Prof. OSCAR GARCÍA Página 1

FUNCIONES POLINÓMICAS

Módulo Teórico - Práctico Presentamos a la función polinómica según la siguiente notación:

0 0 2 2 1 1

a

...

a

a

a

)

(

x

x

x

x

x

F

n n n n n n











   

Analizaremos como está formada: Como toda expresión aditiva, está definida por términos que son expresiones algebraicas de la forma n

x

x

M

(

)



a

.

. Esta expresión algebraica recibe el nombre de MONOMIO.

En todo monomio,

a

es un número real llamado “coeficiente”,

x

la “indeterminada” y

n

es un número natural. Si

a



0

, entonces

n

es el exponente o “grado del monomio”. Si

a



0

, el monomio no tiene grado (que no es lo mismo que tener grado 0). Si dos monomios presentan igual grado, entonces se dice que son semejantes.

Si

a



1

, entonces decimos que el monomio es mónico.

1. Señala cuáles de las siguientes expresiones son monomios. En caso que lo sea, indica coeficiente y grado. En caso que no lo sea, aclara el por qué.

a.

A

(

x

)





2

x

9 b.

B

(

x

)



2

x

9 c.

C

(

x

)





x

5 d. 4 1

3

)

(

x



D

e.

E

(

x

)





x

220 f.

F

(

x

)



x

3 g.

G

(

x

)





30

h.

H

(

x

)



x

 i. 6

2

1

)

(

x

x

I



2. Escribe un ejemplo de monomio mónico de grado 4 y dos monomios semejantes grado 5.

Todo monomio tiene asociada una FUNCIÓN POTENCIAL, con dominio en el campo de los números reales y dada por

f

(

x

)



a

.

x

n, donde

a

es un número real y

n

es un número natural. Por ejemplo:

3 2

2

1

)

(

;

3

)

(

;

2

)

(

x

x

g

x

x

h

x

x

f









3. Dadas las funciones 3

)

(

x

x

g



y 4

)

(

x

x

h



:

a. Construye la tabla de valores de cada función en el intervalo









2

3

;

2

3

.

b. Representa sobre el plano cartesiano, la gráfica de cada función.

Si has construido bien las gráficas, podrás observar que en el caso de la función potencial de exponente par, el gráfico resultó simétrico respecto al eje de ordenadas (y), mientras que en el caso de la función potencial de exponente impar, resultó simétrico respecto al punto O (origen de coordenadas).

4. Supongamos que tenemos definidas en el campo de los números reales las funciones

f

(

x

)



3

x

2 y

g

(

x

)



2

x

3.

a. Calcula la imagen de

f

(x

)

para los siguiente pares de valores de

x

opuestos:

2

y



2

;

3

1

y

3

1



.

b. Calcula la imagen de

g

(x

)

para los mismos pares de valores de

x

opuestos que usaste en a.

Si hiciste bien tus cálculos, habrás obtenido imágenes iguales para valores de

x

opuestos en la función cuadrática, mientras que en la función cúbica, habrás obtenido imágenes opuestas.

Esto nos permite definir funciones pares e impares:

Se dice que una función

f

(x

)

es par cuando, para todo valor de

x

perteneciente a su dominio, se cumple que

f

(

x

)



f

(



x

)

.

Se dice que una función

f

(x

)

es impar cuando, para todo valor de

x

perteneciente a su dominio, se cumple que



f

(

x

)



f

(



x

)

.

Por lo tanto, las funciones potenciales de exponente par son funciones pares, las funciones potenciales de exponente impar son funciones impares.

5. Observa las gráficas que se presentan a continuación y responde:

a. ¿Cuál representa una función par y cuál una función impar? Justifica tu respuesta con los saberes adquiridos con el desarrollo de la presente guía.

b. ¿Qué signo presenta el coeficiente principal de cada función?

c. ¿Qué sucede con las gráficas si consideramos en cada caso el coeficiente principal de signo opuesto?

6. Indica cuáles de los siguientes expresiones son monomios. Justifica tu respuesta.

a.

A

(

x

)



0

,

111

x

3

b.

B

(

x

)



2

x

4

c.

C

(

x

)





3

x

0,111

d.

D

(

x

)





0

,

1

x

3

7. Analiza si las siguientes funciones, con dominio en los números reales, son pares, impares o ninguna de las dos cosas: a.

h

(

x

)





5

x

13 b.

b

(

x

)





x



1



2 c.

m

(

x

)



x

4



3

d.

g

(

x

)



x

4



2

e.

n

(

x

)



x

5



2

f.

v

(

x

)



x

7 g.

f

(

x

)



 



x

8 h.

d

(

x

)



x

6

Concluimos con este estudio previo que llamaremos polinomio, a la suma de varios monomios. Los polinomios que vamos a estudiar son expresiones algebraicas de la forma:

0 0 2 2 1 1

a

...

a

a

a

)

(

x

x

x

x

x

P

n n n n n n











   

donde,

a

_n

;

a

_n1

;

a

_n2

;...;

a

₀ son números reales constantes, llamados coeficientes;

x

es la indeterminada, y los exponentes de

x

son números naturales.

Así como un polinomio de un solo término recibe el nombre de monomio, los polinomios de dos términos se llaman binomios; los de tres términos se llaman trinomios y los de cuatro términos cuatrinomios. A partir de allí, decimos polinomios de cinco términos, de seis...

El monomio de mayor grado que aparece en un polinomio, nos da el grado de dicho polinomio.

En particular un polinomio de la forma 1 2 0

0

...

0

0

0

)

(

x

x

x

x

x

P



n



n



n





, es decir

P

(

x

)



0

, se llama polinomio nulo y no tiene grado (que no es lo mismo que tener grado 0)

8. Analiza si las siguientes expresiones son polinomios. En caso negativo, explica por qué.

a.

A

(

x

)



7

x

4



5

x



2

b. 5 2

4

3

)

(

x



x



x



B

c.

C

(

x

)





3

9 d.

x

x

x

x

x

D

(

)



5

8



2

4



3

3



1

9. Escribe un monomio, un binomio y un trinomio. 10. Indica el grado de los siguientes polinomios.

a.

P

(

x

)





4

x

7



5

x

4



x

2



4

x



6

b.

Q

(

x

)



7

x

2



9

c.

M

(

x

)



2

x



5

Otros aspectos a tener en cuenta sobre los polinomios:

El coeficiente del monomio de mayor grado es el coeficiente principal del polinomio. Si el coeficiente principal es 1, el polinomio es mónico.

Al términos

a

₀ se lo llama término independiente.

Un polinomio está completo cuando aparecen todos los exponentes de la indeterminada desde

n

hasta

0

.

Un polinomio está ordenado cuando los monomios que lo componen están escritos en orden creciente o decreciente según sus grados. Generalmente se ordenan en forma decreciente.

11. Ordena los siguiente polinomios, indica el coeficiente principal de cada uno y subraya los que resulten completos:

a. 5 6

2

.

4

2

1

3

)

(

x

x

x

x

x

A









b. 4

2

2

5

3

5

2

25

)

(

x

x

x

x

x

B











c. 2

6

3

3

2

18

12

)

(

x

x

x

x

C









d.

D

(

x

)



x

7



2

x



3

x

5



x

3

12. Nombra el o los términos que faltan en los polinomios incompletos del punto anterior.

13. Si a partir del polinomio

P

(

x

)



3

x

4



x

2



5

, reemplazas su indeterminada por el valor

2

, ¿qué resultado obtienes?.

En general, cuando en un polinomio

P

(x

)

le asignamos un valor a

x

, decimos que el polinomio

P

(x

)

está especializado en ese valor.

14. Encuentra las imágenes que corresponde a

G

(



2

);

H

(

2

);

L

(



1

)

y

J

(

10

)

para los siguientes polinomios:

a.

G

(

x

)





5

x



3

x

5



x

2



2

x

4



9

b.

H

(

x

)



16

x



x

4



2

x

3



x

6



1



4

x

2 c.

L

(

x

)



3

x

7



2

x

2



x

9



x

4



6

x

5



x

6 d.

4

2

5

3

10

)

(

x



x



x

4



x

2



x

3



J

Del mismo modo que viste que todo monomio tiene asociada una función potencial con dominio en los

IR

, se cumple que todo polinomio tiene asociada una función llamada función polinómica. Hablaremos indistintamente de polinomio o función polinómica.

Con los polinomios es posible realizar operaciones, tal como con los números. Comenzaremos por resolver la suma

P

(

x

)



Q

(

x

)

, donde

P

(

x

)



3

x

2



2

x



1

y

Q

(

x

)



5

x

3



7

x



8

. Si sumamos polinomios, el resultado será un polinomio. Para hallar el resultado de dicha suma, basta con asociar cada término (o monomio) de

P

(x

)

con los que resulte semejante de

Q

(x

)

y luego sumar (o restar) los respectivos coeficientes. (Recuerda que llamamos términos o monomios semejantes a aquellos que presentan el mismo grado). Es decir:

9

5

3

5

5

)

8

1

(

)

7

2

(

3

)

(

)

(

x



Q

x



x

2



x



x







x

3



x

3



x

2



x



P

De la misma forma se resuelve una resta.

15. Dados los polinomios

A

(

x

)



2

x

4



7

x

3



x

5



8

y

B

(

x

)





4

x

2



5

x

4



5

, calcular:

a.

A

(

x

)



B

(

x

)



b.

A

(

x

)



B

(

x

)



16. Calcula

P

(

x

)



Q

(

x

)

, siendo

P

(

x

)



3

x

2



2

x



5

y

Q

(

x

)





3

x

2



2

x



5

.

Decimos entonces que

P

(x

)

y

Q

(x

)

del ejercicio 22 son polinomios opuestos. Del mismo modo, si al restar dos polinomios se obtiene el polinomio nulo, entonces dichos polinomios son iguales.

En síntesis:

“Dos polinomios son opuestos cuando su suma es igual al polinomio nulo.” “Dos polinomios son iguales cuando su resta es igual al polinomio nulo.”

17. Dados los siguientes polinomios:

A

(

x

)



2

x



5

x

2



8

x

3



4

x

4;

B

(

x

)





x

6



x



4

x

2



2

x

7



7

x

3



3

x

5 ;

3 4 2

2

8

4

9

)

(

x

x

x

x

C











y

D

(

x

)



x

5



1



2

x

3, calcula: a.

A

(

x

)



B

(

x

)



b.

B

(

x

)



A

(

x

)



c.

C

(

x

)



A

(

x

)



d.

A

(

x

)



C

(

x

)



e.

A

(

x

)



D

(

x

)



f.

C

(

x

)



B

(

x

)



g.



B

(

x

)



A

(

x

)





C

(

x

)



h.

D

(

x

)





B

(

x

)



C

(

x

)





Así como sumamos y restamos polinomios, es posible también multiplicarlos. En realidad, no necesitas conocimientos nuevos para poder multiplicar polinomios, basta con que recuerdes la propiedad distributiva que tantas veces viste:



a



b



.

c



a

.

c



b

.

c

; y la propiedad del producto de potencias de igual base:

a

n

.

a

m



a

nm, es otra potencia de la misma base y su exponente es la suma de los exponentes dados.

¿Recuerdas que a un polinomio compuesto por un solo término lo llamamos monomio?. Bien. Para entrar en tema, veamos la multiplicación de dos monomios:

A

(

x

)



7

x

3y

B

(

x

)



6

x

10, entonces

13 10 3

42

6

7

)

(

)

(

x

B

x

x

x

A











Como puedes ver:

“El coeficiente del monomio producto se obtiene de multiplicar los coeficientes de los factores.” “El grado del monomio producto es la suma de los grados de los factores.”

18. Dados 5 3 4

5

)

(

;

5

2

)

(

;

2

1

)

(

;

3

)

(

x

x

B

x

x

C

x

x

D

x

x

A













, calcula: a.

A

(

x

).

B

(

x

)



b.

B

(

x

).

C

(

x

)



c.



D

(

x

)



2

.

C

(

x

)



Como ya sabes, un polinomio es la suma de varios monomios, por lo tanto, el producto de dos polinomios

)

(

.

)

(

x

Q

x

P

, es el polinomio que se obtiene de multiplicar cada uno de los monomios de

P

(x

)

por cada uno de los monomios de

Q

(x

)

. Es aquí donde entra en juego la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma (resta).

Veamos algunos ejemplos:

a)

P

(

x

)





2

x

3

y

Q

(

x

)



3

x

2



2

,entonces: 3 5 3 2 3 2 3

4

6

2

2

3

2

)

2

3

(

2

)

(

)

(

x

Q

x

x

x

x

x

x

x

P



























b)

₂

2

3

3

)

(

3

3

2

)

(

x



x

2



y

B

x



x

3



x

2



x



A

_{, entonces:}

6

3

6

35

3

25

2

6

3

2

9

3

4

9

3

2

2

6

3

2

9

9

3

4

3

2

2

2

3

3

2

3

3

3

3

2

3

2

3

2

2

3

3

2

3

3

2

)

2

2

3

3

(

)

3

3

2

(

)

(

)

(

2 3 4 5 2 2 3 3 4 5 2 3 2 3 4 5 2 3 2 1 2 2 2 3 2 2 3 2































_















_







































































  

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

B

x

A

19. Si observas los productos obtenidos en los ejemplos a) y b), podrás elaborar las respuestas a las siguientes preguntas:

a. ¿Cómo se obtiene el coeficiente principal del polinomio producto a partir del coeficiente principal de cada factor?

b. ¿Cómo se obtiene el grado del polinomio producto a partir del grado de cada factor?

c. ¿Cómo se obtiene el término independiente del polinomio producto a partir de los términos independientes de cada factor?

x

x

x

B

y

x

x

x

x

A

(

)



2

6



3

4



2

2



4

(

)



8



3

2



5

Del mismo modo que con las expresiones numéricas, al operar con polinomios es posible utilizar paréntesis, corchetes o llaves para combinar operaciones. Las técnicas de resolución son las mismas que aplicas para los cálculos numéricos combinados. Así que estás en condiciones de resolver el ejercicio siguiente.

21. Siendo:

R

(

x

)



x

4



x

2



2

x



4

,

S

(

x

)





x

5



3

x

2



6

y

T

(

x

)



5

x

3



4

x

2



x



5

calcula:



R

(

x

)



S

(

x

)





T

(

x

)



22. Encuentra el resultado de:

a.





3

x

8



5

x

5



7

x

3



3

x

6

 



4

x

2



3

x

5



x

6



4

x

4



b.



9

x

3



2

x

5



x

2

 





x

3



2

x

4



5

x



8

x

2



9



c.



2

x

2



3

x



4

 



2

x

5



10

x



x

3



8



3

x

4



23. Con los polinomios: 4 2 3

3

7

5

2

)

(

x

x

x

x

A











;

B

(

x

)



3

x



1

; 5 3

3

2

)

(

x

x

x

C





y 5 2

3

2

1

)

(

x

x

x

D







halla los resultados de:

a.

A

(

x





B

(

x

)



C

(

x

)





b.

3

A

(

x

)



2

x

3



B

(

x

)



c.



D

(

x

)



C

(

x

)

 



A

(

x

)



B

(

x

)





24. Subraya aquellas expresiones que representen polinomios. En caso que no sean, explica por qué.

a.

A

(

x

)



4

x



5

x

3



3

,

124

x

2



0

,

000001

x

6 b.

(

)



2

2



12



2

x

x

x

B

c.

C

(

x

)



x

3



x

2



x

1



1

d.

D

(

x

)



3



x

3



2



x

2





x

25. Indica coeficiente principal, grado y términos independiente, para las expresiones del punto anterior que son polinomios.

26. Dado el polinomios

P

(

x

)



x

3



x

2



1

, debes especializarlo para cinco valores de

x

pertenecientes al intervalo





2

;

2



.

27. Realiza un gráfica aproximada con los valores que obtuviste en el punto 32.

28. Construye un polinomio mónico

A

(x

)

de grado par mayor que seis, con sus demás coeficiente distintos y no enteros. Construye otro polinomio

B

(x

)

de un grado menor que

A

(x

)

, con coeficientes tales que

)

(

)

(

)

(

x

A

x

B

x

C





tenga todos sus monomios mónicos.

29. Realiza las siguientes operaciones:

a.



2

x

3



6

x



6

x

5

 



x

2



4

x

7



3

 



3



2

x

3



4

x



b.





4

x

2



3

x



x

4

 







x

5



2

x

6

 





2

x

5



2

x

6



3





c.



x

7



x

5



x

3



x



1

 





x

8



x

6



x

4



x

2



30. ¿Qué resultado se obtiene al multiplicar un polinomio por su opuesto?

Para trabajar con la división de polinomios lo que aprenderás nuevo, es aplicar conocimientos ya adquiridos para dividir números, a la división de un polinomio por un monomio, o bien entre dos polinomios. Para tener éxito en esta gestión, debes tener presente:

a) El concepto de división:

D



d



C



r

, donde

D

es el dividendo,

d

el divisor distinto de 0 y

r

el resto, que siempre es menor al dividendo;

b) Cociente de potencias de igual base:

a

n

:

a

m



a

nm. El cociente de potencias de igual base, es otra potencia de la misma base y su exponente es la diferencia entre los exponente de las potencias dividendo y divisor, considerados en ese orden.

31. Para refrescar la memoria acerca de esos saberes previos que vas a necesitar, debes resolver la siguiente división sin usar calculadora, y luego, explicar con buena redacción cada paso que realizaste: 49768 : 24 =

Para dividir dos monomios, debes proceder del mismo modo que en la multiplicación de monomios: operar (en este caso dividir) primero con los coeficientes y luego con las indeterminadas. Sólo debes tener en cuenta que el monomio divisor debe ser no nulo.

32. Veamos cómo resuelves la siguiente división:

8

x

7



 



2

5

Si has resuelto correctamente la división propuesta, podrás ver que has obtenido como cociente un monomio cuyo coeficiente, es el cociente de los coeficientes del dividendo y del divisor; el grado es la diferencia entre el grado del dividendo y el grado del divisor; y, el resto, es el polinomio nulo.

33. Calcula

M

(

x

)



N

(

x

)

en los siguientes casos:

a)

M

(

x

)



9

x

5

;

N

(

x

)





3

x

2 b) 6

;

(

)

2

4

7

4

)

(

x

x

N

x

x

M





Antes de analizar la transferencia del algoritmo (aplicación reiterada de un conjunto de reglas con un fin determinado) de la división de números a la división de polinomio, es conveniente tener en cuenta las siguientes características:

El concepto de división entre polinomios nos dice:

D

(

x

)



Q

(

x

)



C

(

x

)



R

(

x

)

, donde

D

(x

)

el polinomio dividendo,

Q

(x

)

es el polinomio divisor,

C

(x

)

es el polinomio cociente y

R

(x

)

el resto de la división.

El divisor no puede ser el polinomio nulo.

El grado del R(x) (resto), debe ser menor que el grado del divisor, o bien ser el polinomio nulo.

Si el dividendo es el polinomio nulo o su grado es menor que el del polinomio divisor, el cociente es el polinomio nulo y el resto es el polinomio dividendo.

Ahora sí, veamos ejemplos de división de polinomio por monomio, transfiriendo el algoritmo de la división que aplicaste en el punto 37:

EJEMPLO 1:

Vamos a hallar el cociente y el resto de la división entre

P

(

x

)



8

x

4



6

x



4

y

Q

(

x

)



2

x

 Dividimos el primer monomio del dividendo

8x

4 por el monomio del divisor

2

x

. El resultado

4x

3 es el primer monomio o término del polinomio cociente. Lo multiplicamos por el divisor y obtenemos

8x

4. Lo restamos al dividendo.

 Como el nuevo polinomio dividendo

6

x



4

es de grado igual que el divisor

2

x

, repetimos el procedimiento con el primer monomio del nuevo dividendo, es decir

6

x

.

 Obtuvimos un nuevo dividendo



4

, que es de grado menor que el divisor. Entonces ése es el resto. Ahí termina la división. Podemos entonces, en base a la definición de división, escribir el polinomio dividendo como el producto del divisor por el cociente, más el resto, es decir:

 

2



4

3



 

4

4

6

8

x

4



x





x



x

3







EJEMPLO 2:

Hallemos el cociente y el resto de la división entre:

x

x

G

y

x

x

x

x

F

(

)





6

4



9

5



12



3

2

(

)





3

Consejos para la división entre polinomios de distinto grados en general.

 Una estrategia útil para facilitar el cálculo de la división es ordenar el polinomio dividendo y completarlo con monomios nulos. Entonces quedaría:

F

(

x

)



9

x

5



6

x

4



0

x

3



3

x

2



0

x



0

.

 Debemos ordenar el polinomio divisor, NO hace falta completarlo.

 Una vez resuelta la división, y en base a la definición ya vista, podemos escribir la siguiente igualdad:



3





3

2



0

3

6

9

)

(

x



x

5



x

4



x

2





x





x

4



x

3



x



F

34. Afianza el algoritmo visto, resolviendo las siguiente divisiones y escribe la igualdad que resulta aplicando la definición de división: a.





2

x

6



4

x

5



2

x

4



8

x

3



6

x

2



4

x



2

  



2

x

2



b.



6

x

6



18



3

x

7



21

x



9

x

4

  



3

x

2



c.





4

x

4



3

x

5



2

x

6



x



4

x

7

 





2

x

4





d.



5

x

4



x



6

x

9



10



20

x

6

  



4

x

3



35. Hallar el cociente y el resto que se obtienen al realizar la división entre:

2 4 2 3

2

)

(

5

6

3

4

)

(

x

x

x

x

y

Q

x

x

x

P

















 Resolvemos ejercicios para naturalizar el algoritmo aplicado: 36. Halla el cociente y el resto de

P

(x

)

y

Q

(x

)

siendo:

x

x

x

Q

y

x

x

x

x

x

P

(

)



2

7



3

6



18

3



29



10

(

)



2

2



3

37. Resuelve



2

x

5



8

x

3



x

6

 



x

2



2

x



y escribe luego la igualdad que surge de aplicar el concepto de división. 38. ¿Es cierto que existe un polinomio

K

(x

)

tal que:



2

3



)

(

15

10

9

6

x

6



x

4



x

2





K

x



x

2



Justifica tu respuesta escribiendo el procedimiento que apliques para elaborarla. 39. Halla el polinomio

C

(x

)

, si es posible:



4

5



(

)



8



5

9

x

5



x

2



x



x

2





C

x



x



40. Encuentra el polinomio

Q

(x

)

que satisface la siguiente igualdad:



x

x



x

x

Q

x

x

x

9

22

12

(

)

4

2

3

2

5



4



2









2



41. Escribe la igualdad que se obtiene en cada caso según el algoritmo de la división entera:

a.



2

x

3



5

x



4

x

2



7

x

5

 





2

x

2





b.





x



4

x

3



2

x

6



x

4

 



x

3



1



x





42. Encuentra el dividendo de una división entera sabiendo que el resto es

R

(

x

)



3

x

3, el cociente

C

(

x

)



x

3 y el divisor

Q

(

x

)



x

4.

43. ¿Es cierto que todo monomio es divisible por otro monomio? Justifica tu respuesta.

44. Halla el valor de

a

que pertenece a los reales y que cumpla la siguiente igualdad según el concepto de división entera:









a

2



3

3



(

)

2

5 3 4 2 7

x

R

x

x

x

x

x

x

















45. Encuentra cociente y resto en las siguientes divisiones enteras de polinomios:

a.



2

x

4



x

3



3

x

2



2

x



12







2

x



3





b.



2

x

4



x

3



3

x

2



2

x



12

 



x

3



x

2



1





c.



x

6



3

x

4



x

3



x

2



3

 



x

4



1





d.



x

6



3

x

4



x

3



x

2



3

 



x

2



3





46. Considerando las divisiones resueltas en el punto anterior:

a. Escribe las igualdades

P

(

x

)



Q

(

x

)



C

(

x

)



R

(

x

)

que correspondan a cada caso.

b. Observa dichas igualdades y enuncia alguna conclusión. 47. Para reforzar lo trabajado con las divisiones aplica los conocimientos adquiridos en:

I. Resolver las divisiones indicadas.

II. Especializar en cada caso el polinomio dividendo para el valor de

x

que anule el divisor (por ejemplo, si el divisor es

Q

(

x

)



x



3

, el dividendo correspondiente deberá ser especializado para

x





3

)

a.



5

x

3



3

x

2



4

x



3







x



3





c.



2

x

3



3







x



1





d.



x

3



23

x



28







x



4





48. Compara el resto de cada división, con la especialización hecha para su correspondiente dividendo y elabora una conclusión.

Importante propiedad de la división de polinomios en la que el divisor es un polinomio mónico de grado uno, conocida con el nombre de TEOREMA DEL RESTO. Su enunciado dice: al dividir un polinomio

P

(x

)

por un polinomio de la forma

x



a

, se obtiene como resto un número que es igual a

P

(-a)

.

EJEMPLO:

Si queremos calcular el resto de la división entre

P

(

x

)



3

x

3



7

x

2



6

x



1

y

Q

(

x

)



x



2

, sin realizar la división, aplicamos el teorema del resto:

Calculamos

P

(



2

)



3

 



2

3



7

 



2

2



6

 



2



1





9



El

resto

es

:



9

49. Calcula el resto en la siguientes divisiones

P

(

x

)

:

Q

(

x

)

, aplicando el teorema del resto, siendo

P

(x

)

y

Q

(x

)

respectivamente: a.

P

(

x

)



13

x

4



50



15

x

3

y

Q

(

x

)



x



5

b.

3

(

)

3

3

1

)

(

x



x

6



y

Q

x



x



P

c.

2

1

)

(

3

,

0

5

7

4

17

2

1

)

(

x



x

3



x

2



x



y

Q

x



x



P

d.

3

1

)

(

1

12

17

12

37

3

1

9

44

)

(

x



x

3



x

4



x



x

2



y

Q

x



x



P

e.

P

(

x

)



0

,

3

x

2



x



8

x

4

y

Q

(

x

)



x



0

,

25

Además del algoritmo tradicional de división aplicado hasta ahora, hay otro método para realizar la división de un polinomio

P

(x

)

por un polinomio mónico grado 1, de la forma

x



a

. Ese método se llama REGLA DE RUFFINI. Retomamos el ejemplo usado en el teorema del resto para analizar como se aplica esta regla:

 Se opera únicamente con los coeficientes del dividendo, pero debe estar ordenado en forma decreciente y completo.

 Se tiene en cuenta el valor numérico que anule al divisor.

 Se suman los números en sentido vertical, comenzando por el coeficiente principal, y el resultado se multiplica por el valor que anula el divisor escribiendo el resultado debajo del siguiente coeficiente.

 Se continúa con las operaciones mencionadas hasta terminar con el término independiente.

 El último valor obtenido es el resto de la división

R

(x

)

, y los otros valores son los coeficientes del cociente

C

(x

)

, cuyo grado es una unidad menor que el polinomio dividendo.

 Según el algoritmo de la división, podemos escribir la siguiente igualdad:



2





3

1

4



 

9

1

6

7

3

x

3



x

2



x





x





x

2



x







50. Aplica la Regla de Ruffini para resolver las siguientes divisiones

a.



6

x

3



2

x

2



4

x



1







x



2





b.



3

x

3



12

x

2



8

x



34







x



4





c.





2

x

4



x

2



4







x



3





51. Considera las divisiones que resolviste en el punto 4 para:

a. Comprobar el resultado, resolviendo el segundo miembro de la igualdad que te permite escribir el concepto de división:

D

(

x

)



Q

(

x

)



C

(

x

)



R

(

x

)

.

Lo visto hasta ahora sobre multiplicación y división de polinomios, nos permite ahondar en el concepto de DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS.

Así como decimos que el número

a

es divisible por el número

b

(distinto de 0), cuando al realizar la división entera entre

a

y

b

el resto es 0, al trabajar con polinomios, resulta que si al realizar la división entera

P

(x

)

y

Q

(x

)

el resto es el polinomio nulo, entonces

P

(x

)

es divisible por

Q

(x

)

, o lo que es lo mismo,

Q

(x

)

divide a

P

(x

)

.

EJEMPLO:

Al resolver la división entera



20

x

5



12

x

4



3

x

3



24

x

2



6

x

 



4

x

2



x



, se obtuvo:



20

x

5



12

x

4



3

x

3



24

x

2



6

x

 



4

x

2



x

 



5

x

3



3

x

2



6



Es decir, que el resto es el polinomio nulo; entonces el dividendo



20

x

5



12

x

4



3

x

3



24

x

2



6

x



es divisible por el divisor



4

x

2



x



y por el cociente



5

x

3



3

x

2



6



, o bien: “el cociente y el divisor dividen al dividendo”.

52. Halla el resto de la división de

P

(x

)

y

Q

(x

)

:

a.

P

(

x

)



x

3



2

x



12

y

Q

₁

(

x

)



x



2

b. Igual al anterior, pero ahora

Q

₂

(

x

)



x



2

.

c. Indica si

P

(x

)

es divisible por o por

Q

₂

(

x

)

.

53. Al dividir

P

(

x

)





x

4



3

x

3



4

x

2



6



7

por un polinomio

Q

(x

)

, se obtuvo

4

como resto. Justifica si el divisor pudo haber sido

Q

(

x

)



x



3

.

54. Calcula el valor de

b

para que

Q

(

x

)



x



5

divida a

P

(

x

)



bx

3



x

2



b

.

55. Encuentra el cociente de la división

P

(

x

)

:

Q

(

x

)

para los polinomios del punto anterior.

56. Al resolver una división de polinomios por Regla de Ruffini: si el dividendo es un polinomio de grado 5 ¿qué grado tendrá el cociente?

57. Resuelve la división

P

(

x

)

:

Q

(

x

)

para los siguientes polinomios, y comprueba, aplicando teorema del Resto, si el resto hallado es el correcto:

a.

P

(

x

)



x

6



4

x

5



7

x

3



4

y

Q

(

x

)



x



1

b.

P

(

x

)





2

x

5



4

x

4



x

3



8

y

Q

(

x

)



x



2

58. Para cada pareja de polinomios, indica si

P

(x

)

es divisible por

Q

(x

)

:

a.

P

(

x

)





2

x

4



5

x

3



9

x

y

Q

(

x

)



x

2



3

x

b.

P

(

x

)





2

x

4



5

x

3



9

x

y

Q

(

x

)





2

x

2



x



3

c.

P

(

x

)



2

x

5



3

x

3



x

2



x



1

y

Q

(

x

)



x

2



1

d.

P

(

x

)



2

x

5



3

x

3



x

2



x



1

y

Q

(

x

)



x



1

59. Al dividir

P

(

x

)



2

x

3



4

x

2



2

x



m

por

Q

(

x

)



x



3

, se obtuvo 10 como resto. Halla el término independiente de

P

(x

)

.

60. El polinomio

T

(

x

)





2

x

2



3

x



14

es divisible por

U

(

x

)



x



b

. Halla el valor de

b

perteneciente a los reales, para que eso sea posible.

Otro concepto importante a tener en cuenta cuando abordamos la teoría de funciones polinómicas, es el de raíz de un polinomio: “un valor de

x

es raíz de

P

(x

)

, si el polinomio se anula para ese valor”.

EJEMPLO:

1



x

es raíz de

P

(

x

)



x

5



x

3 porque

P

(

1

)



1

5



1

3



0

.

También

x





1

es raíz de

P

(

x

)



x

5



x

3 porque

P

(



1

)



   



1

5





1

3



0

. Observa el gráfico de

S

(

x

)



x

3



8

x

2 con sus raíces

x



0

y

x



8

.

)

(

1

x

Q

En cada raíz real, el gráfico puede atravesar el eje x (en el ejemplo, cuando

x



8

), o sólo tocarlo sin atravesarlo (en el ejemplo, cuando

x



0

). En el primer caso decimos que las raíces tiene GRADO DE MULTIPLICIDAD IMPAR, y en el segundo caso GRADO DE MULTIPLICIDAD PAR.

Las abscisas en las que el gráfico de la función polinómica tiene contacto con el eje

x

con raíces del polinomio. También reciben el nombre de ceros de la función.

En el gráfico,

8

es una raíz con grado de multiplicidad impar, mientras que

0

es una raíz con grado de multiplicidad par.

Un polinomio puede tener raíces reales y raíces no reales. Las raíces de una función polinómica, cumplen una propiedad que se conoce con el nombre de : “TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA”.

El mismo dice: Un polinomio de grado

n

tiene exactamente

n

raíces (considerando las reales y las no reales). Como consecuencia de este teorema, podemos afirmar que:

Un polinomio grado

n

tiene como máximo

n

raíces reales.

Entonces, un polinomio grado 1, llamado función lineal, tiene una raíz; un polinomio grado dos, llamado función cuadrática, tiene hasta dos raíces; los de grado tres, llamados función cúbica, tienen hasta tres raíces.

En caso que un polinomio presente raíces no reales, hay un aspecto importante a tener en cuenta: las raíces no reales siempre se dan en pareja. Como consecuencia de ésto, si un polinomio grado tres tiene raíces no reales, sólo podrá tener una y sólo una raíz real. Dicho de otro modo, todo polinomio de grado impar tendrá al menos una raíz real, es decir que su gráfica siempre tendrá contacto con el eje

x

.

En caso de tratarse de un polinomio de grado 1, es decir un polinomio de la forma

ax



b

, para hallar la única raíz que tiene, basta con hacer

ax



b



0

y despejar la indeterminada

x

. Se obtiene que

a

b

-

x

, donde

x

es la indeterminada,



b

es el opuesto del término independiente y

a

el coeficiente principal.

EJEMPLO:

4

3

)

(

x



x



P



3

x



4



0



3

4



x

es la raíz de

P

(x

)

.

Si se trata de un polinomio de grado dos, es decir, un polinomio de la forma

ax

2



bx



c

, actuamos de manera similar, es decir, hacemos

ax

2



bx



c



0

y resolvemos esta ecuación de segundo grado aplicando la Fórmula Resolvente. Si las raíces obtenidas resultan reales, podemos escribir el polinomio dado mediante el producto



1

 

2



.

x

x

x

x

a







, siendo

a

el coeficiente principal del polinomio,

x

la indeterminada,

x

₁ y

x

₂ las raíces reales. EJEMPLO:

 



1

 

6



1

:

así

escribirse

puede

que

Q(x),

de

raíces

las

son

6

1

2

7

5

1

.

2

6

.

1

.

4

5

5

.

2

.

.

4

0

6

5

6

5

)

(

2 1 2 2 2 , 1 2 2



























































x

x

x

y

x

a

c

a

b

b

x

x

x

x

x

x

Q

x -4 -2 2 4 6 8 f(x) -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 10 20 30 40 50 60