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Guía breve de análisis de series temporales unidimensionales con Gretl

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(1)

Gu´ıa breve de an´

alisis de series temporales unidimensionales con Gretl

1.

Pasos a seguir

1. Representaci´on de la serie temporal (Variable → Gr´afico de series temporales). 2. ¿Serie temporal no estacionaria en varianza?:

Si no queda claro a partir de la representaci´on gr´afica, recurrimos al gr´afico rango media (Variable → Gr´afico rango-media). Si el coeficiente de la recta estimada es significativamente distinto de cero, entonces la serie no es estacionaria en varianza.

Para inducir estacionariedad en varianza calculamos logaritmos de la serie temporal (A˜nadir → Logaritmos de las variables seleccionadas).

3. Si la serie temporal no es estacionaria en media aplicamos diferencias regulares tantas veces como consideremos oportuno (A˜nadir → Primeras diferencias de las variables seleccionadas). En la pr´actica no es necesario diferenciar m´as de dos veces.

4. Una vez se tenga que la serie temporal es estacionaria (todo lo seguros que podamos estar) representamos sus funciones de autocorrelaci´on simple, FAC, y parcial, FACP (Variable → Co-rrelograma). Ser´an coeficientes significativamente distintos de cero aquellos que salgan de la franja de confianza. Para los valores dudosos consultar los p-valores asociados (advi´ertase que puesto que se calcula un intervalo de confianza al 95 %, no debe extra˜nar que alg´un coeficiente salga de las bandas de confianza).

5. Si al representar el correlograma apreciamos dependencia estacional, aplicamos diferencias es-tacionales tantas veces como consideremos oportuno (A˜nadir → Diferencias estacionales de las variables seleccionadas). En la pr´actica no es necesario diferenciar m´as de dos veces.

6. Una vez propuestos una bateria de modelos para la serie temporal tras la identificaci´on (la componente regular se observa en los primeros retardos de la FAC y FACP, mientras que la estacional en los m´ultiplos de la estacionalidad) se procede a su estimaci´on (Modelo → Series temporales → ARIMA):

Como variable independiente incluir la serie temporal original o transformada mediante logaritmo, nunca la diferenciada regular o estacionalmente.

Especificar los ´ordenes de las estructuras autorregresivas y de medias m´oviles as´ı como las diferencias realizadas (tanto de la parte regular como de la estacional).

Dejar las opciones especificadas por defecto. 7. Validaci´on de resultados obtenidos:

Los coeficientes han de ser significativamente distintos de cero.

Las ra´ıces han de ser en m´odulo mayores que 1 (estacionariedad e invertibilidad). Los residuos han de ser ruido blanco:

(2)

• Guardar los residuos como nueva variable (en la ventana de resultados Guardar → Residuos).

• Los coeficientes de la FAC y FACP han de tener todos sus coeficientes nulos (la pre-sencia de alg´un tipo de estructura puede ayudar a reidentificar el modelo).

8. Obtenci´on de predicciones (en ventana de resultados An´alisis → Predicciones). Indicamos el n´umero de observaciones para los que queremos obtener predicciones y dejamos los valores por defecto en la nueva ventana.

9. Otra opci´on es dejar algunas observaciones finales fuera de la estimaci´on para obtener predic-ciones para ellas:

Establecer el n´umero de observaciones con las que se desea hacer la estimaci´on (Muestra → Establecer rango).

Volver a estimadar el modelo especificado.

Establecer las observaciones que hemos dejado fuera con anterioridad como aquellas para las que se desea predecir (en la ventana de resultadosAn´alisis → Predicciones). En la ventana que aparece debe salir por defecto dichas observaciones en el dominio de predicci´on (si no es as´ı, especificarlo). Dejar resto de opciones por defecto.

10. Selecci´on de modelos: en el caso de haber considerado c´omo v´alidos m´as de un modelo, seleccionar uno de ellos a partir de los valores obtenidos para los criterios de Akaike, Schwarz y Hannan-Quinn (quedarse con aquel modelo que presente menor valor en estos criterios). Importante:

No se deben mezclar valores obtenidos en un criterio con los obtenidos en otro, es decir, la comparaci´on (y decisi´on consecuente) s´olo es posible cuando se comparan valores de un mismo criterio. Por ejemplo, no es admisible comparar un valor del criterio de Akaike con el de Schwarz.

Para realizar la comparaci´on se ha de partir de la misma variable dependiente. Es decir, no es posible comparar los valores de estos criterios si en un modelo se tiene la variable original y en otra su logaritmo.

2.

An´

alisis de la temperatura en Granada

El presente documento sobre el an´alisis de procesos ARIMA con el software econom´etrico Gretl lo estoy elaborando a finales del mes de Julio de 2015 (tampoco es necesario especificar el d´ıa). Ya s´e que hay muchas variables econ´omicas muy relevantes1, pero a d´ıa de hoy lo ´unico que me interesa es la cal´o que hace. As´ı que he buscado datos sobre las temperaturas mensuales en la ciudad de Granada con el objetivo de conocer lo que nos espera en el futuro siguiendo los pasos del apartado anterior resumidos en la Figua 1. Sin embargo, por desgracia, s´olo he podido encontrar datos desde enero de 1981 hasta diciembre de 2010, por lo que la predicci´on que nos ser´ıa ´util es demasiado lejana y no demasiado fiable2.

La representaci´on gr´afica de dichos datos3 (ver Figura 2) se puede observar:

1El lector puede repetir los pasos aqu´ı dados para la serie del IPC mensual espa˜nol desde enero de 2002 a junio de

2015 (http://www.ugr.es/~romansg/material/WebEco/Eco3-IPC.gdt) o para el PIB trimestral espa˜nol desde 1995 a 2015 (http://www.ugr.es/~romansg/material/WebEco/Eco3-PIB.gdt).

2

Recordemos que las series de tiempo son ´utiles para realizar predicciones a corto plazo.

3

Los datos est´an disponibles en la direcci´on http://www.ugr.es/~romansg/material/WebEco/

(3)

Serie Temporal ¿Es estacionaria? Inducir estacionariedad NO Identificaci´on Estimaci´on Validaci´on Deshacer transformaciones SI Pron´ostico adecuado Modelo aceptado SI SI NO NO

Figura 1: Pasos a seguir para analizar una serie temporal mediante procesos ARIMA

La serie temporal es estacionaria en varianza. A´un as´ı, haciendo el gr´afico rango-media (ver Figura 3) se obtiene que los puntos de distribuyen de forma aleatoria. Es m´as, la pendiente es estad´ısticamente cero (p-valor mayor que 0.05), luego la serie es estacionaria en varianza. Un patr´on repetitivo: temperaturas altas en los meses de verano y bajas en los de invierno. Por tanto, podemos pensar que hay una componente estacional en la serie de datos. Esta cuesti´on se confirma al observar en la FAC un comportamiento sinusoidal con valores extremos en los m´ultiplos de seis4 (ver Figura4).

Por tanto, para eliminar la componente estacional consideramos diferencias estacionales en la serie obteniendo la representaci´on de la Figura5. Podemos pensar que la serie es estacionaria en media, sin embargo, si calculamos unas diferencias regulares se obtiene una representaci´on gr´afica donde parece m´as clara la estacionariedad en media (ver Figura6).

Adem´as, si se observa la representaci´on gr´afica del correlograma de la serie con s´olo diferencias estacionales (ver Figura 7) se tiene que:

La parte regular podr´ıa5 corresponder a un AR(1), MA(1) o ARMA(1,1), seg´un se considere que a) la FAC decrece y la FACP se corta, b) la FAC se corta y la FACP decrece o c) ambas decrecen.

La parte estacional podr´ıa corresponder a un MA(1)12 ya que la FAC se corta en el primer retardo estacional y la FACP decrece en los retardos estacionales.

4¡Ojo! Una vez corregida la componente estacional es cuando nos debemos de fijar en los m´ultiplos de s. 5

Digo podr´ıa ya que interpretar una representaci´on gr´afica del correlograma es una cuesti´on subjetiva de manera que donde un investigador observa una cosa otro puede observar otra.

(4)

0 5 10 15 20 25 30 1985 1990 1995 2000 2005 2010 Temperatura

Figura 2: Representac´ı´on gr´afica de las temperaturas en la ciudad de Granada desde enero de 1981 a diciembre de 2010 15 16 17 18 19 20 21 22 14 14.5 15 15.5 16 16.5 17 rango media

gráfico rango−media de Temperatura

(5)

-1 -0.5 0 0.5 1 0 5 10 15 20 25 retardo FAC de Temperatura +- 1.96/T0.5 -1 -0.5 0 0.5 1 0 5 10 15 20 25 retardo FACP de Temperatura +- 1.96/T0.5

Figura 4: Correlograma de la serie de tiempo original

-6 -4 -2 0 2 4 6 1985 1990 1995 2000 2005 2010 sd T emperatura

(6)

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 1985 1990 1995 2000 2005 2010 ds dT emperatur

Figura 6: Representac´ı´on gr´afica de las diferencias regulares de las diferencias estacionales de la serie de tiempo -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0 10 20 30 40 50 retardo FAC de sdTemperatura +- 1.96/T0.5 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0 10 20 30 40 50 retardo FACP de sdTemperatura +- 1.96/T0.5

(7)

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0 10 20 30 40 50 retardo FAC de dsdTemperatur +- 1.96/T0.5 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0 10 20 30 40 50 retardo FACP de dsdTemperatur +- 1.96/T0.5

Figura 8: Correlograma de la serie de tiempo con diferencias estacionales y regulares

Mientras que si se observa el correlograma de la serie de tiempo con diferencias estacionales y regulares (ver Figura 8) se tiene que:

La parte regular correponde a un MA(1) ya que la FAC se corta y la FACP decrece. La parte estacional sigue correspondindo a un MA(1)12.

Por tanto, se podr´ıan analizar cuatro modelos distintos:

ARIM A(1, 0, 0)x(0, 1, 1)12, ARIM A(0, 0, 1)x(0, 1, 1)12, ARIM A(1, 0, 1)x(0, 1, 1)12, ARIM A(0, 1, 1)x(0, 1, 1)12.

En este documento se va a trabajar con el primero y el cuarto, si bien el lector podr´ıa completarlo analizando el resto de modelos.

Para el modelo ARIMA(1,0,0)x(0,1,1)12 se obtienen los siguientes resultados: Modelo 1: ARIMA, usando las observaciones 1982:01–2010:12 (T = 348)

Variable dependiente: (1 − Ls)Temperatura Desviaciones t´ıpicas basadas en el Hessiano

Coeficiente Desv. T´ıpica z Valor p

const 0.0141950 0.0156860 0.9050 0.3655

φ1 0.261244 0.0519144 5.0322 0.0000

Θ1 −0.885525 0.0472183 −18.7539 0.0000

Media de la vble. dep. −0.014943 D.T. de la vble. dep. 1.786990 media innovaciones 0.009909 D.T. innovaciones 1.322598 Log-verosimilitud −600.3211 Criterio de Akaike 1208.642

(8)

Real Imaginaria M´odulo Frecuencia AR

Ra´ız 1 3,8278 0,0000 3,8278 0,0000

MA (estacional)

Ra´ız 1 1,1293 0,0000 1,1293 0,0000

Se puede observar que:

Los coeficientes son significativamente distintos de cero. Aunque el t´ermino independiente no lo sea lo dejaremos en el modelo (otra opci´on es estimar el mismo modelo sin t´ermino independien-te).

Las ra´ıces de los polinomios caracter´ısticos son, en m´odulo6, mayores que 1. Luego el proceso es estacionario e invertible.

El proceso estimado corresponde a (1 − 0,261244B)(1 − B12)yt= 0,014195 + (1 − 0,885525B12)t. Por otro lado, tras guardar los residuos de este modelo:

Su representaci´on (ver Figura9) parace indicar estacionariedad en media y varianza. Su correlograma (ver Figura10) tiene pr´acticamente todos sus retardos nulos7.

Realizado el correspondiente contraste de normalidad en ning´un caso8 se rechaza la hip´otesis nula de normalidad (p-valores mayores que 0.05).

Por tanto, se podr´ıa decir que los residuos corresponden a ruido blanco gaussiano y, en tal caso, la identificaci´on y estimaci´on realizadas son v´alidas.

Para el modelo ARIMA(0,1,1)x(0,1,1)12 se obtienen los siguientes resultados: Modelo 2: ARIMA, usando las observaciones 1982:02–2010:12 (T = 347)

Variable dependiente: (1 − L)(1 − Ls)Temperatura Desviaciones t´ıpicas basadas en el Hessiano

Coeficiente Desv. T´ıpica z Valor p

const −0.000514994 0.000748306 −0.6882 0.4913

θ1 −0.934533 0.0366394 −25.5062 0.0000

Θ1 −0.912273 0.0411834 −22.1514 0.0000

Media de la vble. dep. −0.010663 D.T. de la vble. dep. 2.206064 media innovaciones −0.006120 D.T. innovaciones 1.349214 Log-verosimilitud −608.5436 Criterio de Akaike 1225.087

Criterio de Schwarz 1240.485 Hannan–Quinn 1231.218

Real Imaginaria M´odulo Frecuencia MA

Ra´ız 1 1,0701 0,0000 1,0701 0,0000

MA (estacional)

Ra´ız 1 1,0962 0,0000 1,0962 0,0000

6

Si la ra´ız es real, el m´odulo coincide con el valor absoluto. Si la ra´ız es imaginaria, es decir, de la forma a ± b · i, el m´odulo correponde a√a2+ b2.

7

Advi´ertase que puesto que se ha calculado un intervalo de confianza al 95 % no debe extra˜narnos que alg´un coeficiente, para k relativamente grande, salga de las bandas de confianza. Eso s´ı, no confundir este comentario con los retardos significativamente distintos de cero debido a la estacionalidad.

(9)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 1985 1990 1995 2000 2005 2010 uhat1

Figura 9: Representaci´on gr´afica de los residuos del modelo ARIMA(1,0,0)x(0,1,1)12

-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0 5 10 15 20 25 retardo FAC de uhat1 +- 1.96/T0.5 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0 5 10 15 20 25 retardo FACP de uhat1 +- 1.96/T0.5

(10)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 1985 1990 1995 2000 2005 2010 uhat2

Figura 11: Representaci´on gr´afica de los residuos del modelo ARIMA(0,1,1)x(0,1,1)12

Se puede observar que:

Los coeficientes son significativamente distintos de cero.

Las ra´ıces de los polinomios caracter´ısticos son, en m´odulo, mayores que 1. Luego el proceso es estacionario e invertible.

El proceso estimado corresponde a (1 − B)(1 − B12)yt = −0,000515 + (1 − 0,934533B)(1 − 0,912273B12)t.

Por otro lado, tras guardar los residuos de este modelo:

Su representaci´on (ver Figura11) parace indicar estacionariedad en media y varianza.

Sus FAC y FACP (ver Figura 12) tienen el primer retardo claramente no nulo, es decir, los residuos tienen cierta estructura que no ha sido recogida en el modelo.

Realizado el correspondiente contraste de normalidad en ning´un caso se rechaza la hip´otesis nula de normalidad (p-valores mayores que 0.05).

Por tanto, no se podr´ıa decir que los residuos corresponden a ruido blanco y, en tal caso, la identificaci´on y estimaci´on realizadas no son v´alidas9.

Supongamos que el segundo modelo hubiese sido v´alido, ¿con cu´al de los dos modelos me quedo? Atendiendo a los valores obtenidos para los distintos criterios de selecci´on de modelos (ver tabla del Cuadro1) se tiene que en todos los casos son menores para el modelo ARIMA(1,0,0)x(0,1,1)12, por lo que nos quedar´ıamos con este modelo.

En la Figura13se recogen las temperaturas observadas, las estimadas y las predicciones realizadas para 24 meses con el modelo validado.

9

Para reespecificar el modelo puede ser ´util el correlograma de los residuos. ´Estos sugieren en la parte regular una es-tructura AR(1), MA(1) o ARMA(1,1) dependiendo de si se considera que a) la FAC decrece y la FACP se corta, b) la FAC se corta y la FACP decrece y c) ambas decrecen. En tal caso el modelo se reespecificar´ıa como ARIMA(1,1,1)x(0,1,1)12,

(11)

-0.2 -0.15-0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0 5 10 15 20 25 retardo FAC de uhat2 +- 1.96/T0.5 -0.2 -0.15-0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0 5 10 15 20 25 retardo FACP de uhat2 +- 1.96/T0.5

Figura 12: Correlograma de los residuos del modelo ARIMA(0,1,1)x(0,1,1)12

Criterio Ajaike Schwarz Hannan-Quinn

ARIMA(1,0,0)x(0,1,1)12 1208.642 1224.051 1214.777 ARIMA(0,1,1)x(0,1,1)12 1225.087 1240.485 1231.218

Cuadro 1: Valores para los distintos criterios de selecci´on de modelos en los dos modelos considerados

0 5 10 15 20 25 30 2004 2006 2008 2010 2012 Temperatura predicción Intervalo de 95 por ciento

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