistema no lineal?

Sin función de transferencia, ¿como es posible aplicar los métodos de diseño vistos en control analógico?

Posibles soluciones:

Controladores PID sintonizados por Ziegler Nichols (inconvenientes? )

Modelado mediante respuesta en frecuencia (aproximado mediante linealización)

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Aspectos Importantes del Espacio de Estados

El modelado en espacio de estados es el apropiado para diseño de sistemas de control no lineales. Adecuado para utilizar técnicas avan-zadas de control como:

Control Neuronal Teoría de Regulación

Control Óptimo Lineal y No Lineal

Análisis de Estabilidad en el sentido de Lyapunov Algoritmos Difusos

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Intro.

Componentes Principales de un Sistema de Control

Un esquema básico de un sistema de control comprenderá:

Planta:es el proceso o sistema sobre el que se desea actuar o controlar.

Controlador: es el sistema que genera la entrada requerida para que la planta se comporte de una manera predeterminada.

Entrada de Referencia: es la señal externa de referencia para las salidas de la planta y que el controlador tomará en cuenta en el diseño.

Señal de Control: es la señal generada por el controlador y que es aplicada a la planta.

Salida de la Planta: es la variable de salida de la planta o sistema la cual se desea controlar.

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Intro.

Tipos de Sistemas de Control

Existen diferentes clasificaciones para los sistemas de control depen-diendo del enfoque del problema a analizar o diseñar, por ejemplo:

De acuerdo a su estructura:sistema de control a lazo abierto y

lazo cerrado.

De acuerdo a su análisis: esquemas lineales yno lineales.

De acuerdo a su comportamiento dependiente o no del tiempo:sistemas variantes e invariantes con el tiempo, o más general, no autónomos y autónomos, respectivamente.

De acuerdo al marco del tiempo: sistemascontinuos y

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Intro.

Dado que la mayoría de los sistemas a analizar y diseñar son sistemas no lineales dinámicos (p.e., circuitos eléctricos, sistemas mecánicos, biológicos, entre otros), es conveniente el uso de herramientas de análisis no lineal. El objetivo del curso es introducir y comprender esas herramientas.

En particular, se presentarán herramientas para análisis de estabilidad de sistemas no lineales (SNL), con énfasis en el método de Lyapunov. Adicionalmente se introducen herramientas básicas para control por retroalimentación de SNL incluyendo linealización por retroalimenta-ción (para tratar al sistema no lineal como si fuese lineal).

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Intro.

El porque de un análisis de SNL: conocer el comportamiento y propiedades de un sistema de control es crucial para posteriormente poder modificarlo o mejorarlo mediante estrategias de control. Las ventajas en el control de un sistema del cual se tiene conoci-miento de su estructura y comportaconoci-miento son inmensas, e incluyen mejoras en su respuesta, análisis de su estabilidad, mejoras en la robustez de los controladores, reducción en el consumo de energía, mayores niveles de seguridad.

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Intro.

Descripción del Sistema No Lineal

Se analizará un sistema dinámico el cual puede ser modelado por un número finito de ecuaciones diferenciales ordinarias (ODEs) de primer orden acopladas, representado como

˙

x = f (x, u, t) (1)

donde x ∈ Rnes el vector deestado_{, u ∈ R}mes el vector deentradas

(utilizadas para fines de control y que puede ser u(t) ó u(x)) y t es el tiempo. Usualmente se tiene lasalida, la cual podemos representar como

y = h(x, u, t) (2)

donde y ∈ Rp _{es un vector de p variables de salida de interés}

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Intro.

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Outline

Introducción

Linealidad y principio de superposición

Fenómenos no lineales

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Linealidad y Principio de Superposición

Considere un sistema dado en espacio de estado como ˙

x = f (x, u) y = h(x, u).

Por conveniencia, asumiremos que origen es un punto de equilibrio para el sistema, es decir, para xe= 0, ue= 0, hacen que f (0, 0) = 0

y h(0, 0) = 0, si no es así, suponiendo que el punto de equilibrio es xe6= 0, etc., se hace un cambio de variables como

˜

x = x − xe, u = u − u˜ e, y = y − y˜ e

para obtener

˙˜x = ˜f(˜x, ˜u) ˜

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Linealidad y Principio de Superposición

Un sistema se dice que es lineal si satisface las siguientes propiedades:

1 y (t; αx₁+ β x₂, 0) = αy (t; x₁, 0) + β y (t; x₂, 0) 2 _{y (t; αx}₀_{, δ u) = αy (t; x}_o_{, 0) + δ y (t; 0, u)} 3 y (t; 0, δ u₁_{+ γu}₂_{) = δ y (t; 0, u}₁_{) + γy (t; 0, u}₂_).

La propiedad 2 es la descomposición usual de un sistema en su res-puesta homogénea (u = 0) y la resres-puesta particular (x0= 0).

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Principio de Superposición

Definition

Un sistema es no lineal si no se aplica el principio de superposición.

Por tanto, para un sistema no lineal la respuesta a dos entradas no puede calcularse tratando cada una a la vez y sumando los resultados. (Tarea) Simular un sistema lineal y uno no lineal para comprobar el principio de superposición:

˙

x = −a x + u, x(0) = x0, a > 0, y = x

˙

x = −a x3+ u, x(0) = x0, a > 0, y = x.

Simular para una entrada tipo escalón (u1= 1, u2= 2) o entradas

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Outline

Introducción

Linealidad y principio de superposición

Fenómenos no lineales

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No Linealidades

Es deseable que los modelos matemáticos sean lineales, esto por su sencillez con respecto a los no lineales, y porque en muchos casos pueden representar en forma precisa el comportamiento de sistemas reales. Sin embargo, los avances tecnológicos actuales han generado una enorme variedad de nuevos problemas y aplicaciones que son del tipo no lineal.

Aunque algunos sistemas físicos tienen una región de operación muy cercana a la lineal para cierto rango de valores de entrada y salida, otros sistemas importantes son no lineales para señales de cualquier tamaño.

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No Linealidades

En la práctica, muchos sistemas electromecánicos, hidráulicos, neu-máticos, etc., involucran relaciones no lineales entre las variables. Por ejemplo, la salida de un componente puede saturarse para seña-les de entrada grandes. Puede haber una zona muerta que afecte las señales pequeñas . (La zona muerta de un componente es un rango pequeño de variaciones de entrada ante las cuales el componente es insensible). Puede ocurrir una no linealidad de la ley cuadrática en algunos componentes.

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Outline

Introducción

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Descripción del Sistema No Lineal

El sistema (1) se dice forzado cuando explícitamente aparece la en-trada u. Cuando para el sistema (1) no aparece explícitamente la entrada u (ya sea por que es cero (no existe) o es utilizada como re-troalimentación), se dice que el sistema es no forzado (o la ecuación de estado es no forzada), cuya respuesta viene dada por

˙

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Descripción del Sistema No Lineal

En este curso se abordarán tanto sistemas invariantes en el tiempo (Autónomo), donde ˙x = f (x) no depende explícitamente del tiempo. También se tratarán los sistemas variantes en el tiempo (No Au-tónomo), donde el lado derecho de (3) es una función explícita del tiempo, esto es ˙x = f (x, t).

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Descripción del Sistema No Lineal

El sistema no lineal (1) se dice continuo debido a que su comporta-miento viene gobernado por una ecuación diferencial, sin embargo, también existe el modelado discreto o la representación discreta de un sistema, ya sea que tal discretización sea obtenida por la dis-cretización de un modelo continuo, o bien, por que el sistema por naturaleza sea discreto (p.e., algoritmos de computadora, sistemas muestreados como el Radar, modelos económicos, convertidores de potencia, etc), que se puede representar con ecuaciones en diferencias como

x(k + 1) = f (x(k), u(k), k).

Este curso se enfocará principalmente a sistemas no lineales conti-nuos.

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Outline

Introducción

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Puntos de Equilibrio

Un concepto importante al trabajar con la ecuación de estado es el concepto depunto de equilibrio.

Definition

Un vector xe∈ Rn es un punto de equilibrio del sistema no forzado

(3), si

f (xe, t) = 0, ∀t ≥ 0.

Si xees un punto de equilibrio de (3), entonces la ecuación diferencial

˙

x = f (x, t), ∀t ≥ 0, x(t) = x_e tiene la solución

x(t) = xe, ∀t ≥ 0

i. e., si el sistema inicia en el equilibrio, este permanecerá en él para todo tiempo (si ninguna fuerza actúa sobre el sistema).

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Múltiples Puntos de Equilibrio

Un sistema lineal ˙x = A(t)x puede tener solamente un puntoaislado

de equilibrio, x = 0. Así, el sistema sólo puede tener un punto de operación en estado estable, siempre y cuando el punto de equilibrio sea estable, el cual es un atractor del estado del sistema de forma independiente de la condición inicial.

Un sistema no lineal puede tener más de un punto de equilibrio ais-lado, y el estado puede converger a uno de los muchos puntos de operación en estado estable, dependiendo de la condición inicial del sistema.

Definition

Unpunto fijox∗ es aquel que satisface la condición x∗= T (x∗).

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Sistemas Lineales

Dada la simplicidad de los sistemas lineales, es deseable, si es posible, hacer linealizaciones de sistemas no lineales.

Para ello se requiere que las funciones no lineales f (x, u, t) y h(x, u, t) sean lo suficientemente suaves1para ser expandidas en series de Tay-lor.

1_{Suficientemente suave implica que las funciones f (x, u, t) y h(x, u, t)} puedan puedan ser derivables.

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Linealización

El método de linealización puede no ser suficiente para el análisis y descripción del comportamiento de un sistema no lineal en todo el rango de operación. Hay dos limitaciones básicas de la linealización:

1 Ya que la linealización es llevada a cabo sobre un punto de

operación, sólo se puede predecir el comportamiento local del sistema no lineal en una vecindad de ese punto. En general no es sencillo inferir por el comportamiento no local, y de ninguna manera el comportamientoglobal a través del espacio de estado.

2 La dinámica del sistema no lineal es mucho más rica que la de

un sistema lineal. Hay fenómenos no lineales que no podrían obtenerse por los modelos lineales (p.e.,tiempo de escape finito,ciclos limite,múltiples equilibrios aislados,caos, etc.).

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Tiempo de Escape Finito

Para un sistema lineal inestable, el estado va a infinito conforme el tiempo se aproxima al infinito

Para un sistema no lineal, el estado puede ir a infinito en un tiempo finito. Por ejemplo, considere la ecuación diferencial

˙

x = x2, x(0) = x0.

La solución es:

x(t) = x0 1 − x0t

De esta manera se infiere que x(t) → ∞ cuando t → 1 x0

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Ciclos Límites

Para que un sistema lineal invariante en el tiempo llegue a oscilar, este debe tener un par de eigenvalores sobre el eje imaginario (Tarea

realizar el oscilador):

˙

x1 = x2

˙

x2 = −ω2x1, ω − constante

la cual no es una condición robusta. Esta condición es imposible mantener en presencia de perturbaciones, o su amplitud dependerá de la condición inicial.

En casos prácticos, las oscilaciones estables deben ser producidas por sistemas no lineales. Hay sistemas no lineales los cuales van a un estado de oscilación deamplitud y frecuencia fija, no importando el estado inicial. Este tipo de oscilación es conocido comociclos límite

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Determinación de Puntos de Equilibrio

Ejemplo: Péndulo simple

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Determinación de Puntos de Equilibrio

Usando la segunda ley de Newton, la ecuación de movimiento en al dirección tangencial viene dada por

ml ¨θ = −mg sin θ − kl ˙θ .

Para obtener la representación en espacio de estado del péndulo, definimos x1= θ y x2= ˙θ , entonces la ecuación de estado resultante es (Tarea:su deducción) ˙ x1 = x2 ˙ x2 = − g l sin x1− k mx2

Para encontrar los puntos de equilibrio, se hace ˙x1 = ˙x2= 0 y se

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Determinación de Puntos de Equilibrio

(Tarea) Los puntos de equilibrio están localizados en (nπ, 0) para n = 0, ±1, ±2, ±3, . . .

De la descripción física del péndulo, es claro que sólo se tienendos posiciones de equilibrio correspondientes a los puntos de equilibrio (x1, x2) = (0, 0) y (x1, x2) = (π, 0). Los otros puntos son repeticiones

de los anteriores.

La diferencia entre los dos puntos de equilibrio está en sus propieda-des de estabilidad.

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Ejemplo: Circuito del Diodo Túnel

Explicar su comportamiento no lineal y discutir sus puntos de equi-librio.

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Ejemplo: Sistema Masa-Resorte

Explicar su comportamiento no lineal y discutir sus puntos de equi-librio.

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For Further Reading I

H. Khalil,

Nonlinear Systems,

Prentice-Hall, 2002.

J-J. E. Slotine and W. Li,

Applied Nonlinear Control,

M. Vidyasagar,

Nonlinear Systems Analysis,

S. H. Strogatz,

Nonlinear Dynamics and Chaos,

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For Further Reading II

S. Someone.

On this and that.